Class 7

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 8 ആവർത്തനഗുണനം can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 8 Solutions Malayalam Medium ആവർത്തനഗുണനം

Class 7 Maths Chapter 8 Malayalam Medium Kerala Syllabus ആവർത്തനഗുണനം

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളെ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയായോ, വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണ നഫലമായോ എഴുതി നോക്കൂ:
i) 125
ii) 72
iii) 100
iv) 250
v) 3600
vi) 10800
Answer:
i) 125
125 = 5 × 5 × 5 = 5³

ii) 72
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2³ × 3²

iii) 100
100 = 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 5²

iv) 250
250 = 2 × 5 × 5 × 5
= 2 × 5³

v) 3600
3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

(vi) 10800
10800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3³ × 5²

Question 2.
ചുവടെപ്പറയുന്ന കൃതികൾ ഭിന്നസംഖ്യകളായി കണക്കാക്കുക:
(i) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
Answer:
\(\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}\)

(ii) \(\left(1 \frac{1}{2}\right)^2\)
Answer:
\(\left(1 \frac{1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{9}{4}\right\)

(iii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^3\)
Answer:
\(\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)\)
= \(\frac{8}{125}\)

(iv) \(\left(2 \frac{1}{2}\right)^3\)
Answer:
\(\left(2 \frac{1}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}\)

Question 3.
ചുവടെപ്പറയുന്ന കൃതികൾ ദശാംശരൂപത്തിൽ കണക്കാക്കുക:
(i) (0.5)²
(ii) (1.5)²
(iii) (0.1)³
(iv) (0.01)³
Answer:
i) (0.5)²
= 0.5 × 0.5
= 0.25

ii) (1.5)²
= (1.5)(1.5)
= 2.25

iii) (0.1)³
= (0.1)(0.1)(0.1)
= 0.001

iv) (0.01)³
= (0.01)(0.01)(0.01)
= 0.000001

Question 4.
15³ = 3375 ആണ്. ഇത് ഉപയോഗിച്ച്, ചുവടെയുള്ള കൃതികൾ കണക്കാക്കുക: (i) (1.5)3 (ii) (0.15)3 (iii) (0.015)3
i) (1.5)³
ii) (0.15)³
iii) (0.015)³
Answer:
i) (1.5)³ = 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375
ii) (0.15)³ = 0.15 × 0.15 × 0.15 = 0.003375
iii) (0.015)³ = 0.015 × 0.015 × 0.015 = 0.000003375

Question 5.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണന ഫലമായി എഴുതുക:
i) 72 × 162
ii) 225 × 135
iii) 105 × 175
iv) 25 × 45 × 75
Answer:
i) 72 × 162
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
162 = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 3⁴ × 2
72 × 162 = (2³ × 3²)(3⁴ × 2)
= 2⁴ × 3⁶

ii) 225 × 135
225 = 3 × 3 × 5 × 5 = 3² × 5²
135 = 3 × 3 × 3 × 5 = 3³ × 5¹
225 × 135 = (3² × 5²)( 3³ × 5¹)
= 3⁵ × 5³

iii) 105 × 175
105 = 3 × 5 × 7 = 3¹ × 5¹ × 7¹
175 = 5 × 5 × 7 = 5² × 7¹
105 × 175 = (3¹ × 5¹ × 7¹)(5² × 7¹)
= 3 × 5³ × 7²

iv) 25 × 45 × 75
25 = 5¹ × 5¹
45 = 3² × 5¹
75 =3¹ × 5²
25 × 45 × 75 = (5¹ × 5¹)(3² × 5¹)(3¹ × 5²)
= 5⁵ × 3³

Question 6.
1 മുതൽ 15 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
Ans:
1 (no primes)
2 = 2¹
3 = 3¹
4 = 2²
5 = 5¹
6 = 2¹ × 3¹
7 = 7¹
8 = 2³
9 = 3²
10 = 2¹ × 5¹
11 = 11¹
12 = 2² × 3¹
13 = 1³¹
14 = 2¹ × 7¹
15 = 3¹ × 5¹
1 മുതൽ 15 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ
കൃതികളുടെ ഗുണനഫലം എന്നു പറയുന്നത്
= 1× 2 × 3 × 2² × 5 × 2 × 3 × 7 × 2³ × 3² × 2 × 5 × 11 × 2² × 3 × 13 × 2 × 7 × 3 × 5
= 2¹¹ × 3⁶ × 5³ × 7² × 11¹ × 13¹

Question 7.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ
(i) 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതും ആയ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(ii) 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(iii) 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവയും 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(iv) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി ഏതാണ് ?
Answer:
(i) 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതും ആയ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 2, 6, 10, 14, 18, 22 ആണ്.
(ii) 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 4, 12, 20 ആണ്.
(iii) 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവയും 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 8, 24 ആണ് .
(iv) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 4, 8, 12, 16, 20, 24
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 8, 16, 24
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 16
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 22 (12 + 6 + 3 + 1) ആണ്

Question 8.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന
(i) 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി എന്താണ്?
(ii) 10 ന്റെ കൃതിയോ?
(iii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ അവസാനം എത്ര പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും?
Answer:
(i) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 5 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 5, 10, 15, 20, 25.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 25 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 25.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 6 (5 + 1) ആണ്.

(ii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാത ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 6 ആണ്. അതുപോലെ 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 22 ആണ്. എന്നാൽ, 10 = 2* 5 ആയതിനാൽ ഇതേ ഗുണനഫലത്തെ ഹരിക്കാൻകഴിയുന്ന, 10 ന്റെ വലിയ കൃതി കാണാൻ ഇവയിലെ ചെറിയ കൃതിയായ 6 അടുക്കുകയാണ് വേണ്ടത്.

(iii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ അവസാനം 6 പൂജ്യങ്ങളാണ് ഉളളത്.

Question 9.
ചുവടെയുള്ള ഹരണഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:
i) 512 ÷ 64
ii) 3125 ÷ 125
iii) 243 ÷ 27
iv) 1125 ÷ 45
Answer:
i) 512 ÷ 64
512 = 29 = 26 × 23
64 = 26 = 23 × 23
512 ÷ 64 = ( 2⁶ × 2³) ÷ (2³ × 2³)
= 2⁶ ÷ 2³
= 2^6-3
= 2³
= 8

ii) 3125 ÷ 125
3125 = 5⁵ = 5² × 5³
125 = 53 = 5² × 5¹
3125 ÷ 125 = (5² × 5³) ÷ (5² × 5¹)
= 5³ ÷ 5¹
= 5^3-1
= 5²
=25

iii) 243 ÷ 27
243 = 3⁵ = 3² × 3³
27 = 3³ = 3² × 3¹
243 ÷ 27 = (3² × 3³) – (3² × 3¹)
= 3³ – 3¹
= 3^3-1
= 3²
= 9

iv) 1125 ÷ 45
1125 = 5³ × 3²
45 = 5¹ × 3²
1125 ÷ 45 = (5³ × 3²) ÷ (5¹ × 3²)
= 5^3-1
= 5²
= 25

Question 10.
(i) 2¹⁰ ന്റെ പകുതിയെ 2 ന്റെ കൃതിയായി എഴുതുക
(ii) 3¹² ന്റെ മൂന്നിലൊരു ഭാഗത്തിനെ 3 ന്റെ കൃതിയായി എഴുതുക.
Answer:
i) 2¹⁰ ന്റെ പകുതി = 2¹⁰ ÷ 2¹
= 2^10-1
= 2⁹

ii) 3¹² ന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് = 3¹² ÷ 3¹
= 3¹¹

Question 11.
ഇതുപോലെ ചുവടെയുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഘൂകരിച്ച് എഴുതാമല്ലോ.
i) \(\frac{27}{243}\)
Answer:

ii) \(\frac{125}{3125}\)
Answer:

iii) \(\frac{48}{64}\)
Answer:

iv) \(\frac{54}{81}\)
Answer:

Question 12.
ചുവടെയുള്ള ഗുണനങ്ങൾ മനക്കണക്കായി ചെയ്യുക.
i) 5² × 4²
ii) 5³ × 6³
iii) 25³ × 4³
iv) 125² × 8²
Answer:
i) 5² × 4² = (5 × 4)²
= 20²
= 400

ii) 5³ × 6³ = (5 × 6)³
= 30³
= 27000

iii) 25³ × 4³ = (25 × 4)³
= (100)³
= 1000000

iv) 125² × 8² = (125 × 8)²
= (1000)²
= 1000000

Question 13.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
i) 15²
ii) 30³
iii) 12² × 21²
iv) 12² × 21³
Answer:
i) 15² = (3 × 5)³
= 3² × 5²

ii) 30³ = (2 × 3 × 5)³
= 2³ × 3³ × 5³

iii) 12² × 21²
12² = (2 × 2 × 3)²
= 2² × 2² × 3²

21² = (7 × 3)²
= 7² × 3²

12² × 21² = 2² × 2² × 3² × 7² × 3²
= 2⁴ × 3⁴ × 7²

iv) 12² × 21³
12² = (2 × 2 × 3)² = 2² × 2² × 3²
21³ = (7 × 3)³ = 7³ × 3³
12² × 21³ = 2² × 2² × 3² × 7³ × 3³
= 2⁴ × 3⁵ × 7³

Intext Questions And Answers

Question 1.
ചില ഭിന്നസംഖ്യകളെ ലഘൂകരിക്കാനും കൃത്യങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.
\(\frac{64}{512}=\frac{2^6}{2^9}\)
Answer:
= \(\frac{2^6}{2^6 \times 2^3\)
= \(\frac{2^6}{2^6} \times \frac{1}{2^3}\)
= \(\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)

Repeated Multiplication Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
താഴെയുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയായോ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായോ എഴുതുക.
i) 3125
ii) 200
iii) 1600
Answer:
i) 3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5s
ii) 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³3 × 5²
iii) 1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2⁶ × 5²

Question 2.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കൃതികളെ ഭിന്നസംഖ്യകളായി കണക്കാക്കുക:
i) \(\left(\frac{3}{2}\right)^3\)
Answer:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^3=\left(\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{27}{8}\right)\)

ii) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
Answer:
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2=\left(\frac{3}{5}\right) \times\left(\frac{3}{5}\right)\)
= \(\left(\frac{9}{25}\right)\)

iii) \(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2\)
Answer:
\(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
= \(\left(\frac{49}{4}\right)\)

Question 3.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ ഗുണനഫലവും വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക:
i) 75 × 45
ii) 96 × 144
iii) 72 × 175
Answer:
i) 75 × 45
75 = 3 × 5²
45 = 3² × 5
5 × 45 = (3 × 5²) × (3² × 5)
= 3³ × 5³

ii) 96 × 144
96 = 2⁵ × 3¹
144 = 122 = (2² × 3)² = 2⁴ × 3²
96 × 144 = (2⁵ × 3¹) × (2⁴ × 3²)
= 2⁹ × 3³

iii) 72 × 175
7² = 8 × 9 = 2³ × 3²
17⁵ = 25 × 7 = 5² × 7¹
7² × 17⁵ = (2³ × 3²) × (5² × 7¹)

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ഹരണഫലം കണക്കാക്കുക.
(i) \(\frac{1440}{120}\)
(ii) \(\frac{729}{27}\)
Answer:
i) 1440 = 12² × 10
= (2² × 3)² × (2¹ × 5¹)
= 2⁵ × 3²2 × 5¹
120 = 12 × 10 = (22 × 3) × (2 × 5)
120 = 23 × 31 × 51
= \(\frac{1440}{120}=\frac{2^5 \times 3^2 \times 5^1}{2^3 \times 3^1 \times 5^1}\)
= 2^5-3 x 3^2-1 x 5^1-1
= 2² × 3¹ × 5⁰
=4 × 3 × 1
= 12

(ii) \(\frac{729}{27}\)
729 = 3⁶
27 = 3³
\(\frac{729}{27}=\frac{3^6}{3^3}\) = 3^6-3 = 3³ = 27

Question 5.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ സംഖ്യകളും വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളായി എഴുതുക
i) 28
ii) 45²
iii) 18² × 30²
iv) 20³ × 27¹
Answer:
i) 28 = 2² × 7¹
ii) 45² = (3² × 5¹)² = 3⁴ × 5²
iii) 18² × 30² = (2¹ × 3²)² × (2¹ × 3¹ × 5¹)² = 2²⁺² × 3⁴⁺² × 5² = 2⁴ × 3⁶ × 5²
iv) 20³ × 27¹ = (2² × 5¹)³ × (3³)
= 2⁶ × 5³ × 3³

Repeated Multiplication Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമായ ആവർത്തന ഗുണനം എന്ന ആശയമാണ് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആവർത്തിച്ചുള്ള ഗുണനം എന്നാൽ ഒരു നമ്പർ തന്നെ ആവർത്തിച്ച് അതിനോട് തന്നെ ഗുണിക്കുന്നതാണ്. ഈ അധ്യായത്തിൽ ഫാക്റ്റർസ്, പവറുകളുടെ പ്രോഡക്ട്, പവറുകളുടെ കോഷ്യന്റ്, ഗുണനവും പവറുകളും എന്നീ ടോപ്പിക്കുകളാണ് ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആദ്യത്തെ ടോപിക്കിൽ എക്സ്പൊണെന്റ് സും, പവറുകളും അതിനോട് അനുബന്ധമായ കണക്കു കളുമാണ് പഠിക്കുന്നത്.

രണ്ടാമത്തെ ടോപിക്കിൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷന്റെ പവറുകൾ കൂടുന്നതും, കുറയുന്നതും എങ്ങനെയാണെന്നാണ് പറയുന്നത്.
മൂന്നാമത്തെ ടോപിക്കിൽ പ്രൊഡക്ടുകളുടെ പവറുകളെ പറ്റിയാണ് പഠിക്കുന്നത്. നാലാമത്തെ ടോപിക്കിൽ ഡിവിഷന്റെ കേസിൽ എങ്ങനെയാണ് പവറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതെന്നാണ് പറയുന്നത്.

ഈ അധ്യായത്തിലെ അവസാനത്തെ ടോപിക്കിൽ ഗുണനത്തേയും പവറുകളെയും പറ്റിയാണ് ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആവർത്തന ഗുണനം മനസിലാക്കുന്നതിലൂടെ സങ്കീർണമായ കണക്കുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.

ഘടകങ്ങൾ
ഒന്നിനെക്കാൾ വലിയ ഏതു എണ്ണൽസംഖ്യയെയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണന ഫലമായി എഴുതാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണമായി, 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
ഇതിനെ ചുരുക്കി 2′ എന്നും എഴുതാം.
ഒരേ സംഖ്യതന്നെ വീണ്ടും വീണ്ടും കുട്ടുന്നതിനെ ഗുണനമായി ചുരുക്കി എഴുതുന്നതുപോലെ, വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിക്കുന്നതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
ഉദാഹരണമായി,
5 + 5 = 5 × 2
5 × 5 = 5²

5 + 5 + 5 = 5 × 3
5 × 5 × 5 = 5³

കൃതീകരണം (Exponentiation) : ഒരു സംഖ്യയെ അതുകൊണ്ടുതന്നെ വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിക്കുന്ന ക്രിയയ്ക്ക് കൃതീകരണം എന്നു പറയുന്നു.

കൃത്യങ്കം (Exponent) : എത്രയെണ്ണം ഗുണിക്കുന്നു എന്നതിനെ കൃത്യങ്കം എന്നു പറയുന്നു. ഇതിനെയാണ് ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്ത്, അല്പം മുകളിലായി ചെറുതാക്കി എഴുതുന്നത്.

കൃതികൾ (Powers) : ഒരു സംഖ്യയെ തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യയുടെ കൃതികൾ എന്നു പറയുന്നു.

ഉദാഹരണമായി,
2 × 2 × 2 = 2³ രണ്ടിന്റെ മൂന്നാം കൃതി
3 × 3 = 3² മൂന്നിന്റെ രണ്ടാം കൃതി
ഇതുപോലെ, ഏതു സംഖ്യയെയും അതിന്റെ തന്നെ ഒന്നാം കൃതിയെന്നു പറയാം.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 198 നെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്ന തെങ്ങനെ?
198 = 2 × 3 × 3 × 11 = 2 × 11 × 3²
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ യെയും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയോ, വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമോ ആയി എഴുതാം.

ഭിന്നകൃതികൾ
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, വശങ്ങളുടെ നീളം 4 മീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എന്നു പറയുന്നത് 4 × 4 = 4² ആണ്.

അതുപോലെ, വശങ്ങളുടെ നീളം \(\frac{1}{4}\) മീറ്റർ ആയാൽ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^2\) എന്നും,
വശങ്ങളുടെ നീളം 0.33 മീറ്റർ ആയാൽ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 0.33 × 0.33 = (0.33)² എന്നും പറയാം.
ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
വശങ്ങളുടെ നീളം × ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് x²
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, വക്കുകളുടെയെല്ലാം നീളം \(\frac{1}{2}\) മീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം എന്നു പറയുന്നത് \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\) ആണ്.

അതുപോലെ, വക്കുകളുടെയെല്ലാം നീളം 0.75 മീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം എന്നു പറയുന്നത് 0.75 × 0.75 × 0.75 = 0.753 ആണ്.
ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
വക്കുകളുടെ നീളം × ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം x³

2 ന്റെ കൃതികൾ ക്രമമായി കണക്കാക്കാം
2² = 2 × 2 = 4
2³ = 4 × 2 = 8
2⁴ = 8 × 2 = 16
2⁵ = 16 × 2 = 32

ന്റെ കൃതികൾ ക്രമമായി കണക്കാക്കാം

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ
ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികൾ ക്രമമായി വലുതാകുന്നു. ഒന്നിനേക്കാൾ ചെറുതും, പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികൾ ക്രമമായി ചെറുതാകുന്നു. ഒന്നിന്റെ കൃതികൾ എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ. പൂജ്യത്തിന്റെ കൃതികളും പൂജ്യമായി തന്നെ തുടരുന്നു.

കൃതികളുടെ ഗുണനം
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം,
4² × 4³ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4
അതായത് , 4² × 4³ നെ 4⁵ എന്നും എഴുതാം.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃതികൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടണം

ബീജഗണിതഭാഷയിൽ,
x ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ ഏതു രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും x^m × xⁿ = x^m+n

ഇതിൽ രണ്ടുകാര്യങ്ങളുണ്ട്
(i) ഒരേ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു കൃതികളുടെ ഗുണനഫലം ആ സംഖ്യയുടെതന്നെ കൃതിയാണ്.
(ii) ഗുണനഫലത്തിന്റെ കൃത്യങ്കം, ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതു സംഖ്യ ആയാലും, mn ഇവ m < n ആയ ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ആയാലും, \(\frac{x^m}{x^n}=\frac{1}{x^{n-m}}\)

മടങ്ങും കൃതിയും
4 ന്റെ 2 മടങ്ങും 6 ന്റെ 2 മടങ്ങും എങ്ങനെ കൂട്ടാം എന്ന് നോക്കാം.
4 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 4 + 4
ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 6 + 6
ഇവ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ,
4 ന്റെ 2 മടങ്ങ് + 6 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = (4 + 6) + (4 + 6)
= 10 + 10 = 10 ന്റെ 2 മടങ്ങ്

ചുരുക്കി പറഞ്ഞാൽ,
(2 × 4) + (2 × 6) = 2 × (4 + 6)

മടങ്ങുകൾക്കു പകരം കൃതികളാക്കിയാൽ;
4 ന്റെ 2-ാം കൃതി = 4 × 4
6 ന്റെ 2-ാം കൃതി = 6 × 6
ഇവ ഗുണിക്കുമ്പോൾ,
(4 ന്റെ 2-ാം കൃതി) × (6 ന്റെ 2-ാം കൃതി) = (4 × 4) × (6 × 6)

അതായത്,
4² × 6² = (4 × 6)²

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഒരേ കൃതികൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം, സംഖ്യക ളുടെ ഗുണന ഫലത്തിന്റെ അതേ കൃതിയാണ്.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് പറഞ്ഞാൽ,
x, y ഇവ ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളും n ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യയും ആയാലും,
xⁿyⁿ = (xy)ⁿ

7 ന്റെ 2 മടങ്ങിന്റെ 5 മടങ്ങ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.
2 ന്റെ 5 മടങ്ങ് = 5 × 2 = 10
7 ന്റെ 10 മടങ്ങ് = 10 × 7 = 70

അതുപോലെതന്നെ,
7 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 7 × 2 = 14
5 ന്റെ 14 മടങ്ങ് = 5 × 14 = 70

ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ശരിയാകുന്നു എന്നു നോക്കാം.
7 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 7 + 7
(7 + 7) ന്റെ 5 മടങ്ങ് (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)
= 7 ന്റെ 10 മടങ്ങ്

ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
5 × (2 × 7) = (5 × 2) × 7

മടങ്ങുകൾക്ക് പകരം കൃതികളായാൽ,
7 ന്റെ 2 കൃതി = 7 × 7
(7 × 7) ന്റെ 5 കൃതി = (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7)
= 7 ന്റെ 10 കൃതി

കൃതികളായി എഴുതി, ഈ സമവാക്യം ചുരുക്കാം.
(7 × 7)⁵ = (7²)⁵ = 7¹⁰
ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെ കൃതി കണക്കാക്കാൻ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കണം.

ബീജഗണിതത്തിൽ എഴുതിയാൽ,
x ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും,
(x^m)ⁿ = x^mn

കൃതികളുടെ ഹരണം
ഇനി കൃതികളെ എങ്ങനെ ഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, 288 ÷ 36
ആദ്യം 288 നെയും 36 നെയും ഘടകങ്ങളാക്കുക.
288 = 2⁵ × 3²
36 = 2² × 3²
പൊതുവായ ഘടകങ്ങളെ മാറ്റിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടുന്നത്,
(2⁵ × 3²) ÷ (2² × 3²) = 2⁵÷ 2²

ഇനി നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഹരിക്കാം,
2⁵ ÷ 2² = 2^5-2= 2³
288 ÷ 36 = (2⁵ × 3²) ÷ (2² × 3²)
= 2⁵ ÷ 2²
= 2^5-2
= 2³
= 8

ഇത് ഒരു പൊതുതത്വമായി പറഞ്ഞാൽ:
പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയുടെ വലിയ കൃതിയെ അതേ സംഖ്യയുടെ ചെറിയ കൃതി കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കുറയ്ക്കണം.

ഇനി ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ m > n ആയ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും \(\frac{x^m}{x^n}\) = x^m-n

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 10 ത്രികോണപ്പരപ്പ് can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 10 Solutions Malayalam Medium ത്രികോണപ്പരപ്പ്

Class 7 Maths Chapter 10 Malayalam Medium Kerala Syllabus ത്രികോണപ്പരപ്പ്

Question 1.
ചുവടെയുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കാണുക?

Answer:
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ = 5 സെമീ, 3 സെമീ
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) (ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം)
= \(\frac{1}{2}\)(5 × 3)
= \(\frac{1}{2}\) (15)
= 7.5 ച.സെ.മീ

Answer:
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ = 5 സെമീ, 4 സെമീ
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 3 (ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം)
= \(\frac{1}{2}\)(5 × 4)
= \(\frac{1}{2}\) (20)
= 10 ച.സെ.മീ

Answer:
ഇവിടെ രണ്ട് മട്ട ത്രികോണങ്ങൾ ചേർത്തുകിട്ടിയ ത്രികോണമാണ് ചിത്രത്തിലുള്ളത് ആയതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണാൻ രണ്ടു മട്ട ത്രികോണകളുടെയും പരപ്പ ളവുകൾ വെവ്വേറെ കണ്ടു അവ കൂട്ടിയാൽ മതി. എന്നാൽ ഇവിടെ രണ്ടു മട്ട ത്രികോണങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ ഒരു മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണ്ടു അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി.

മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) (3 × 3)
= \(\frac{1}{2}\) (9)
= 4.5 ച.സെമീ

ആയതിനാൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × 4.5 = 9 ച.മീ

Question 2.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയെല്ലാം പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 2
= 4 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 3
= 9 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 4
= 10 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 3
= 6 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4
= 6 ച.സെമീ

Question 3.
ചുവടെ വരച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
(i) ഇതേ പരപ്പളവുള്ള ഒരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
(ii) ഇതേ പരപ്പളവുള്ളതും, ഒരു കോൺ മട്ടത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ ഒരു ത്രികോണം വര യ്ക്കുക.

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 7 × 4
= 14 ചസെമീ

Question 4.
വശങ്ങളുടെ നീളം 3, 4, 6 സെന്റിമീറ്റർ ആയ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ഇതേ പരപ്പളവുള്ള മൂന്നു വ്യത്യസ്ത മട്ടത്രികോണങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
Answer:

Question 5.
രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററും, 6 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്ര മീറ്ററും ആയ എത്ര വ്യത്യസ്ത ത്രികോണം വരയ്ക്കാം? പരപ്പളവ് 24 ചതുരശ്ര മീറ്റർ ആയാലോ?
Answer:
രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററും, 6 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്രസെന്റി മീറ്ററും ആയ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ വരയ്ക്കാം.

പരപ്പളവ് = 24 ച.സെമീ ആയാൽ,

Question 3.
ചുവടെക്കാണുന്ന ത്രികോണം നോട്ടുബുക്കിൽ വരയ്ക്കുക.

ഇതേ പരപ്പളവുള്ള ABP, BC, CAR എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ ചുവടെപ്പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അളവുക ളിൽ വരയ്ക്കുക.
(i) ∠BAP = 90°
Answer:

∠BAP = 90° ആയ ABP എന്ന ത്രികോണമാണ് മുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നത്

(ii) ∠CBQ = 60°
Answer:

∠CBQ = 60° ആയ BCQ എന്ന ത്രികോണമാണ് മുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നത്

(iii) ∠ACR = 30°
Answer:

∠ACR = 30° ആയ CAR എന്ന ത്രികോണമാണ് മുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നത്

Intext Questions And Answers

Question 1.
ഉദാഹരണമായി, താഴെ തന്നിട്ടുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണുക?

Answer:
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ = 4 സെമീ, 3 സെമീ
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\)(ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം)
= \(\frac{1}{2}\) (3 × 4)
= \(\frac{1}{2}\)(12)
= 6 ച.സെമീ

Question 2.
ഇതുപോലെ ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാമോ?

