Class 7 Maths Chapter 11 Solutions Malayalam Medium സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 11 സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 11 Solutions Malayalam Medium സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും

Class 7 Maths Chapter 11 Malayalam Medium Kerala Syllabus സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന പരപ്പളവുകളുള്ള സമചതുരങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കി നോക്കു. ഉത്തരങ്ങൾ, സംഖ്യകളുടെ വർഗമൂലമായി എഴുതുക:
(i) 49 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(ii) 169 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(iii) 400 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ
(iv) 225 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(v) 1.69 ചതുരശ്രമീറ്റർ
(vi) 6 \(\frac{1}{4}\) ചതുരശ്രമീറ്റർ
Answer:
(i) 49 = 7 × 7 = 7²
\(\sqrt{49}\) = 7
വശങ്ങളുടെ നീളം = 7 സെമീ

(ii) 169 = 13 × 13 = 13²
\(\sqrt{169}\) = 13
വശങ്ങളുടെ നീളം = 13 സെമീ

(iii) 400 = 20 × 20 = 20²
\(\sqrt{400}\) = 20
വശങ്ങളുടെ നീളം = 20 സെമീ

(iv) 225 = 15 × 15 = 15²
\(\sqrt{225}\) = 15
വശങ്ങളുടെ നീളം = 15 സെമീ

(v) 1.69 = 1.3 × 1.3 = (1.3)²
\(\sqrt{169}\) = 1.3
വശങ്ങളുടെ നീളം = 1.3 സെമീ

(vi) 6 \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{25}{4}\)
\(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\) = 2.5
വശങ്ങളുടെ നീളം = 2.5 സെമീ

Question 2.
ഇതുപോലെ ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പരപ്പളവുകൾ ഉള്ള സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കാമല്ലോ.
(i) 32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(ii) 50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(iii) 12.5 ചതുരശ്രമീറ്റർ
(iv) 24 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) പരപ്പളവ് 32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം. അത് 4 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 4 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 4 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

(ii) പരപ്പളവ് 50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം . അത് 5 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 5 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുരത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

(iii) പരപ്പളവ് 12.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 6.25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം . അത് 2.5 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 2.5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

12.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 2.5 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതു രത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

(iv) പരപ്പളവ് 24.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 12.25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം . അത് 3.5 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 3.5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

24.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 3.5 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

Question 3.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പരപ്പളവുള്ള സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
(i) 17 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(ii) 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(iii) 19 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) 17 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
ആദ്യം 17 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
17 = 16 + 1 = 4² + 1²
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 4 സെന്റിമീറ്ററും, 1 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 17 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

(ii) 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
ആദ്യം 18 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
18 = 9 + 9 = 3² + 3²

സെന്റിമീറ്റർ വീതമുള്ള മട്ടത്രികോണം പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 3 വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

(iii) 19 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
ആദ്യം 19 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
19 = 100 – 81 = 10² – 9²
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 10 സെന്റിമീറ്ററും, 9 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 19 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ

പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ, 1 സെന്റിമീറ്റർ ഇടവിട്ടു വിലങ്ങനെയും കുത്തനെയും ഇട്ട കുത്തുകൾ ചിലത് യോജിപ്പിച്ച് സമചതുരങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോന്നിന്റെയും പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചതുരം – 1
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 3 സെന്റിമീറ്റർ, 2 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം-1 ന്റെ പരപ്പളവ് = 3² + 2² = 9 + 4 = 13 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

ചതുരം – 2
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 1 സെന്റിമീറ്റർ വീതമാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം-2 ന്റെ പരപ്പളവ് = 1² + 1² = 1 + 1 = 2 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

ചതുരം – 3
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 1 സെന്റിമീറ്റർ, 2 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം-3 ന്റെ പരപ്പളവ് = 1² + 2² = 1 + 4 = 5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

ചതുരം – 4
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 4 സെന്റിമീറ്റർ, 2 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം – 4 ന്റെ പരപ്പളവ് = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

