Kerala SSLC Maths Board Model Paper March 2024 Malayalam Medium

Students can read Kerala SSLC Maths Board Model Paper March 2024 with Answers Malayalam Medium and Kerala SSLC Maths Previous Year Question Papers with Answers helps you to score more marks in your examinations.

Kerala Syllabus Class 10 Maths Board Model Paper March 2024 Malayalam Medium

Time: 2½ Hours
Total Score: 80

വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പൊതു നിർദ്ദേശങ്ങൾ :

• ഓരോ ചോദ്യവും വായിച്ചു മനസ്സിലാക്കിയ ശേഷം ഉത്തരം എഴുതുക.
• ഉത്തരങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളിടത്ത് വിശദീകരണ ങ്ങൾ നല്കണം.
• ആദ്യത്തെ 15 മിനിറ്റ് സമാശ്വാസ സമയമാണ്. ഈ സമയം ചോദ്യങ്ങൾ വായിക്കുന്നതിനും ഉത്തരങ്ങൾ ആസു ത്രണം ചെയ്യുന്നതിനും ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.
• ചോദ്യത്തിൽ പ്രത്യേകം ആവശ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം √2, √3, π മുതലായ അഭിന്നകങ്ങളുടെ ഏക ദേശവിലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലഘൂകരിച്ചാൽ മതി.

1 മുതൽ 4 വരെയുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും 3 എണ്ണത്തിന് ഉത്തരം എഴുതിയാൽ മതി. ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 2 സ്കോർ വീതം. (3 × 2 = 6)

Question 1.
1, 11, 21, … എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കുക.
(a) ഇതിന്റെ പൊതു വ്യത്യാസം എന്ത്?
(b) ശ്രേണിയുടെ 10-ാം പദം കാണുക.
Answer:
(a) പൊതുവ്യത്യാസം = 11 – 1 = 10

(b) x₁₀ = x₁ + (10 – 1)10
= 1 + 9 × 10
= 1 + 90
= 91

Question 2.

ചിത്രത്തിൽ O വൃത്തകേന്ദ്രവും ∠AQB = 110° യും ആണ്.
(a) ∠APB യുടെ അളവ് എത്ര?
(b) ∠AOB യുടെ അളവ് എത്ര?
Answer:
(a) ∠APB 180° – ∠AQB
= 180° – 110°
= 70°

(b) ∠AOB = 2 × ∠APB
= 2 × 70°
= 140°
അല്ലെങ്കിൽ
∠AOB = 2 × ∠AQB
= 2 × 110°
= 220°

Question 3.
കണക്ക് പരീക്ഷയിൽ 8 കുട്ടികൾക്ക് കിട്ടിയ മാർക്ക് ക്രമമായി തന്നിരിക്കുന്നു.
20, 20, 24, 32, x, 40, 45, 48
മധ്യമ മാർക്ക് 34 ആയാൽ x ന്റെ വില കാണുക.
Answer:
മധ്യമ മാർക്ക് = 34
അതായത്, \(\frac{32+x}{2}\) = 34
⇒ 32 + x = 68
⇒ x = 68 – 32
⇒ x = 36

Question 4.
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്വബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ച് മറ്റൊരു സമചതുരം ഉണ്ടാക്കുന്നു. വലിയ സമചതുരത്തിനുള്ളിൽ ഒരു കുത്തിട്ടാൽ അത് കറുപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഭാഗത്താകാനുള്ള സാധ്യത യെന്ത്?

Answer:


AB = 2a ആണെങ്കിൽ സമചതുരം ABCD യുടെ പരപ്പളവ് = (2a)² = 4a²
AB = 2a ആണെങ്കിൽ, SQ = 2a
PR സമചതുരം PQRS ന്റെ വികർണ്ണം ആണ്.
ആയതിനാൽ സമചതുരം PQRS ന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{(2 a)^2}{2}\)
= \(\frac{4 a^2}{2}\)
= 2a²
∴ കുത്ത് കറുപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഭാഗത്താകാനുള്ള സാധ്യത = \(\frac{4 a^2-2 a^2}{4 a^2}=\frac{2 a^2}{4 a^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

5 മുതൽ 10 വരെയുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും 4 എണ്ണത്തിന് ഉത്തരം എഴുതിയാൽ മതി. ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 3സ്കോർ വീതം. (4 × 3 = 12)

Question 5.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം 3n – 2 ആണ്.
(a) സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം കാണുക.
(b) ആദ്യത്തെ 50 പദങ്ങളുടെ തുക കാണുക.
Answer:
(a) ആദ്യപദം = 3 × 1 – 2
= 3 – 2
= 1