Answer:
ഇവിടെ വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം x സെന്റിമീറ്റർ എന്നും, ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം y സെന്റിമീറ്റർ എന്നും എടുത്താൽ:
ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × x × 4
= \(\frac{4}{2}\)x
= 2x ച.മീ

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിൻന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × y × 4
= \(\frac{4}{2}\)y
= 2y ച.സെമീ

അതിനാൽ, മൊത്തം പരപ്പളവ് = \(\frac{4}{2}\)x + \(\frac{4}{2}\)y
= 2x + 2y
= 2 (x + y)
ഇവിടെ x + y = 5 ആണല്ലോ.

അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × 5 = 10 ച.മീ

Area of Triangles Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയെല്ലാം പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക

Answer:
(i) പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 6
= 24 ച.സെമീ

(ii) പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × 12
= 60 ച.സെമീ

(iii) പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 7
= 17.5 ച.സെമീ

Question 2.
ചുവടെ വരച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?

(i) ഇതേ പരപ്പളവുള്ള ഒരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 9 × 4
= 18 ച.സെമീ

(ii) ഇതേ പരപ്പളവുള്ളതും, ഒരു കോൺ മട്ട ത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക
Answer:

Area of Triangles Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ത്രികോണങ്ങളെ കുറിച്ച് കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും. പ്രധാനമായും മൂന്ന് ആശയങ്ങളാണ് ഈ അധ്യായത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്: മട്ടത്രികോണം, പാദവും ഉയരവും, സമാന്തര വരകൾ. അധ്യായത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നതിനു മുമ്പ് നമുക്ക് രസകരമായ ഒരു വസ്തുത ചർച്ച ചെയ്യാം എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളും, എങ്ങനെ കണ്ടാലും, അവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ ഒരു ലളിതമായ സൂത്രവാക്യമായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? ഒരു കഷണം കടലാസ് വിവിധ ത്രികോണങ്ങളായി മുറിക്കുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കുക; അവയുടെ പാദവും ഉയരവും ഒന്നായി രിക്കുന്നിടത്തോളം, അവയുടെ പരപ്പളവും ഒന്നാണ് !

മട്ടത്രികോണങ്ങൾ
ഒരു കോൺ മട്ടമായ ത്രികോണകളെയാണ് മട്ട ത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്

പാദവും ഉയരവും
ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ഒരു വശത്തിന്റെയും, ആ വശത്തിൽനിന്ന് എതിർ മൂലയിലേ ക്കുള്ള ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

സമാന്തരവരകൾ
ഒരേ പാദവും, മൂന്നാം മൂലകളെല്ലാം പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലും ആയ ത്രികോണ ങ്ങൾക്കെല്ലാം ഒരേ പരപ്പളവാണ്.

മട്ടത്രികോണങ്ങൾ
മട്ടത്രികോണം
ഒരു കോൺ മട്ടമായ (90°) ആയ ത്രികോണങ്ങളെ മട്ടത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ,
കോൺ B മട്ടകോൺ ആണ്.
AB, BC ഇവ ലംബ വശങ്ങൾ ആണ് .

മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

പാദവും ഉയരവും
തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം:

ഈ വലിയ ത്രികോണം, രണ്ടു ചെറിയ മട്ടത്രികോണങ്ങൾ ചേർന്നാണല്ലോ ഉണ്ടായിരിക്കുന്നത്.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം x സെന്റിമീറ്റർ എന്നും, ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം y സെന്റിമീറ്റർ എന്നും എടുത്താൽ

ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × x ×3 = \(\frac{3}{2}\) x ച.സെമീ

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × y × 3 = \(\frac{3}{2}\)y ച.സെമീ

അതിനാൽ, മൊത്തം പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y = \(\frac{3}{2}\)(x + y)
ഇവിടെ x + y = 6 ആണല്ലോ.
അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\) × 6 = 9 ച.സെമീ

ഇനി ത്രികോണം ഇങ്ങനെ ആയാൽ പരപ്പളവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

ഇവിടെ ഈ ത്രികോണത്തെ ഒരു വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിൽനിന്ന് ഒരു ചെറിയ മട്ടത്രികോണം മുറിച്ചു മാറ്റിയതായി കണക്കാക്കാം

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം x സെന്റിമീറ്റർ എന്നും, ചെറിയ മട്ട ത്രികോ ണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം y സെന്റിമീറ്റർ എന്നും എടുക്കാം:

ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × x × 3
= \(\frac{3}{2}\)x ച.മീ

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × y × 3
= \(\frac{3}{2}\)y ച.മീ

അതിനാൽ, മൊത്തം പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\)x – \(\frac{3}{2}\)y
= \(\frac{3}{2}\)(x − y)

ഇവിടെ x – y = 8 ആണല്ലോ.
അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\) × 8 = 12 ച.സെമീ
അപ്പോൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് പൊതുവായി ഇങ്ങനെ പറയാം:

ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ഒരു വശത്തിന്റെയും, ആ വശത്തിൽനിന്ന് എതിർ മൂലയിലേക്കുള്ള ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന വശത്തിന് പാദം എന്നും (base) എതിർ മൂലയിലേക്കുള്ള ഉയരത്തിന് ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം (height or altitude) എന്നും പേരിട്ടാൽ, ഇത് അല്പം ചുരുക്കി ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫല ത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

സമാന്തരവരകൾ
ഒരു വശം 5 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററും ആയ ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ വര യ്ക്കാമെന്ന് കാണാം
പാദം 5 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെടുക്കാം
എന്നാൽ പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം പരപ്പളവിന്റെ രണ്ടിരട്ടിയാണ്. അതിനാൽ, ഉയരം 4 സെന്റീമീറ്റർ ആയിരിക്കണം.
അതായത്, പാദം =’5 സെമീ ഉം ഉയരം = 4 സെമീ ഉം ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ പഠിക്കാം.
ആദ്യം, 5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കാം
4 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരത്തിൽ ലംബം വരയ്ക്കുക

ലംബത്തിന്റെ മുകളറ്റം, താഴത്തെ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജിപ്പിക്കുക.

പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ ആയ ത്രികോണമാണിത്.

ഇവിടെ ത്രികോണങ്ങളിൽ ലംബത്തിന്റെ സ്ഥാനം മാറുന്നതിനനുസൃതമായി ഇടത് വലത് വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങളിലും മാറ്റം വരും. എന്നാൽ ത്രികോണങ്ങളിലെ പദവും ഉയരവും മാറാത്തതിനാൽ അവയുടെ പരപ്പളവിൽ മാറ്റം വരില്ല.

പാദത്തിൽനിന്ന് ഒരേ അകലത്തിൽ ആയ ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെയെല്ലാം മുകളിലെ മൂലകൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വര കിട്ടും

ഈ വര നീട്ടി, അതിലെ ഏതു ബിന്ദുവും താഴത്തെ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ചാൽ, പാദം 5 സെന്റിമീറ്ററും, ഉയരം 4 സെന്റിമീറ്ററും ആയ ത്രികോണം കിട്ടും; അതായത്, പാദം 5 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററുമായ ത്രികോണം.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരേ പാദവും, മൂന്നാം മൂലകളെല്ലാം പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലും ആയ ത്രികോ ണങ്ങൾക്കെല്ലാം ഒരേ പരപ്പളവാണ്.
ത്രികോണങ്ങളുടെ പാദം വിലങ്ങനെ വരച്ചാലും അഥവാ ചരിച്ചു വരച്ചാലും ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതായത് പരപ്പളവിന് മാറ്റം വരുന്നില്ല.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം 9 സെന്റീമീറ്ററും, മറ്റൊരു വശത്തിന്റെ നീളം 6 സെന്റി മീറ്ററും 18 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നോക്കാം. പാദം 9 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെടുക്കാം
എന്നാൽ പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം പരപ്പളവിന്റെ രണ്ടിരട്ടിയാണ്.
അതിനാൽ, ഉയരം 4 സെന്റിമീറ്റർ ആയിരിക്കണം.
അതായത്, പാദം = 9 സെമീ ഉം ഉയരം = 4 സെമീ ഉം ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ,

ആദ്യം, 9 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കാം
4 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരത്തിൽ പാദത്തിനു സമാന്തരമായി ഒരു വര വരയ്ക്കാം

ചിത്രത്തിൽ, മുകളിലെ വരയിലെ ഏതു ബിന്ദുവും, താഴത്തെ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജി പ്പിച്ചാൽ 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ത്രികോണം ലഭിക്കും.
ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റൊരുവശം 6 സെന്റിമീറ്ററായി ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു സ്കെയിലും കോമ്പസും ഉപയോഗിച്ച് 6 സെന്റിമീറ്റർ അളന്നെടുക്കുകയും, താഴത്തെ വരയുടെ ഏതെങ്കിലും ഒരു അറ്റത്തു നിന്ന് മുകളിലെ വരിയിൽ ഈ 6 സെന്റിമീറ്റർ രേഖപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക.

മിച്ചമുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിൽ യോചിപ്പിച്ചാൽ ആവശ്യമായ ത്രികോണം ലഭിക്കും.

ഇനി നമുക്ക്, 4 സെന്റിമീറ്റർ, 5 സെന്റിമീറ്റർ, 6 സെന്റിമീറ്റർ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നോക്കാം

ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാതെ ഇതേ പരപ്പളവുള്ള മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ രണ്ടിന്റെയും പാദവും ഉയരവും തുല്യമായാൽ മതി. ഉയരം തുല്യമാക്കാൻ ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ മുകളിലെ മൂലയിലൂടെ താഴത്തെ വശത്തിനു സമാന്തരമായ വര വരച്ചാൽ മതി.

പാദം 4 സെന്റിമീറ്റർ ആയി ഇതേ പരപ്പളവുള്ള മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കാമോ?

പാദം 5 സെന്റിമീറ്റർ ആയി വരയ്ക്കണമെങ്കിലോ?

• ഒരു കോൺ മട്ട മായ ത്രികോണകളെയാണ് മട്ട ത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ഒരു വശത്തിന്റെയും, ആ വശത്തിൽനിന്ന് എതിർ മൂലയി ലേക്കുള്ള ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
• ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകു തിയാണ്.
• ഒരേ പാദവും, മൂന്നാം മൂലകളെല്ലാം പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലും ആയ ത്രികോണ ങ്ങൾക്കെല്ലാം ഒരേ പരപ്പളവാണ്.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 9 സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 9 Solutions Malayalam Medium സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ

Class 7 Maths Chapter 9 Malayalam Medium Kerala Syllabus സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കുക:
(i) 40
(ii) 54
(iii) 60
(iv) 100
(v) 210
Answer:
(i) 40 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
40 = 2³ × 5
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8

(ii) 54 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
54 = 2 × 3³
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (1 + 1)(3 + 1) = 2 × 4 = 8

(iii) 60 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
60 = 2² × 3 × 5
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1)(1 + 1) (1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

(iv) 100 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
100 = 2² × 5²
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9

(v) 210 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
210 = 2 × 3 × 5 × 7
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Question 2.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽനിന്ന് സംഖ്യയുടെ ചില സവിശേഷതകൾ പറയാൻ കഴിയും. ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം 5 വരെ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിലുണ്ട്. തുടർന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം 10 വരെ എഴുതി, പട്ടിക വലുതാക്കുക:

Answer:

Question 3.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകവും മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങളും കണക്കാക്കുക:
(i) 45, 75
(ii) 225, 275
(iii) 360, 300
(iv) 210, 504
(v) 336, 588
Answer:
(i) 45 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 3² × 5
75 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 3 × 5²
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3 ഉം 5 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 3¹, 5¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ 3¹ × 5¹ = 15
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 3, 5, 15

(ii) 225 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 3² × 5²
275 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 5² × 11
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 5 ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 5²
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 5² = 25
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 5, 25

(iii) 360 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2³ × 3² × 5
300 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3 × 5²
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 5 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 2², 3¹, 5¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

(iv) 210 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2 × 3 × 5 × 7
504 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2³ × 3² × 7
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 7 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 2¹, 3¹, 7¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 2 × 3 × 7 = 4²
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

(v) 336 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2⁴ × 3 × 7
588 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3 × 7¹
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 7 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 2², 3¹, 7¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 2² × 3¹ × 7¹ = 4 × 3 × 7 = 84
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Question 4.
(i) രണ്ടു വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം എന്താണ് ?
(ii) രണ്ടു ഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 1 ആകുമോ ?
(iii) രണ്ടു സംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം എന്താണ്?
Answer:
(i) രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 1 ആണ്, കാരണം അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്ക് 1 അല്ലാതെ പൊതുവായ മറ്റൊരു ഘടകങ്ങളുമില്ല.

(ii) ആകും, രണ്ട് ഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 1 ആകാം, അതായത് അവയ്ക്ക്
1 അല്ലാതെ പൊതുവായ ഘടകങ്ങളൊന്നുമില്ല
ഉദാഹരണം: 8 ഉം 15 ഉം രണ്ട് ഭാജ്യസംഖ്യകളാണ്.
8 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1 × 2³
15 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1 × 3 × 5
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 1 മാത്രംമാണ്
അതിനാൽ, 8, 15 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം തീർച്ചയായും 1 ആണ്.

(iii) രണ്ട് സംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയുടെ പൊതുഘടകം 1 ആയിരിക്കും.
കാരണം, രണ്ടു സംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കൊണ്ടു ഹരിക്കുക എന്നത്, ആ രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയാണ്. ആയതിനാൽ ഈ സംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിലൂടെ ഹരണഫലത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നൊഴികെയുള്ള മറ്റു പൊതു ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

Number Relations Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കുക:
(i) 36
(ii) 84
(iii) 144
Answer:
(i) 36
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 36 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ:
36 = 2² × 3²
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1) (2 +1) = 3 × 3 = 9

(ii) 84
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 84 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ:
84 = 2² × 3¹ × 7¹
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

(iii) 144
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 144 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ: 144 = 24 × 32
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (4 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 = 15

Question 2.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കണക്കാക്കുക:
(i) 48, 180
(ii) 90, 150
(iii) 84, 126
Answer:
(i) 48, 180
48 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2⁴ × 3¹
180 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3² × 5¹

പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3 ഉം 5 ഉം
പൊതുഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി: 2², 3¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

(ii) 90, 150
90 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3² × 5¹
150 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3¹ × 5²

പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 5 ഉം
പൊതുഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി: 2¹, 3¹ , 5¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 2 × 3 × 5 = 30

(iii) 84, 126
84 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3¹ × 7¹
126 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3² × 7¹

പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 7 ഉം
പൊതുഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി: 2¹, 3¹, 7¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 2 × 3 × 7 = 42

Number Relations Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ, സംഖ്യകളും അവയുടെ ഘടകങ്ങളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന ആശയങ്ങൾ നമ്മൾ പരിചയപ്പെടുന്നു. പ്രധാനമായും സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്നും രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള പൊതു ഘടകങ്ങൾ എങ്ങനെ തിരിച്ചറിയാമെന്നുമാണ് പഠിക്കുന്നത്

ഘടകങ്ങൾ
സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ മുൻ വർഷങ്ങളിൽ നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട് എന്നാൽ ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താനുള്ള പുതിയൊരു മാർഗം മനസിലാ ക്കുകയാണ് ഈ ഭാഗത്തിലൂടെ ചെയ്യുന്നത് അതിനായി സംഖ്യകളെ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുന്ന രീതിയാണ് ഈ ഭാഗത്തിൽ പറയുന്നത്.

പൊതുഘടകങ്ങൾ
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള മാർഗമാണ് ഈ ഭാഗത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്. അതിനായി തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതി രണ്ടിലും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞ് അവയിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കൃതികളോടുകൂടിയ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ കിട്ടുന്നതായിരിക്കും ആ സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ.

ഘടകങ്ങൾ
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ 1 ഉം ആ സംഖ്യയും മാത്രമായി വരുന്ന സംഖ്യയെയാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ എന്ന് പറയുന്നത്
ഉദാഹരണമായി 2, 3, 5, 7, 11….
ഇവ ഓരോന്നിനും രണ്ടു ഘടകങ്ങൾ മാത്രമാണുള്ളത്.

അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൃതി മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലുള്ള മാറ്റം മനസ്സി ലാക്കാം.

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ.

• ഏത് അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെയും ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, കൃത്യങ്കത്തേക്കാൾ ഒന്നു കൂടുതലാണ്.
• ബീജഗണിത ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
• p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയും, n ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ, p” എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടക ങ്ങളുടെ എണ്ണം n + 1 ആണ്.
• ഇനി ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെ മറ്റൊരു അഭാജ്യസംഖ്യകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ മറന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം

3 × 5 = 15
3ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1, 3
5ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1, 5
15ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1, 3, 5, 15
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4

വേണമെങ്കിൽ ഘടകങ്ങളെ ഇങ്ങനെ പട്ടികയാക്കാം:

1	3	(3 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ)
5	15	(3 ന്റെ ഘടകങ്ങളെ 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചത്)

അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4
3² × 5 = 45
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 32 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ
1, 3, 3² അതായത് 1, 3, 9
ഇനി ഇവ ഓരോന്നിനെയും 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന വേറെ 3 ഘടകങ്ങൾ: 1 × 5 = 5, 3 × 5 = 15, 3² × 5 = 45
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3 + 3 = 3 × 2 = 6
3² × 5² = 225
ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3 × 3 = 9

3³ × 5³
ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4 × 4 = 16
പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,

രണ്ട് അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, രണ്ടു കൃത്യങ്കങ്ങളോടും ഓരോന്നു കൂട്ടി ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ്.

ബീജഗണിത ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
p, 4 ഇവ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളും m, ” ഇവ ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ആണെങ്കിൽ p q എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം (m + 1) (n + 1).

ഇനി, സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളായി 3 വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകൾ വന്നാലോ
ഉദാഹരണമായി 3³ × 5² × 11 എടുക്കാം:
ആദ്യം 3³ × 5 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ എഴുതാം

1	3	3²	33
3	3 × 5	3² × 5	33 × 5
5²	3 × 5²	3² × 5²	33 × 5²

ഇവിടെ, 3³ × 5² ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4 × 3 = 12

ഇനി, 3³ × 5² × 11ന്റെ ഘടകങ്ങൾ പട്ടികയാക്കാം:

അതിനാൽ, 3³ × 5² × 11 ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 12 × 2 = 24
പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അതിനെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണന ഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്നതിലെ ഓരോ കൃത്യങ്കത്തിനോടും ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.

പൊതുഘടകങ്ങൾ
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം
അതിനായി 180, 270 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക.
180 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3² × 5
270 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2 × 3³ × 5
ഇവിടെ, രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ 2, 3, 5 ആണ്.
ഘടകക്രിയയിൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ചെറിയ കൃതികൾ 2, 3², 5 ആണ്.
ഇവിടെ, പൊതുഘടകങ്ങൾ 2 × 3² × 5 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ ആണ്.

ഇവ പട്ടികരൂപത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചാൽ,

മുകളിൽ പറഞ്ഞതനുസരിച്ച് 180, 270 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 90 ആണ്.

ചുരുക്കത്തിൽ,
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ആദ്യം ഓരോ സംഖ്യയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക. തുടർന്ന്, രണ്ടിലും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിയുകയും അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കൃതികളോടുകൂടിയ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഈ സംഖ്യകൾ ആണ് പൊതുഘടകങ്ങൾ.

• ഏത് അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെയും ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, കൃത്യങ്കത്തേക്കാൾ ഒന്നു കൂടുത ലാണ്.
• p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയും, n ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ, p” എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം n + 1 ആണ്.
• രണ്ട് അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, രണ്ടു കൃത്യങ്കങ്ങളോടും ഓരോന്നു കൂട്ടി ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ്.
• p, 4 ഇവ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളും m n ഇവ ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആണെങ്കിൽ pq”എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം (m+ 1) (n + 1).
• ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അതിനെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്നതിലെ ഓരോ കൃത്യങ്കത്തിനോടും ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.
• രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ആദ്യം ഓരോ സംഖ്യയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക. തുടർന്ന്, രണ്ടിലും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിയുകയും അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കൃതികളോടുകൂടിയ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഈ സംഖ്യകൾ ആണ് പൊതുഘടകങ്ങൾ.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 11 സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 11 Solutions Malayalam Medium സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും

Class 7 Maths Chapter 11 Malayalam Medium Kerala Syllabus സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന പരപ്പളവുകളുള്ള സമചതുരങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കി നോക്കു. ഉത്തരങ്ങൾ, സംഖ്യകളുടെ വർഗമൂലമായി എഴുതുക:
(i) 49 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(ii) 169 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(iii) 400 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ
(iv) 225 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(v) 1.69 ചതുരശ്രമീറ്റർ
(vi) 6 \(\frac{1}{4}\) ചതുരശ്രമീറ്റർ
Answer:
(i) 49 = 7 × 7 = 7²
\(\sqrt{49}\) = 7
വശങ്ങളുടെ നീളം = 7 സെമീ

(ii) 169 = 13 × 13 = 13²
\(\sqrt{169}\) = 13
വശങ്ങളുടെ നീളം = 13 സെമീ

(iii) 400 = 20 × 20 = 20²
\(\sqrt{400}\) = 20
വശങ്ങളുടെ നീളം = 20 സെമീ

(iv) 225 = 15 × 15 = 15²
\(\sqrt{225}\) = 15
വശങ്ങളുടെ നീളം = 15 സെമീ

(v) 1.69 = 1.3 × 1.3 = (1.3)²
\(\sqrt{169}\) = 1.3
വശങ്ങളുടെ നീളം = 1.3 സെമീ

(vi) 6 \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{25}{4}\)
\(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\) = 2.5
വശങ്ങളുടെ നീളം = 2.5 സെമീ

Question 2.
ഇതുപോലെ ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പരപ്പളവുകൾ ഉള്ള സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കാമല്ലോ.
(i) 32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(ii) 50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(iii) 12.5 ചതുരശ്രമീറ്റർ
(iv) 24 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) പരപ്പളവ് 32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം. അത് 4 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 4 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 4 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

(ii) പരപ്പളവ് 50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം . അത് 5 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 5 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുരത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

(iii) പരപ്പളവ് 12.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 6.25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം . അത് 2.5 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 2.5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

12.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 2.5 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതു രത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

(iv) പരപ്പളവ് 24.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 12.25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം . അത് 3.5 സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഒരു വശം 3.5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

24.5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 3.5 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

Question 3.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പരപ്പളവുള്ള സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
(i) 17 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(ii) 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
(iii) 19 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) 17 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
ആദ്യം 17 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
17 = 16 + 1 = 4² + 1²
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 4 സെന്റിമീറ്ററും, 1 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 17 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

(ii) 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
ആദ്യം 18 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
18 = 9 + 9 = 3² + 3²

സെന്റിമീറ്റർ വീതമുള്ള മട്ടത്രികോണം പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 3 വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

(iii) 19 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ
ആദ്യം 19 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
19 = 100 – 81 = 10² – 9²
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 10 സെന്റിമീറ്ററും, 9 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 19 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ

പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ, 1 സെന്റിമീറ്റർ ഇടവിട്ടു വിലങ്ങനെയും കുത്തനെയും ഇട്ട കുത്തുകൾ ചിലത് യോജിപ്പിച്ച് സമചതുരങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോന്നിന്റെയും പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചതുരം – 1
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 3 സെന്റിമീറ്റർ, 2 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം-1 ന്റെ പരപ്പളവ് = 3² + 2² = 9 + 4 = 13 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

ചതുരം – 2
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 1 സെന്റിമീറ്റർ വീതമാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം-2 ന്റെ പരപ്പളവ് = 1² + 1² = 1 + 1 = 2 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

ചതുരം – 3
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 1 സെന്റിമീറ്റർ, 2 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം-3 ന്റെ പരപ്പളവ് = 1² + 2² = 1 + 4 = 5 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

ചതുരം – 4
സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങൾ നീട്ടിയാൽ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന കുത്തുകൾ അനുസരിച്ചു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 4 സെന്റിമീറ്റർ, 2 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്.
അതിനാൽ, സമചതുരം – 4 ന്റെ പരപ്പളവ് = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ.

Question 5.
ചുവടെയുള്ള ഓരോ കണക്കിലും, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക:
(i) ലംബവശങ്ങൾ 6 സെന്റിമീറ്റർ, 8 സെന്റിമീറ്റർ
(ii) ലംബവശങ്ങൾ 9 സെന്റിമീറ്റർ, 12 സെന്റിമീറ്റർ
(iii) ലംബവശങ്ങൾ 7 സെന്റിമീറ്റർ, 24 സെന്റിമീറ്റർ
(iv) ലംബവശങ്ങൾ 14 സെന്റിമീറ്റർ, 48 സെന്റിമീറ്റർ
(v) കർണ്ണം 17 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 15 സെന്റിമീറ്റർ
(vi) കർണ്ണം 34 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 30 സെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) ലംബവശങ്ങൾ 6 സെന്റിമീറ്റർ, 8 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{6^2+8^2}\)
= \(\sqrt{36+64}\)
= \(\sqrt{100}\)
= 10 സെന്റിമീറ്റർ

(ii) ലംബവശങ്ങൾ 9 സെന്റിമീറ്റർ, 12 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{9^2+12^2}\)
= \(\sqrt{81+144}\)
= \(\sqrt{225}\)
= 15 സെന്റിമീറ്റർ

(iii) ലംബവശങ്ങൾ 7 സെന്റിമീറ്റർ, 24 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{7^2+24^2}\)
= \(\sqrt{49+576}\)
= \(\sqrt{625}\)
= 25 സെന്റിമീറ്റർ

(iv) ലംബവശങ്ങൾ 14 സെന്റിമീറ്റർ, 48 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{14^2+48^2}\)
= \(\sqrt{196+2304}\)
= \(\sqrt{2500}\)
= 50 സെന്റിമീറ്റർ

(v) കർണ്ണം 17 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{17^2-15^2}\)
= \(\sqrt{289-225}\)
= \(\sqrt{64}\)
= 8 സെന്റിമീറ്റർ

(vi) കർണ്ണം 34 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 30 സെന്റിമീറ്റർ
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = \(\sqrt{34^2-30^2}\)
= \(\sqrt{1156-900}\)
= \(\sqrt{256}\)
= 16 സെന്റിമീറ്റർ

Question 6.
2 മീറ്ററും 5 മീറ്ററും ഉയരമുള്ള രണ്ടു തൂണുകൾ 4 മീറ്റർ അകലത്തിൽ നിൽക്കുന്നു.