Question 5.
ചുവടെയുള്ള ഓരോ കണക്കിലും, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക:
(i) ലംബവശങ്ങൾ 6 സെന്റിമീറ്റർ, 8 സെന്റിമീറ്റർ
(ii) ലംബവശങ്ങൾ 9 സെന്റിമീറ്റർ, 12 സെന്റിമീറ്റർ
(iii) ലംബവശങ്ങൾ 7 സെന്റിമീറ്റർ, 24 സെന്റിമീറ്റർ
(iv) ലംബവശങ്ങൾ 14 സെന്റിമീറ്റർ, 48 സെന്റിമീറ്റർ
(v) കർണ്ണം 17 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 15 സെന്റിമീറ്റർ
(vi) കർണ്ണം 34 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 30 സെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) ലംബവശങ്ങൾ 6 സെന്റിമീറ്റർ, 8 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{6^2+8^2}\)
= \(\sqrt{36+64}\)
= \(\sqrt{100}\)
= 10 സെന്റിമീറ്റർ

(ii) ലംബവശങ്ങൾ 9 സെന്റിമീറ്റർ, 12 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{9^2+12^2}\)
= \(\sqrt{81+144}\)
= \(\sqrt{225}\)
= 15 സെന്റിമീറ്റർ

(iii) ലംബവശങ്ങൾ 7 സെന്റിമീറ്റർ, 24 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{7^2+24^2}\)
= \(\sqrt{49+576}\)
= \(\sqrt{625}\)
= 25 സെന്റിമീറ്റർ

(iv) ലംബവശങ്ങൾ 14 സെന്റിമീറ്റർ, 48 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{14^2+48^2}\)
= \(\sqrt{196+2304}\)
= \(\sqrt{2500}\)
= 50 സെന്റിമീറ്റർ

(v) കർണ്ണം 17 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{17^2-15^2}\)
= \(\sqrt{289-225}\)
= \(\sqrt{64}\)
= 8 സെന്റിമീറ്റർ

(vi) കർണ്ണം 34 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 30 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{34^2-30^2}\)
= \(\sqrt{1156-900}\)
= \(\sqrt{256}\)
= 16 സെന്റിമീറ്റർ

Question 6.
2 മീറ്ററും 5 മീറ്ററും ഉയരമുള്ള രണ്ടു തൂണുകൾ 4 മീറ്റർ അകലത്തിൽ നിൽക്കുന്നു.

തൂണുകളുടെ മുകളറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം എത്രയാണ് ?
Answer:
2 മീറ്ററും 5 മീറ്ററും ഉയരമുള്ള രണ്ട് തൂണുകൾ 4 മീറ്റർ അകലത്തിൽ നിൽക്കുന്നു.
അവയുടെ മുകളറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം കണ്ടെത്തണം.
4 മീറ്റർ വരയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു വരവരച്ചാൽ വശങ്ങൾ 4 മീറ്റർ, 3 മീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയായ ഒരു മട്ടത്രികോണം കിട്ടും.

അതിനാൽ, മൂന്നാമത്തെ വശം മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണമായിരിക്കും.
കർണ്ണം² = പാദം² + ലംബം²
കർണ്ണം² = 4² + 3²
= 16 + 9
= 25
കർണ്ണം = \(\sqrt{25}\) = 5 മീറ്റർ
തൂണുകളുടെ മുകളറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം 5 മീറ്റർ

Question 7.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിലെ ത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക:

Answer:
ചിത്രത്തിൽ 2 മട്ടത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ട് .
സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും 11
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെയും കർണവും ലംബവും തന്നിരിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, പാദം² = കർണ്ണം² – ലംബം²
= 13² – 12²
= 169 – 144
= 25 സെന്റിമീറ്റർ
പാദം = \(\sqrt{25}\) = 5 സെന്റിമീറ്റർ
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെയും പാദം = 5 സെന്റിമീറ്റർ
ത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = 5 + 5 = 10 സെന്റിമീറ്റർ

Question 8.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങൾ O വൃത്തകേന്ദ്രവും, A, B, P, Q വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളും ആണ്.

AB, PQ എന്നീ വരകളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രത്തിൽ OB യും C യും യോജിപ്പിക്കുക.
അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ വൃത്തത്തിൽ 2 മട്ടത്രികോണങ്ങൾ ലഭിക്കും.

