When preparing for exams, Kerala SCERT Class 5 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 11 സംഖ്യകൾക്കുള്ളിൽ can save valuable time.
SCERT Class 5 Maths Chapter 11 Solutions Malayalam Medium സംഖ്യകൾക്കുള്ളിൽ
Class 5 Maths Chapter 11 Malayalam Medium Kerala Syllabus സംഖ്യകൾക്കുള്ളിൽ
Question 1.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യാജോടികൾ ഓരോന്നിലും, വലിയ സംഖ്യ ചെറിയ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതമാണോ എന്നു കണ്ടുപിടിക്കൂ.
(i) 7, 91
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
91 = 13 × 7
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 91 എന്ന സംഖ്യ 7 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
(ii) 9, 127
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
127 = (14 × 9) + 1
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 127 എന്ന സംഖ്യ 9 ന്റെ ഗുണിതമല്ല.
(iii) 12, 136
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
136 = (11 × 12) + 4.
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 136 എന്ന സംഖ്യ 12 ന്റെ ഗുണിതമല്ല.
(iv) 15, 225
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
225 = 15 × 15
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 225 എന്ന സംഖ്യ 15 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
Question 2.
ചുവടെപ്പറയുന്ന ഓരോ ജോടി സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ ഗുണന – ഹരണമായും, ഗുണിത ഘടകമായും പട്ടികയായി എഴുതിനോക്കൂ:
(i) 9,72
Answer:
(ii) 12,156
Answer:
(iii) 13,169
Answer:
(iv) 25,375
Answer:
Question 3.
ചുവടെയുള്ള ഗുണനഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കി നോക്കൂ:
(i) 12 × 25
Answer:
12 × 25 = 4 × 3 × 25
= 3 × (4 × 25)
= 3 × 100
= 300
(ii) 35 × 18
Answer:
35 × 18 = 35 × 9 × 2
= 9 × (2 × 35)
= 9 × 70
= 630
(iv) 125 × 8
Answer:
125 × 8 = 125 × 2 × 2 × 2
= 250 × 2 × 2
= 500 × 2
= 1000
(v) 125 × 24
Answer:
125 × 24 = 125 × 4 × 6
= 500 × 6
= 3000
Question 4.
ചുവടെയുള്ള ഹരണക്രിയകൾ ചെയ്തുനോക്കൂ.
(i) 90 ÷ 15
Answer:
15നെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലമായി എഴുതാം,
അതായത് 15 = 3 × 5.
അതിനാൽ, 90 ÷ 3 = 30
30 ÷ 5 = 6
അതായത്, 90 ÷ 15 = 6
(ii) 900 ÷ 18
Answer:
18നെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലമായി എഴുതാം,
അതായത് 18 = 3 × 6.
അതിനാൽ,900 ÷ 3 = 300
300 ÷ 6 = 50
അതായത്, 900 ÷ 18 = 50
(iii) 160 ÷ 32
Answer: 32നെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലമായി എഴുതാം,
അതായത് 32 = 4 × 8
അതിനാൽ,160 ÷ 4 = 40
40 ÷ 8 = 5
അതായത്, 160 ÷ 32 = 5
(iv) 168 ÷ 24
Answer:
24നെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലമായി എഴുതാം,
അതായത് 24 = 3 × 8
അതിനാൽ,168 ÷ 3 = 56
56 ÷ 8 = 7
അതായത്, 168 ÷ 24 = 7
(v) 210 ÷ 42
Answer:
42നെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലമായി എഴുതാം,
അതായത് 42 = 6 × 7
അതിനാൽ,210 ÷ 7 = 30
30 ÷ 6 = 5
അതായത്, 210 ÷ 42 = 5
Question 5.
ചുവടെയുള്ള ഹരണക്രിയകൾ പൊതുഘടകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി ചെയ്തുനോക്കൂ:
(i) 600 ÷ 150
Answer:
600 = 4 × 2 × 3 × 55
50= 2 × 3 × 5×5
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2, 3, 5,5
അതായത്, 600 ÷ 150 = 4
(ii) 900 ÷ 180
Answer:
900 = 4 × 9 × 5 × 5
180 = 4 × 9 × 5
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 4, 9, 5
അതായത്, 900 ÷ 180 = 5
(iii) 225 ÷ 75
Answer:
225 = 3 × 3 × 25
75 = 3 × 25
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3, 25
അതായത്, 225 ÷ 75 = 3
(iv) 420 ÷ 105
Answer:
420 = 4 × 3 × 5 × 7
105 = 3 × 5 × 7
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3, 5, 7
അതായത്, 420 ÷ 105 = 4
Within Numbers Class 5 Questions and Answers Malayalam Medium
Question 1.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യാജോടികൾ ഓരോന്നിലും, വലിയ സംഖ്യ ചെറിയ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതമാണോ എന്നു കണ്ടുപിടിക്കൂ.