(b) ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക
S_n = \(\frac{n}{2}\)[x₁ + x_n]
n = പദങ്ങളുടെ എണ്ണം
x₁ = ആദ്യപദം
x_n = n-ാം പദം
ആയതിനാൽ, S₅₀ = \(\frac{50}{2}\)[1 + x₅₀]
x₅₀ = 3 × 50 – 2
= 150 – 2
= 148
∴ S₅₀ = \(\frac{50}{2}\)[1 + 148]
= 25 × 149
= 3725

Question 6.
പരിവൃത്ത ആരം 3 സെന്റിമീറ്ററും രണ്ടു കോണുകൾ 55° ഉം 62½° ആയ ത്രികോണം വരക്കുക.
Answer:

Question 7.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വലിയ വശം ചെറിയ വശത്തേ ക്കാൾ 12 സെന്റിമീറ്റർ കൂടുതലും പരപ്പളവ് 864 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററും ആണ്.
(a) ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം x എന്നെടുത്ത് ഒരു രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യം രൂപീകരിക്കുക.
(b) ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
(a) ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം = x
വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം = x + 12
പരപ്പളവ് = 864 ചതുരശ്ര സെന്റി മീറ്റർ
അതായത്, x(x + 12) = 864
⇒ x² + 12x = 864
⇒ x² + 12x – 864 = 0

(b) x² + 12x – 864 = 0
നമുക്കറിയാം, ax² + bx + c = 0 ആയാൽ
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
നമ്മുടെ ചോദ്യത്തിൽ,
a = 1, b = 12, c = -864

ആയതിനാൽ, x = \(\frac{-12+60}{2}\) = 24
അല്ലെങ്കിൽ x = \(\frac{-12-60}{2}\) = -36
x ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമാണ്.
അതുകൊണ്ട് അത് ഒരിക്കലും ന്യൂനസംഖ്യ ആകില്ല.
∴ ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം = x = 24
വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം = x + 12 = 24 + 12 = 36

Question 8.
സമീപ വശങ്ങളുടെ നീളം 10 സെന്റിമീറ്ററും 6 സെന്റിമീറ്ററും അവ ചേരുന്ന കോൺ 60° യും ആകുന്ന രീതിയിൽ ഒരു സമാന്തരികം വരച്ചിരി ക്കുന്നു.

(a) താഴത്തെയും മുകളിലെയും വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം കണക്കാക്കുക.
(b) സാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണുക.
Answer:
(a)

താഴത്തെയും മുകളിലത്തെയും വശങ്ങൾ തമ്മി ലുള്ള അകലം = DP
∆ADP ഒരു 30° – 60° – 90° മട്ട ത്രികോണമാണ്.
ആയതിനാൽ AP = x ആയാൽ
AD = 2x ഉം
DP = x√3 ഉം ആണ്.
നമുക്കറിയാം, AD = 2x = 6 cm
x = \(\frac{6}{2}\) = 3 സെ.മീ.
∴ DP = x√3 = 3√3 സെ.മീ.

(b) സാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
= AB × DP
= 10 × 3√3
= 30√3 ചതുരശ്ര സെ.മീ.

Question 9.
ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് മുലകൾ (0, 0), (10, 0) എന്നീ ബിന്ദുക്കളാണ്.

(a) ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം കാണുക.
(b) ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം കാണുക.
(c) മൂന്നാമത്തെ മൂലയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കാണുക.
Answer:
(a) ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം = സൂചകസംഖ്യകൾ (0, 0), (10, 0) ആയ ബിന്ദു ക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം = |0 – 10|
= |-10|
= 10

(b) വശങ്ങളുടെ നീളം ‘a’ ആയ ഒരു സമഭുജ
ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം = \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\)
= \(\frac{10 \sqrt{3}}{2}\)
= 5√3
∴ ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം = 5√3

(c)

വശം OA യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് P. ആയതിനാൽ 0 മുതൽ P വരെയുള്ള ദൂരം 5 ആണ്.
∴ P = (5, 0)
P യും B യും Y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലാണ്.
ആയതിനാൽ അത് ഒരേ x സൂചകസംഖ്യ ആയിരിക്കും.
അതുപോലെ തന്നെ x അക്ഷത്തിൽ നിന്നും 5√3 അകലത്തിലാണ് B.
അതിനാൽ B യുടെ y സൂചകസംഖ്യ 5√3 ആയിരിക്കും.
∴ B = (5, 5√3)