OB = 5 സെന്റിമീറ്റർ (ആരം)
C, AB യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്, OC യോജിപ്പിക്കുക.
OC = 4 സെന്റിമീറ്റർ.
AO = 5 സെന്റിമീറ്റർ
AC² = OC² – OA²
= 5² – 4²
= 25 – 16
= 9
AC = √9 = 3 സെന്റിമീറ്റർ
CB = 3 സെന്റിമീറ്റർ
അതിനാൽ,
AB = AC + CB
= 3 + 3
= 6 സെന്റിമീറ്റർ

രണ്ടാമത്തെ വൃത്തത്തിൽ, R, PQ യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്. OR യോജിപ്പിക്കുക.
ഇവിടെ,
PO = 5 സെന്റിമീറ്റർ
OR = 3 സെന്റിമീറ്റർ
0 = 5 സെന്റിമീറ്റർ
PR² = OR² – OP²
= 5² – 3²
= 25 – 9
= 16

PR = \(\sqrt{16}\) = 4 സെന്റിമീറ്റർ
RQ = 4 സെന്റിമീറ്റർ
PQ = 4 + 4 = 8 സെന്റിമീറ്റർ
AB = 6 സെന്റിമീറ്റർ, PQ = 8 സെന്റിമീറ്റർ

Intext Questions And Answers

Question 1.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം,വശങ്ങളുടെ നീളം 4 മീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
Answer:
വശങ്ങളുടെ നീളം = 4 മീറ്റർ
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 4 × 4 = 16 ചതുരശ്രമീറ്റർ

Question 2.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം ,25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ, വശങ്ങളുടെ നീളം എത്രയായി എടുക്കണം?
Answer:
5 × 5 = 25 ആയതിനാൽ, വശത്തിന്റെ നീളം 5 സെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഇവിടെ, ഏതു സംഖ്യയുടെ വർഗമാണ് 25 എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരമായിട്ടാണ് 5 കിട്ടിയത്. ഇതു മറ്റൊരുതരത്തിൽ പറയാം:
25 ന്റെ വർഗമൂലം (square root) ആണ് 5.

Question 3.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 196 ചതുരശ്രമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണ് ?
Answer:
196 = 2 × 2 × 7 × 7 = 2² × 7² = (2 × 7)² = 142
ഇതു തിരിച്ചെഴുതിയാൽ, \(\sqrt{196}\) = 14
അതായത് സമചതുരത്തിന്റെ വശം 14 മീറ്റർ.

Question 4.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം ഉപയോഗിച്ചു ഇതിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം ഉണ്ടാക്കുക ?

Answer:
തന്നിരിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം അളന്നാൽ, അതിന്റെ വർഗമായി പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാം. പരപ്പളവിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് കണക്കാക്കി, അതിന്റെ വർഗമൂലമെടുത്താൽ പുതിയ വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം കിട്ടും.
കണക്കുകൂട്ടാതെയും ഇത്തരം കണക്കുകൾ ചെയാം, ആദ്യം ഇതേ വലുപ്പത്തിലുള്ള മറ്റൊരു സമചതുരം എടുക്കുക . ഈ രണ്ടു സമചതുരങ്ങളെയും വികർണ്ണത്തിലുടെ മുറിക്കുക.

ഈ നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങളെ യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ വലിയ സമചതുരം കിട്ടുന്നു .

Squares and Right Triangles Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 196 ച.സെമീ. അങ്ങനെയെങ്കിൽ വശങ്ങളുടെ നീളം എത്രയാണ് ?
Answer:
സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 196 ച.സെമീ
196 = 14 × 14
വശങ്ങളുടെ നീളം = 14 സെമീ.