തൂണുകളുടെ മുകളറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം എത്രയാണ് ?
Answer:
2 മീറ്ററും 5 മീറ്ററും ഉയരമുള്ള രണ്ട് തൂണുകൾ 4 മീറ്റർ അകലത്തിൽ നിൽക്കുന്നു.
അവയുടെ മുകളറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം കണ്ടെത്തണം.
4 മീറ്റർ വരയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു വരവരച്ചാൽ വശങ്ങൾ 4 മീറ്റർ, 3 മീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയായ ഒരു മട്ടത്രികോണം കിട്ടും.

അതിനാൽ, മൂന്നാമത്തെ വശം മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണമായിരിക്കും.
കർണ്ണം² = പാദം² + ലംബം²
കർണ്ണം² = 4² + 3²
= 16 + 9
= 25
കർണ്ണം = \(\sqrt{25}\) = 5 മീറ്റർ
തൂണുകളുടെ മുകളറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അകലം 5 മീറ്റർ

Question 7.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിലെ ത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക:

Answer:
ചിത്രത്തിൽ 2 മട്ടത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ട് .
സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും 11
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെയും കർണവും ലംബവും തന്നിരിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, പാദം² = കർണ്ണം² – ലംബം²
= 13² – 12²
= 169 – 144
= 25 സെന്റിമീറ്റർ
പാദം = \(\sqrt{25}\) = 5 സെന്റിമീറ്റർ
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെയും പാദം = 5 സെന്റിമീറ്റർ
ത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം = 5 + 5 = 10 സെന്റിമീറ്റർ

Question 8.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങൾ O വൃത്തകേന്ദ്രവും, A, B, P, Q വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളും ആണ്.

AB, PQ എന്നീ വരകളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രത്തിൽ OB യും C യും യോജിപ്പിക്കുക.
അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ വൃത്തത്തിൽ 2 മട്ടത്രികോണങ്ങൾ ലഭിക്കും.

OB = 5 സെന്റിമീറ്റർ (ആരം)
C, AB യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്, OC യോജിപ്പിക്കുക.
OC = 4 സെന്റിമീറ്റർ.
AO = 5 സെന്റിമീറ്റർ
AC² = OC² – OA²
= 5² – 4²
= 25 – 16
= 9
AC = √9 = 3 സെന്റിമീറ്റർ
CB = 3 സെന്റിമീറ്റർ
അതിനാൽ,
AB = AC + CB
= 3 + 3
= 6 സെന്റിമീറ്റർ

രണ്ടാമത്തെ വൃത്തത്തിൽ, R, PQ യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്. OR യോജിപ്പിക്കുക.
ഇവിടെ,
PO = 5 സെന്റിമീറ്റർ
OR = 3 സെന്റിമീറ്റർ
0 = 5 സെന്റിമീറ്റർ
PR² = OR² – OP²
= 5² – 3²
= 25 – 9
= 16

PR = \(\sqrt{16}\) = 4 സെന്റിമീറ്റർ
RQ = 4 സെന്റിമീറ്റർ
PQ = 4 + 4 = 8 സെന്റിമീറ്റർ
AB = 6 സെന്റിമീറ്റർ, PQ = 8 സെന്റിമീറ്റർ

Intext Questions And Answers

Question 1.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം,വശങ്ങളുടെ നീളം 4 മീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
Answer:
വശങ്ങളുടെ നീളം = 4 മീറ്റർ
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 4 × 4 = 16 ചതുരശ്രമീറ്റർ

Question 2.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം ,25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ, വശങ്ങളുടെ നീളം എത്രയായി എടുക്കണം?
Answer:
5 × 5 = 25 ആയതിനാൽ, വശത്തിന്റെ നീളം 5 സെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഇവിടെ, ഏതു സംഖ്യയുടെ വർഗമാണ് 25 എന്ന ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരമായിട്ടാണ് 5 കിട്ടിയത്. ഇതു മറ്റൊരുതരത്തിൽ പറയാം:
25 ന്റെ വർഗമൂലം (square root) ആണ് 5.

Question 3.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 196 ചതുരശ്രമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണ് ?
Answer:
196 = 2 × 2 × 7 × 7 = 2² × 7² = (2 × 7)² = 142
ഇതു തിരിച്ചെഴുതിയാൽ, \(\sqrt{196}\) = 14
അതായത് സമചതുരത്തിന്റെ വശം 14 മീറ്റർ.

Question 4.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം ഉപയോഗിച്ചു ഇതിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം ഉണ്ടാക്കുക ?

Answer:
തന്നിരിക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം അളന്നാൽ, അതിന്റെ വർഗമായി പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാം. പരപ്പളവിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് കണക്കാക്കി, അതിന്റെ വർഗമൂലമെടുത്താൽ പുതിയ വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം കിട്ടും.
കണക്കുകൂട്ടാതെയും ഇത്തരം കണക്കുകൾ ചെയാം, ആദ്യം ഇതേ വലുപ്പത്തിലുള്ള മറ്റൊരു സമചതുരം എടുക്കുക . ഈ രണ്ടു സമചതുരങ്ങളെയും വികർണ്ണത്തിലുടെ മുറിക്കുക.

ഈ നാലു മട്ടത്രികോണങ്ങളെ യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ വലിയ സമചതുരം കിട്ടുന്നു .

Squares and Right Triangles Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 196 ച.സെമീ. അങ്ങനെയെങ്കിൽ വശങ്ങളുടെ നീളം എത്രയാണ് ?
Answer:
സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 196 ച.സെമീ
196 = 14 × 14
വശങ്ങളുടെ നീളം = 14 സെമീ.

Question 2.
98 ച.സെമീ ചുറ്റളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക?
Answer:
പരപ്പളവ് 32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ.
ആദ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പരപ്പളവിന്റെ പകുതി എടുക്കുക. അത് 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഇനി, അതിന്റെ വർഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാം. അത് 4 സെന്റിമീറ്ററാണ്.
ഒരു വശം 4 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ നീളമാക്കി സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

32 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ 4 സെന്റിമീറ്റർ വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.

Question 3.
52 ച.സെമീ ചുറ്റളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
52 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ ആദ്യം 52 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
52 = 36 + 16 = 6² + 4²
അതായത്, വശങ്ങളെല്ലാം 6 സെന്റിമീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും, വശങ്ങളെല്ലാം 4 സെന്റിമീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവും, കുട്ടിയാൽ 52 കിട്ടും. അപ്പോൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 6 സെന്റിമീറ്ററും, 4 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 52 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

Question 4.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക: കർണ്ണം 10 സെന്റിമീറ്റർ, മറ്റൊരു വശം, 8 സെന്റിമീറ്റർ.
Answer:
മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം
= \(\sqrt{10^2-8^2}\)
= \(\sqrt{100-64}\)
= \(\sqrt{36}\)
= 6 സെമീ

Squares and Right Triangles Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ചതുരത്തേയും, മട്ടത്രികോണത്തെയുമാണ് പരിചയപ്പെടുന്നത്. ഒരു ചതുര ത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്നും മറ്റൊന്നിന്റെ ഇരട്ടി വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ചതുരം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്നും ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ പഠിക്കും. അടുത്തതായി ഈ അധ്യായത്തിൽ മട്ടത്രികോണത്തെയാണ് പരിചയപ്പെടുന്നത്, പൈതഗോറസ് തിയറം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മട്ടത്രികോണ ത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാമെന്നാണ് നമ്മൾ ഇവിടെ ചർച്ച ചെയുന്നത്. ഗണിതത്തിലും യഥാർത്ഥ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിലും ഈ അറിവ് നമുക്ക് ഉപകാരപ്രദമാണ്.

സമചതുരപ്പരപ്പ് എന്ന പാഠഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗവും, വർഗമൂലവും എങ്ങനെയാണ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതെന്നുമാണ് ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്.
രണ്ടാമത്തെ ഭാഗത്തിൽ, സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ഇരട്ടിയായാൽ അതിന്റെ സമചതുരം എങ്ങനെ വരക്കാം എന്നാണ് പറയുന്നത്.

അടുത്ത ഭാഗത്തിൽ, മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും, അതുപോലെ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാ ന്തവും ഉപയോഗിച്ചു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാമെമെന്നും പരിചയപ്പെടും.
നാലാമത്തെ ഭാഗത്തിൽ, പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെയാണ് മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശ ങ്ങളോട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് എന്നാണ് പറയുന്നത്.

ഈ അധ്യായത്തിലൂടെ ചതുരത്തേയും, മട്ടത്രികോണത്തെയും കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന ധാരണ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

സമചതുരപ്പരപ്പ് വർഗം (square)
വിഷയങ്ങൾ
ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാംകൃതിയെ, ആ സംഖ്യയുടെ വർഗം (square) എന്നാണ് പറയുന്നത്.
ഉദാഹരണമായി, 3 × 3 = 3² = 3 ന്റെ വർഗം
1.2 × 1.2 = 1.2² = 1.2 ന്റെ വർഗം
1\(\frac{1}{2}\) × 1\(\frac{1}{2}\) = (1\(\frac{1}{2}\))² 1 ന്റെ വർഗം

അപ്പോൾ ഏതു സമചതുരത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, അതിന്റെ വശത്തിന്റെ വർഗമാണെന്നു പറയാം.

വർഗമൂലം (square root)
5 ന്റെ വർഗം 25 എന്നതിനെ ചുരുക്കിയെഴുതുന്നത് 5² = 25 എന്നാണ്.
അതുപോലെ, 25 ന്റെ വർഗമൂലം 5 എന്നാണ്. ഇതിനെ ചുരുക്കിയെഴുതുന്നത് ‘√’ എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചാണ് . അതായിത്, √25 = 5.

ഇരട്ടിപ്പരപ്പ്
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ, ഇതിന്റെ വികർണ്ണം വശമാക്കി ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ മതി.

രണ്ടു സമചതുരവും വെവ്വേറെ കാണണമെങ്കിൽ, ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു വശം നീട്ടി, അതിൽ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം അടയാളപ്പെടുത്തി, വലിയ സമചതുരം വരയ്ക്കാം.

ചതുരവും സമചതുരവും
വശങ്ങളുടെ നീളം തുല്യമല്ലാത്ത ചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണത്തിൽ എങ്ങനെ സമചതുരം വരയ്ക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

ഈ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്, ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുമായാണ് ബന്ധം:

അത് മനസ്സിലാക്കാൻ ഒരു ചതുരവും, അതിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളിലും വികർണ്ണത്തിലും സമചതുര ങ്ങളും മുകളിലെ ചിത്രത്തിലെപോലെ കട്ടിക്കടലാസിൽ വരയ്ക്കുക.
താഴത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ വരച്ച്, അവ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന സ്ഥാനം അടയാളപ്പെടു ത്തുക.

ഈ വികർണ്ണങ്ങൾ മായ്ച്ചുകളഞ്ഞു, ആദ്യം അടയാളപ്പെത്തിയ കുത്തിലൂടെ, വലിയ സമചതുര ത്തിന്റെ വശങ്ങൾക്കു സമാന്തരമായ വരകൾ വരയ്ക്കുക:

ഇനി ഈ മൂന്നു സമചതുരങ്ങളും വെട്ടിയെടുക്കുക; ചാരനിറമുള്ള സമചതുരത്തെ, അതിനുള്ളിൽ വരച്ച വരകളിലൂടെ നാലായി മുറിക്കുക:

ചാരച്ചതുരത്തിന്റെ ഈ കഷണങ്ങളും, വെളുത്ത ചതുരം മുഴുവനായും, കറുത്ത ചതുരത്തിനുള്ളിൽ ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വച്ചുനോക്കൂ:

വശങ്ങളിലെ സമചതുരങ്ങൾകൊണ്ട് വികർണ്ണത്തിലെ സമചതുരം കൃത്യമായി നിറയ്ക്കാം.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഏതു ചതുരത്തിന്റെയും വികർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അടുത്തടുത്ത രണ്ടു വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

കർണ്ണം (hypotenuse)
ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശത്തിനെ അതിന്റെ കർണ്ണം എന്നാണ് പറയുന്നത്.

മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ലംബ വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്, കളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം എന്നാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.
ഉദാഹരണത്തിന്,ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 7 സെ.മീ യും 4 മായും, മത്തിന്റെ വശങ്ങളിലുള്ള സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകൾ
7² = 49 ച.സെമീ
4² = 16 ച.സെമീ
വികർണത്തിലുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 49 + 1 6 = 65 ച.മീ

നിശ്ചിത പരപ്പളവുള്ള ചില സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കാൻ ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് 25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക. ആദ്യം 25 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതുക.
25 = 16 + 9 = 4² + 3²
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ലംബവശങ്ങൾ 4 സെന്റിമീറ്ററും, 3 സെന്റിമീറ്ററും ആയി മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ ഒരു സമചതുരം വരച്ചാൽ 25 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം കിട്ടും.

ഇനി 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കണമെങ്കിലോ?
16 നെ രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയായി എഴുതാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ
ഇപ്പോൾ ചെയ്തപോലെ ഇങ്ങനെയൊരു സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിൽനിന്ന് മറ്റേതെങ്കിലും വശത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കുറച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ വശത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കിട്ടും.

അപ്പോൾ 16 നെ രണ്ടു വർഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതിയാലും മതി.
16 = 25 – 9 = 5² – 3²

അതിനാൽ, കർണ്ണം 5 സെന്റിമീറ്ററും, മറ്റൊരു വശം 3 സെന്റിമീറ്ററുമായ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നാ മത്തെ വശത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 16 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ ആയിരിക്കും.

ഇങ്ങനൊരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ, 3 സെന്റിമീറ്റർ നീളത്തിൽ ഒരു വരയും, അതിന്റെ ഒരറ്റത്ത് ഒരു ലംബവും വരയ്ക്കുക; ഇനി മറ്റേ അറ്റം കേന്ദ്രമായി, 5 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള വട്ടത്തിന്റെ ഭാഗം വരച്ച്, ഈ ലംബത്തെ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന സ്ഥാനം അടയാളപ്പെടുത്തുക.

നീളകണക്കുകൾ
സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ വർഗമാണ് . അപ്പോൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം, മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമായും പറയാം:
ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം, ലംബവശങ്ങളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

ഉദാഹരണമായി, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങളുടെ നീളം 3 സെന്റിമീറ്ററും, 4 സെന്റിമീറ്ററും ആണെങ്കിൽ, കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം

3² + 4² = 25
അപ്പോൾ കർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 5 സെന്റിമീറ്റർ

• ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാംകൃതിയെ, ആ സംഖ്യയുടെ വർഗം (square) എന്നാണ് പറയുന്നത്.
• ഏതു ചതുരത്തിന്റെയും വികർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, അടുത്തടുത്ത രണ്ടു വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
• ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ലംബ വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
• ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗം, ലംബവശങ്ങളുടെ വർഗങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 12 ബീജഗണിതം can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 12 Solutions Malayalam Medium ബീജഗണിതം

Class 7 Maths Chapter 12 Malayalam Medium Kerala Syllabus ബീജഗണിതം

Question 1.
അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പലത് എടുത്ത് കൂട്ടിനോക്കുക.
(i) ഈ തുകയ്ക്ക്, കൂട്ടുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു സംഖ്യയുമായി എന്തെങ്കിലും ബന്ധ മുണ്ടോ എന്നു പരിശോധിക്കുക.
(ii) ഈ ബന്ധം അടുത്തടുത്ത ഏതു മൂന്ന് എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കും എന്തുകൊണ്ടു ശരിയാ കുന്നു എന്നു വിശദീകരിക്കുക.
(iii) ഈ ബന്ധം സാധാരണഭാഷയിലും, തുടർന്ന് ബീജഗണിതരൂപത്തിലും എഴുതുക.
Answer:
ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പരിശോധിക്കാം. അവയുടെ തുകയും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
1. 21 + 22 + 23 = 66
2. 34 + 35 + 36 = 105
3. 78 + 79 + 80 = 237

(i) 21, 22, 23 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
21 + 22 + 23 = 66 ഉം
3 × 22 = 66 ആണ്.

34, 35, 36 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
34 + 35 + 36 = 105 ഉം
3 × 35 = 105 ആണ്.

78, 79, 80 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താൽ,
78 + 79 + 80 = 237 ഉം
3 × 79 = 237 ആണ്.
അതായത്, അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിര ട്ടിയാണ്.

(ii) 35, 36, 37 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്ന് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
35 നെയും 37നെയും 36 നോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ:
35 = 36 – 1
37 = 36 + 1
അതിനാൽ, മൂന്ന് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
(36 – 1) + 36 + (36 + 1) = 108
അതായത്,
(36 – 1) + 36 + (36 + 1) = 3 × 36 = 108
ഇവിടെ സംഖ്യകൾ ഒന്നിച്ചു കൂട്ടുമ്പോൾ 1 ഉം -1 ഉം നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ഇല്ലാതാകുന്നു. അതിനാൽ തുക എന്നത്

(iii) സാധാരണ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ:
അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, x – 1, x, x + 1 എന്ന മൂന്ന് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (x – 1) + x + (x + 1) = 3x

Question 2.
അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതാനും നാലു എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ, ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, നടുക്കുള്ളവയുടെ തുകയും ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

(i) അടുത്തടുത്ത ഏതു നാലു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താലും, ഇങ്ങനെയുള്ള തുകകൾ ഒരേ സംഖ്യകൾ ആകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് വിശദീകരിക്കുക.
(ii) ഈ പൊതുതത്വത്തിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
(i) 4, 5, 6, 7 എന്ന അടുത്തടുത്ത നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
4 + 7 = 4 + (4 + 3) = (2 × 4) + 3 = 11

നടുവിലെ രണ്ട് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
5 + 6 = (4 + 1) + (4 + 2) = (2 × 4) + 3 = 11

ഇവിടെ ആദ്യ സംഖ്യയോട് മറ്റ് മൂന്നു സംഖ്യകൾ ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ, ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും നടുവിലെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുകയും ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങിനോട് മൂന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

(ii)ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, n, n + 1,n + 2, n + 3 എന്ന നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
n + (n + 3) = 2n + 3
നടുവിലെ രണ്ട് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
അതായത്,
(n + 1) + (n + 2): =2n + 3

n ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, n + (n + 3) = (n + 1) + (n + 2) = 2 + 3

Question 3.
അടുത്തടുത്തുള്ള നാലു എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യക ളുടെ തുകയും, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിൽ എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ? ഈ ബന്ധത്തിന്റെ കാരണം വിശദീകരിക്കുക. ബന്ധം ബീജഗണിത രീതിയിൽ എഴുതുക. അടുത്തടുത്തുള്ള നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലോ?
Answer:
5, 6, 7, 8 എന്ന അടുത്തടുത്ത നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക. ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
5 + 6 = 5 + (5 + 1) = (2 × 5) + 1 = 11

മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
7 + 8 = (5 + 2) + (5 + 3) = (2 × 5) + 5 = 15

ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
[(2 × 5) + 5] [(2 × 5) + 1] = 15 – 11 = 4

ഇവിടെ ആദ്യ സംഖ്യയോട് മറ്റ് മൂന്നു സംഖ്യകൾ ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. അതുപോലെതന്നെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് അഞ്ച് കൂട്ടുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഈ തുകകളുടെ വ്യത്യാസം നാല് തന്നെയായിരിക്കും.

ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, 1,n + 1,n + 2,n + 3 എന്ന നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
n+ (n + 1) = 2n + 1
മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
(n + 2) + (n + 3) = 2n + 5
ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
(2n + 5) – (2n + 1) = 4

അതായത്, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമ ത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ വ്യത്യാസം എന്നത് 4 ആണ്. അതിനാൽ
n ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (n + (n + 1)] – [(n + 2) + (n + 3)] = (2n + 5) – (2n + 1) = 4

ഇവിടെയും 5, 6, 7, 8 എന്ന അടുത്തടുത്ത നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
5 + 7 = 5+ (5 + 2) = (2 × 5) + 2 = 12.

രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
6 + 8 = (5 + 1) + (5 + 3) = (2 × 5) + 4 = 14

ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
[(2 × 5) + 4] − [(2 × 5) + 2] = 14 – 12 = 2

ഇവിടെ ആദ്യ സംഖ്യയോട് മറ്റ് മൂന്നു സംഖ്യകൾ ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ, ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങിനോട് രണ്ട് കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. അതുപോലെതന്നെ രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് നാല് കൂട്ടുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഈ തുകകളുടെ വ്യത്യാസം രണ്ട് തന്നെയായിരിക്കും.

ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, 1, n + 1, n + 2, n + 3 എന്ന നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
n + (n + 2) = 2n + 2

രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
(n + 1) + (n + 3) = 2n + 4

ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
(2n + 4) – (2n + 2) = 2

അതായത്, ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെ യും സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ വ്യത്യാസം എന്നത് 2 ആണ്. അതിനാൽ
n ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, [(n + 1) + (n + 3)] – [n + (n + 2)] = (2n + 4) – (2n + 2) = 2

ഇനി ഇതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാം
ഇതിനായി ഒന്നാം നിലയിലെ സംഖ്യകളായി x, x + y, x + 2y, x + 3y എടുക്കുക

ഇതിൽ രണ്ടാമത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തണം അതിനായി ആദ്യ നിലയിലെ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുക കാണണം
അതായത്,
x + (x + y) = 2x + y
(x + y) + (x + 2y) = 2x + 3y
(x+2y) + (x + 3y) = 2x + 5y

തുടന്ന് മൂന്നാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ കാണാൻ രണ്ടാം നിലയിലെ അടുത്തടുത്ത സംഖ്യകൾ കൂട്ടുകയാണ് ചെയ്യുന്നത്
അതായത്,
(2x + y) + (2x + 3y) = 4x + 4y
(2x + 3y) + (2x+5y) = 4x + 8y

അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ = (4x + 4y) + (4x + 8y) = 8x + 12y = 4 (2x + 3y)

ഇവിടെ അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ ആദ്യ നിലയിലെ നടുവിലുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ നാല് മടങ്ങാണ്
{ഒന്നാം നിലയിലെ നടുവിലെ സംഖ്യകളുടെ തുക = (x + y) + (x + 2y) = 2x + 3y
ഈ തുകയുടെ നാല് മടങ്ങ് = 4 (2x + 3y)}

Question 4.
മൂന്നും, നാലും നിലകളുള്ള സംഖ്യാഗോപുരങ്ങൾ പോലെ അഞ്ചു നിലയുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഗോപുരത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ നിലയാണ് ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്.

(i) തുടർന്നുള്ള സംഖ്യകൾ എഴുതുന്നതിനുമുമ്പ്, ഏറ്റവും മുകളിലെ സംഖ്യ നടുവിലുള്ള 10 ന്റെ എത്ര മടങ്ങായിരിക്കും എന്ന് ഊഹിച്ചുനോക്കൂ. അതു ശരിയാണോ എന്ന് മറ്റു സംഖ്യകൾ എല്ലാം എഴുതി പരിശോധിക്കൂ.
(ii) ഒരേ അകലം ഇടവിട്ടുള്ള ഏത് അഞ്ചു സംഖ്യകളിൽ നിന്നു തുടങ്ങിയാലും അഞ്ചു നില ഗോപുരങ്ങളിൽ എല്ലാം അവസാന സംഖ്യ, ആദ്യവരിയിലെ സംഖ്യകളിൽ നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ ഒരേ മടങ്ങായിരിക്കും എന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കുക.
(iii) എല്ലാ സംഖ്യകളും എഴുതാതെതന്നെ ഇതു നിശ്ചയിക്കാനുള്ള എന്തെങ്കിലും വഴി ഉണ്ടോ?
Answer:
(i) ചിത്രത്തിലെ സംഖ്യഗോപുരം 5 നിരയിൽ ആയതിനാൽ മുകളിലുള്ള സംഖ്യ നടുവിലുള്ള 10 ന്റെ 16 മടങ്ങായിരിക്കും

മറ്റു സംഖ്യകൾ എഴുതുമ്പോൾ മുകളിലുള്ള സംഖ്യയായി 160 ആണ് കിട്ടുന്നത് ഇത് 10 ന്റെ 16 മടങ്ങാണ്.

(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ x ൽ തുടങ്ങി y വീതം കൂടിയ 5 സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം
x, x + y, x + 2y, x + 3y, x + 4y

രണ്ടാമത്തെ നിര
x + (x + y) = 2x + y
(x + y) + (x + 2y) = 2x + 3y
(x+2y) + (x + 3y) = 2x+5y
(x + 3y) + (x+4y) = 2x + 7y

മൂന്നാമത്തെ നിര
(2x + y) + (2x + 3y) = 4x + 4y
(2x + 3y) + (2x + 5y) = 4x + 8y
(2x+5y) + (2x + 7y) = 4x + 12y

നാലാമത്തെ നിര
(4x+4y) + (4x + 8y) = 8x + 12y
(4x+8y) + (4x + 12y) = 8x + 20y

അഞ്ചാമത്തെ നിര
(8x + 12y) + (8x + 20y) = 16x + 32y

ഇവിടെ മുകളിലെ സംഖ്യയായി വരുന്നത് 16x + 32y ആണ്
എന്നാൽ, 16x + 32y = 16 (x + 2y)
അതായതു ആദ്യനിരയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ 16 മടങ്ങാണ് മുകളിലെ സംഖ്യ

(iii) ഇവിടെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിലെ സംഖ്യകൾ 2x + y, 2x + 3y, 2x + 5y, 2x + 7y എന്നുകിട്ടും
ഇതിൽ നടുവിലെ രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ (2x + 3y) + (2x + 5y) = 4x + 8y എന്ന് കിട്ടും
ഈ നിരക്കുമുകളിൽ മറ്റു മൂന്ന് നിര കൂടി ഉള്ളതിനാൽ ഏറ്റവും മുകളിലെ സംഖ്യ ഈ നിരയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യകൾ കൂടിയതിന്റെ നാലിരട്ടി ആയിരിക്കും.
അതായതു, മുകളിലെ സംഖ്യ = 4(4x + 8y) = 16x + 32y

Question 5.
ഇവിടെ കണ്ടതുപോലെ സംഖ്യാഗോപുരം ഉണ്ടാക്കാൻ ഏതു സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം (ഒരേ അകലം ഇടവിട്ട് ആകണമെന്നില്ല). ഉദാഹരണമായി ഈ ഗോപുരം നോക്കുക.

(i) ഇതുപോലെ ഈ ഗോപുരത്തിലെ ഒഴിഞ്ഞകളങ്ങളിലെ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കി എഴുതുക.