Question 10.
അധാരബിന്ദു കേന്ദ്രമായ ഒരു വൃത്തം (4, 3) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.
(a) വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്ര?
(b) ഈ വൃത്തം y അക്ഷരത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദു ക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.
Answer:
(a) വൃത്ത കേന്ദ്രവും വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവും തമ്മിലുള്ള അകലമാണ് ആരം.
ആയതിനാൽ,

(b) വൃത്തകേന്ദ്രം ആധാരബിന്ദുവാണ് എന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ ഈ വൃത്തം y അക്ഷത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളും ആധാര ബിന്ദുവും തമ്മിലുള്ള അകലം ആരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതായത് 5 ആണ്.
വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് 5 യൂണിറ്റ് മുകളിലും 5 യൂണിറ്റ് താഴെയുമാണ്. വൃത്തം y അക്ഷത്തെ മുറി ക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ.
∴ (0, 5), (0, -5) എന്നിവയാണ് നമ്മളോട് പഞ്ഞിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ.

11 മുതൽ 21 വരെയുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും 8 എണ്ണത്തിന് ഉത്തരം എഴുതിയാൽ മതി. ഓരോ ചോദ്യത്തിനും 4 സ്കോർ വീതം. (8 × 4 = 32)

Question 11.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ 3-ാം പദം 16 ഉം 21-ാം പദം 124 ഉം ആണ്.
(a) ഈ ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്ത്?
(b) ഈ ശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം എന്ത്?
(c) 280 ഈ ശ്രേണിയുടെ എത്രാം പദമാണ്?
Answer:
(a) x₃ = 16
x₂₁ = 124
x₂₁ = x₃ + (21 – 3)d (∴ d = പൊതുവ്യത്യാസം)
124 = 16 + 18d
18d = 124 – 16 = 108
d = \(\frac{108}{18}\) = 6

(b) a₃ = a₁ + (3 – 1)d
16 = a₁ + 2 × 6
∴ a₁ = 16 – 12 = 4
∴ ആദ്യപദം = 4

(c) 280 n-ാം പദമാണ് എന്ന് കരുതുക.
ഈ ‘n’ ന്റെ മൂല്യമാണ് നമുക്ക് കണക്കാക്കേണ്ടത്.
280 = a₁ + (n – 1)d
⇒ 280 = 4 + (n – 1)6
⇒ 280 = 4 + 6n – 6
⇒ 280 = 6n – 2
⇒ 6n = 280 + 2
⇒ 6n = 282
⇒ n = 47
280 ഈ ശ്രേണിയുടെ 47-ാം പദമാണ്.

Question 12.
ഒരു പെട്ടിയിൽ 1 മുതൽ 10 വരെ എഴുതിയ 10 കടലാസ് കഷണങ്ങളും മറ്റൊരു പെട്ടിയിൽ 1 മുതൽ 20 വരെ എഴുതിയ 20 കടലാസ് കഷണ ങ്ങളും ഉണ്ട്. രണ്ടിൽ നിന്നും ഓരോ കടലാസ് കഷ ണങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.
(a) രണ്ട് കടലാസ് കഷണങ്ങൾ എത്ര വ്യത്യസ്ത രീതി കളിൽ എടുക്കാം?
(b) രണ്ടും ഒരേ സംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യതയെന്ത്?
(c) ഒരെണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യയും ഒരെണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയും ആകാനുള്ള സാധ്യതയെന്ത്?
Answer:
(a) ഒന്നാമത്തെ പെട്ടിയിൽ നിന്നും ഒരു കടലാസ് കഷണം 10 വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ എടുക്കാം.
രണ്ടാമത്തെ പെട്ടിയിൽ നിന്നും ഒരു കടലാസ് കഷണം 20 വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ എടുക്കാം.
∴ രണ്ടിൽ നിന്നും ഓരോ കടലാസ് കഷണങ്ങൾ രണ്ട് കടലാസ് 10 × 20 = 200 കഷണങ്ങൾ രീതികളിൽ എടുക്കാം.

(b) (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10).
ഇത്രയും സന്ദർഭങ്ങളിലാണ് രണ്ടും ഒരേ സംഖ്യ ആകുന്നത്. രണ്ടും ഒരേ സംഖ്യ വരുന്നത് 10 സന്ദർഭങ്ങളിൽ ആണ്.
∴ രണ്ടും ഒരേ സംഖ്യ വരാനുള്ള സാധ്യത = \(\frac{10}{200}=\frac{1}{20}\)

(c) ഒരെണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യയും ഒരെണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയു മായി രണ്ട് രീതിയിൽ വരാം.

