Class 10 Maths Chapter 3 Extra Questions Malayalam Medium Kerala Syllabus സമാന്തരശ്രേണിയും ബീജഗണിതവും

When preparing for exams, Kerala State Syllabus Std 10 Maths Textbook Solutions Chapter 3 സമാന്തരശ്രേണിയും ബീജഗണിതവും Important Extra Questions and Answers Malayalam Medium can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 3 Important Questions Malayalam Medium സമാന്തരശ്രേണിയും ബീജഗണിതവും

Arithmetic Sequences and Algebra Class 10 Extra Questions Kerala Syllabus Malayalam Medium

Question 1.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം x_n = 3n +1 ആണ്. അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം
(a) 3
(b) 4
(c) -3
(d) 5
Answer:
(a) 3

Question 2.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക n² + n ആണ്. അതിന്റെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(a) 3
(b) 4
(c) 2
(d) 5
Answer:
(c) 2

Question 3.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ 1 പദങ്ങളുടെ തുക n² + n ആണ്. അതിന്റെ 13-ാം പദം എന്താണ്?
(a) 31
(b) 26
(c) 20
(d) 50
Answer:
(b) 26

Question 4.
a, a – 1, a – 2 ……. ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയാണ് അതിന്റെ 7-ാം പദം എന്താണ്?
(a) a + n + 1
(b) a + n – 1
(c) a – n – 1
(d) a – n + 1
Answer:
(d) a – n + 1

Question 5.
\(\frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{5}{7}\) ………. രൂപം എന്ന ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത
(a) \(\frac{n}{7}\)
(b) \(\frac{2 n+1}{7}\)
(c) \(\frac{2 n-1}{7}\)
(d) None of these
Answer:
(c) \(\frac{2 n-1}{7}\)

Question 6.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം \(\frac{n+1}{3}\)
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
Answer:
\(\frac{1}{3}\)

(b) 15 ശ്രേണിയുടെ എത്രാമത്തെ പദമാണ്?
Answer:
15 ശ്രേണിയുടെ 44-ാം പദമാണ്.

Question 7.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക 3n² + 2n ആണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(b) ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
Answer:
(a) 6
(b) 3 × 20² + 2 × 20 = 1240

Question 8.
\(\frac{1}{11}, \frac{2}{11}, \frac{3}{11} \ldots\) ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയാണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(b) ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
Answer:
(a) \(\frac{n}{11}\)
(b) \(\frac{1+2+3+\cdots 10}{11}=\frac{55}{11}\) = 5

Question 9.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ n-ാം പദം 1-4n ആണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതു 5 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
(b) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
(a) -4
(b) x₂₅ = 1 – 4 × 25 = -99, x₁ = 1 – 4 × 1 = -3
തുക = (x₁ + x₂₅) × \(\frac{25}{2}\)
= (-3 + -99) × \(\frac{25}{2}\) = -1275

Question 10.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക 5n + 3n ആണ്
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(b) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
(a) d = 10
(b) f = 8, d = 10
⇒ x_n = 10n – 2

Question 11.
1, 4, 7, 10…. എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കുക.
(a) ശ്രേണിയുടെ 7-ാം പദം എന്താണ്?
(b) ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
(c) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കുക
Answer:
(a) x_n = 3n – 2

(b) Sum = (x₁ + x_n) × \(\frac{n}{2}\) = (1 + 3n – 2) × \(\frac{n}{2}\)
= \(\frac{3 n^2}{2}-\frac{n}{2}\)

(c) ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക
\(\frac{3 \times 20^2}{2}-\frac{20}{2}\) = 590

Question 12.
6, 10, 14,… എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കുക.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(b) ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടു പിടിക്കുക.
(c) ശ്രേണിയിലെ കുറച്ചു പദങ്ങളുടെ തുക 1225 ആകുമോ? അത് എങ്ങനെ നിങ്ങൾക്ക് പറയാൻ കഴിയും?
Answer:
(a) d = 4

(b) x_n = 4n + 2
തുക =(6 + 4n + 2) × \(\frac{n}{2}\) = 2n² +4 n

(c) ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ പദങ്ങളും ഇരട്ടസംഖ്യക ളാണ്. ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക ഒരിക്കലും ഒറ്റ സംഖ്യ ആകില്ല. അതിനാൽ 1225 ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ തുക ആകില്ല.