(ii) ഇതുപോലെയുള്ള ഒരു ഗോപുരത്തിൽ, 10 കൾ ഒന്നും മാറ്റാതെ, താഴത്തെ വരിയിലെ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ മാത്രം മാറ്റി (1 നും 2 നും പകരം എഴുതി തുടർന്നുള്ള സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക. ഏറ്റവും മുകളിലെ സംഖ്യ 50 തന്നെ കിട്ടുന്നുണ്ടോ ?
(iii) ഇതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കുക.
(iv) ചുവടെയുള്ള ഗോപുരത്തിലെ ഒഴിഞ്ഞ കളങ്ങളിലെ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കി എഴുതുക.

Answer:

സംഖ്യകൾ മാറ്റിയാലും മുകളിലെ സംഖ്യ 50 തന്നെ ആകും

(iii) 2 നു പകരം x എടുത്താൽ താഴത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ : 10, x, 10 – x, 10
രണ്ടാമത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ : 10 + x, 10, 20
മൂന്നമത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ : 20 + x, 30 – x
മുകളിലെ നിലയിലെ സംഖ്യ : (20 + x) + (30 – x) = 50

(iv)

Question 6.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതിലേതുപോലെ 1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ വരിയും നിരയുമായി എഴുതുക; രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെപ്പോലെ അതിൽ 9 സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ള പല സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. എല്ലാ സമചതുരങ്ങളുടെയും നടുക്കുള്ള സംഖ്യകളും അടയാളപ്പെടുത്തുക:

Answer:
ഓരോ സമചതുരത്തിലും ചുവടെ പറയുന്നവ കണക്കാക്കുക:
(i) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും അതിന്റെ ഇടതും വലതുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
(ii) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും അതിന്റെ മുകളിലും താഴെയുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
(iii) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും സമചതുരത്തന്റെ എതിർമുലകളിലെ സംഖ്യകളുടെ തുകകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
(iv) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം. ഇവയെല്ലാം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
(i) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 13 + 15 = 28
ഇതിൽ നിന്നും നടുവിലെ സംഖ്യ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്നു കിട്ടും
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ \(\frac{28}{2}\) = 14
രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 62 + 64 = 126
ഇതിൽ നിന്നും നടുവിലെ സംഖ്യ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്നു കിട്ടും
അതായത് , നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{126}{2}\) = 63

മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 77 + 79 = 156
ഇതിൽ നിന്നും നടുവിലെ സംഖ്യ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്നു കിട്ടും
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{156}{2}\) = 78
ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം

ഇവിടെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 11
നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക
= (x + 10) + (x + 12) = 2x + 22
ഇതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, \(\frac{1}{2}\) = x + 11

(ii) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 4 + 24 = 28
ഇവിടേയും നടുവിലെ സംഖ്യ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്ന് കിട്ടും.
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{28}{2}\) = 14

രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 53 + 73 = 126
ഇവിടേയും നടുവിലെ സംഖ്യ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്ന് കിട്ടും.
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{126}{2}\) = 63
മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 68 + 88 = 156
ഇവിടേയും നടുവിലെ സംഖ്യ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്ന് കിട്ടും.
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{156}{2}\) = 78
ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം
ഇവിടെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 11
നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ
= (x + 1) + (x + 21) = 2x + 22

ഇതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, \(\frac{2 x+22}{2}\) = x + 11

(iii) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 3, 25, 5, 23
ഇവയുടെ തുക = 3 + 25 + 5 + 23 = 56
ഈ തുകയെ നാലുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{3+25+5+23}{4}=\frac{56}{4}\) = 14
രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 52, 74, 54, 72
ഇവയുടെ തുക = 52 + 74 + 54 + 72 = 252
ഈ തുകയെ നാലുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{52+74+54+72}{4}=\frac{252}{4}\) = 63
മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 67, 89, 69, 87
ഇവയുടെ തുക = 67 + 89 + 69 + 87 = 312
ഈ തുകയെ നാലുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{67+89+69+87}{4}=\frac{312}{4}\) = 78

ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം

ഇവിടെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 11
നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക
= x + x + 2 + x + 20 + x + 22 = 4x + 44
ഈ തുകയെ നാലു കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ = \(\frac{4 x+44}{4}\) = x + 11

(iv) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= 3 + 4 + 5 + 13 + 14 + 15 + 23 + 24 + 25 = 126

ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ
\(\frac{3+4+5+13+14+15+23+24+25}{9}=\frac{126}{9}\) = 14

രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= 52 +53 +54 + 62 + 63 + 64 + 72 ‘+ 73 + 74 = 567

ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ
\(\frac{3+4+5+13+14+15+23+24+25}{9}=\frac{126}{9}\) = 14

മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,

സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= 67 + 68 + 69 + 77 78 79 + 87 + 88+ 89 = 702

ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ
= \(\frac{67+68+69+77+78+79+87+88+89}{9}=\frac{702}{9}\) = 78

ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം

സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= x + x + 1 + x + 2 + x + 10 + x + 11 + x + 12 + x + 20 + x + 21 + x + 22
= 9x + 99
= 9 (x + 11)

ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ
= \(\frac{9(x+11)}{9}\)
= x + 11

Question 7.
കലണ്ടറിൽ അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതെങ്കിലും നാലു സംഖ്യകൾ വരുന്ന സമചതുരങ്ങൾ പലയിട ത്തായി വരയ്ക്കുക:

(i) ഇങ്ങനെയുള്ള ഏതു സമചതുരത്തിലും നാലു സംഖ്യകളുടെയും തുക നാലിന്റെ ഗുണിതം ആകുന്നതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കുക.
(ii) ഈ തുകയും സമചതുരത്തിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
(i) കലണ്ടറിൽ അടുത്തടുത്ത് വരുന്ന നാലു സംഖ്യകളെ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചെഴുതുമ്പോൾ കിട്ടുന്നത് താഴെ കൊടുക്കുന്നു

x	(x + 1)
(x + 7)	(x + 8)

ഈ നാലു സംഖ്യകളും കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന തുക = x + (x + 1) + (x + 7) + (x + 8)
= 4x + 16
= 4(x + 4)
അതായതു, ഇവയുടെ തുക എപ്പോഴും നാലിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും

(ii) സമചതുരത്തിലെ ചെറിയ സംഖ്യയായി x എടുത്താൽ
സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന തുക = 4(x + 4)
ഇതിൽ നിന്നും ചെറിയ സംഖ്യ x = \(\frac{തുക – 16}{4}\) എന്ന് കിട്ടും

Question 8.
3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയും, മിച്ചം 2 വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടുക. ഇത്തരം ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയെയും 3 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാം എന്നതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 വരുന്ന സംഖ്യ 7 എന്ന് എടുക്കാം അങ്ങനെയെങ്കിൽ, 7 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
7 = (2 × 3) + 1
3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 2 വരുന്ന സംഖ്യ 17 എന്ന് എടുക്കാം അങ്ങനെയെങ്കിൽ, 17 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
17 = (5 × 3) + 2
7 ഉം 17 ഉം തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ,
7 + 17 = 24 = 3 × 8
അതായത്, ഇവരുടെ തുകയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാദിക്കും
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയെയും 3 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കുന്നത് എങ്ങിനെയെന്ന് നോക്കാം.
അതിനായി,
3n + 1 (3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1) എന്നും 3m + 2 (3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 2) എന്നും ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇതിൽ, m,n ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ആകാം. അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
(3m + 1) + (3n + 2) = 3m + 3n + 3 = 3(m + n + 1)
എന്നാൽ m + n + 1 = p ആണെങ്കിൽ
(3m + 1) + (3n + 2) = 3p
ഇവിടെ p എന്നത് ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യ ആണ്
അതായത് 3 ന്റെ ഗുണനം “3p” ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയും, മിച്ചം 2 വരുന്ന മറ്റൊരു സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന തുകയെ 3 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ സാധിക്കും.

Question 9.
12 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 11 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ് 12, 23, 34,…
(i) ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെയും 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം എത്രയാണ് ?
(ii) ഇവയുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ടാകുമോ ? 1000 ആയാലോ ?
Answer:
(i) മിച്ചം 1 ആയിരിക്കും. അതായത് സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
12 = (1 × 11) + 1
23 = (2 × 11) + 1
34 = (3 × 11 ) + 1
(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 11n + 1 എന്നെഴുതാം. എന്നാൽ n എന്നത് 1, 2, 3, … എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
100 = (9 × 11) + 1
അതായത് 100 നെ 11n + 1 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
ചുരുക്കത്തിൽ 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ട്.
1000 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
1000 = (90 × 11) + 10
ഇവിടെ മിച്ചം 1 അല്ല.
അതായത് 1000 നെ 111 + 1 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല.
ചുരുക്കത്തിൽ 1000 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.

Question 10.
21 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 11 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ് 21, 32, 43…..
(i) ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെയും 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം എത്രയാണ് ?
(ii) ഇവയുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ടാകുമോ ? 1000 ആയാലോ ?
Answer:
(i) മിച്ചം 10 ആണ്
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
21 = (1 × 11) + 10
32 = (2 × 11) + 10
43 = (3 × 11) + 10
(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 11n + 10 എന്നെഴുതാം. എന്നാൽ 1 എന്നത് 1, 2, 3, ………. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.

(iii) 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
100 = (9 × 11) + 1
ഇവിടെ മിച്ചം 10 അല്ല
അതായത് 100 നെ 11n + 10 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല. ചുരുക്കത്തിൽ 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.
1000 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
1000 = (90 × 11) + 10
അതായത് 1000 നെ 11n + 10 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
ചുരുക്കത്തിൽ 1000 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ട്.

Question 11.
ഒരു രണ്ടക്ക സംഖ്യയും, അതു തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടുക. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ എല്ലാം 11 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീ കരിക്കുക.
Answer:
ഉദാഹരണമായി, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് രണ്ടക്കസംഖ്യകളും അത് തിരിച്ചെഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രണ്ടക്ക സംഖ്യയകളും പരിഗണിക്കാം,
അതായത്,
23 + 32 = 55
35 + 53 = 88
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പരിശോധിക്കാം:
രണ്ടക്കസംഖ്യ 10m + n എന്നെടുക്കാം. ഇതിലെ അക്കങ്ങളായ m n ഇവയുടെ സ്ഥാനം പരസ്പരം മാറ്റിയാൽ, തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യ 10 n + m എന്ന് കിട്ടും.
ഇനി രണ്ടക്ക സംഖ്യയുടെയും തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യയുടെയും തുക കാണാം.
(10m + n) + (10n + m) = 10m + n + 10n + m
= 11m + 11n
= 11(m + n)
ഈ തുക 11 ന്റെ ഗുണിതമാണ്
ഇങ്ങനെ ചെയ്തതിൽനിന്ന്, m + n എന്നത് സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള തുകയാണെന്ന് ലഭിക്കും.

Question 12.
ഏതു രണ്ടക്കംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
53 എന്ന ഒരു രണ്ടക്കസംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.
സംഖ്യയകളുടെ തുക എന്നത് = 5 + 3 = 8 ആണ്.
ഇനി രണ്ടക്ക സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
അതായത്, 53 – 8 = 45 = 9 × 5
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പരിശോധിക്കാം:
രണ്ടക്കസംഖ്യ എന്നത് 10 a + b എന്നെടുക്കാം.
എന്നെടുക്കാം. ഇതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക എന്നത് a + b
എന്നാൽ രണ്ടക്കസംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
(10a + b) – (a + b) = 10a + b – a – b = 9a
അതായത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ് ലഭിക്കുന്നത്.

Question 13.
(i) മൂന്നക്ക സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(ii) ഏതു മുന്നക്കസംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി, വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ 99 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
(iii) ഏതു മൂന്നക്ക സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
(i) മൂന്നക്ക സംഖ്യ എന്നത് xyz എന്ന് പരിഗണിക്കാം.
ഇതിൽ, നൂറിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം x എന്നും പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം ) എന്നും ഒന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 2 എന്നും എടുക്കാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം,
100x + 10y + z ആണ്.

(ii) 531 എന്ന മൂന്നക്ക സംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.
ഈ സംഖ്യ തിരിച്ചെഴുതിയാൽ 135 എന്ന് കിട്ടും.
ഇനി വലുതിൽ നിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ,
531 135 = 396 എന്ന് ലഭിക്കും
396 നെ 99 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ,
396 – 99 = 4 എന്ന് ലഭിക്കും.
അതായത്, 99 ന്റെ ഗുണിതമാണ് 396.
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പറഞ്ഞാൽ: മൂന്നക്ക സംഖ്യ എന്നത്
100a + 10b + c എന്ന് ലഭിക്കും.
ഈ സംഖ്യ തിരിച്ചെഴുതിയാൽ, 100c + 10b + a എന്ന് ലഭിക്കും.
ഈ സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം എന്നത്:
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= 100a – a + 10b – 10b + c – 100c
= 99a – 99c
= 99(a – c)
ഏതു മുന്നക്കസംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി, വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ 99 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
ഈ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 99 (a – c) ആണ്.

(iii) 352 എന്ന ഒരു മൂന്നക്ക സംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.
സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് = 3 + 5 + 2 = 10 ആണ്.
ഇനി രണ്ടക്കസംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
അതായത്, 352 – 10 = 342
342 നെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ,
396 ÷ 9 = 38 എന്ന് ലഭിക്കും.
അതായത്, 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ് 342.
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പറഞ്ഞാൽ:
മൂന്നക്ക സംഖ്യ എന്നത്
100a + 10b + c എന്നെടുക്കാം.
ഇതിൽ സംഖ്യയകളുടെ തുക എന്നത് = a + b + c ആണ്
എന്നാൽ മൂന്നക്ക സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
(100a + 10b + c) − (a + b + c) = 100a + 10b + c – a – b – c
= (100a − a) + (10b − b) + (c − c)
= 99a + 9b = 9(11a + b)
ഏതു മൂന്നക്കസംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 9 (11 a + b) ആണ്.

Intext Questions And Answers

Question 1.
ഇവിടെ അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യയും ആദ്യ നിലയിലെ സംഖ്യകളും തമ്മിൽ എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ?
Answer:
അവസാന നിരയിലെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക = 2 + 3 = 5
ഈ തുകയെ നാലു കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ കിട്ടും.
അതായത് , 4 × 5 = 20

Question 2.
ഇതുപോലെ ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയും ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയും കൂട്ടിയാൽ ഒറ്റസംഖ്യ കിട്ടുന്നത് എന്തു കൊണ്ടാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കാമോ?
Answer:
ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യ 2m എന്നും ഒറ്റസംഖ്യ 2n +1 എന്നും പരിഗണിക്കാം ഇതിൽ, m, n ഇവ പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
2m+ (2n + 1 ) = 2m + 2n + 1
= 2(m + n) + 1
എന്നാൽ m + n = p ആണെങ്കിൽ
2m + (2n + 1) = 2p + 1
ഇവിടെ p എന്നത് പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ 2p എന്നത് ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയാണ്.
ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയുടെ കൂടെ 1 കൂട്ടിയാൽ ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ലഭിക്കും.
അതായത്, ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യ 2m ഉം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ 21 + 1 ഉം തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ ഒറ്റസംഖ്യ 2p+1 ലഭിക്കും

Algebra Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
9 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 10 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിതരൂപം
എഴുതുക.
Answer:
9 + 10 = 19
19 + 10 = 29
29 + 10 = 39
9 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 10 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ 19, 29, 39…. ആണ് ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 10 n + 9 എന്നെഴുതാം.

Question 2.
14 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 11 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ് 14, 25, 36, ………..
(i) ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെയും 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം എത്രയാണ് ?
(ii) ഇവയുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ടാകുമോ ? 1000 ആയാലോ ?
Answer:
(i) മിച്ചം 3 ആയിരിക്കും. അതായത് സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
14 = (1 × 11 ) + 3
25 = (2 × 11 ) + 3
36 = (3 × 11) + 3

(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 11n + 3 എന്നെഴുതാം. എന്നാൽ n എന്നത് 1, 2, 3, … എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.

(iii) 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
100 = (9 × 11) + 1
ഇവിടെ മിച്ചം 3 അല്ല.
അതായത് 100 നെ 11n + 3 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല. ചുരുക്കത്തിൽ 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.
1000 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
1000 = (90 × 11) + 10
ഇവിടെ മിച്ചം 3 അല്ല.
അതായത് 1000 നെ 11n + 3 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല.
ചുരുക്കത്തിൽ 1000 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.

Question 3.
അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പലത് എടുത്ത് കൂട്ടിനോക്കുക.
(i) ഈ തുകയ്ക്ക്, കൂട്ടുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു സംഖ്യയുമായി എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ എന്നു പരിശോധിക്കുക.
(ii) ഈ ബന്ധം അടുത്തടുത്ത ഏതു അഞ്ച് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾക്കും എന്തുകൊണ്ടു ശരിയാ കുന്നു എന്നു വിശദീകരിക്കുക.
(iii) ഈ ബന്ധം സാധാരണഭാഷയിലും, തുടർന്ന് ബീജഗണിതരൂപത്തിലും എഴുതുക.
Answer:
ഏതെങ്കിലും അഞ്ച് അടുത്തടുത്ത് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ പരിശോധിക്കാം. അവയുടെ തുകയും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
34 +35 +36 + 37 + 38 = 180

(i) 34, 35, 36, 37, 38 എന്ന അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
34 + 35 +36 + 37 + 38 180 20
5 × 36 = 180 ആണ്.
അതായത്, അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയാണ്.

(ii) 34, 35, 36, 37, 38 എന്ന അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
34 നെയും 35 നെയും 37നെയും 38 നെയും 36 നോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ:
34 = 36 – 2
35 = 36 – 1
37 = 36 + 1
38 = 36 + 2
അതിനാൽ, അഞ്ച് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
(36 – 2) + (36 – 1) + 36 + (36 + 1) + (36 + 2) = 180
അതായത്,
(36 – 2) + (36 – 1) + 36 + (36 + 1) + (36 + 2) = 5 × 36 = 180
ഇവിടെ സംഖ്യകൾ ഒന്നിച്ചു കൂട്ടുമ്പോൾ 2 ഉം 1 ഉം -1 ഉം -2 ഉം ഇല്ലാതാകുന്നു. അതിനാൽ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയാണ്.

(iii) സാധാരണ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ:
അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, x – 2, x – 1, x, x + 1, x + 2 എന്ന അഞ്ച് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (x – 2) + (x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) = 5x

Question 4.
അഞ്ചു നിലയുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഗോപുരത്തിന്റെ ആദ്യ നിലയിലുള്ള സംഖ്യ 1 ൽ തുടങ്ങി 2 വീതം കൂടി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് മറ്റു നിലകളിലെ സംഖ്യകളും എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ആദ്യ നിലയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യയും അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.

Answer:
ഗോപുരത്തിലെ സംഖ്യകളെ ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ

ആദ്യ വരിയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 4
അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ = 16x + 64 = 16 (x + 4)
ഇതിൽനിന്നും അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ ആദ്യനിലയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ 16 മടങ്ങാണെന്ന് കിട്ടുന്നു.

Algebra Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ, ബീജഗണിതത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ട് അളവുകളെയും സംഖ്യ കളെയും കുറിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ കൂടുതൽ ലളിതമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനുള്ള വ്യത്യസ്ത മാർഗ്ഗങ്ങൾ നാം മനസ്സിലാക്കും. ചിഹ്നങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് അളവുകളുടെയും സംഖ്യകളും ടെയും ബന്ധങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ശക്തമായ ഉപകരണമായി ബീജഗണിതം വർത്തിക്കുന്നു, ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ ആശയങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.

രണ്ട് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക ചെറിയ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടിയുടെ കൂടെ ഒന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
x + (x + 1) = 2x + 1

മൂന്ന് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയുടെ രണ്ടിരട്ടിയോട് തുല്യമായിരിക്കും. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
(x-1) + (x + 1) = 2x

2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളെയാണ് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ എന്ന് പറയുന്നത്. അതായത്, 2n എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്നതെല്ലാം ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും, ഇതിൽ n എന്നത്, 0, 1, 2, 3…. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.

2 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഒറ്റസംഖ്യകൾ എന്ന് പറയുന്നത്. അതായത്, 2n + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്നതെല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും; ഇതിൽ n എന്നത്, 0, 1, 2, 3, … എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.

എല്ലാ രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയും വരികളും നിരകളുമായി ക്രമീകരിച്ചാൽ അതിനെ ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാൻ സാധിക്കും: 10m + n (m = 1, 2, …,9; n = 0, 1, 2,…,9)

രണ്ടക്ക സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങൾ തിരിച്ചെഴുതി കിട്ടുന്ന ഒരു സംഖ്യ, അവയിലെ വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ചെറിയ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന വ്യത്യാസം ഒമ്പതിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും. ഈ വ്യത്യാസം m – n ആണെങ്കിൽ m, n സംഖ്യകളുടെ അക്കങ്ങൾ ആയിരിക്കും

ഈ അധ്യായത്തിലുടനീളം, അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വിവിധ സെറ്റിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം നാം കണ്ടെത്തും. ഇത് നമ്മെ ബീജഗണിതത്തിന് സംഖ്യകളുടെ ബന്ധങ്ങളെ എങ്ങനെ ലളിതവും വ്യത്യസ്തവും മാക്കാൻ കഴിയും എന്ന വ്യക്തമായ ധാരണ നൽകാൻ സാധിക്കുന്നു.

സംഖ്യകളും ബീജഗണിതവും
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു അളവുകളെയും സംഖ്യകളെയും കുറിച്ചുള്ള കാര്യങ്ങൾ അക്ഷരങ്ങളായി ചുരുക്കിയെഴുതുന്ന വിവിധ രീതികളെ കുറിച്ചു മനസ്സിലാക്കിയല്ലോ.

ആദ്യം തന്നെ നമുക്ക് അടുത്തടുത്ത രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ പരിശോധിക്കാം. ഉദാഹരണമായി 156, 157 എന്ന സംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇവിടെ 156 നോട് 157 കൂട്ടിയാലും, 156 ന്റെ 2 മടങ്ങിനോട് 1 കൂട്ടിയാലും ഒരേ സംഖ്യയാണോ കിട്ടുന്നാത് എന്ന് പരിശോധിക്കാം.
അതായത്,
156 + 157 = 313
(2 × 156) + 1 = 313
ഇവിടെ, ആദ്യത്തെ ക്രിയയിലെ 157 രണ്ടാമത്തെ ക്രിയയിൽ ഇല്ല. അതിനാൽ, 157 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതിയാലോ
156 + 1 = 157

അപ്പോൾ,
156 + 157 = 156 + (156 + 1)

അതായത്,
156 + (156 + 1) = (156 + 156) + 1 = (2 × 156) + 1
ഒരു പൊതുതത്വമായി ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം.

അടുത്തടുത്ത ഏതു രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും, അവയിലെ ചെറിയ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും ഒരേ സംഖ്യയാണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.
x ഉം y ഉം അടുത്തടുത്തുള്ള രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ആണെങ്കിൽ ചെറിയസംഖ്യയെ x എന്നും വലിയ സംഖ്യയെ എന്നും എടുക്കാം. x ഉപയോഗിച്ച് അടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യയെ x + 1 എന്ന് എഴുതാം.
അതായത് x നോട് 1 കൂട്ടിയത്.
അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇങ്ങനെ തുടങ്ങാം:
(i) x ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യ
(ii) അടുത്ത എണ്ണൽസംഖ്യ x + 1
(iii) ഇവ രണ്ടും കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ x + (x + 1)

അടുത്തതായി, ചെറിയ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യ നോക്കാം:
(i) ചെറിയ സംഖ്യ x
(ii) അതിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് 2x
(iii) അതിനോട് 1 കൂട്ടിയത് 2x + 1

അതിനാൽ മുകളിൽ എഴുതിയ തത്വത്തിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും x + (x + 1) = 2x + 1

ഈ തത്വം എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കു മാത്രമല്ല ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്.
അതായത്, എണ്ണൽസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് കണ്ടുപിടിച്ച തത്വം എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്. അടുത്ത ടുത്ത സംഖ്യകൾ എന്നതിനു പകരം, സംഖ്യയും അതിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയതും എന്നു മാറ്റണം എന്നുമാത്രം. അതിനാൽ, നമ്മുക്ക് പറയാം

ഒരു സംഖ്യയും അതിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും, അവയിലെ ചെറിയ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും ഒരേ സംഖ്യ തന്നെയാണ്.

നമ്മുക്ക് അറിയാമല്ലോ.
x, y, z ഏതു സംഖ്യകളായാലും (x + y) + z = x + (y + z)

ഈ സമവാക്യം തിരിച്ചു വായിച്ചാൽ
x + (y + z) = (x + y) + z

ഇവിടെ y നെ x എന്നും z നെ 1 ആയും എടുത്താൽ
x + (x + 1) = (x + x) + 1
അതായത്,
x + (x + 1) = 2x + 1

ബീജഗണിതം 12 ഇനി അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പരിശോധിച്ചാലോ. ഉദാഹരണമായി 54, 55, 56 എന്ന സംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇവിടെ 54 + 56 ഉം ചെയ്താലും 55 × 2 ഉം ചെയ്താലും ഒരേ സംഖ്യയാണോ കിട്ടുന്നാത് എന്ന് പരിശോധിക്കാം.
അതായത്,
54 + 56 = 110
2 × 55 = 110
ഇവിടെ 54 നെയും 56 നെയും, 55 നോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ:
54 = 55 – 1
56 = 55 + 1
അപ്പോൾ,
54 + 56 = (55 – 1) + (55 + 1)

ഇനി (55 – 1) + (55 + 1) ൽ ചെയ്യുന്ന ക്രിയകൾ മൊത്തമായി നോക്കാം:
രണ്ട് 55 കൾ കൂട്ടിയിട്ടുണ്ട്
ഒരു 1 കൂട്ടിയിട്ടുണ്ട്
ഒരു 1 കുറച്ചിട്ടുമുണ്ട്

അതായത്,
54 + 56= (55 – 1) + (55 + 1)
= (2 × 55) + 1 – 1
= 2 × 55
ഒരു പൊതുതത്വമായി ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യ കളുടെ തുകയും നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങും ഒരേ സംഖ്യയാണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.