1. ആദ്യത്തെ പെട്ടിയിൽ നിന്ന് ഇരട്ടസംഖ്യയും
   രണ്ടാമത്തെ പെട്ടിയിൽ നിന്ന് ഒറ്റസംഖ്യയും
2. ആദ്യത്തെ പെട്ടിയിൽ നിന്ന് ഒറ്റസംഖ്യയും
   രണ്ടാമത്തെ പെട്ടിയിൽ നിന്ന് ഇരട്ടസംഖ്യയും

ആദ്യത്തെ പെട്ടിയിൽ 5 ഇരട്ടസംഖ്യകളും രണ്ടാമത്തെ പെട്ടിയിൽ 10 ഒറ്റസംഖ്യകളും ഉണ്ട്.
അതിനാൽ ഇവ 5 × 10 = 50 രീതിയിൽ എടുക്കാം.
ആദ്യത്തെ പെട്ടിയിൽ 5 ഒറ്റസംഖ്യയും രണ്ടാമത്തെ പെട്ടി യിൽ 10 ഇരട്ടസംഖ്യകളും ഉണ്ട്.
അതിനാൽ ഇവ 5 × 10 = 50 രീതിയിൽ എടുക്കാം.
∴ ഒരെണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയും ഒരെണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യയും
ആകാനുള്ള സാധ്യത = \(\frac{50+50}{200}=\frac{100}{200}\) = \(\frac{1}{2}\)

Question 13.
ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയുടെയും അതിനേക്കാൾ 7 കൂടുതലായ സംഖ്യയുടെയും ഗുണനഫലത്തോട് 10 കൂട്ടിയാൽ 304 കിട്ടുന്നു.
(a) ഒരു സംഖ്യ x എന്നെടുത്താൽ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ എത്രയായി എടുക്കണം?
(b) ഒരു രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യം രൂപീകരിച്ച് രണ്ട് സംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
(a) x + 7
(b) x(x + 7) + 10 = 304
⇒ x(x + 7) = 294
⇒ x² + 7x – 294 = 0

x ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യ ആണ്. അതുകൊണ്ട് അത് ഒരി ക്കലും ന്യൂനസംഖ്യ ആകില്ല.
∴ x = 14
x + 7 = 14 + 7 = 21

Question 14.
ഒരു ഏണി മതിലിൽ ചാരി വച്ചിരിക്കുന്നു. ഏണി യുടെ ചുവട് മതിലിൽ നിന്ന് 3 മീറ്റർ അകലത്തിലും ഏണിയും തറയുമായുള്ള കോൺ 60 യും ആണ്.

(a) ഏണിയുടെ നീളം കാണുക.
(b) ഏണിയുടെ ചുവട് പുറകോട്ട് വലിച്ച് തറയുമാ യുള്ള കോൺ 30° ആക്കിയാൽ ഏണിയുടെ മുകളറ്റം തറയിൽ നിന്ന് എത്ര ഉയരത്തിലായി രിക്കും?
Answer:
(a)

ഏണിയുടെ നീളം = BE
∆BCE ഒരു 30° – 60° – 90° മട്ടത്രികോണമാണ്.
BC = x ആയാൽ BE = 2x ഉം CE = x√3 ഉം ആണ്.
ഇവിടെ BC = x = 3 മീറ്റർ ആണ്.
അതിനാൽ, BE = 2x
= 2 × 3
= 6 മീറ്റർ
∴ ഏണിയുടെ നീളം = 6 മീറ്റർ

(b) DC യുടെ നീളം ആണ് കണക്കാക്കേണ്ടത്.
∆ADC ഒരു 30° – 60° – 90° മട്ടതികോണമാണ്.
DC = x ആയാൽ AD = 2x ഉം
AC = x√3 ഉം ആണ്.
ഇവിടെ, AD = 2x = 6 മീറ്റർ ആണ്.
ആയതിനാൽ x = 3 മീറ്റർ എന്ന് പറയാം.
∴ DC = x = 3 മീറ്റർ

Question 15.
(a) (-1, 2), (5, 10) എന്ന് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം കാണുക.
(b) ഈ ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വര (11, 18) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുമെന്ന് തെളി യിക്കുക.
Answer:
(a) (-1, 2), (5, 10) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം

(b) രണ്ട് നിശ്ചിത ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയിലെ മറ്റു ബിന്ദുക്കൾ കണ്ടു പിടിക്കാൻ ‘ചരിവ്’ എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കാം.
(-1, 2), (5, 10) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പി ക്കുന്ന വരയുടെ ചെരിവ് = \(\frac{10-2}{5-(-1)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)
(5, 10), (11, 18) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പി ക്കുന്ന വരയുടെ ചെരിവ് = \(\frac{18-10}{11-5}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)
രണ്ടു സന്ദർഭങ്ങളിലും ചെരിവ് തുല്യമാണ്.
അതു കൊണ്ട്, (-1, 2), (5, 10) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വര (11, 18) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