Question 2.
98 ച.സെമീ ചുറ്റളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക?
Answer:
പരപ്പളവ് 32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം. അത് 4 സെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഒരു വശം 4 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 4 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

Question 3.
52 ച.സെമീ ചുറ്റളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
52 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ ആദ്യം 52 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
52 = 36 + 16 = 6² + 4²
അതായത്, വശങ്ങളെല്ലാം 6 സെന്റിമീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും, വശങ്ങളെല്ലാം 4 സെന്റിമീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും, കുട്ടിയാൽ 52 കിട്ടും. അപ്പോൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 6 സെന്റിമീറ്ററും, 4 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 52 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

Question 4.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക: കർണ്ണം 10 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 8 സെന്റിമീറ്റർ.
Answer:
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം
= \(\sqrt{10^2-8^2}\)
= \(\sqrt{100-64}\)
= \(\sqrt{36}\)
= 6 സെമീ

Squares and Right Triangles Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ചതുരത്തേയും, മട്ടത്രികോണത്തെയുമാണ് പരിചയപ്പെടുന്നത്. ഒരു ചതുര ത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്നും മറ്റൊന്നിന്റെ ഇരട്ടി വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ചതുരം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്നും ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ പഠിക്കും. അടുത്തതായി ഈ അധ്യായത്തിൽ മട്ടത്രികോണത്തെയാണ് പരിചയപ്പെടുന്നത്, പൈതഗോറസ് തിയറം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മട്ടത്രികോണ ത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാമെന്നാണ് നമ്മൾ ഇവിടെ ചർച്ച ചെയുന്നത്. ഗണിതത്തിലും യഥാർത്ഥ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിലും ഈ അറിവ് നമുക്ക് ഉപകാരപ്രദമാണ്.

സമചതുരപ്പരപ്പ് എന്ന പാഠഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗവും, വർഗമൂലവും എങ്ങനെയാണ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതെന്നുമാണ് ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്.
രണ്ടാമത്തെ ഭാഗത്തിൽ, സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ഇരട്ടിയായാൽ അതിന്റെ സമചതുരം എങ്ങനെ വരക്കാം എന്നാണ് പറയുന്നത്.

അടുത്ത ഭാഗത്തിൽ, മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും, അതുപോലെ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാ ന്തവും ഉപയോഗിച്ചു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാമെമെന്നും പരിചയപ്പെടും.
നാലാമത്തെ ഭാഗത്തിൽ, പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെയാണ് മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശ ങ്ങളോട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് എന്നാണ് പറയുന്നത്.

ഈ അധ്യായത്തിലൂടെ ചതുരത്തേയും, മട്ടത്രികോണത്തെയും കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന ധാരണ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

സമചതുരപ്പരപ്പ് വർഗം (square)
വിഷയങ്ങൾ
ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാംകൃതിയെ, ആ സംഖ്യയുടെ വർഗം (square) എന്നാണ് പറയുന്നത്.
ഉദാഹരണമായി, 3 × 3 = 3² = 3 ന്റെ വർഗം
1.2 × 1.2 = 1.2² = 1.2 ന്റെ വർഗം
1\(\frac{1}{2}\) × 1\(\frac{1}{2}\) = (1\(\frac{1}{2}\))² 1 ന്റെ വർഗം

അപ്പോൾ ഏതു സമചതുരത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, അതിന്റെ വശത്തിന്റെ വർഗമാണെന്നു പറയാം.

വർഗമൂലം (square root)
5 ന്റെ വർഗം 25 എന്നതിനെ ചുരുക്കിയെഴുതുന്നത് 5² = 25 എന്നാണ്.
അതുപോലെ, 25 ന്റെ വർഗമൂലം 5 എന്നാണ്. ഇതിനെ ചുരുക്കിയെഴുതുന്നത് ‘√’ എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചാണ് . അതായിത്, √25 = 5.

ഇരട്ടിപ്പരപ്പ്
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ, ഇതിന്റെ വികർണ്ണം വശമാക്കി ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ മതി.

രണ്ടു സമചതുരവും വെവ്വേറെ കാണണമെങ്കിൽ, ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കാം.

ചതുരവും സമചതുരവും
വശങ്ങളുടെ നീളം തുല്യമല്ലാത്ത ചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണത്തിൽ എങ്ങനെ സമചതുരം വരയ്ക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

ഈ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്, ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുമായാണ് ബന്ധം:

അത് മനസ്സിലാക്കാൻ ഒരു ചതുരവും, അതിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളിലും വികർണ്ണത്തിലും സമചതുര ങ്ങളും മുകളിലെ ചിത്രത്തിലെപോലെ കട്ടിക്കടലാസിൽ വരയ്ക്കുക.
താഴത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ വരച്ച്, അവ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന സ്ഥാനം അടയാളപ്പെടു ത്തുക.