ഇവിടെ നടുവിലെ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ ക്രിയ വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ട്, ആ സംഖ്യയെ x എന്നെടുത്താൽ.
നടുവിലെ സംഖ്യ x
ആദ്യത്തെ സംഖ്യ x ൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചത്, അതായത് x – 1
അവസാനത്തെ സംഖ്യ x നോട് 1 കൂട്ടിയത്, അതായത് x + 1

അപ്പോൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ കാര്യം സമവാക്യമായി എഴുതിയാൽ,
(x-1) + (x + 1) = 2x

നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ (x – 1) + (x + 1) ലെ ക്രിയകളെല്ലാം ഒരുമിച്ചു നോക്കിയാൽ, രണ്ട് x കൂട്ടി, വീണ്ടും 1 കൂട്ടി, 1 കുറച്ചു; ഫലത്തിൽ രണ്ട് x കൂട്ടിയതു മാത്രം. അതായത് x നെ രണ്ടുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചത്.
x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (x – 1) + (x + 1) = 2x
ഇതുതന്നെ ഇങ്ങനെയും എഴുതാം:
x, y, z ഇവ അടുത്തടുത്ത ഏതു മൂന്ന് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ആയാലും x + z = 2y ആണ്.

സംഖ്യാകൗതുകങ്ങൾ
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് നാലു നിലയുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഗോപുരമാണ്

ഇവിടെ താഴത്തെ നിലയിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 1, 2, 3, 4
രണ്ടാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ = 3 [1 + 2], 5[2 + 3], [3 + 4] {ഇവിടെ ഒന്നാം നിലയിലെ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാണ് രണ്ടാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ കിട്ടുന്നത്
മൂന്നാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ = 8 [3 + 5], 12 [5 + 7]
അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ = 20 [8 + 12]

ഏതു എണ്ണൽ സംഖ്യയെയും മറ്റൊരു എണ്ണൽ സംഖ്യകൊണ്ടു ഹരിച്ച്, മടങ്ങും മിച്ചവുമായി എഴുതാം.
ഉദാഹരണമായി, 7, 3 എന്ന രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാം:
7 നെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ,
7 = (3 × 2) + 1 എന്നെഴുതാം

3 നെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ,
3 = ( 0 × 7) + 3 എന്നെഴുതാം

2 കൊണ്ടു മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാം
ഉദാഹരണം:
2 = 1 × 2
4 = 2 × 2
6 = 3 × 2
ഇങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളെയാണ് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ എന്നു വിളിക്കുന്നത്.
എന്നാൽ, 0 = 0 × 2
അതായത്, 0 വും ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ.
ഇക്കാര്യം ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാം:

ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയെയും 21 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ 1 എന്നത്, 0, 1, 2, 3, …….. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.

ഇനി 2 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാം
ഉദാഹരണം:
1 = (0 × 2) + 1
3 = (1 × 2) + 1
5 = (2 × 2) + 1
ഇങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളെയാണ് ഒറ്റസംഖ്യകൾ എന്നു വിളിക്കുന്നത്.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,

2 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഒറ്റസംഖ്യകൾ.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പറഞ്ഞാൽ;

ഏത് ഒറ്റസംഖ്യയെയും 2 1 + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ n എന്നത്, 0, 1, 2, 3,… എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതു രണ്ട് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതും ഇരട്ടസംഖ്യ തന്നെയാണെന്ന് കാണാം.
അതിനായി, 2m എന്നും 21 എന്നും ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇതിൽ, m, n ഇവ പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
2m + 2n = 2 (m + n)
എന്നാൽ m + n = p ആണെങ്കിൽ
2m + 2n = 2p
ഇവിടെ p എന്നത് പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അതായത്, 2p എന്നത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതു രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതും ഇരട്ടസംഖ്യ തന്നെയാണെന്ന് കാണാം.
അതിനായി, 2m + 1 എന്നും 2n + 1 എന്നും ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇതിൽ, m, n ഇവ പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2
= 2(m + n + 1)
എന്നാൽ m + n + 1 = p ആണെങ്കിൽ
(2m + 1)(2n + 1) = 2 p
ഇവിടെ p എന്നത് പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അതായത്, 2p എന്നത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

3 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന മിച്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഇവ പരിഗണിച്ചാൽ

സംഖ്യാക്കുട്ടം	സവിശേഷത	ബീജഗണിതരൂപം
0, 3, 6, 9,…	3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 0	3n (n = 0, 1, 2, 3 …)
1, 4, 7, 10, …	3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1	3n + 1 (n = 0, 1, 2, 3 …)
2, 5, 8, 11,…	3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 2	3n + 2 (n = 0, 1, 2, 3 …)

അക്കങ്ങളും സംഖ്യകളും
രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയെല്ലാം ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വരിയും നിരയുമായി എഴുതാം:

ആദ്യത്തെ വരിയിലെ സംഖ്യകൾ,
10 നോട് 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ കൂട്ടികിട്ടുന്നവയാണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, അവയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ സംഖ്യകൾ,
10 + n (n = 0, 1, 2, …, 9)

20 നോട് 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ കൂട്ടികിട്ടുന്നവയാണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, അവയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
20 + n ( n = 0, 1, 2, …,9)

ഇങ്ങനെ ഓരോ വരിയിലെയും സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതാമല്ലോ

ഇങ്ങനെ എഴുതുമ്പോൾ n എന്നത്, ഈ സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം ഒന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ്. പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം m എന്നും എഴുതിയാൽ, എല്ലാ സംഖ്യകളെയും 10 m + n എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിലാക്കാം.

അതായത്, രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
10m + n (m = 1, 2,…,9 & n = 0, 1, 2,… 9) എന്നതാണ്.

ഇനി ഇത് ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു കണക്കുനോക്കാം:
ഏതെങ്കിലും ഒരു രണ്ടക്കസംഖ്യയും അത് തിരിച്ചെഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രണ്ടക്ക സംഖ്യയും എടുത്ത്, വലുതിൽനിന്ന് ചെറുത് കുറയ്ക്കുക.
ഉദാഹരണമായി, 32 – 23 = 9
42 – 24 = 18
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പരിശോധിക്കാം:
ഇങ്ങനെയെടുക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ, വലുതിനെ 10m + n എന്നെടുക്കാം;
ഇതിലെ അക്കങ്ങളായ m n ഇവയുടെ സ്ഥാനം പരസ്പരം മാറ്റിയാൽ, തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യയാ കുമല്ലോ; അതായത്, തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യ 10n + m.

ഇനി വലുതിൽ നിന്നു ചെറുതു കുറയ്ക്കാൻ 10m + n എന്ന സംഖ്യയിൽനിന്ന് 10n + m എന്ന തുക കുറയ്ക്കണം.
അതായത്, (10m + n) (10n + m) = (10m + n – 10n) – m
= (10m – 10n + n) – m
= (10m – 9n) – m
= 10m – m – 9n
= 9m – 9n = = 9(m − n)

ഈ വ്യത്യാസം 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ്
ഇങ്ങനെ ചെയ്തതിൽനിന്ന്, m – n എന്നത് സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണെന്ന് ലഭിക്കും.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, ഏതു രണ്ടക്കസംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതം ആണെന്നു മാത്രമല്ല, അക്കങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ 9 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആണ് എന്നും കാണാം.

രണ്ട് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക ചെറിയ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടിയുടെ കൂടെ ഒന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
x + (x + 1) = 2x + 1
മൂന്ന് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയുടെ രണ്ടിരട്ടിയോട് തുല്യമായിരിക്കും. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
(x – 1) + (x + 1) = 2x

• ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയെയും 21 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ 1 എന്നത്, 0, 1, 2, 3, ….. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
• ഏത് ഒറ്റസംഖ്യയെയും 2n + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ 1 എന്നത്, 0, 1, 2, 3,… എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
• രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയെല്ലാം വരിയും നിരയുമായി എഴുതിയാൽ, രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
  10m + n ( m = 1, 2, …,9 & n = 0, 1, 2, ……… ,9) എന്നതാണ്.
• ഏതു രണ്ടക്ക സംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ്. m – n എന്നത് സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണെന്നും ലഭിക്കും.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 13 ശതമാനം can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 13 Solutions Malayalam Medium ശതമാനം

Class 7 Maths Chapter 13 Malayalam Medium Kerala Syllabus ശതമാനം

Question 1.
ഒരു ഇലക്ട്രോണിക്സ് കമ്പനി, അവർ കഴിഞ്ഞ വർഷം നിർമ്മിച്ച ചില ഉപകരണങ്ങൾ വില കുറച്ചു വിൽക്കുന്നു. ഓരോന്നിന്റെയും വിലക്കുറവ് ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ കാണാം:

ഉപകരണം	പഴയ വില	കിഴിവ്
ലാപ്ടോപ്	65000	10%
മൊബൈൽഫോൺ	25000	20%
സ്മാർട് വാച്ച്	12000	30%

ഓരോന്നിന്റെയും ഇപ്പോഴത്തെ വില കണക്കാക്കുക.
Answer:
ലാപ്ടോപിന്റെ പഴയ വില = 65000
65000 ൻ്റെ \(\frac{10}{100}\) ഭാഗം = \(\frac{6500}{100}\) = 6500
65000 രൂപയ്ക്ക് കിഴിവ് 6500 രൂപ
ഇപ്പോഴത്തെ വില = 65000 – 6500 = 58,500 രൂപ
മൊബൈൽഫോണിന്റെ പഴയ വില = 25000

25000 ൻ്റെ \(\frac{20}{100}\) ഭാഗം = \(\frac{25000 \times 20}{100}\) = 5000
25000 രൂപയ്ക്ക് കിഴിവ് 5000 രൂപ
ഇപ്പോഴത്തെ വില = 25000 – 5000 = 20,000 രൂപ
സ്മാർട് വാച്ചിന്റെ പഴയ വില = 12000

12000 ൻ്റെ \(\frac{30}{100}\) ഭാഗം = \(\frac{1200 ?}{100}\) = 3600
12000 രൂപയ്ക്ക് കിഴിവ് 3600 രൂപ
ഇപ്പോഴത്തെ വില = 12000 – 3600 = 8400 രൂപ

Question 2.
ഒരു കച്ചവടക്കാരൻ ഓരോ മാസവും അയാൾക്കു കിട്ടുന്ന ലാഭത്തിന്റെ 2% ദുരിതാശ്വാസ നിധി യിലേക്ക് സംഭാവന കൊടുക്കുന്നു. 25000 രൂപ ലാഭം കിട്ടിയ ഒരു മാസം, അയാൾ എത്ര രൂപ യാണ് ഇങ്ങനെ സംഭാവന കൊടുക്കുന്നത്?
Answer:
ലാഭം കിട്ടിയ തുക = 25000 രൂപ
സംഭാവന കൊടുത്ത തുക = \(\frac{25000 \times 2}{100}\) = 500 രൂപ

Question 3.
(i) രണ്ടരലക്ഷം മുതൽ അഞ്ചുലക്ഷം വരെ വാർഷിക വരുമാനമുള്ളവർ, അഞ്ചു ശതമാനം വരുമാന നികുതി അടയ്ക്കണം മുന്നര ലക്ഷം രൂപ വാർഷിക വരുമാനമുള്ള ഒരാൾ എത്ര രൂപ നികുതി അടയ്ക്കണം ?
(ii) അഞ്ചുലക്ഷം മുതൽ പത്തുലക്ഷം വരെ വാർഷിക വരുമാനമുള്ളവർ, അഞ്ചുലക്ഷത്തിന്റെ അഞ്ചുശതമാനവും, മിച്ചമുള്ള തുകയ്ക്ക് ഇരുപതുശതമാനവും നികുതി അടയ്ക്കണം. ഏഴു ലക്ഷം രൂപ വാർഷിക വരുമാനമുള്ള ഒരാൾ എത്ര രൂപ നികുതി അടയ്ക്കണം ?
Answer:
(i) വാർഷിക വരുമാനം = 3,50,000
നികുതി അടയ്ക്കേണ്ടത് = \(\frac{350000 \times 5}{100}\) = 17,500 രൂപ

(ii) വാർഷിക വരുമാനം = 7,00,000
അഞ്ചുലക്ഷത്തിന് കൊടുക്കേണ്ട നികുതി = \(\frac{500000 \times 5}{100}\) = 25000 രൂപ
ബാക്കി രണ്ടു ലക്ഷത്തിന്റെ നികുതി = \(\frac{200000 \times 2 ?}{100}\)
ആകെ നികുതി = 25000 + 40000 = 65000 രൂപ

Question 4.
ഒരു സ്കൂളിലെ 50 അധ്യാപകരിൽ 80% സ്ത്രീകളാണ് അവിടെ എത്ര അധ്യാപികമാരുണ്ട്?
Answer:
സ്കൂളിലുള്ള അധ്യാപികമാരുടെ എണ്ണം = 50 × \(\frac{80}{100}\) = 40

Question 5.
രണ്ടു പേർ മത്സരിച്ച ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പിൽ 1450 പേർ വോട്ടു ചെയ്തു ജയിച്ച സ്ഥാനാർഥിക്ക് 52% വോട്ടുകൾ കിട്ടി.
(i) ജയിച്ചയാൾക്ക് എത്ര വോട്ടുകിട്ടി?
(ii) എത്ര വോട്ടുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിലാണ് ജയിച്ചത്?
Answer:
(i) ജയിച്ച സ്ഥാനാർഥിക്ക് കിട്ടിയ വോട്ടുകൾ = 1450 × \(\frac{52}{100}\) = 754

(ii) തോറ്റയാൾക്ക് കിട്ടിയ വോട്ടുകൾ 1450 – 754 = 696
വോട്ടുകളുടെ വ്യത്യാസം = 754 – 696 = 58
58 വോട്ടുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിലാണ് ജയിച്ചത്.

Question 6.
1200 പേർ എഴുതിയ ഒരു പരീക്ഷയിൽ 65% പേർക്ക് എ ഗ്രേഡ് കിട്ടി. ഇത് എത്ര പേരാണ് ?
Answer:
എ ഗ്രേഡ് കിട്ടിയ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം = 1200 × \(\frac{65}{100}\) = 780

Question 7.
ഒരു പുരയിടത്തിൽ 32 തെങ്ങുണ്ട്. ഇത് ആകെയുള്ള മരങ്ങളുടെ 50% ആണ്. പുരയിടത്തിൽ ആകെ എത്ര മരങ്ങളുണ്ട് ?
Answer:
പുരയിടത്തിലുള്ള തെങ്ങുകളുടെ എണ്ണം = 32
പുരയിടത്തിന്റെ \(\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\) ഭാഗമാണ് തെങ്ങുകൾ.
പുരയിടത്തിലുള്ള ആകെ മരങ്ങളുടെ എണ്ണം = 32 × \(\frac{2}{1}\) = 64

Question 8.
ഒരാൾ ഒരു മാസം ഭക്ഷണത്തിനായി 8400 രൂപ ചെലവാക്കി. ഇത് മാസവരുമാനത്തിന്റെ 25% ആണ്. അയാളുടെ മാസവരുമാനം എത്രയാണ് ?
Answer:
ഒരു മാസം ഭക്ഷണത്തിനായി ചെലവാക്കുന്ന തുക = 8400 രൂപ
മാസവരുമാനത്തിന്റെ \(\frac{25}{100}=\frac{1}{4}\) ഭാഗമാണ് ഭക്ഷണത്തിനായി ചെലവാക്കുന്നത്.
അയാളുടെ മാസവരുമാനം = 8400 × \(\frac{4}{1}\) = 33600 രൂപ

Question 9.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, സ്കൂട്ടർ നിർമ്മിക്കുന്ന ഒരു കമ്പനി, അടുത്ത മാസം മുതൽ 4% വില കൂട്ടാൻ തീരുമാനിച്ചു. ഇപ്പോൾ 60000 രൂപ വിലയുള്ള സ്കൂട്ടറിന് അടുത്ത മാസം എത്ര രൂപ കൊടുക്കണം ?
Answer:
ഇപ്പോഴത്തെ വിലയുടെ \(\frac{4}{100}\) ഭാഗമാണ് കൂടുന്നത്.
ഒരു സംഖ്യയോട് അതിന്റെ \(\frac{4}{100}\) ഭാഗം കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നത് 1 + \(\frac{4}{100}\) = \(\frac{104}{100}\) മടങ്ങാണ്.
അപ്പോൾ പുതുക്കിയ വില, പഴയ വിലയുടെ \(\frac{104}{100}\)
60000 mg \(\frac{104}{100}\) മടങ്ങ് = 60000 × \(\frac{1}{2}\) = 62400 മടങ്ങാണ്.
അടുത്ത മാസം കൊടുക്കേണ്ടി വരുന്ന വില 62400 രൂപയാണ്.
അതായത് , 2400 രൂപ കൂടുതലാണ്.

\(\frac{x}{100}\) മടങ്ങ് എന്നതിനെ x % എന്നും പറയാം.

Question 10.
4000 രൂപ വിലയുള്ള ഒരു സൈക്കിളിന് ഇപ്പോൾ 15 % വിലക്കുറവുണ്ട്. ഇപ്പോഴത്തെ വില എത്ര രൂപയാണ് ?
Answer:
15 % കുറയുക എന്നാൽ 85 % ആകുന്നു.അതായത് \(\frac{85}{100}=\frac{17}{20}\) ഭാഗമാകുന്നു.
ഇപ്പോഴത്തെ വില = 4000 × \(\frac{17}{20}\) = 3400 രൂപ

Question 11.
കഴിഞ്ഞ വർഷം ഒരാളുടെ മാസശമ്പളം 30000 രൂപയായിരുന്നു. ഈ വർഷം ഇത് 8% കൂടി. ഇപ്പോൾ മാസശമ്പളം എത്ര രൂപയാണ്?
Answer:
8 % കൂടുക എന്നാൽ 108 % ആകുന്നു; അതായത് \(\frac{108}{100}=\frac{27}{25}\) മടങ്ങാകുന്നു.
ഇപ്പോഴത്തെ മാസശമ്പളം 30000 × \(\frac{27}{25}\) = 32400 രൂപ

Question 12.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും 10% വീതം കുറച്ചാൽ, പരപ്പളവ് എത്ര ശതമാനം കുറയും?
Answer:
10% കുറയുക എന്നാൽ 90% ആകുന്നു; അതായത് \(\frac{90}{100}=\frac{9}{10}\) ഭാഗമാകുന്നു.
പുതിയ നീളം = പഴയ നീളം = × \(\frac{9}{10}\)
പുതിയ വീതി = പഴയ വീതി × \(\frac{9}{10}\)

പുതിയ പരപ്പളവ്= പുതിയ നീളം × പുതിയ വീതി
= (പഴയ നീളം × \(\frac{9}{10}\)) × (പഴയ വീതി × \(\frac{9}{10}\))
= (പഴയ നീളം × പഴയ വീതി) × \(\frac{81}{100}\)
= പഴയ പരപ്പളവ് × \(\frac{81}{100}\)
= പഴയ പരപ്പളവിന്റെ 81%
അതായത്, പരപ്പളവ് 9% കുറയും.

Question 13.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും 10% വീതം കൂട്ടിയാൽ, പരപ്പളവ് എത്ര ശതമാനം കൂടും ?
Answer:
10% കൂടുക എന്നാൽ 110% ആകുന്നു; അതായത് \(\frac{110}{100}=\frac{11}{10}\) മടങ്ങാകുന്നു.
പുതിയ നീളം = പഴയ നീളം × \(\frac{11}{10}\)
പുതിയ വീതി = പഴയ വീതി × \(\frac{11}{10}\)
പുതിയ പരപ്പളവ്= പുതിയ നീളം × പുതിയ വീതി
= (പഴയ നീളം × \(\frac{11}{10}\)) × (പഴയ വീതി × \(\frac{11}{10}\))
= (പഴയ നീളം × പഴയ വീതി) × \(\frac{121}{100}\)
= പഴയ പരപ്പളവ് × \(\frac{121}{100}\)
= പഴയ പരപ്പളവിന്റെ 121 %
അതായത്, പരപ്പളവ് 21 % കൂടുന്നു.

Question 14.
750 കുട്ടികളുള്ള ഒരു സ്കൂളിൽ 450 പെൺകുട്ടികളുണ്ട്. ആകെ കുട്ടികളുടെ എത്ര ശതമാന മാണ് പെൺകുട്ടികൾ ?
Answer:
\(\frac{450}{750}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്.
\(\frac{450}{750}\) × 100 = 60
സ്കൂളിൽ 60 % പെൺകുട്ടിക്കളാണുള്ളത്.

Question 15.
30000 രൂപ ശമ്പളം കിട്ടുന്ന ഒരാൾ 8000 രൂപ ഭക്ഷണത്തിനായി ചെലവാക്കുന്നു. ഇത് ശമ്പള ത്തിന്റെ എത്ര ശതമാനമാണ് ?
Answer:
\(\frac{8000}{30000}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്.
\(\frac{8000}{30000}\) × 100 = 26\(\frac{2}{3}\)
ഭക്ഷണത്തിനായി ചെലവാക്കിയത് ശമ്പളത്തിന്റെ 26\(\frac{2}{3}\) ശതമാനമാണ്

Question 16.
4500 രൂപയ്ക്ക് വാങ്ങിയ സൈക്കിൾ 4000 രൂപയ്ക്ക് വിൽക്കേണ്ടി വന്നാൽ, നഷ്ടം എത്ര ശതമാനമാണ്?
Answer:
നഷ്ടമായ തുക = 4500 – 4000 = 500
\(\frac{500}{4500}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്.
\(\frac{500}{4500}\) × 100 = 11\(\frac{1}{9}\)
നഷ്ടമായത് 11\(\frac{1}{9}\) ശതമാനമാണ്.

Question 17.
1600 പേർ വോട്ടു ചെയ്ത ഒരു തെരഞ്ഞെടുപ്പിൽ ജയിച്ച സ്ഥാനാർഥിക്ക് 900 വോട്ടു കിട്ടി. ഇത് ആകെ വോട്ടിന്റെ എത്ര ശതമാനമാണ് ?
Answer:
\(\frac{900}{1600}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്.
\(\frac{900}{1600}\) × 100 = 56\(\frac{1}{4}\)
56 \(\frac{1}{4}\) ശതമാനം വോട്ടാണ് ജയിച്ച സ്ഥാനാർഥിക്ക് കിട്ടിയത്.

Question 18.
സജയന്റെ ശമ്പളത്തേക്കാൾ 25% കൂടുതലാണ് അജയന്റെ ശമ്പളം. അജയന്റെ ശമ്പളത്ത ക്കാൾ എത്ര ശതമാനം കുറവാണ് സജയന്റെ ശമ്പളം ?
Answer:
സജയന്റെ ശമ്പളം 100 രൂപയായിട്ട് എടുത്താൽ. അജയന്റെ ശമ്പളം 125 രൂപയാകും.
\(\frac{125 – ?}{125}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്.
\(\frac{25}{125}\) × 100 = 20
അജയന്റെ ശമ്പളത്തേക്കാൾ 20 ശതമാനം കുറവാണ് സജയന്റെ ശമ്പളം.

Intext Questions And Answers

Question 1.
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, ഓണം പ്രമാണിച്ച് കൈത്തറി വസ്ത്രങ്ങൾക്ക് 20% വിലക്കിഴിവുണ്ട്. 2750 രൂപയ്ക്ക് വസ്ത്രങ്ങൾ വാങ്ങിയാൽ, എത്ര രൂപ കിഴിവു കിട്ടും?
Answer:
ഏതു വിലയിലും എത്ര 100 കൾ ഉണ്ടോ അതിന്റെ 20 മടങ്ങാണ് കിഴിവ്.
അതായത്, വിലയുടെ \(\frac{1}{100}\) ഭാഗത്തിന്റെ 20 മടങ്ങ്; അഥവാ \(\frac{20}{100}=\frac{2}{10}\) ഭാഗമാണ്.
അപ്പോൾ ഏതുവിലയുടെയും \(\frac{2}{10}\) ഭാഗമാണ് കിഴിവ്.
2750 \(\frac{2}{10}\) ദശാം = \(\frac{2750 \times 2}{10}\) = 550
2750 രൂപയ്ക്ക് കിഴിവ് 550 രൂപ
ഈ ഗുണനം ദശാംശരൂപം ഉപയോഗിച്ചും ചെയ്യാം:
2750 × 0.2 = 550

Question 2.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, ഒരു സഹകരണ ബാങ്കിൽ ഒരു വർഷത്തെ സ്ഥിരനിക്ഷേപത്തിന് 8% പലിശ കിട്ടും. 6500 രൂപ നിക്ഷേപിച്ചാൽ, ഒരു വർഷത്തിനുശേഷം എത്ര രൂപ കിട്ടും?
Answer:
ഏതു വിലയിലും എത്ര 100 കൾ ഉണ്ടോ അതിന്റെ 8 മടങ്ങാണ് കിഴിവ്.
അതായത്, വിലയുടെ \(\frac{1}{100}\) ഭാഗത്തിന്റെ 8 മടങ്ങ്; അഥവാ \(\frac{8}{100}\) ഭാഗമാണ്.
അപ്പോൾ ഏതുവിലയുടെയും \(\frac{8}{100}\) ഭാഗമാണ് കിഴിവ്.
6500 ng \(\frac{8}{100}\) ഭാഗം = \(\frac{6500 \times 8}{100}\) = 520
6500 രൂപയ്ക്ക് കിഴിവ് 520 രൂപ
അപ്പോൾ 6500 രൂപ നിക്ഷേപിച്ചാൽ, ഒരു വർഷം കഴിയുമ്പോൾ 520 രൂപ പലിശയും ചേർത്ത്
6500 + 520 = 7020 രൂപ കിട്ടും.

സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ചില ശതമാനങ്ങളെ ഭിന്നരൂപത്തിൽ എഴുതാം.

Question 3.
ഉദാഹരണമായി, 350 കുട്ടികൾ എഴുതിയ ഒരു പരീക്ഷയിൽ 70% കുട്ടികളാണ് ജയിച്ചത് .അപ്പോൾ ജയിച്ചവർ എത്ര പേരാണ്?
Answer:
പരീക്ഷ എഴുതിയവരിൽ \(\frac{70}{100}=\frac{7}{10}\) ഭാഗമാണ് ജയിച്ചത്.
അപ്പോൾ, 350 × \(\frac{7}{10}\) = 245 കുട്ടികളാണ് ജയിച്ചത്

Question 4.
മറ്റൊരു കണക്കു നോക്കാം, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളം 10% കൂട്ടുകയും, വീതി 10% കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്ത്, പുതിയൊരു ചതുരം ഉണ്ടാക്കിയാൽ, പരപ്പളവിൽ എന്തു വ്യത്യാസമാണ് ഉണ്ടാകുന്നത് ?
Answer:
10 % കൂടുക എന്നാൽ 110% ആകുന്നു; അതായത് \(\frac{110}{100}=\frac{11}{10}\) മടങ്ങാകുന്നു.
പുതിയ നീളം = പഴയ നീളം × \(\frac{11}{10}\)
10% കുറയുക എന്നാൽ 90% ആകുന്നു; അതായത് \(\frac{90}{100}=\frac{9}{10}\) ഭാഗമാകുന്നു.
പുതിയ വീതി = പഴയ വീതി = × \(\frac{9}{10}\)
പുതിയ പരപ്പളവ്= പുതിയ നീളം × പുതിയ വീതി
= (പഴയ നീളം × \(\frac{11}{10}\)) × (പഴയ വീതി × \(\frac{9}{10}\))
= (പഴയ നീളം x പഴയ വീതി) × \(\frac{99}{100}\)
= പഴയ പരപ്പളവ് × \(\frac{99}{100}\)
= പഴയ പരപ്പളവിന്റെ 99%
അതായത്, പരപ്പളവ് 1% കുറയും.