Question 16.
3 സെന്റിമീറ്റർ ആരത്തിൽ ഒരു വൃത്തം വരക്കുക. വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് 7.5 സെന്റിമീറ്റർ അകലെ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തി ആ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള തൊടുവരകൾ വരക്കുക.
Answer:

Question 17.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്തം വശങ്ങളെ P, Q, R എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ തൊടുന്നു. ത്രികോണ ത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 24 സെന്റിമീറ്ററും AB എന്ന വശ ത്തിന്റെ നീളം 7 സെന്റിമീറ്ററും ആണ്.

(a) AP + BQ + CR = 12 സെന്റിമീറ്റർ എന്നു തെളിയിക്കുക.
(b) QC യുടെ നീളം എത്ര?
Answer:
(a) ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 24 സെ.മീ.
AB + BC + CA = 24
⇒ AP + PB + BQ + QC + CR + RA = 24
⇒ AP + BQ + BQ + CR + CR + AP = 24
[∵ AP = RA, PB = BQ, QC = CR]
⇒ 2AP + 2BQ + 2CR = 24
⇒ 2(AP + BQ + CR) = 24
⇒ AP + BQ + CR = 12 cm

(b) QC യുടെ നീളം = CR ന്റെ നീളം
BQ ന്റെ നീളം = PB യുടെ നീളം
നമുക്കറിയാം AP + BQ + CR = 12
അതായത് AP + PB + QC = 12
⇒ 7 + QC = 12
⇒ QC = 12 – 7 = 5 cm

Question 18.
20 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്താംശം വെട്ടിയെടുത്ത് വളച്ച് 12 സെന്റിമീ റ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തസ്തൂപിക ഉണ്ടാക്കുന്നു.
(a) വൃത്താംശത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ എത്രയായിരി ക്കണം?
(b) വൃത്തസ്തൂപികയുടെ വക്രതല പരപ്പളവ് കണ ക്കാക്കുക.
Answer:
(a) വൃത്തത്തിന്റെ ആരം = വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ചെരിവുയരം
l = 20 സെ.മീ.
വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ആരം = r = 12 സെ.മീ.
വൃത്താംശത്തിന്റെ കേന്ദ്ര കോൺ = x
x ന്റെ മൂല്യമാണ് കണക്കാക്കേണ്ടത്
നമുക്കറിയാം, \(\frac{x}{360^{\circ}}=\frac{r}{l}\)
ആയതിനാൽ, x = \(\frac{r}{l}\) × 360°
= \(\frac{12}{20}\) × 360°
= 216°

(b) വൃത്തസ്തൂപികയുടെ വക്രതല പരപ്പളവ് = πrl
= π × 12 × 20
= 240π വ.സെ.മീ.

Question 19.
(2, 3), (5, 9) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു വര വരച്ചിരിക്കുന്നു.
(a) ഈ വരയുടെ ചരിവ് എത്രയാണ്.
(b) ഈ വരയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക.
(c) (1, 5) ഈ വരയിലെ ഒരു ബിന്ദു ആണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.
Answer:
(a) (2, 3), (5, 9) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിക്കുന്ന
വരയുടെ ചരിവ് = \(\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}\) = 2

(b) ഈ വരയുടെ സമവാക്യം താഴെ പറയുന്ന വിധ മാണ്,
y – 3 = 2(x – 2)
⇒ y – 3 = 2x – 4
⇒ 2x – y – 4 + 3 = 0
⇒ 2x – y – 1 = 0

(c) (1, 5) ഈ വരയിലെ ബിന്ദു ആകണമെങ്കിൽ അത് ഈ വരയുടെ സമവാക്വം അനുസരിക്കണം.
2 × 1 – 5 – 1 = 2 – 5 – 1 = -3 – 1 = -4
(1, 5) എന്ന ബിന്ദു 2x – y – 1 = 0 എന്ന സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്നില്ല.
ആയതിനാൽ (1, 5) ഈ വരയിലെ ബിന്ദു അല്ല.