ഈ വികർണ്ണങ്ങൾ മായ്ച്ചുകളഞ്ഞു, ആദ്യം അടയാളപ്പെത്തിയ കുത്തിലൂടെ, വലിയ സമചതുര ത്തിന്റെ വശങ്ങൾക്കു സമാന്തരമായ വരകൾ വരയ്ക്കുക:

ഇനി ഈ മൂന്നു സമചതുരങ്ങളും വെട്ടിയെടുക്കുക; ചാരനിറമുള്ള സമചതുരത്തെ, അതിനുള്ളിൽ വരച്ച വരകളിലൂടെ നാലായി മുറിക്കുക:

ചാരച്ചതുരത്തിന്റെ ഈ കഷണങ്ങളും, വെളുത്ത ചതുരം മുഴുവനായും, കറുത്ത ചതുരത്തിനുള്ളിൽ ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വച്ചുനോക്കൂ:

വശങ്ങളിലെ സമചതുരങ്ങൾകൊണ്ട് വികർണ്ണത്തിലെ സമചതുരം കൃത്യമായി നിറയ്ക്കാം.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഏതു ചതുരത്തിന്റെയും വികർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അടുത്തടുത്ത രണ്ടു വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

കർണ്ണം (hypotenuse)
ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശത്തിനെ അതിന്റെ കർണ്ണം എന്നാണ് പറയുന്നത്.

മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ലംബ വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്, കളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം എന്നാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.
ഉദാഹരണത്തിന്,ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 7 സെ.മീ യും 4 മായും, മത്തിന്റെ വശങ്ങളിലുള്ള സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകൾ
7² = 49 ച.സെമീ
4² = 16 ച.സെമീ
വികർണത്തിലുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 49 + 1 6 = 65 ച.മീ

നിശ്ചിത പരപ്പളവുള്ള ചില സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കാൻ ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് 25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക. ആദ്യം 25 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
25 = 16 + 9 = 4² + 3²
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 4 സെന്റിമീറ്ററും, 3 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

ഇനി 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കണമെങ്കിലോ?
16 നെ രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയായി എഴുതാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ
ഇപ്പോൾ ചെയ്തപോലെ ഇങ്ങനെയൊരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിൽനിന്ന് മറ്റേതെങ്കിലും വശത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കുറച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ വശത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കിട്ടും.

അപ്പോൾ 16 നെ രണ്ടു വർഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതിയാലും മതി.
16 = 25 – 9 = 5² – 3²

അതിനാൽ, കർണ്ണം 5 സെന്റിമീറ്ററും, മറ്റൊരു വശം 3 സെന്റിമീറ്ററുമായ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നാ മത്തെ വശത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ ആയിരിക്കും.

ഇങ്ങനൊരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ, 3 സെന്റിമീറ്റർ നീളത്തിൽ ഒരു വരയും, അതിന്റെ ഒരറ്റത്ത് ഒരു ലംബവും വരയ്ക്കുക; ഇനി മറ്റേ അറ്റം കേന്ദ്രമായി, 5 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള വട്ടത്തിന്റെ ഭാഗം വരച്ച്, ഈ ലംബത്തെ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന സ്ഥാനം അടയാളപ്പെടുത്തുക.

നീളകണക്കുകൾ
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ വർഗമാണ് . അപ്പോൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം, മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമായും പറയാം:
ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം, ലംബവശങ്ങളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

ഉദാഹരണമായി, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങളുടെ നീളം 3 സെന്റിമീറ്ററും, 4 സെന്റിമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം

3² + 4² = 25
അപ്പോൾ കർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 5 സെന്റിമീറ്റർ

• ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാംകൃതിയെ, ആ സംഖ്യയുടെ വർഗം (square) എന്നാണ് പറയുന്നത്.
• ഏതു ചതുരത്തിന്റെയും വികർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അടുത്തടുത്ത രണ്ടു വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
• ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ലംബ വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
• ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം, ലംബവശങ്ങളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയാണ്.