(i) 15, 120
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
120 = 15 × 8
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 120 എന്ന സംഖ്യ 15 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
(ii) 7,50
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
50 = (7 × 7) + 1
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 50 എന്ന സംഖ്യ 7 ന്റെ ഗുണിതമല്ല.
(iii) 12, 160
Answer:
ഇതിൽനിന്ന്,
160 = (12 × 13) + 4
എന്ന് കാണാം. അതായത്, 160 എന്ന സംഖ്യ 12 ന്റെ ഗുണിതമല്ല.
Question 2.
ചുവടെപ്പറയുന്ന ഓരോ ജോടി സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ ഗുണനം ഹരണമായും, ഗുണിത – ഘടകമായും പട്ടികയായി എഴുതിനോക്കൂ:
(i) 20, 240
Answer:
(ii) 15, 120
Answer:
Question 3.
ചുവടെയുള്ള ഹരണക്രിയകൾ പൊതുഘടകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി ചെയ്തുനോക്കൂ:
(i) 630 ÷ 126
Answer:
630 = 2 × 9 × 5 × 7
126 = 2 × 9 × 7
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2, 9, 7
അതായത്, 630 ÷ 126 = 5
(ii) 420 ÷ 105
Answer:
420 = 4 × 3 × 5 ×7
105 = 3 × 5 × 7
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3, 5, 7
അതായത്, 420 ÷ 105 = 4
(iii) 300 ÷ 75
Answer:
300 = 4 × 3 × 25
75 = 3 × 25
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3, 25
അതായത്, 300 ÷ 75 = 4
Within Numbers Class 5 Notes Malayalam Medium
ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ സംഖ്യകളെ കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി പഠിക്കുന്നു അവ എങ്ങനെ ഗുണനവും ഹരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നും മനസ്സിലാക്കും. ഗണിതങ്ങളും ഘടകങ്ങളും മനസ്സിലാക്കുന്നതിലൂടെ സംഖ്യകളുടെ വിവിധ മാതൃകകളും, അവ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരങ്ങൾ കണ്ടെത്താം എന്നും കാണും.
ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നത്, 1, 2, 3, തുടങ്ങിയ സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്നവയാണ്.
ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ ആദ്യത്തെ സംഖ്യ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതമാണ്; മിച്ചം വന്നാൽ ഗുണിതം അല്ല.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾക്ക് ആ സംഖ്യയെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയും.
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ അവയെ ആ സംഖ്യകളുടെ പൊതു ഘടകങ്ങൾ എന്നാണ് പറയുന്നത്.
ഈ അധ്യായത്തിൽ സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ മുകളിൽ തന്നിരിക്കുന്ന ആശയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നും അതിലൂടെ വലിയ സംഖ്യകളെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹാരിക്കാനും നമ്മൾ പഠിക്കും.
ഗുണനവും ഗുണിതവും
പട്ടികയിൽ ഉള്ള സംഖ്യകളെ നമുക്ക് നോക്കാം.
ഇവിടെ,
ഒന്നാം വരിയും നിരയും: എണ്ണൽസംഖ്യകൾ.
രണ്ടാം വരിയും നിരയും: എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ രണ്ട് മടങ്ങ്
അതായത്, കണക്കിന്റെ ഭാഷയിൽ, 1, 2, 3, എന്നീ സംഖ്യകളെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് കിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ.
ചുരുക്കത്തിൽ, 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ (multiples of 2) എന്നും പറയാം.
മൂന്നാം വരിയും നിരയും: എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ മൂന്ന് മടങ്ങ് ചുരുക്കത്തിൽ, 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ (multiples of 3) എന്നും പറയാം.
പൊതുവേ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ (multiples) എന്നു പറയുന്നത്, 1, 2, 3, എന്നീ സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്നവയാണ്.
അതിനാൽ, നമുക്ക് ചുരുക്കി എഴുത്തിയാൽ
1-ാം വരിയിൽ 1 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ. അതായത്, എണ്ണൽസംഖ്യകൾ.
2-ാം വരിയിൽ 2 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ.
3-ാം വരിയിൽ 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ.
4-ാം വരിയിൽ 4 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ.
ഇനി, ഒരു സംഖ്യ ഗുണിതമാണോ അല്ലയോ എന്ന് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. 215 എന്ന സംഖ്യ 5 ന്റെ ഗുണിതമാണോ ?
അതിനായി നമ്മുക്ക് 215 നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു നോക്കാം.
ഇതിൽനിന്ന്,
215 = 43 × 5
എന്ന് കാണാം. അതായത് 215 എന്ന സംഖ്യ 5 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
ഇനി,168 നെ 5 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു നോക്കിയാലോ.
ഇതിൽനിന്ന്,
168 = (33 × 5) + 3
എന്ന് കാണാം. അതായത് 168 എന്ന സംഖ്യ 33 × 5 നേക്കാൾ വലുതും 34 × 5 നേക്കാൾ ചെറുതും ആണ്. അതിനാൽ 168 എന്ന സംഖ്യ 5 ന്റെ ഗുണിതമല്ല.