Question 20.
P(x) = 2x² – 7x + 9 എന്ന ബഹുപദം പരിഗ ണിക്കുക.
(a) P(2) ന്റെ വിലയെന്ത്?
(b) P(x) – P(2) = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരി ഹാരങ്ങൾ കാണുക.
Answer:
(a) P(2) = 2 × 2² – 7 × 2 + 9
= 8 – 14 + 9
= -6 + 9
= 3

(b) P(x) – P(2) = 0
അതായത്, 2x² – 7x + 9 – 3 = 0
2x² – 7x + 6 = 0

ആയതിനാൽ,
x = \(\frac{7+1}{4}\) അല്ലെങ്കിൽ x = \(\frac{7-1}{4}\)
x = \(\frac{8}{4}\) അല്ലെങ്കിൽ x = \(\frac{6}{2}\)
x = 2 അല്ലെങ്കിൽ x = \(\frac{3}{2}\)
∴ x = 2, x = \(\frac{3}{2}\) എന്നിവയാണ്
P(x) – P(2) = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാ രങ്ങൾ.

Question 21.
10 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള, ലോഹം കൊണ്ടുള്ള ഒരു അർധഗോളം ഉരുക്കി 1 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള കട്ടി യായ ചെറിയ ഗോളങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഇത്തരം എത്ര ഗോളങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം?
Answer:
ചെറിയ ഗോളങ്ങളുടെ എണ്ണം

22 മുതൽ 29 വരെയുള്ള ചോദ്യങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും എണ്ണത്തിന് ഉത്തരം എഴുതിയാൽ മതി. ഓരോ ചോദ്യ ത്തിനും 5 സ്കോർ വീതം. (6 × 5 = 30)

Question 22.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം 5 ഉം പൊതു വ്യത്യാസം 4 ഉം ആണ്.
(a) ഈ ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം എന്ത്?
(b) ഈ ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തക യുടെ ബീജഗണിത രൂപം എഴുതുക.
(c) ഈ ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക കാണുക.
Answer:
(a) x_n = x_n + (n – 1)d
x_n = 5 + (n – 1)4
= 5 + 4n – 4
= 4n + 1

(b) S_n = \(\frac{n}{2}\)[x₁ + x_n]

(c) S₂₀ = \(\frac{20}{2}\)[5 + x₂₀]
x₂₀ = 4 × 20 + 1
= 80 + 1
= 81
∴ S₂₀ = \(\frac{20}{2}\)[5 + 81]
= 10 × 86
= 860

Question 23.
ഒരു വൃത്തം ആധാരബിന്ദു (-3, 0), (0, 4) എന്നി ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നു പോകുന്നു.

(a) വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെ നീളമെത്ര?
(b) വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ ഏതെല്ലാം?
(c) വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.
Answer:
(a) വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചക സംഖ്യകൾ (x, y) എന്നെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ
ആരം = (x, y) ഉം (0, 0) തമ്മിലുള്ള അകലം
= \(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}\)
= \(\sqrt{x^2+y^2}\)
ആരം = (x, y) ഉം (0, 4) ഉം തമ്മിലുള്ള അകലം
= \(\sqrt{(x-0)^2+(y-4)^2}\)
= \(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
ആരം = (x, y) ഉം (-3, 0) ഉം തമ്മിലുള്ള അകലം
= \(\sqrt{(x+3)^2+(y-0)^2}\)
= \(\sqrt{(x+3)^2+y^2}\)
ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പറയുവാൻ സാധിക്കും. = \(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
അതായത്,
x² + y² = x² + (y – 4)²
⇒ y² = (y – 4)²
⇒ y² = y² – 8y + 16
⇒ 8y = 16
⇒ y = 2
നമുക്കറിയാം,
\(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+3)^2+y^2}\)
അതായത്,
x² + y² = (x + 3)² + y²
x² = (x + 3)²
x² = x² + 6x + 9
6x = -9
x = \(\frac{-9}{6}=\frac{-3}{2}\)

∴ വ്യാസം = 2 × \(\frac{5}{2}\) = 5

(b) വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചക സംഖ്യകൾ
(x, y) = (\(\frac{-3}{2}\), 2)

(c) വൃത്ത കേന്ദ്രം = (\(\frac{-3}{2}\), 2)
ആരം = \(\frac{5}{2}\)
∴ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം താഴെപ്പറയും വിധമാണ്.
\(\left(x-\left(\frac{-3}{2}\right)\right)^2+(y-2)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2\)
\(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+(y-2)^2=\frac{25}{4}\)

Question 24.
രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളം 4 സെന്റിമീറ്റർ, 5 സെന്റിമീ റ്റർ. അവ ചേരുന്ന കോൺ 70° ആകുന്ന രീതിയിൽ ത്രികോണം വരക്കുക. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്തം വരച്ച് ആർ അളന്നെഴുതുക.
Answer:

അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം = 1.3 സെ.മീ

Question 25.
ഒരു കളിപ്പാട്ടം, വൃത്തസ്തൂപികയും അർധഗോ ളവും കൂട്ടിച്ചേർത്ത ആകൃതിയിലാണ്. പൊതുവായ ആരം 3 സെന്റിമീറ്ററും ആകെ ഉയരം 17 സെന്റിമീ റ്ററും ആണ്.