Question 5.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം,പൊതുമേഖലയിലുള്ള സ്ഥാപനങ്ങളിൽ ജോലി ചെയ്യുന്നവർക്ക് വർഷത്തിലൊരിക്കൽ ശമ്പളത്തിനു പുറമെ ഒരു നിശ്ചിത തുക കൊടുക്കാറുണ്ട്. ഇതിനെ ബോണസ് എന്നാണു പറയുന്നത്. സാധാരണയായി, വാർഷിക വരുമാനത്തിന്റെ 4\(\frac{2}{3}\)% ആണ് ബോണസ്. ഇത് വാർഷിക വരുമാനത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ് ?
Answer:
ഇത് \(\frac{1}{100}\) ന്റെ 4\(\frac{2}{3}\) മടങ്ങാണ്.
അതായത്, \(\frac{1}{100} \times \frac{14}{3}=\frac{7}{150}\)
അപ്പോൾ ഭാഗം \(\frac{7}{150}\) എന്നതിനെയാണ് 4 \(\frac{2}{3}\)% എന്നു പറയുന്നത്.

Question 6.
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, \(\frac{2}{3}\) ഭാഗം എന്നതിനെ ശതമാനമായി പറയുന്നതെങ്ങനെ ?
Answer:
ശതമാനസംഖ്യയെന്നു പറയുന്നത് \(\frac{2}{3}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്
അതായത്, \(\frac{2}{3}\) × 100 = \(\frac{200}{3}\) = 66\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{2}{3}\) ഭാഗം എന്നത് 66 \(\frac{2}{3}\) % ആണ്.

Percents Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ഒരു കടയുടമ തന്റെ പ്രതിമാസ ലാഭത്തിന്റെ 12 % അനാഥാലയത്തിനു നൽകുന്നതിനായി നീക്കിവെക്കുന്നു. ഒരു മാസം അദ്ദേഹത്തിന് 60000 രൂപ ലാഭമായി ലഭിച്ചു. ഇതിൽ എത്ര രൂപയാണ് അദ്ദേഹം അനാഥാലയത്തിന് സംഭാവന നൽകിയത് ?
Answer:
അനാഥാലയത്തിന് സംഭാവന നൽകിയ തുക = 60000 × \(\frac{12}{100}\)
= 7200 രൂപ

Question 2.
ഒരു വ്യക്തി ഭക്ഷണത്തിനായി പ്രതിമാസം 5000 രൂപ ചെലവഴിക്കുന്നു. ഇത് പ്രതിമാസ വരുമാനത്തിന്റെ 20% ആണ് . അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രതിമാസ വരുമാനം എത്രയാണ്?
Answer:
പ്രതിമാസ വരുമാനത്തിന്റെ \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{1}{5}\) ഭാഗമാണ് അദ്ദേഹം ഭക്ഷണത്തിനായി പ്രതിമാസം ചെലവഴി ക്കുന്നത് .
അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രതിമാസ വരുമാനം = 5000 × \(\frac{5}{1}\) = 25000 രൂപ

Question 3.
800 രൂപ വിലയുള്ള ഒരു ഷർട്ട് ഇപ്പോൾ 20% കുറവ് വിലയ്ക്ക് വിൽക്കുന്നു. ഇപ്പോഴത്തെ വില എത്രയാണ്?
Answer:
20 % കുറയുക എന്നാൽ 80 % ആകുന്നു.അതായത് \(\frac{80}{100}=\frac{2}{25}\) ഭാഗമാകുന്നു.
ഇപ്പോഴത്തെ വില = 800 × \(\frac{2}{25}\) = 640 രൂപ

Question 4.
പ്രതിമാസം 45,000 രൂപ സമ്പാദിക്കുന്ന ഒരാൾ 10,500 രൂപ വാടകയ്ക്ക് ചെലവഴിക്കുന്നു. ഈ ചെലവ് അവരുടെ വരുമാനത്തിന്റെ എത്ര ശതമാനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു?
Answer:
\(\frac{10500}{45000}\) ന്റെ 100 മടങ്ങാണ്.
\(\frac{7}{30}\) × 100 = 23\(\frac{1}{3}\)%

Percents Class 7 Notes Malayalam Medium

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നായ ‘ശതമാനം’ എന്ന വിഷയമാണ് നമ്മൾ ഈ അധ്യായത്തിൽ ചർച്ച ചെയുന്നത്. ഒരു സംഖ്യയെ 100-ൻറെ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമാണ് ശതമാനം. “ശതമാനം” എന്ന പദത്തിന്റെ അർത്ഥം “നൂറിന്” എന്നാണ്. ഷോപ്പിംഗ് സമയത്ത് കിഴിവുകൾ കണക്കാക്കുക, സ്പോർട്സിലെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ മനസ്സിലാക്കുക, റിപ്പോർട്ടുകളിലെ ഡാറ്റ വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നിങ്ങനെ വിവിധ യഥാർത്ഥ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിൽ നമ്മൾ ശതമാനങ്ങൾ കാണേണ്ടി വരുന്നു.

ഈ അധ്യായത്തിൽ,

• ഭിന്നസംഖ്യകളെയും, ദശാംശരൂപത്തിനെയും എങ്ങനെയാണ് ശതമാനത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നത്.
  ഒരു സംഖ്യയുടെ ശതമാനം എങ്ങനെയാണ് കാണുന്നത്.
• ശതമാനം വർദ്ധനവ് അല്ലെങ്കിൽ കുറവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം.
• ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ശതമാനം ഏതൊക്കെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കാം തുടങ്ങിയ വയാണ് ഈ അധ്യായത്തിൽ, ചർച്ചചെയ്യുന്നത്.
• ഈ അധ്യായതിലൂടെ ശതമാനം കൃത്യമായി കണ്ടെത്താനും അത് ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.

മറ്റ് ചില ശതമാനങ്ങൾ
പണമിടപാടുകളിൽ മാത്രമല്ല, മറ്റു പല സന്ദർഭങ്ങളിലും ശതമാനക്കണക്ക് പറയാറുണ്ട്.

ഭിന്നവും ശതമാനവും
ശതമാനം
ഒരു സംഖ്യയുടെ നൂറിലൊരു ഭാഗത്തിന്റെ നിശ്ചിത മടങ്ങിനെയാണ് ശതമാനമായി പറയുന്നത്.
ഉദാഹരണമായി, 97% എന്നാൽ \(\frac{97}{100}\) ഭാഗമാണ് . അതായത് ന്റെ \(\frac{1}{100}\) മടങ്ങാണ്.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ശതമാനമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിനെ ഭിന്നസംഖ്യയായി മാറ്റാൻ, ആ സംഖ്യയുടെ \(\frac{1}{100}\) ഭാഗം കണക്കാക്കണം.

ശതമാനമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളെ ഭിന്നസംഖ്യാഭാഗങ്ങളായി എഴുതുക.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഭിന്നസംഖ്യയായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിനെ ശതമാനമായി മാറ്റാൻ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ 100 മടങ്ങ് കണക്കാക്കണം.

ശതമാനമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിനെ ഭിന്നസംഖ്യയായി മാറ്റാൻ, ആ സംഖ്യയുടെ \(\frac{1}{100}\) ഭാഗം കണക്കാക്കണം.
ഭിന്നസംഖ്യയായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഭാഗത്തിനെ ശതമാനമായി മാറ്റാൻ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ 100 മടങ്ങ് കണക്കാക്കണം.

Expert Teachers at HSSLive.Guru has created Kerala Syllabus 7th Standard Maths Textbook Solutions Notes Pdf English & Malayalam Medium of SCERT Class 7 Maths Solutions Pdf are part of Kerala Syllabus 7th Standard Textbooks Solutions. Here we have given Class 7 State Syllabus Maths Textbook Solutions of SCERT 7th Class Maths Solutions Part 1 and Part 2.

SCERT Class 7 Maths Solutions Pdf

Kerala Syllabus 7th Standard Maths Textbook Solutions Part 1

• Class 7 Maths Chapter 1 Kerala Syllabus – Parallel Lines
• Class 7 Maths Chapter 2 Kerala Syllabus – Fractions
• Class 7 Maths Chapter 3 Kerala Syllabus – Triangles
• Class 7 Maths Chapter 4 Kerala Syllabus – Reciprocals
• Class 7 Maths Chapter 5 Kerala Syllabus – Decimal Methods
• Class 7 Maths Chapter 6 Kerala Syllabus – Ratio
• Class 7 Maths Chapter 7 Kerala Syllabus – Shorthand Math

Class 7 Maths SCERT Solutions Part 2

• Class 7 Maths Chapter 8 Kerala Syllabus – Repeated Multiplication
• Class 7 Maths Chapter 9 Kerala Syllabus – Number Relations
• Class 7 Maths Chapter 10 Kerala Syllabus – Area of Triangles
• Class 7 Maths Chapter 11 Kerala Syllabus – Squares and Right Triangles
• Class 7 Maths Chapter 12 Kerala Syllabus – Algebra
• Class 7 Maths Chapter 13 Kerala Syllabus – Percents
• Class 7 Maths Chapter 14 Kerala Syllabus – Data Pictures

SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium

7th Std Maths Textbook Solutions Pdf Malayalam Medium Part 1

• Class 7 Maths Chapter 1 Malayalam Medium – സമാന്തരവരകൾ
• Class 7 Maths Chapter 2 Malayalam Medium – ഭിന്നസംഖ്യകൾ
• Class 7 Maths Chapter 3 Malayalam Medium – ത്രികോണങ്ങൾ
• Class 7 Maths Chapter 4 Malayalam Medium – വിപരീതഭിന്നങ്ങൾ
• Class 7 Maths Chapter 5 Malayalam Medium – ദശാംശരീതികൾ
• Class 7 Maths Chapter 6 Malayalam Medium – അംശബന്ധം
• Class 7 Maths Chapter 7 Malayalam Medium – കണക്കിലെ ചുരുക്കെഴുത്ത്

7th Class Maths Textbook Solutions Pdf Malayalam Medium Part 2

• Class 7 Maths Chapter 8 Malayalam Medium – ആവർത്തനഗുണനം
• Class 7 Maths Chapter 9 Malayalam Medium – സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ
• Class 7 Maths Chapter 10 Malayalam Medium – ത്രികോണപ്പരപ്പ്
• Class 7 Maths Chapter 11 Malayalam Medium – സമചതുരങ്ങളും മട്ടത്രികോണങ്ങളും
• Class 7 Maths Chapter 12 Malayalam Medium – ബീജഗണിതം
• Class 7 Maths Chapter 13 Malayalam Medium – ശതമാനം
• Class 7 Maths Chapter 14 Malayalam Medium – വിവരചിത്രങ്ങൾ

We hope the given Kerala Syllabus 7th Std Maths Textbook Pdf Part 1 & 2 with Answers English Medium and Malayalam Medium of Class 7 SCERT Maths Solutions will help you. If you have any queries regarding 7th Standard Maths Textbook Solutions, SCERT Maths Class 7 Solutions, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 14 വിവരചിത്രങ്ങൾ can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 14 Solutions Malayalam Medium വിവരചിത്രങ്ങൾ

Class 7 Maths Chapter 14 Malayalam Medium Kerala Syllabus വിവരചിത്രങ്ങൾ

Question 1.
ഒരു പഞ്ചായത്തിലെ ആകെ കൃഷിസ്ഥലം പല കൃഷികൾക്കായി എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നു കാണിക്കുന്ന വൃത്തചിത്രമാണിത്.

(i) ഏതു കൃഷിക്കാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ സ്ഥലം ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് ? അത് മൊത്തം കൃഷിസ്ഥലത്തിന്റെ ഏതാണ്ട് എത്ര ഭാഗമാണ് ?
(ii) ഏതു കൃഷിക്കാണ് ഏറ്റവും കുറച്ചു സ്ഥലം ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് ? അത് മൊത്തം കൃഷി സ്ഥലത്തിന്റെ ഏതാണ്ട് എത്ര ഭാഗമാണ് ?
(iii) റബ്ബർകൃഷി ചെയ്തിരിക്കുന്നത് മൊത്തം കൃഷിസ്ഥലത്തിന്റെ ഏതാണ്ട് എത്ര ഭാഗമാണ് ?
Answer:
(i) വൃത്തചിത്രത്തിൽ ഏറ്റവും വലിയ വിഭാഗം മറ്റുള്ള കൃഷികൾക്കാണു ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്. മറ്റുള്ള കൃഷികൾക്കു ഉപയോഗിക്കുന്ന ഭൂമിയുടെ ഭാഗം ഏകദേശം \(\frac{7}{20}\) ആണ്.

വൃത്തചിത്രത്തിൽ നിന്നും, ഏറ്റവും വലിയ വിഭാഗം മൊത്തം ചാർട്ടിന്റെ ഏകദേശം മൂന്നിലൊ ന്നിൽ കൂടുതൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ഭാഗം മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ 35% വരുന്നതായി കണക്കാക്കാം.

ഈ ശതമാനം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിന്:
ഭിന്നസംഖ്യ = \(\frac{35}{100}=\frac{7}{20}\)

അതിനാൽ, ഏറ്റവും വലിയ വിഭാഗം ഏകദേശം മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ \(\frac{7}{20}\) ഭാഗമാണ്.

(ii) വൃത്തചിത്രത്തിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ വിഭാഗം നെല്ല് കൃഷി ചെയ്യുന്നതിനാണ് ഉപയോഗിച്ചി രിക്കുന്നത്.
ഈ വിഭാഗം ചാർട്ടിന്റെ ഏകദേശം 5% എടുക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കാം.
ഈ ശതമാനം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിന്:
ഭിന്നസംഖ്യ = \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഏറ്റവും ചെറിയ ഭാഗം മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഏകദേശം 1/20 ഭാഗമാണെന്നു ലഭിക്കുന്നു.

(iii) ഏറ്റവും ചെറിയഭാഗത്തിനെക്കാൾ വലുതും എന്നാൽ ഏറ്റവും വലിയ വിഭാഗത്തേക്കാൾ ചെറു തുമായ മറ്റൊരു ശ്രദ്ധേയമായ വിഭാഗമുണ്ട്. ഇത് വൃത്തചിത്രത്തിൽ ഏകദേശം 20% ഉൾക്കൊ ള്ളുന്നതായി തോന്നുന്നു.
ഈ ഭാഗത്താണ് റബ്ബർകൃഷി ചെയ്യുന്നതെന്ന് കരുതാം.
ഇതിനെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റുന്നു:
ഭിന്നസംഖ്യ = \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\)
അതിനാൽ, ഈ വിഭാഗം മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഏകദേശം \(\frac{1}{5}\) ഭാഗമാണെന്നു ലഭിക്കുന്നു.

Question 2.
ഒരു ക്ലാസ്സിലെ 40 കുട്ടികളിൽ 20 പേർ സ്കൂൾബസ്സിലാണ് വരുന്നത്. 15 പേർ നടന്നും, 5 പേർ സൈക്കിളിലും വരുന്നു. ഈ വിവരങ്ങൾ കാണിക്കുന്ന വൃത്തചിത്രം വരയ്ക്കുക
Answer:
ക്ലാസിലെ ആകെ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം = 40
സ്കൂൾ ബസ്സിൽ വരുന്ന കുട്ടികളുടെ എണ്ണം = 20
ഇത് വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ
\(\frac{20}{40}\) × 360° = 180°

നടന്നു വരുന്ന കുട്ടികളുടെ എണ്ണം = 15
ഇത് വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ
\(\frac{15}{40}\) × 360° = 135°

സൈക്കിളിൽ വരുന്ന കുട്ടികളുടെ എണ്ണം = 5
ഇത് വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ
\(\frac{5}{40}\) × 360° = 45°

ഇത് വൃത്ത ചിത്രത്തിൽ ആക്കിയാൽ

Question 3.
ഒരു ക്ലാസിലെ കുട്ടികളിൽ 25% പേർക്ക് കണക്കു പരീക്ഷയിൽ A ഗ്രേഡും, 40% പേർക്ക് B ഗ്രേഡും, 20% പേർക്ക് ഗ്രേഡും, ബാക്കിയുള്ളവർക്ക് D ഗ്രേഡും കിട്ടി. ഈ വിവരങ്ങൾ കാണിക്കുന്ന വൃത്തചിത്രം വരയ്ക്കുക.
Answer:
കണക്ക് പരീക്ഷയിൽ A ഗ്രേഡ് കിട്ടിയ കുട്ടികൾ = 25%
ഈ ശതമാനം വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ,
\(\frac{25}{100}\) × 360 = 90°

കണക്ക് പരീക്ഷയിൽ B ഗ്രേഡ് കിട്ടിയ കുട്ടികൾ = 40%
ഈ ശതമാനം വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ,
\(\frac{40}{100}\) × 360 = 144°

കണക്ക് പരീക്ഷയിൽ C ഗ്രേഡ് കിട്ടിയ കുട്ടികൾ = 20%
ഈ ശതമാനം വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ,
\(\frac{20}{100}\) × 360°= 72°

കണക്ക് പരീക്ഷയിൽ D ഗ്രേഡ് കിട്ടിയ കുട്ടികൾ = 100 – (25 + 40 + 20) =15%
ഈ വില വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്രകോണളവായി എഴുതിയാൽ,
\(\frac{15}{100}\) × 360 = 54°

ഇത് വൃത്ത ചിത്രത്തിൽ ആക്കിയാൽ

Intext Questions And Answers

Question 1.
ഈ ചിത്രത്തിൽനിന്ന് ചുവടെപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം പറയാമോ ?
ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ, ലോകജനസംഖ്യയുടെ ഏതാണ്ട് എത്ര ഭാഗമാണ് ?
Answer:
ഇന്ത്യയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഈ വിഭാഗം വൃത്തചിത്രത്തിന്റെ അഞ്ചിലൊന്ന് ഭാഗം (അല്ലെങ്കിൽ 20%) ഉൾക്കൊള്ളുന്നതായി തോന്നുന്നു. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഇന്ത്യൻ ജനസംഖ്യ ലോക ജനസംഖ്യ യുടെ ഏകദേശം \(\frac{1}{5}\) ശതമാനമാണ്.

Question 2.
ചൈനയിലെ ജനസംഖ്യയോ ?
Answer:
ചൈനയുടെ വിഭാഗം ഏതാണ്ട് ഇന്ത്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇത് വൃത്തചിത്രത്തിന്റെ അഞ്ചിലൊന്ന് ഭാഗം (അല്ലെങ്കിൽ 20%) ഉൾക്കൊള്ളുന്നതായി തോന്നുന്നു. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ചൈനയുടെ ജനസംഖ്യ ലോക ജനസംഖ്യയുടെ ഏകദേശം ശതമാനമാണ്.

Question 3.
അമേരിക്കൻ ഐക്യനാടുകളിലെ ജനസംഖ്യ, ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യയുടെ ഏകദേശം എത്ര ഭാഗമാണ്?
Answer:
യു. എസ്. എ വിഭാഗം ഇന്ത്യയുടെ വിഭാഗത്തേക്കാൾ വളരെ ചെറുതാണ്, ഏകദേശം നാലിലൊന്ന് വലുപ്പമുണ്ട്. അതായത് ഇന്ത്യൻ ജനസംഖ്യയുടെ ഏകദേശം 2 ഭാഗമാണ് അമേരിക്കൻ ജനസംഖ്യ.

Question 4.
ഇന്ത്യ, ചൈന, യു.എസ്.എ. എന്നീ മൂന്നു രാജ്യങ്ങളിലെ മൊത്തം ജനസംഖ്യ, ലോകജനസംഖ്യ.
യുടെ ഏകദേശം എത്ര ഭാഗമാകും ?
Answer:
ഇന്ത്യൻ ജനസംഖ്യ ഏകദേശം ഭാഗവും, ചൈനയുടെ ജനസംഖ്യയും ഏകദേശം 1 ഭാഗവും,
യു.എസ്.എ ലോക ജനസംഖ്യയുടെ ഏകദേശം \(\frac{1}{20}\) ഭാഗവുമാണ്.
ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ: \(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{4+4+1}{20}=\frac{9}{20}\)

അതിനാൽ, ഇന്ത്യ, ചൈന, യു.എസ്.എ എന്നിവയുടെ മൊത്തം ജനസംഖ്യ ലോക ജനസംഖ്യയുടെ ഏകദേശം \(\frac{9}{20}\) ഭാഗമാണ്.

Shorthand Math Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
സ്കൂൾ ഇലക്ഷനിൽ ഓരോ സ്ഥാനാർത്ഥിക്കും ലഭിച്ച വോട്ടാണ് ചിത്രത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്നത്.

a) ആരാണ് ഇലക്ഷന് വിജയിച്ചത് ?
b) ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് എന്തെല്ലാം വിവരമാണ് നമ്മുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് ?
Answer:
a) മരിയയാണ് ഇലക്ഷന് വിജയിച്ചത്
b) (i) ആർക്കാണ് കുറവ് വോട്ട് ലഭിച്ചത് ?
(ii) ഇലക്ഷനിൽ രണ്ടാം സ്ഥാനത്ത് എത്തിയത് ആരാണ് ?

Question 2.
ഏഴാം ക്ലാസിലെ മൂന്ന് ഡിവിഷനിലെയും പെൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം ആണ് ചതുരം ചിത്രത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്.

ഇതിന്റെ വൃത്തചിത്രം വരയ്ക്കുക.

ക്ലാസ്	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം
7 A	20
7 B	25
7 C	15

Answer:

Question 3.
കോവിഡ് കാലത്ത് ഓൺലൈൻ ക്ലാസുകൾക്കായി കുട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ ഇലക്ട്രോ ണിക് വസ്തുക്കളാണ് താഴെ വൃത്ത ചിത്രത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്നത്.

തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തചിത്രം നിരീക്ഷിച്ചു താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം എഴുതുക.
a) ഏതാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്?
b) ഉപയോഗത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഇലക്ട്രോണിക് വസ്തുക്കളെ അവരോഹണ ക്രമ
ത്തിൽ എഴുതുക.
c) വൃത്തചിത്രത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ അനുയോജ്യമായ രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക.
Answer:
a) മൊബൈൽ ഫോൺ
b) മൊബൈൽ ഫോൺ, ടി വി, ലാപ്ടോപ്പ്, ടാബ്
c) i) ഏതാണ് ഏറ്റവും കുറവ് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്?
ii) ടിവിയും ടാബും ഉപയോഗിക്കുന്നവരുടെ എണ്ണം 100 ആണെങ്കിൽ മറ്റ് രണ്ടെണ്ണം ഉപയോഗി ച്ചവാരുടെ എണ്ണം എത്ര ?

Shorthand Math Class 7 Notes Malayalam Medium

വിവരങ്ങളെ ലളിതവും രസകരവുമായ രീതിയിൽ മനസിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന വിവരങ്ങളുടെ ദൃശ്യ പ്രതിനിധികളാണ് വിവരചിത്രങ്ങൾ. ചതുരചിത്രം (bar graph), വൃത്തചിത്രം (pie chart), എന്നിവ അവയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. നിങ്ങളുടെ ക്ലാസിലെ എത്ര വിദ്യാർത്ഥികൾ വ്യത്യസ്ത തരം പഴങ്ങൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു. വെന്നുള്ള വിവരങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഇത് ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കാം! എന്നാൽ വിവരചിത്രങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, വിവരങ്ങൾ വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് വർണ്ണാഭമായ പൈ ചാർട്ട് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ ബാർ ഗ്രാഫ് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും. വിവരചിത്രങ്ങൾ വിവരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിനും വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനും ആശയവിനിമയം നടത്തുന്നതിനും എളുപ്പമാക്കുന്നു.

വിവരചിത്രങ്ങൾ
വിവരങ്ങളെ ലളിതമായ രീതിയിൽ മനസിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന വിവരങ്ങളുടെ ദൃശ്യ പ്രതിനിധി കളാണ് വിവരചിത്രങ്ങൾ. ഇതിൽ പട്ടികകളും വിവരചിത്രങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു.
വിവരങ്ങളെ ചതുരചിത്രമായി വരയ്ക്കുന്നത് എങ്ങിനെ എന്നും അവയുടെ ഉപയോഗങ്ങളെക്കുറിച്ചും അഞ്ചാം ക്ലാസിൽ കണ്ടിട്ടുണ്ടല്ലോ.

അങ്ങിനെയെങ്കിൽ,
ഒരു വീട്ടിലെ ഒരു മാസത്തെ പലതരം ചെലവുകൾ, മൊത്തം ചെലവിന്റെ ശതമാനമായി കണക്കു കൂട്ടിയ പട്ടികയാണിത്.

ഇനം	ചെലവ്
ഭക്ഷണം	35%
ആരോഗ്യം	25%
വിദ്യാഭ്യാസം	20%
മറ്റു ചെലവുകൾ	15%
സമ്പാദ്യം	5%

വിവരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ചതുരചിത്രം:

ഈ ചിത്രത്തിൽനിന്ന് പല ഇനങ്ങളിലെ ചെലവുകളുടെ ഏറ്റക്കുറച്ചിൽ പെട്ടെന്നു കാണാം. എന്നാൽ ഓരോ ഇനത്തിലും ചെലവഴിച്ചത്, മൊത്തം ചെലവിന്റെ ഏകദേശം എത്ര ഭാഗമാണെന്നോ, ഓരോ ചെലവും മറ്റൊന്നിന്റെ ഏകദേശം എത്ര മടങ്ങോ ഭാഗമോ ആണെന്നോ നോട്ടം കൊണ്ടു മാത്രം പറയാൻ കഴിയില്ല.