പൊതുവേ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യകൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, ആദ്യത്തെ സംഖ്യ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതമാണ്; മിച്ചം വന്നാൽ ഗുണിതമല്ല.
ഹരണവും ഘടകവും
ഇനി, ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊന്നിന്റെ ഗുണിതമാണോ എന്നു ഹരണം വഴി പരിശോധിക്കാം. ഉദാഹരണമായി,
84 ÷ 6 = 14
ആയതിനാൽ, 84 എന്ന സംഖ്യ 6 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
അതായത്,
6 എന്ന സംഖ്യ 84 ന്റെ ഘടകം (factor) ആണ്.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ:
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നത്, ആ സംഖ്യയെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളെയാണ്.
ഇനി, ഗുണിതങ്ങളും ഘടകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഗുണനവും ഹരണനവും വഴി സംഖ്യകളുടെ ബന്ധം പരിശോധിക്കാം.
ഘടകം, ഗുണനം, ഹരണം
ഒരു സംഖ്യയെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്നത്, ചില ക്രിയകൾ എളുപ്പമാക്കും. ഉദാഹരണമായി 14 × 26 കണക്കാക്കാം.
അതിനായി, 14 നെ 7 × 2 എന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതാം.
അതായത്,
14 × 26 = 7 × 2 × 26 = 7 × (2 × 26) = 7 × 52 = 364
ഇനി ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചില ഹരണം എങ്ങനെ എളുപ്പമാക്കാം എന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം
120 ചോക്ലെറ്റുകൾ 15 കുട്ടികൾക്ക് തുല്യമായി പങ്കുവെക്കണം. ഓരോ കുട്ടിക്കും എത്ര ചോക്ലെറ്റ് ലഭിക്കും?
നേരിട്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് പകരം, ഇത് ചെയ്യാം:
15നെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലമായി എഴുതാം: 15 = 3 × 5
അടുത്തത്, 120 + 3 = 40, അതായത് ഓരോ ഗ്രൂപ്പിനും 40 ചോക്ലെറ്റ്.
ഇനി, ഓരോ കുട്ടിക്കും ലഭിക്കുന്ന ചോക്ലെറ്റുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, 40 ÷ 5 = 8 ചോക്ലെറ്റ്.
പൊതുഘടകങ്ങൾ
ഇനി ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഹരണം ചെയ്യാൻ മറ്റൊരു രീതി നോക്കാം:
1) ആദ്യം 24 ന്റെ ഒരു ഘടകമായ 2 കൊണ്ട് 360 നെ ഹരിച്ചുനോക്കാം.
2 എന്നത് 360 ന്റെയും ഘടകമായതിനാൽ, മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിച്ച്, ഹരണഫലം 180 എന്ന് കിട്ടി.
2) ഇനി, 360 ലും 24 ലും ഘടകമായി വരുന്ന 2 നെ ഒഴിവാക്കി, 180 നെ 12 കൊണ്ടു ഹരിച്ചുനോക്കാം.
ഇനി, ആദ്യം 21 ന്റെ ഒരു ഘടകമായ 3 കൊണ്ട് 180 നെ ഹരിക്കാം.
3 എന്നത് 180 ന്റെയും ഘടകമായതിനാൽ, മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിച്ച്, ഹരണഫലം 60 എന്നുകിട്ടി.
3) ഇനി 180 ലും 12 ലും ഘടകമായി വരുന്ന 3 നെ ഒഴിവാക്കി, 60 നെ 4 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മതി.
4) ഈ ഹരണഫലം 15 എന്ന് കിട്ടി.
അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താം:
24, 360 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും ഘടകങ്ങളായ 2, 3, 4 എന്നീ സംഖ്യകൾ ഓരോന്നായി ഒഴിവാക്കാം.
അതായത്
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും ഘടകങ്ങളായ സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ (common factors) എന്നാണ് പറയുന്നത്.
സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ഹരണത്തിൽ പൊതുഘടകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം. അപ്പോൾ നമുക്ക് കിട്ടുന്നതാണ്
ഹരണഫലം
ഉദാഹരണമായി 84 നെ 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്,
84 = 7 × 3 × 4
12 = 3 × 4
എന്ന് കാണാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, പൊതു ഘടകങ്ങളായ 3 ഉം 4 ഉം ഒഴിവാക്കി, ഹരണഫലം 7 എന്ന് കാണാം.
- ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ (multiples) എന്നു പറയുന്നത്, 1, 2, 3, എന്നീ സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്നവയാണ്.
- ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു സംഖ്യകൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, ആദ്യത്തെ സംഖ്യ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഗുണിതമാണ്; മിച്ചം വന്നാൽ ഗുണിതമല്ല.
- ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നത്, ആ സംഖ്യയെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളെയാണ്.
- രണ്ട് സംഖ്യകളുടെയും ഘടകങ്ങളായ സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ (common factors) എന്നാണ് പറയുന്നത്.