(a) വൃത്ത സ്തൂപികയുടെ ഉയരം എത്ര?
(b) കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കാണുക.
Answer:
(a) ആകെ ഉയരം – അർധ ഗോളത്തിന്റെ ആരം + വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ഉയരം
17 = 3 + വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ഉയരം
∴ വൃത്തസ്തൂപികയുടെ ഉയരം = 17 – 3 = 14 സെ.മീ.

(b) കളിപ്പാട്ടത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = വൃത്തസ്തൂപികയു ടെ വ്യാപ്തം + അർധഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം
= \(\frac{1}{3}\) × π × 3² × 14 + \(\frac{2}{3}\) × π × 3³
= 42π + 18π
= 60π ഘന സെന്റിമീറ്റർ

Question 26.
ഒരു കമ്പിനിയിലെ തൊഴിലാളികളെ ദിവസവേതന ത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ തരം തിരിച്ച് പട്ടിക യാണ് ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ദിവസക്കൂലി (രൂപ)	തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണം
800 – 900	5
900 – 1000	7
1000 – 1100	6
1100 – 1200	10
1200 – 1300	15
1300 – 1400	2

(a) ദിവസക്കൂലിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ക്രമപ്പെ ടുത്തിയാൽ 19-ാം തൊഴിലാളിയുടെ കൂലി എത്രയാണെന്ന് സങ്കല്പിക്കണം?
(b) മധ്യമ ദിവസക്കൂലി കണക്കാക്കുക.
Answer:
ആദ്യം കൂട്ടാവൃത്തികൾ എഴുതാം.

ദിവസക്കൂലി (രൂപ)	തൊഴിലാളിക ളുടെ എണ്ണം
900 ത്തേക്കാൾ കുറവ്	5
1000 ത്തേക്കാൾ കുറവ്	12
1100 നേക്കാൾ കുറവ്	18
1200 നേക്കാൾ കുറവ്	28
1300 നേക്കാൾ കുറവ്	43
1400 നേക്കാൾ കുറവ്	45

(a) 19-ാം തൊഴിലാളിയുടെ കൂലി 1100 നേക്കാൾ കൂടുതലും 1200 നേക്കാൾ കുറവും ആണ്.
ഇത്തരത്തിൽ 10 തൊഴിലാളികളാണ് ഉള്ളത്. അതുകൊണ്ട് 1100 മുതൽ 1200 വരെയുളള 100 രൂപയെ 10 സമഭാഗങ്ങളാക്കി, ഓരോ ഉപവിഭാഗ ത്തിലും ഒരാൾ വീതമുണ്ടെന്നും, അത്തരമൊരാ ളുടെ പ്രായം ഉപവിഭാഗത്തിന്റെ നടുക്കുള്ള സംഖ്യയാണെന്നും സങ്കല്പിക്കാം.
അപ്പോൾ ഓരോ ഉപവിഭാഗത്തിന്റെയും നീളം \(\frac{100}{10}\) = 10 രൂപ.
ഇതിനു സരിച്ച് 19-ാം സ്ഥാനത്തുള്ള ആളുടെ കൂലി, 1100 ന്റെയും 1110 ന്റെയും നടുക്ക്; അതായത് 1105 രൂപ.

(b) \(\frac{45+1}{2}=\frac{46}{2}\) = 23-ാമത്തെ ആളുടെ കൂലി യാണ് മധ്യമ ദിവസക്കൂലി.
23-ാമത്തെ ആളുടെ കൂലിയും 1100 നേക്കാൾ കൂടുതലും 1200 നേക്കാൾ കുറവും ആണ്.
19-ാം സ്ഥാനത്തുള്ള ആളുടെ കൂലി 1105 ആണെന്ന് നമുക്ക് അറിയാം. തുടർന്ന് 28-ാം സ്ഥാനം വരെയുള്ള ഓരോരുത്തരുടെയും കൂലി 100 രൂപ വീതം കൂടുമെന്നാണ് സങ്കല്പം.
അപ്പോൾ 23-ാം സ്ഥാനത്തുള്ളയാളുടെ കൂലി = 1105 + (23 – 19) × 10
= 1105 + 4 × 10
= 1105 + 40
= 1145
∴ മധ്യമ ദിവസക്കൂലി = 1145