അതിനായി ഇതേ വിവരങ്ങൾ മറ്റൊരു രീതിയിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നതുനോക്കാം:

ഈ ചിത്രത്തിൽനിന്ന്, ഭക്ഷണത്തിനാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ചെലവ് എന്നു മാത്രമല്ല, അത് മൊത്തം ചെലവിന്റെ ഏതാണ്ട് മൂന്നിലൊന്നു ഭാഗമാണെന്നും കാണാമല്ലോ. അതുപോലെ, ആരോഗ്യ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ചെലവിട്ടത് നാലിലൊന്നു ഭാഗമാണെന്നും കാണാം. ഇത്തരം ചിത്രത്തിനെ വൃത്തചിത്രം (pie chart) എന്നാണ് പറയുന്നത്.
വൃത്തചിത്രത്തിൽ, വൃത്തത്തിന്റെ \(\frac{1}{5}\) ഭാഗം കിട്ടാൻ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് 360° × \(\frac{1}{5}\) = 72° വരച്ചാൽ മതി.

ചെലവു കണക്കിൽ, ഭക്ഷണത്തിനായുള്ള ചെലവ്, മൊത്തം ചെലവിന്റെ \(\frac{35}{100}=\frac{7}{20}\) ഭാഗമാണ്.
അപ്പോൾ വൃത്തത്തിൽ ഈ ഭാഗം അടയളപ്പെടുത്തുന്നതിന്, \(\frac{7}{20}\) × 360 = 126° കോൺ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും വരയ്ക്കണം.

മറ്റൊരു വൃത്തചിത്രം നോക്കാം. ലോകത്തിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ജനങ്ങളുള്ള രാജ്യം ഇന്ത്യയും, അടുത്തത് ചൈനയും, മൂന്നാമത് അമേരിക്കൻ ഐക്യനാടുകളുമാണ് (USA). ഈ മൂന്നു രാജ്യങ്ങളിലെ ജനസംഖ്യ വെവ്വേറെയും, മറ്റെല്ലാ രാജ്യങ്ങളിലെ ജനസംഖ്യ ഒന്നിച്ചും, ലോകജനസംഖ്യയുടെ ഭാഗങ്ങളായി ഇതിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംഖ്യയപരമായ വിവരങ്ങളെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിന് വൃത്തചിത്രം (pie chart) ഉപയോഗിക്കുന്നു.
വൃത്തകേന്ദ്രത്തിനു ചുറ്റുമുളള കോൺ അളവായ 360° യെ ഭാഗങ്ങളാക്കിയാണ് അനുയോജ്യമായ വൃത്തചിത്രം വരയ്ക്കുന്നത്.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 7 കണക്കിലെ ചുരുക്കെഴുത്ത് can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 7 Solutions Malayalam Medium കണക്കിലെ ചുരുക്കെഴുത്ത്

Class 7 Maths Chapter 7 Malayalam Medium Kerala Syllabus കണക്കിലെ ചുരുക്കെഴുത്ത്

Question 1.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന കാര്യങ്ങൾ ബീജഗണിത ഭാഷയിൽ എഴുതാമല്ലോ
1. ഏതു സംഖ്യയോടും പൂജ്യം കൂട്ടിയാൽ അതേ സംഖ്യതന്നെ കിട്ടും.
2. ഏതു സംഖ്യയിൽ നിന്നും പൂജ്യം കുറച്ചാൽ അതേ സംഖ്യ കിട്ടും.
3. ഏതു സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതേ സംഖ്യ കുറച്ചാൽ പൂജ്യമാകും.
4. ഏതു സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ പൂജ്യമാകും.
5. ഏതു സംഖ്യയെയും അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഹരിച്ചാൽ ഒന്നു കിട്ടും.
6. ഏതു സംഖ്യയോടും അതിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് കൂട്ടിയാൽ, മൂന്നു മടങ്ങ് ആകും.
7. ഏതു സംഖ്യയുടെയും മൂന്നു മടങ്ങിൽനിന്ന് രണ്ടു മടങ്ങു കുറച്ചാൽ, സംഖ്യതന്നെ കിട്ടും.
8. ഏതു സംഖ്യയോടും മറ്റൊരു സംഖ്യ കൂട്ടി, കൂട്ടിയ സംഖ്യ കുറച്ചാൽ ആദ്യത്തെ സംഖ്യ കിട്ടും.
Answer:
n ഏതു സംഖ്യയായാലും
1. n + 0 = n
2. n – 0 = n
3. n – n = 0
4. n × 0 = 0
5. \(\frac{n}{n}\) = 1
6. n + 2n = 3n
7. 3n – 2n = n
8. മറ്റൊരു സംഖ്യ m എന്നെടുത്താൽ, (n + m) – m = n

Question 2.
ചുവടെയുള്ള കണക്കുകൾ മനസ്സിൽത്തന്നെ ചെയ്യുക:
(i) 49 + 125 + 75
(ii) 3\(\frac{1}{2}\) + 8\(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)
(iii) 15.5 + 0.25 + 0.75
(iv) 38 + 27
(v) 136 + 64
Answer:
(i) 49 + 125 + 75 = 49 + 100 + 25 + 75
= 49 + 100+ 100
= 49 + 200
= 249

(ii) 3\(\frac{1}{2}\) + 8\(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)
= \(\frac{7}{2}+\frac{36}{4}\)
= \(\frac{7}{2}+\frac{18}{2}\)
= \(\frac{25}{2}\)
= 12\(\frac{1}{2}\)

(iii) 15.5 + 0.25 + 0.75 = 15.5 + 1.0
= 16.5

(iv) 38 + 27 = 38 + 2 + 25
= 40 + 25
= 65

(v) 136 + 64 = 136 + 4 + 60
= 140 + 60
= 200

Question 3.
(i) (135 – 73) – 27
(ii) (37 – 1\(\frac{1}{2}\)) – \(\frac{1}{2}\)
(iii) (298 – 4.5) – 3.5
(iv) 78 – 29
(v) 140 – 51
Answer:
(i) (135 – 73) – 27 = 135 – (73 + 27)
= 135 – 100
= 35

(ii) (37 – 1\(\frac{1}{2}\)) – \(\frac{1}{2}\) = (37 – 1.5) – 0.5
= 37 – (1.5 + 0.5)
= 37 – 2
= 35

(iii) (298 – 4.5) – 3.5
= 298 – (4.5 + 3.5)
= 298 – 8
= 290

(iv) 78 – 29 = 78 – (30 – 1)
= 78 – 30 + 1
= 48 + 1
= 49

(v) 140 – 51 = 140 – (50 + 1)
= 140 – 50 – 1
= 90 – 1
= 89

Question 4.
താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവ മനക്കണക്കായി ചെയ്യുക.
(i) (136 + 29) – 19
(ii) (3\(\frac{1}{2}\) + 5\(\frac{3}{4}\)) – 2\(\frac{1}{4}\)
(iii) (298 + 14.5) – 12.5
(iv) 23 + (35 – 18)
(v) 65 + 98
Answer:
(i) (136 + 29) – 19 = 136 + (29 – 19)
= 136 + 10
= 146

(ii) (3\(\frac{1}{2}\) + 5\(\frac{3}{4}\)) – 2\(\frac{1}{2}\) = (3.5 + 5.75) – 2.25
= 3.5+ (5.75 – 2.25)
= 3.5 + 3.5
= 7

(iii) (298 + 14.5) – 12.5 = 298 + (14.5 – 12.5)
= 298 + 2
= 300

(iv) 23 + (35 – 18) = (23 + 35) – 18
= 58 – 18
= 40

(v) 65 + 98 = 65 + (100 – 2)
= (65 + 100) – 2
= 165 – 2
= 163

Question 5.
താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവ മനക്കണക്കായി ചെയ്യുക.
(i) (135 – 73) + 23
(ii) (38 – 8\(\frac{1}{2}\)) + \(\frac{1}{2}\)
(iii) (19 – 6.5) + 2.5
(iv) 135 – (35 – 18)
(v) 240 – (40 – 13)
Answer:
(i) (135 -73) + 23 = 135 -(73 – 23)
= 135 – 50
= 85

(ii) (38 – 8\(\frac{1}{2}\)) + \(\frac{1}{2}\) = (38 – 8.5) + 0.5
= 38 – (8.5 – 0.5)
= 38 – 8
= 30

(iii) (19 – 6.5) + 2.5 = 19 – (6.5 – 2.5)
= 19 – 4
= 15

(iv) 135 – (35 – 18) = (135 – 35) + 18
= 100 + 18
= 118

(v) 240 – (40 – 13) = (240 – 40) + 13
= 200 + 13
= 213

Question 6.
മാനസികമായി താഴെ പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:
(i) 103 × 15
(ii) 98 × 25
(iii) (63 × 12) + (37 × 12)
(iv) (65 × 11) – (55 × 11)
(v) (15 × \(\frac{3}{4}\)) + (5 × \(\frac{3}{4}\))
(vi) (5\(\frac{1}{2}\) × 23) – (4\(\frac{1}{2}\) × 23)
Answer:
(i) 103 × 15 = (100+ 3) × 15
= (100 × 15) +(3 × 15)
= 1500 + 45
=1545

(ii) 98 × 25 = (100 – 2) × 25
= (100 × 25)-(2 × 25)
= 2500 – 50
= 2450

(iii) (63 × 12) + (37 × 12)
= (63 + 37) × 12
= 100 × 12
= 1200

(iv) (65 × 11) – (55 × 11)
= (65 – 55) × 11
= 10 × 11
= 110

(v) (15 × \(\frac{3}{4}\)) + (5 × \(\frac{3}{4}\))
= \(\frac{3}{4}\) × (15 + 5)
= \(\frac{3}{2}\) × 15
= \(\frac{45}{2}\)

(vi) (5\(\frac{1}{2}\) × 23) – (4\(\frac{1}{2}\) × 23)
= 23 × (5\(\frac{1}{2}\) + 4\(\frac{1}{2}\))
= 23 × (5.5 + 4.5)
= 23 × 10
= 230

Shorthand Math Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവ ബീജഗണിതമുപയോഗിച്ച് എഴുതുക.
i) ഒരു സംഖ്യയുടെ കൂടെ 15 കൂട്ടിയാൽ ആ സംഖ്യയുടെ 3 മടങ്ങ് ആകും.
ii) ഒരു സംഖ്യയുടെ 3 മടങ്ങിനോട് 25 കൂട്ടിയാൽ 70 കിട്ടും.
iii) ഒന്നിനോട് ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂന്നിൽ ഒന്ന് കൂട്ടിയാൽ 15 കിട്ടും.
Answer:
i. n + 15 = 3n
ii. 3n + 25 = 70
iii. 1 + \(\frac{n}{3}\) = 15

Question 2.
24 + 16 + 34 കണക്കാക്കുക.
Answer:
24 + 16 + 34 = 24 + (16 + 34)
= 24 + 50
= 74

Question 3.
79 – 52 – 18 കണക്കാക്കുക.
Answer:
79 – 52 – 18 = 79 – (52 + 18)
= 79 – 70
= 9

Question 4.
3 × 13 + 3 × 7 കണക്കാക്കുക.
Answer:
3 × 13 + 3 × 7 = 3(13 + 7)
= 3 × 20
= 60

Question 5.
7 × 48 കണക്കാക്കുക.
Answer:
7 × 48 = 7(50 – 2)
= 350 – 14
= 336

Shorthand Math Class 7 Notes Malayalam Medium
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രധാനപ്പെട്ട ശാഖകളിൽ ഒന്നാണ് ബീജഗണിതം. ഇവിടെ ‘ കണക്കുകൾ ചെയ്യുവാൻ വേണ്ടി അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആയാസകരമായ ക്രിയകളും മറ്റും എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യുവാൻ ബീജഗണിതം നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു. ബീജഗണിതത്തിലെ വളരെ അടിസ്ഥാനപരമായതും എന്നാൽ പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ കുറച്ചു കാര്യങ്ങളെ ഈ പാഠത്തിൽ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.

സംഖ്യകളും അക്ഷരങ്ങളും
അളവുകളെയും സംഖ്യകളെയും കുറിച്ചുള്ള കാര്യങ്ങൾ ചുരുക്കിയെഴുതുന്ന രീതിക്ക് ബീജഗണിതം (algebra) എന്നാണ് പേര്.

ഉദാ:
അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു
“ഒരു സംഖ്യയോട് ആ സംഖ്യ തന്നെ കൂട്ടിയാൽ അതിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങ് കിട്ടും.”ഇതിനെ കണക്കിന്റെ ഭാഷയിൽ എഴുതിയാൽ;
ഒരു സംഖ്യ + അതേ സംഖ്യ = 2 × ആ സംഖ്യ
ഇതേ കാര്യം ബീജഗണിതമുപയോഗിച്ച് എഴുതിയാൽ;
n ഏതു സംഖ്യ ആയാലും n + n = 2n.

ബീജഗണിതത്തിലെ ചില രീതികൾ:
1. ഗുണനചിഹ്നം എഴുതാതെ ചേർത്തെഴുതുക.
ഉദാ: 3 × n എന്നത് 3n എന്നായിരിക്കും എഴുതുന്നത്.

2. അക്ഷരവും സംഖ്യയും ഒരുമിച്ചുവരുമ്പോൾ, സംഖ്യ ആദ്യം എഴുതുക.
ഉദാ: 5 × n എന്നത് 5n എന്നായിരിക്കും എഴുതുന്നത്, n5 എന്നല്ല.

3. സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇഷ്ടമുള്ള ഏതു അക്ഷരവും ഉപയോഗിക്കാം.
ഉദാ: n ഏതു സംഖ്യ ആയാലും n + n = 2n എന്നതിനെ, x ഏതു സംഖ്യ ആയാലും x + x = 2x എന്നും എഴുതാം.

4. അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കിലെ ക്രിയകൾ എഴുതുമ്പോൾ ഹരണത്തിന്റെ ഭിന്നരൂപമാണ് സാധാരണയായി എഴുതുന്നത്.
ഉദാ: m ÷ 7 എന്ന് എഴുതുന്നതിനുപകരം \(\frac{m}{7}\) എന്നാണ് എഴുതുക.

5. ഒന്നിലധികം സംഖ്യകളെപ്പറ്റി പറയുന്ന അവസരത്തിൽ ഒന്നിലധികം അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.
ഉദാ: “ഒരു സംഖ്യയോട് മറ്റൊരു സംഖ്യ കൂട്ടി, ആദ്യത്തെ സംഖ്യ കുറച്ചാൽ, കൂട്ടിയ സംഖ്യ കിട്ടും” ഇതിനെ ബീജഗണിതമുപയോഗിച്ച് എഴുതിയാൽ;
x, y ഏതു സംഖ്യകളായാലും (x + y) – x = y

ഒന്നൊന്നായും മൊത്തമായും
മൂന്നു സംഖ്യകൾ തന്നിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക. ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയിട്ട് ആ തുകയോട് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കൂട്ടിയാലും, അവസാനത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയിട്ട് ആദ്യത്തെ സംഖ്യയോട് ആ തുക കൂട്ടിയാലും ഒരേ സംഖ്യതന്നെ കിട്ടും. ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
x, y, z ഏതു സംഖ്യകളായാലും, (x + y) + z = x + (y + z)
ഉദാ:
1, 2, 3 എന്നീ സംഖ്യകളെടുത്താൽ,
(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6

ചില അവസരങ്ങളിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയിട്ട് ആ തുകയോട് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കൂട്ടുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.
ഉദാ:
25 + 18 = 25 + 5 + 13
= 30 + 13
= 43

ചില അവസരങ്ങളിൽ അവസാനത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയിട്ട് ആദ്യത്തെ സംഖ്യയോട് ആ തുക കൂട്ടുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.
ഉദാ:
15 + 28 + 2 = 15 + 30
= 45

മൂന്നു സംഖ്യകൾ തന്നിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയിൽനിന്ന് രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ കുറച്ചുകിട്ടുന്ന വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്ന് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കുറച്ചാലും, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറച്ചാലും ഒരേ സംഖ്യതന്നെ കിട്ടും. ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും (x – y) – z = x – (y + z)
ഉദാ:
10, 7, 2 എന്നീ സംഖ്യകളെടുത്താൽ,
(10 – 7) – 2 = 3 – 2 = 1
10 – (7 + 2) = 10 – 9 = 1

ചില അവസരങ്ങളിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കുറച്ചു കിട്ടുന്ന വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്ന് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കുറക്കുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.
ഉദാ:
500 – 201 = 500 – 200 – 1
= 300 – 1
= 299

ചില അവസരങ്ങളിൽ അവസാനത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടികിട്ടുന്ന തുക ആദ്യത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറക്കുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.
ഉദാ:
35 – 17 – 3 = 35 – (17 + 3)
= 35 – 20
= 15

കൂട്ടലും കുറയ്ക്കലും
ക്രിയകളുടെ ക്രമം വ്യക്തമാക്കാൻ ബ്രാക്കറ്റ് ഉപയോഗിക്കണം.
ഉദാ:
7 ൽ നിന്ന് 4 കുറച്ച്, പിന്നീട് 2 കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 1 എന്നാണ്, അതായത്,
(7 – 4) – 2 = 1
4 ൽ നിന്ന് 2 കുറച്ച്, അതിനെ 7 ൽ നിന്നു കുറച്ചാൽ 5 ആണ് കിട്ടുന്നത്, അതായത്,
7 – (4 – 2) = 5
അപ്പോൾ 7 – 4 – 2 എന്നെഴുതിയാൽ ഏതു ക്രിയ ആദ്യം ചെയ്യുന്നു എന്നതിനനുസരിച്ച് ഉത്തരം മാറും. അതിനാൽ ക്രിയകളുടെ ക്രമം വ്യക്തമാക്കാൻ ബ്രാക്കറ്റ് ഉപയോഗിക്കണം.

മൂന്നുസംഖ്യകൾ തന്നിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക. അവയെ, ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യ, വലിയ സംഖ്യ, ചെറിയസംഖ്യ എന്നിങ്ങനെ വിളിക്കാം.
ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയുടെയും വലിയസംഖ്യയുടെയും തുകയിൽ നിന്ന് ചെറിയ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോഴും ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയോട് വലിയ സംഖ്യയുടെയും ചെറിയ സംഖ്യയുടെയും വ്യത്യാസം കൂട്ടുമ്പോഴും ഒരേ ഉത്തരം തന്നെയായിരിക്കും കിട്ടുന്നത്.
ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും, y > z ആണെങ്കിൽ (x + y) – z = x + (y – z)
ഉദാ:
5, 4, 3 എന്നീ സംഖ്യകളെടുത്താൽ;
(5 + 4) – 3 = 9 – 3 = 6
5 + (4 − 3) = 5 + 1 = 6
(5 + 4) – 3 = 5 + (4 – 3)

ഇതിനെ x + (y – z) = (x + y) + z എന്നു തിരിച്ചു വായിക്കുന്നതിനും ചില ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.
ഉദാ:
25 + 99 = 25 + (100 – 1)
= (25 + 100) – 1
= 125 – 1
= 124

മൂന്നുസംഖ്യകൾ തന്നിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക. അവയെ, ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യ, വലിയസംഖ്യ, ചെറിയസംഖ്യ എന്നിങ്ങനെ വിളിക്കാം.

ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് വലിയസംഖ്യ കുറച്ചിട്ട് ചെറിയ സംഖ്യ കൂട്ടുമ്പോഴും, വലിയസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ചെറിയ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന വ്യത്യാസം ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരേ ഉത്തരം തന്നെയായിരിക്കും കിട്ടുന്നത്. ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ
കുറയ്ക്കുമ്പോഴും
പറഞ്ഞാൽ,
x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും, y > z ആണെങ്കിൽ (x – y) + z = x – (y – z)
ഉദാ:
10, 7, 4 എന്നീ സംഖ്യകളെടുത്താൽ;
(10 – 7) + 4 = 3 + 4 = 7
10 – (7 – 4) = 10 – 3 = 7
(10 – 7) + 4 = 10 – (7 – 4)

കൂട്ടലും കുറയ്ക്കലും പിന്നെ ഗുണിക്കലും
ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെയും തുകയെ ഒരു സംഖ്യകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാലും, തുകയിലെ ഓരോ സംഖ്യയേയും വെവ്വേറെ ഗുണിച്ചു കൂട്ടിയാലും ഒരേ സംഖ്യതന്നെ കിട്ടും. ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും (x + y)z = xz + yz
ഉദാ:
1, 2, 3 എന്നീ സംഖ്യകളെടുത്താൽ;
(1 + 2) × 3 = 3 × 3 = 9
(1 × 3) + (2 × 3) = 3 + 6 = 9
∴ (1 + 2) × 3 = (1 × 3) + (2 × 3)

ഇതിനെ xz + yz = (x + y)z എന്നു തിരിച്ചു വായിക്കുന്നതിനും ചില ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.
ഉദാ:
32 + 56 = (4 × 8) + (7 × 8)
= 8 × (4 +7)
= 8 × 11
= 88

ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെയും വ്യത്യാസത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാലും, വ്യത്യാസത്തിലെ ഓരോ സംഖ്യയേയും വെവ്വേറെ ഗുണിച്ചു കുറച്ചാലും ബീജഗണിതഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും (x – y)z = xz – – yz
ഉദാ:
7, 5, 3 എന്നീ സംഖ്യകളെടുത്താൽ;
(7 – 5) × 3 = 2 × 3 = 6
(7 × 3) – (5 × 3) = 21 – 15 = 6
∴ (7 – 5) × 3 = (7 × 3) – (5 × 3)

ഇതിനെ xz – yz = (x – y)z എന്നു തിരിച്ചു വായിക്കുന്നതിനും ചില ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.
ഉദാ:
(\(\frac{1}{2}\) × 35) – (\(\frac{1}{2}\) × 15) = \(\frac{1}{2}\)(35 – 15)
= \(\frac{1}{2}\) × 20
= 10
അളവുകളെയും സംഖ്യകളെയും കുറിച്ചുള്ള കാര്യങ്ങൾ ചുരുക്കിയെഴുതുന്ന രീതിക്ക് ബീജഗണിതം (algebra) എന്നാണ് പേര്.

ബീജഗണിതത്തിലെ ചില രീതികൾ:

• ഗുണനചിഹ്നം എഴുതാതെ ചേർത്തെഴുതുക.
• അക്ഷരവും സംഖ്യയും ഒരുമിച്ചുവരുമ്പോൾ, സംഖ്യ ആദ്യം എഴുതുക.
• സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇഷ്ടമുള്ള ഏതു അക്ഷരവും ഉപയോഗിക്കാം.
• അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കിലെ ക്രിയകൾ എഴുതുമ്പോൾ ഹരണത്തിന്റെ ഭിന്നരൂപമാണ് സാധാരണയായി എഴുതുന്നത്.
• ഒന്നിലധികം സംഖ്യകളെപ്പറ്റി പറയുന്ന അവസരത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാം.

x, y, z ഏതു സംഖ്യകളായാലും, (x + y) + z = x + (y + z)
ചില അവസരങ്ങളിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയിട്ട് ആ തുകയോട് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കൂട്ടുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.
ചില അവസരങ്ങളിൽ അവസാനത്തെ രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയിട്ട് ആ തുകയോട് ആദ്യത്തെ സംഖ്യ കൂട്ടുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.

x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും (x -y) – z = x – (y + z)
ചില അവസരങ്ങളിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കുറച്ചു കിട്ടുന്ന വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്ന് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ കുറക്കുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.
ചില അവസരങ്ങളിൽ അവസാനത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടികിട്ടുന്ന തുക ആദ്യത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറക്കുന്നതായിരിക്കും എളുപ്പം.

ക്രിയകളുടെ ക്രമം വ്യക്തമാക്കാൻ ബ്രാക്കറ്റ് ഉപയോഗിക്കണം.

• x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും, y > z ആണെങ്കിൽ (x + y) – z = x + (y – z)
  ഇതിനെ x + (y – z) = (x + y) – z എന്നു തിരിച്ചു വായിക്കുന്നതിനും ചില ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.
• x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും, y > z ആണെങ്കിൽ (x – y) + z = x – (1 – z)
• x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും (x + y)z = xz + yz
  ഇതിനെ xz + yz = (x + y)z എന്നു തിരിച്ചു വായിക്കുന്നതിനും ചില ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.
• x, y, z ഏതു മൂന്നു സംഖ്യകളായാലും (x – y)z = xz – yz
  ഇതിനെ xz – yz = (x – y)z എന്നു തിരിച്ചു വായിക്കുന്നതിനും ചില ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 6 അംശബന്ധം can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 6 Solutions Malayalam Medium അംശബന്ധം

Class 7 Maths Chapter 6 Malayalam Medium Kerala Syllabus അംശബന്ധം

Question 1.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഓരോ ചതുരത്തിന്റെയും ഉയരവും നീളവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം കഴിയുന്നതും ചെറിയ എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചു എഴുതുക.
i. ഉയരം 8 സെന്റിമീറ്റർ: നീളം 10 സെന്റിമീറ്റർ
ii. ഉയരം 8 മീറ്റർ; നീളം 12 മീറ്റർ
iii. ഉയരം 20 സെന്റിമീറ്റർ; നീളം 1 മീറ്റർ
iv. ഉയരം 40 സെന്റിമീറ്റർ; നീളം 1 മീറ്റർ
v. ഉയരം 1.5 സെന്റിമീറ്റർ: നീളം 2 സെന്റിമീറ്റർ
Answer:
i. ഉയരം 8 സെന്റിമീറ്റർ: നീളം 10 സെന്റിമീറ്റർ
അംശബന്ധം = 8 : 10 = 4 : 5

ii. ഉയരം 8 മീറ്റർ; നീളം 12 മീറ്റർ
അംശബന്ധം = 8 : 12 = 2 : 3

iii. ഉയരം 20 സെന്റിമീറ്റർ; നീളം 1 മീറ്റർ
അംശബന്ധം = 20 : 100 = 1 : 5

iv. ഉയരം 40 സെന്റിമീറ്റർ; നീളം 1 മീറ്റർ
അംശബന്ധം = 40 : 100 = 2 : 5

v. ഉയരം 1.5 സെന്റിമീറ്റർ: നീളം 2 സെന്റിമീറ്റർ
അംശബന്ധം = 1.5 : 2 = 3: 4

Question 2.
ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ ചില ചതുരങ്ങളുടെ ഉയരം, നീളം, അവ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എന്നിവയിൽ രണ്ടെണ്ണം തന്നിട്ടുണ്ട്. മൂന്നാമത്തേത് കണ്ടുപിടിച്ച് പട്ടിക പൂർത്തിയാക്കുക.

Answer:

ഇതുപോലെ ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കണക്കുകളിലെല്ലാം, കഴിയുന്നത്ര ചെറിയ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് അംശബന്ധങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.