Question 27.
1.5 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു കുട്ടി 8.5 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് നോക്കുമ്പോൾ ഒരു ഗോപുരത്തിന്റെ മുകളറ്റം 40° മേൽകോണിലും ഗോപുരത്തിന്റെ ചുവട് 50° കീഴ്ക്കോണിലും കണ്ടു.
(a) തന്നിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഏകദേശചിത്രം വരക്കുക.
(b) ഗോപുരത്തിൽ നിന്ന് കെട്ടിടം എത്ര അകലെ യാണ്?
(c) ഗോപരുത്തിന്റെ ഉയരം എത്രയാണ്?
(tan 40° = 0.84, tan 50° = 1.2)
Answer:
(a)

(b) AF = CE ആണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
ΔACF പരിഗണിക്കുക.
tan 50° = \(\frac{A C}{A F}=\frac{10}{A F}\)
∴ AF = \(\frac{10}{\tan 50^{\circ}}=\frac{10}{1.2}\) = 8.33 മീറ്റർ

(c) DF ആണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
DF = DE + EF = DE + 10
ΔCED പരിഗണിക്കുക.
tan 40° = \(\frac{D E}{C E}=\frac{D E}{8.33}\)
∴ DE = 8.33 × tan 40°
= 8.33 × 0.84
= 6.99 മീറ്റർ
ആയതിനാൽ ഗോപുരത്തിന്റെ ഉയരം = DF
= DE + 10
= 6.99 + 10
= 16.99 മീറ്റർ

Question 28.
രണ്ട് വൃത്തങ്ങൾ C എന്ന ബിന്ദുവിൽ തൊടുന്നു. AB, CD ഇവ വൃത്തങ്ങളുടെ പൊതുവായ തൊടു വരകളാണ്.

(a) D എന്ന ബിന്ദു AB യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണെന്ന്
(b) ∠ACB യുടെ അളവെത്ര?
Answer:
(a) AB, CD ഇവ വൃത്തങ്ങളുടെ പൊതുവായ തൊടു വരകളാണ് എന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്.
ആയതിനാൽ AD = CD and CD = BD
അതുകൊണ്ട് AD = BD
അതിനാൽ D എന്ന ബിന്ദു AB യുടെ മധ്യബിന്ദു വാണ്.

(b) ∠ADC = x എന്ന് സങ്കല്പിക്കുക.
അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ ∠BDC = 180 – x
ΔADC പരിഗണിക്കുക. ഇതൊരു സമപാർശ്വ ത്രികോണമാണ്.
ആയതിനാൽ
∠DAC = ∠DCA
∠DAC + ∠DCA + x = 180°
2 × ∠DAC = 180 – x
∠DAC = \(\frac{180-x}{2}\) = ∠DCA
ΔBDC പരിഗണിക്കുക. ഇതൊരു സമപാർശ്വ ത്രികോണമാണ്.
ആയതിനാൽ
∠DBC = ∠DCB
∠DBC + ∠DCB + 180 – x = 180
2 × ∠DCB = 180 – 180 + x
∠DCB = \(\frac{x}{2}\)
∴ ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB
= \(\frac{180-x}{2}+\frac{x}{2}\)
= \(\frac{180-x+x}{2}\)
= 90°

Question 29.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സംഖ്യാക്രമം നോക്കുക.
1 + 2 + 1 = 4
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25
___________________________
___________________________
(a) ഈ സംഖ്യാക്രമത്തിലെ 5-ാം വരി എഴുതുക.
(b) 1 + 2 + 3 +…..+ 13 + 14 + 15 + 14 + 13 +……+ 2 + 1
എന്ന വരിയുടെ തുക എത്ര?
(c) തുക 400 കിട്ടുന്ന വരിയിൽ നടക്കു വരുന്ന സംഖ്യ ഏത്?
(d) 1 + 2 + 3 +……+ (n – 2) + (3n – 1) + (3n – 2) +…..+ 2 + 1 = 2500
ആയാൽ n ന്റെ വില കാണുക.
Answer:
(a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36

(b) ഒരു വരിയുടെ തുക ആ വരിയിൽ ഒരേ ഒരു തവണ വരുന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമാണ്.
അതിനാൽ തന്നിരിക്കുന്ന വരിയുടെ തുക = 152 = 225
(c) നടുക്കു വരുന്ന സംഖ്യ തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂല മാണ്.
അതിനാൽ, തുക 400 കിട്ടുന്ന വരിയിൽ നടുക്കു വരുന്ന സംഖ്യ = √400 = 20
(d) (3n – 1)² = 2500
⇒ 3n – 1 = 50
⇒ 3n = 50 + 1
⇒ n = 17