Question 3.
ആമിനയുടെ കൈയിൽ 105 രൂപയും, മേഴ്സിയുടെ കൈയിൽ 175 രൂപയുമുണ്ട്. ചെറിയ തുകയും വലിയ തുകയും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം കണക്കാക്കുക
Answer:
ആമിനയുടെ മേഴ്സിയുടെ
കൈയിലുള്ള തുക = 105 രൂപ
കൈയിലുള്ള തുക = 175 രൂപ
അംശബന്ധം = 105 : 175 = 3 : 5

Question 4.
ഒരു സമ്മേളനത്തിൽ 6 സ്ത്രീകളും, 144 പുരുഷന്മാരും പങ്കെടുത്തു. സ്ത്രീകളുടെ എണ്ണവും പുരുഷന്മാ രുടെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
സ്ത്രീകളുടെ എണ്ണം = 96
പുരുഷന്മാരുടെ എണ്ണം = 144
അംശബന്ധം = 96: 144 = 2:3

Question 5.
രണ്ടു പെൻസിലുകളിൽ ചെറുതിന്റെ നീളം 4.5 സെന്റിമീറ്ററും, വലുതിന്റെ നീളം 7.5 സെന്റിമീറ്ററുമാണ്. വലുതിന്റെയും ചെറുതിന്റെയും നീളങ്ങൾ ഏത് അംശബന്ധത്തിലാണ്?
Answer:
വലിയ പെൻസിലിന്റെ നീളം = 7.5 സെന്റിമീറ്റർ
ചെറിയ പെൻസിലിന്റെ നീളം = 4.5 സെന്റിമീറ്റർ
അംശബന്ധം = 7.5:4.5 = 5:3

Question 6.
ഒരു ചരടുകൊണ്ട് ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അളന്നപ്പോൾ വീതി, ചരടിന്റെ – ഭാഗവും നീളം, ചരടിന്റെ \(\frac{1}{3}\) ഭാഗവും എന്നു കണ്ടു. വീതിയും നീളവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എന്താണ്?
Answer:
വീതി = ചരടിന്റെ \(\frac{1}{4}\) ഭാഗം
നീളം = ചരടിന്റെ \(\frac{1}{3}\) ഭാഗം
അംശബന്ധം = \(\frac{1}{3}: \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{4}=\frac{1 \times 3}{4 \times 3}=\frac{3}{12}\)
\(\frac{1}{3}=\frac{1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{4}{12}\)

∴ അംശബന്ധം = \(\frac{4}{12}: \frac{3}{12}\) = 4 : 3

Question 7.
ഒരു വലിയ കുപ്പി നിറയ്ക്കാൻ 3\(\frac{1}{2}\) ഗ്ലാസ് വെള്ളവും, ചെറിയ കുപ്പി നിറയ്ക്കാൻ 2\(\frac{1}{2}\) ഗ്ലാസ് വെള്ളവും വേണം. വലിയ കുപ്പിയുടെയും ചെറിയ കുപ്പിയുടെയും ഉള്ളളവുകൾ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എന്താണ്?
Answer:
വലിയ കുപ്പിയുടെ ഉള്ളളവ് = 3\(\frac{1}{2}\) ഗ്ലാസ് വെള്ളം
ചെറിയ കുപ്പിയുടെ ഉള്ളളവ് = 2\(\frac{1}{2}\) ഗ്ലാസ് വെള്ളം
അംശബന്ധം = 3\(\frac{1}{2}\) : 2\(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{7}{2}: \frac{5}{2}\)
= 7:5

Question 8.
ദോശയുണ്ടാക്കാൻ 6 കപ്പ് അരിയ്ക്ക് 2 കപ്പ് ഉഴുന്ന് എന്നാണ് കണക്ക്. 9 കപ്പ് അരിയെടുത്താൽ, എത്ര കപ്പ് ഉഴുന്നെടുക്കണം?
Answer:
6 കപ്പ് അരിയ്ക്ക് 2 കപ്പ് ഉഴുന്ന്.
ഉഴുന്നും അരിയും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 2 : 6 = 1 : 3
9 കപ്പ് അരിയെടുത്താൽ,
ഉഴുന്ന് : 9 = 1:3
ഉഴുന്ന് = \(\frac{1}{3}\) × 9 = 3 കപ്പ്

Question 9.
വീട്ടിലെ ചുവർ തേയ്ക്കുന്നതിന് സിമെന്റും മണലും 1 : 5 എന്ന അംശബന്ധത്തിലാണ് ഉപയോഗിച്ചത്. ഇതിനായി 45 ചാക്ക് സിമെന്റ് വാങ്ങി. എത്ര ചാക്ക് മണൽ വാങ്ങണം?
Answer:
സിമെന്റും മണലും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 1:5
45 ചാക്ക് സിമെന്റ് വാങ്ങി.
45: മണൽ = 1: 5

∴ മണൽ = 45 × \(\frac{5}{1}\) = 225 ചാക്ക്

Question 10.
വീടിന് ചായം തേയ്ക്കുമ്പോൾ 12 ലിറ്റർ ചായത്തിന്റെ കൂടെ 8 ലിറ്റർ ടർപെന്റൈനും ആണ് ചേർത്തത്. 15 ലിറ്റർ ചായത്തിന്റെ കൂടെ എത്ര ലിറ്റർ ടർപെന്റൈൻ ചേർക്കണം?
Answer:
ടർപെന്റൈനും പെയിന്റും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 8 : 12
15 ലിറ്റർ ചായത്തിന്റെ കൂടെ,
ടർപെന്റൈൻ : 15 = 2:3

ടർപെന്റൈൻ = \(\frac{2}{3}\) × 15
= 10 ലിറ്റർ

Question 11.
ഒരു പഞ്ചായത്തിലെ ഒന്നാം വാർഡിൽ സ്ത്രീകളുടെയും പുരുഷന്മാരുടെയും എണ്ണം 11:10 എന്ന അംശബന്ധത്തിലാണ്. ഇവിടെ 1793 സ്ത്രീകളാണുള്ളത്. ഇവിടെ എത്ര പുരുഷന്മാരുണ്ട്? സ്ത്രീകളും പുരുഷന്മാരും കൂടി ആകെ എത്രപേരുണ്ട്?
Answer:
സ്ത്രീകളുടെയും പുരുഷന്മാരുടെയും എണ്ണം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 11:10
ഇവിടെ 1793 സ്ത്രീകളാണുള്ളത്.

∴ പുരുഷന്മാരുടെയും എണ്ണം = 1793 × \(\frac{10}{11}\) = 1630
സ്ത്രീകളുടെയും പുരുഷന്മാരുടെയും ആകെ എണ്ണം = 1793 + 1630
= 3423

Question 12.
സുഹറയും സീതയും ചേർന്ന് ഒരു കച്ചവടം തുടങ്ങി. സുഹറ 40000 രൂപയും സീത 50000 രൂപയുമാണ് മുടക്കിയത്. ലാഭമായി കിട്ടിയ 9000 രൂപ, മുടക്കുമുതലിന്റെ അംശബന്ധത്തിൽ വീതിച്ചെടുത്തു. ഓരോരുത്തർക്കും എത്ര രൂപ കിട്ടി?
Answer:
സുഹറ മുടക്കിയ തുക = 40000 രൂപ
സീത മുടക്കിയ തുക = 50000 രൂപ
ആകെ ലാഭം = 9000 രൂപ
മുടക്കുമുതലിന്റെ അംശബന്ധം = 40000: 50000 = 4 : 5
സുഹറയുടെ വീതം = 9000 × \(\frac{4}{9}\) = 4000 രൂപ
സീതയുടെ വീതം = 9000 × \(\frac{5}{9}\) = 5000 രൂപ

Question 13.
രമേശനും ജോണും ഒരു ജോലി കരാറെടുത്തു. രമേശൻ ആറു ദിവസവും, ജോൺ ഏഴു ദിവസവുമാണ് ജോലി ചെയ്തത്. കിട്ടിയ 6500 രൂപ, ജോലി ചെയ്ത ദിവസങ്ങളുടെ അംശബന്ധത്തിൽ വീതിച്ചു. ഓരോരുത്തർക്കും എത്ര രൂപ കിട്ടി ?
Answer:
രമേശൻ ജോലി ചെയ്ത ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം = 6
ജോൺ ജോലി ചെയ്ത ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം = 7
ആകെ ലഭിച്ച തുക = 6500 രൂപ
ജോലി ചെയ്ത ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അംശബന്ധം = 6 : 7
രമേശന് ലഭിച്ച തുക = 6500 × \(\frac{6}{13}\) = 3000 രൂപ
ജോണിന് ലഭിച്ച തുക = 6500 × \(\frac{7}{13}\) = 3500 രൂപ

Question 14.
രാമുവും രാജുവും ഒരു തുക 3 : 2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ വീതിച്ചപ്പോൾ രാമുവിന് 480 രൂപ കിട്ടി.
(i) രാജുവിന് എത്ര രൂപ കിട്ടി?
(ii) ആകെ എത്ര രൂപയാണ് വീതിച്ചത്?
Answer:
(i) രാമുവിനും രാജുവിനും ലഭിച്ച തുകയുടെ അംശബന്ധം = 3 : 2
480 : രാജു = 3 : 2

രാജു= 480 × \(\frac{2}{3}\) = 320 രൂപ
രാജുവിന് ലഭിച്ച തുക = 320 രൂപ.

(ii) ആകെ ലഭിച്ച തുക = 480 + 320 = 800 രൂപ.

Question 15.
9 സെന്റിമീറ്റർ നീളത്തിൽ AB എന്നൊരു വര വരയ്ക്കുക. ഇതിൽ P എന്ന കുത്തിടണം. AP, PB എന്നിവയുടെ നീളങ്ങൾ 1 : 2 എന്ന അംശബന്ധത്തിലായിരിക്കണം. A യിൽ നിന്ന് എത്ര അകലെയാണ് P അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടത്? കണക്കുകൂട്ടി അടയാളപ്പെടുത്തുക.
Answer:
AB യുടെ നീളം = 9 സെന്റിമീറ്റർ
AP: PB = 1: 2
:. AP = 9 × \(\frac{1}{3}\) = 3 സെന്റിമീറ്റർ
PB = 9 × \(\frac{2}{3}\) = 6 സെന്റിമീറ്റർ
A യിൽ നിന്ന് 3 സെന്റിമീറ്റർ അകലെയാണ് P അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടത്.

Question 16.
15 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുക. ഇതിനെ 2:3 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദു ഇതിൽ അടയാളപ്പെടുത്തണം. നീളങ്ങൾ കണക്കാക്കി ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക.
Answer:
AB = 15 സെന്റിമീറ്റർ എന്നും AB യെ 2:3 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദു P എന്നും എടുക്കുക.
അതായത്, AP: PB = 2: 3
∴ AP = 15 × \(\frac{2}{5}\) = 6 cm
PB = 15 × \(\frac{3}{5}\) = 9 cm

Question 17.
30 സെന്റിമീറ്റർ ചുറ്റളവും, വശങ്ങളുടെ നീളം 1:2 എന്ന അംശബന്ധത്തിലും ആയ ചതുരം വരയ്ക്കുക.
(i) ഇതേ ചുറ്റളവിൽ, വശങ്ങളുടെ നീളം 2 : 3, 3 : 7 എന്നീ അംശബന്ധങ്ങളിൽ ആയ മറ്റ് രണ്ടു ചതുരങ്ങൾ കൂടി വരയ്ക്കുക.
(ii) മൂന്നു ചതുരങ്ങളുടെയും പരപ്പളവുകൾ കണക്കാക്കുക. ഏതു ചതുരത്തിനാണ് പരപ്പളവ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ?
Answer:
ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 30 സെന്റിമീറ്റർ
2(നീളം + വീതി) = 30
നീളം + വീതി = 15
വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം = 1:2
∴ നീളം = \(\frac{2}{3}\) × 15 = 10 സെന്റിമീറ്റർ
വീതി = \(\frac{1}{3}\) × 15 = 5 സെന്റിമീറ്റർ

(i) വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം = 2: 3
∴ നീളം = \(\frac{3}{5}\) × 15 = 9 സെന്റിമീറ്റർ
വീതി = \(\frac{2}{5}\) × 15 = 6 സെന്റിമീറ്റർ

വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം = 3: 7
∴ നീളം = \(\frac{7}{10}\) × 15 = 10.5 സെന്റിമീറ്റർ
വീതി = \(\frac{3}{10}\) × 15 = 4.5 സെന്റിമീറ്റർ

(ii) ആദ്യത്തെ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 10 × 5 = 50 ച.സെ.മീ
രണ്ടാമത്തെ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 9 × 6 = 54 ച.സെ.മീ
മൂന്നാമത്തെ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 10.5 × 4.5 = 47.25 ച.സെ.മീ
∴ രണ്ടാമത്തെ ചതുരത്തിനാണ് കൂടുതൽ പരപ്പളവ്.

Intext Questions And Answers

Question 1.
അജിയുടെ വീടിന്റെ ചുമരുകൾക്ക് ചായമടിക്കാൻ ആദ്യം 25 ലിറ്റർ പച്ച നിറവും, 20 ലിറ്റർ വെള്ളയും കലർത്തിയെടുത്തു. ഇതു മതിയാകാതെ വന്നപ്പോൾ വീണ്ടും 15 ലിറ്റർ പച്ചയെടുത്തു. ഇതിൽ എത്ര ലിറ്റർ വെള്ള ചേർക്കണം?
Answer:
പച്ചയും വെള്ളയും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 25: 20 = 5: 4
നാലു ലിറ്റർ വെള്ളയ്ക്ക് 5 ലിറ്റർ പച്ച വേണം.
4 ലിറ്ററിന്റെ 4 മടങ്ങ് 16 ലിറ്റർ.
5 ലിറ്ററിന്റെ 4 മടങ്ങ് 20 ലിറ്റർ.
അതായത് 16 ലിറ്റർ പച്ചക്ക് 20 ലിറ്റർ വെള്ള വേണം. അംശബന്ധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ,
പച്ച : വെള്ള = 5:4
പച്ച : 16 = 5:4

പച്ച = \(\frac{5}{4}\) × 16 = 20 ലിറ്റർ

Question 2.
സ്കൂളിലൊരു പച്ചക്കറിത്തോട്ടമുണ്ടാക്കാൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു സ്ഥലം കയർ കെട്ടി തിരിക്കണം. കയറിന്റെ നീളം 32 മീറ്റർ. വീതിയും നീളവും 3 : 5 എന്ന അംശബന്ധത്തിലായിരിക്കണം എന്നാണ് തീരുമാനം. വീതിയും നീളവും എത്ര മീറ്റർ വീതം ആയിരിക്കണം?
Answer:
കയറിന്റെ നീളം = 32 മീറ്റർ
.: ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 32 മീറ്റർ
2(നീളം + വീതി) = 32
നീളം + വീതി = 16
വീതിയും നീളവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 3: 5
∴ നീളം = 16 × \(\frac{3}{8}\) = 6 മീറ്റർ
വീതി = 16 × \(\frac{5}{8}\) = 10 മീറ്റർ

Ratio Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ഒരു രേഖീയ ജോഡിയിലെ കോണുകൾ 4:5 എന്ന അംശബന്ധത്തിലാണ്. ഓരോ കോണിന്റെയും അളവ് എന്താണ്?
Answer:
രേഖീയ ജോഡിയിലെ കോണുകളുടെ അംശബന്ധം = 4 : 5
കോണുകളുടെ തുക = 180
ഒരു കോൺ = 180 × \(\frac{4}{9}\) = 80°
മറ്റേ കോൺ = 180 × \(\frac{5}{9}\) = 100°

Question 2.
സീതയും സോബിയും 3:2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ കുറച്ച് പണം പങ്കിട്ടു, സീതയ്ക്ക് 480 രൂപ ലഭിച്ചു. അവർ വിഭജിച്ച ആകെ തുക എത്രയാണ്?
Answer:
തുക പങ്കിട്ട അംശബന്ധം = 3 : 2
സീതയ്ക്കു ലഭിച്ച തുക = 480 രൂപ
400: സീത = 1 : 2
∴ സീത = 400 × \(\frac{2}{1}\) = 800 രൂപ
ആകെ തുക = 400 + 800 = 1200 രൂപ.

Question 3.
രമേശിന്റെ പിതാവ് തന്റെ സമ്പാദ്യത്തെ ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നപോലെ വിഭജിച്ചു. \(\frac{2}{7}\) ഭാഗം രമേഷിന് , \(\frac{5}{7}\) ഭാഗം അമ്മയ്ക്ക്
ഈ വിഭജനത്തിന്റെ അംശബന്ധം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
അംശബന്ധം = \(\frac{2}{7}: \frac{5}{7}\) = 2:5

Question 4.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വീതിയും നീളവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 1:1 ആണെങ്കിൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഇത് ഏതുതരം ചതുരമാണ്?
Answer:
ചതുരത്തിന്റെ വീതിയും നീളവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 1:1
∴ നീളം = വീതി
ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ അത് ഒരു സമചതുരമാണ്.

Question 5.
മക്കളായ രവി, ഷിനു എന്നിവർക്ക് 3:2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ശമ്പളം നൽകാൻ ശാന്ത തീരുമാനിച്ചു. രവിക്ക് 4500 രൂപ കിട്ടിയെങ്കിൽ.
a) ഷിനുവിന് ലഭിച്ച തുക കണ്ടെത്തുക?
b) ശാന്തയുടെ ശമ്പളം എത്ര?
Answer:
a) രവിയ്ക്കും ഷിനുവിനും ലഭിച്ച തുകകളുടെ അംശബന്ധം = 3:2
രവിയ്ക്ക് ലഭിച്ച തുക = 4500 രൂപ
4500: ഷിനു = 3: 2

∴ ഷിനു = 4500 × \(\frac{2}{3}\) = 3000 രൂപ

b) ശാന്തയുടെ ശമ്പളം = 4500 + 3000 = 7500 രൂപ

Question 6.
രാജുവിന്റെ കൈയ്യിൽ 120 രൂപയും മേരിയുടെ കൈയ്യിൽ 180 രൂപയും ഉണ്ട്.
A. മേരിയുടെയും രാജുവിന്റെയും തുകയുടെ അംശബന്ധം എത്രയാണ്?
(a) 3:2 (b) 2:3 (c) 6:5 (d) 5:9
B. അമ്മ മേരിയ്ക്ക് 60 രൂപ കൂടി നൽകി. അതേ അംശബന്ധം ഉണ്ടാക്കാൻ രാജുവിന് അധികം എത്ര രൂപ വേണം?
C. അവർ 800 രൂപ ഇതേ അംശബന്ധത്തിൽ വിഭജിച്ചാൽ, ഓരോരുത്തർക്കും എത്ര രൂപ ലഭിക്കും?
Answer:
A. മേരിയുടെയും രാജുവിന്റെയും കൈയിലുള്ള തുകകളുടെ അംശബന്ധം = 180 : 120 = 3 : 2

B. അമ്മ മേരിയ്ക്ക് 60 രൂപ കൂടി നൽകി.
ഇപ്പോൾ മേരിയുടെ കൈയിലുള്ള തുക = 180 + 60 = 240
240: രാജു = 3: 2

∴ രാജു = 240 × 23 = 160
∴ അതേ അംശബന്ധം ഉണ്ടാക്കാൻ രാജുവിന് അധികം ആവശ്യമായ തുക = 160 – 120 = 40 രൂപ

C. അവർ 800 രൂപ ഇതേ അംശബന്ധത്തിൽ വിഭജിച്ചാൽ,
രാജുവിന് ലഭിക്കുന്ന തുക = 800 × \(\frac{2}{5}\) = 320 രൂപ
മേരിയ്ക്ക് ലഭിക്കുന്ന തുക = 800 × \(\frac{3}{5}\) = 480 രൂപ

Practice Questions

Question 1.
ചുവടെയുള്ള വീതിയുടെയും നീളത്തിന്റെയും അംശബന്ധം എഴുതുക.
(i) വീതി = 3 സെന്റിമീറ്റർ, നീളം = 9 സെന്റിമീറ്റർ
(ii) വീതി = 6 സെന്റിമീറ്റർ, നീളം = 14 സെന്റിമീറ്റർ
Answer:
(i) 1:3,
(ii) 3:7

Question 2.
ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു പൂന്തോട്ടത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 28 മീറ്റർ ആണ് .നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും അംശബന്ധം 3:4. നീളവും വീതിയും കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
6 സെന്റിമീറ്റർ, 8 സെന്റിമീറ്റർ

Question 3.
ഒരു ചെറിയ ടാങ്കിന്റെ ഉള്ളളവ് 500 ലിറ്ററും വലിയ ടാങ്കിന്റെ ഉള്ളളവ് 1500 ലിറ്ററും ആണ്.
(a) ചെറിയ ടാങ്കിന്റെയും വലിയ ടാങ്കിന്റെയും ഉള്ളളവുകളുടെ അംശബന്ധം എഴുതുക.
(b) ചെറിയ ടാങ്ക് മുഴുവനായും വലിയ ടാങ്ക് പകുതിയും വെള്ളം നിറച്ചിരിക്കുന്നു. എങ്കിൽ ചെറിയ ടാങ്കിന്റെയും വലിയ ടാങ്കിന്റെയും ഉള്ളളവുകളുടെ അംശബന്ധം കണ്ടെത്തുക.
(c) 1500 ലിറ്റർ വെള്ളം അപ്പുവിന്റെയും അക്കുവിന്റെയും വീട്ടിലേയ്ക്കു 3:2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ വിതരണം ചെയ്തു. എങ്കിൽ ഓരോ വീട്ടിലേക്കും എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം കിട്ടി?
Answer:
(a) 1:3
(b) 2:3
(c) 900 ലിറ്റർ, 600 ലിറ്റർ

Question 4.
അനുവും മനുവും കുറച്ച പണം 3:2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ പങ്കിട്ടെടുത്തു. അനുവിന് 100 രൂപ കൂടുതൽ കിട്ടിയെങ്കിൽ അവർ പങ്കിട്ടെടുത്ത തുക എത്ര?
Answer:
500 രൂപ

Question 5.
ഇഡലി ഉണ്ടാക്കുന്നതിനായി അരിയും ഉഴുന്നും 2:1 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ എടുത്തു.9 കപ്പ് , അത്തരം മിശ്രിതത്തിൽ ഉഴുന്നിന്റെയും അരിയുടെയും അളവ് എത്ര?
Answer:
6 കപ്പ്, 3 കപ്പ്

Ratio Class 7 Notes Malayalam Medium

നീളം പോലുള്ള അളവുകൾ ഒരു നിശ്ചിത യൂണിറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് അളക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കണമെന്നില്ല; ഈ വസ്തുതയാണ് ഭിന്നങ്ങൾ എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിച്ചത്. രണ്ട് അളവുകളുടെ വലുപ്പങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, അനുയോജ്യമായ ചെറിയ അളവ് യൂണിറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് രണ്ടും എണ്ണൽ സംഖ്യകളായി നൽകാമോ എന്നതാണ് ഒരു ചോദ്യം. ഈ ചോദ്യമാണ് ആശയത്തി അംശബന്ധം എന്ന ലേക്ക് നയിക്കുന്നത്. മൊത്തത്തിലുള്ള ഭാഗങ്ങളെ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നമുക്ക് അംശബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.

സാധാരണയായി, നമ്മൾ അംശബന്ധത്തിൽ ഭിന്നങ്ങളും ദശാംശങ്ങളും ഒഴിവാക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അംശബന്ധം എഴുതുമ്പോൾ സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണൽ സംഖ്യ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരേ സംഖ്യയാൽ അനുപാതം ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണൽ സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് അത് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

നീളം മാത്രമല്ല, ഏതു രണ്ടു അളവുകളെയും ഗുണിതങ്ങളായും ഭാഗങ്ങളായും എഴുതാൻ നമുക്ക് അംശബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.

ഏതൊരു മിശ്രിതത്തിലും ഘടകങ്ങൾ നിശ്ചിത അംശബന്ധത്തിലാണ്. അതിനാൽ, അംശബന്ധം അറിയുന്നതിലൂടെ ഒന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഘടകത്തിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഒരു അളവിനെ വിഭജിക്കുന്ന അംശബന്ധം നമുക്ക് തന്നാൽ, ഓരോ ഭാഗവും എത്ര വീതമാണെന്ന് അംശബന്ധം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും.

ചതുരക്കണക്ക്
ചുവടെയുള്ള ചതുരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

രണ്ടു ചതുരങ്ങളിലും വീതി ഉയരത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്. മറ്റൊരുതരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ ഉയരം വീതിയുടെ \(\frac{1}{3}\) ഭാഗമാണ്.
വീതിയും ഉയരവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 3:1 ഉം ഉയരവും വീതിയും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 1:3 ഉം ആണ്.
ഉയരവും നീളവും ഒരേ മടങ്ങായി നീട്ടിയാലും, ഒരേ ഭാഗമായി ചുരുക്കിയാലും അംശബന്ധം മാറുന്നില്ല.

മറ്റ് അളവുകൾ
നീളങ്ങൾ മാത്രമല്ല ഏതൊരു അളവിനെയും ഗുണിതങ്ങളായും ഭാഗങ്ങളെയും പറയാൻ നമുക്ക് അംശബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മുടെ കൈയിൽ ഒരു 15 ലിറ്റർ ബക്കറ്റും 25 ലിറ്റർ ബക്കറ്റും ഉണ്ട്. ചെറിയ ബക്കറ്റിൽ വെള്ളം കൊള്ളും.
വലിയ ബക്കറ്റിന്റെ \(\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
മറ്റൊരുതരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വലിയ ബക്കറ്റിന്റെയും ചെറിയ ബക്കറ്റിന്റെയും ഉള്ളളവുകൾ തമ്മിലുള്ള
അംശബന്ധം = 15 : 25 = 3 : 5

• ഉയരവും നീളവും ഒരേ മടങ്ങായി നീട്ടിയാലും, ഒരേ ഭാഗമായി ചുരുക്കിയാലും അവതമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം മാറുന്നില്ല.
• നീളങ്ങൾ മാത്രമല്ല ഏതൊരു അളവിനെയും ഗുണിതങ്ങളായും ഭാഗങ്ങളെയും പറയാൻ നമുക്ക് അംശബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.
• ഒരു മിശ്രിതത്തിൽ ഘടകങ്ങൾ ഒരു സ്ഥിരാനുപാതത്തിലാണ്.
• ഒരു ഭാഗം മുഴുവത്തിന്റെ എത്രയാണെന്ന് പറയാനും അംശബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.