Question 13.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം പൊതുവ്യത്യാസം ഉം ആണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എന്താണ്?
(b) 50 ശ്രേണിയുടെ എത്രാമത്തെ പദമാണ്?
(c) ആദ്യത്തെ 11 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
Answer:
(a) x_n = dn + (f – d)
= \(\frac{3}{4}\)n + \(\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\right)=\frac{3 n-1}{4}\)

(b) \(\frac{3 n-1}{4}\) = 50
⇒ 3n – 1 = 200,
3n = 201,
n = 67

(c) തുക = \(\frac{3(1+2+3+\cdots+11)-11}{4}=\frac{187}{4}\)

Question 14.
a + 1, a + 2, a + 3 ……….. ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയാണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എന്താണ്?
(b) ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
Answer:
(a) x_n = a + n

(b) ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക
= 20a + \(\frac{20 \times 21}{2}\)
= 20a + 210

Question 15.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 3n + 2 ആണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(b) 15-ാം പദം എന്താണ്?
(c) ആദ്യത്തെ 29 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
Answer:
(a) d = 3
(b) x₁₅ = 3 × 15 + 2 = 47
(c) 15-ാം പദം മധ്യപദം ആയതിനാൽ, ആദ്യത്തെ 29 പദങ്ങളുടെ തുക
x₁₅ × 29
= 47 × 29
= 1363

Question 16.
1, 3, 7, . എന്ന സമാന്തരശ്രേണി പരിഗണിക്കുക.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
Answer:
d = 4

(b) ശ്രേണിയുടെ 1-ാം പദം എന്താണ്?
Answer:
4n – 5

(c) 95 ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണോ?
Answer:
4n – 5 = 95
⇒ 4n = 100,
n = 25

(d) 95 വരെയുള്ള കണക്കാക്കുക.
Answer:
തുക = 4(1 + 2 + 3 + ……… + 25) – 5 × 25
= 4 × 325 – 125
= 1175

Question 17.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക n² + 5n ആണ്.
(a) ആദ്യത്തെ 15 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
Answer:
15² + 5 × 15 = 300

(b) ശ്രേണിയുടെ 8-ാം പദം എന്താണ്?
Answer:
x₈ = \(\frac{300}{15}\) = 20

(c) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
f = 6, d= 2
⇒ x_n = 2n + 4

Question 18.
ഒരു സമാന്തര ശ്രണിയുടെ ആദ്യത്തെ 3 പദങ്ങളുടെ തുക 15 ആണ്. ആദ്യത്തെ 4 പദങ്ങളുടെ തുക 28 ഉം.
(a) ശ്രേണിയുടെ 4-ാം പദം എന്താണ്?
Answer:
x₄ = 28 – 15 = 13

(b) ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
Answer:
x₄ × 7 = 91

(c) ശ്രേണിയുടെ 3-ാം പദം എന്താണ്?
Answer:
2d = 13 – 5 = 8,
d = 4,
x₃ = 13 – 4 = 9

(d) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
x_n = 4n – 3

Question 19.
ഒരു സമാന്തര ശ്രണിയുടെ ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക n² ആണ്.
(a) ആദ്യപദം എന്താണ്?
Answer:
1² = 1

(b) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
Answer:
1² + 2² = 5, x₂ = 3, d = 2

(c) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
2n – 1

Question 20.
ഒരു സമാന്തര ശ്രണിയുടെ ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക n² + n ആണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
Answer:
x₁ = 1² + 1 = 2, x₁ + x₂ = 6
⇒ x₂ = 4
d = 4 – 2 = 2

(b) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
x_n = 2n

(c) തുക 3 + 5 + 7 + …. + 51 കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
25-ാം പദം 50 ആണ്. 3, 5, 7 ………… എന്ത യിലെ പദങ്ങൾ 2, 4, 6…. എന്ന ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളെക്കാൾ 1 കൂടുതലാണ്
3 + 5 + 7 + ……….. + 51 = 25² + 25 + 25 = 675

Question 21.
\(\frac{1+3+5+\cdots(2 n-1)}{2+5+8+\cdots 23}\) = 9 ആണെങ്കിൽ ? എന്താണ്?
Answer:
\(\frac{n^2}{2+5+8+\cdots+23}\) = 9
2, 5, 8….23 എന്ന ശ്രേണിയിൽ 8 പദങ്ങളുണ്ട്. തുക
\(\frac{n^2}{100}\) = 9
⇒ n² = 900,
n = 30

Question 22.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ 1-ാം പദം 2n + 1 ആണ്.
(a) ശ്രേണി എഴുതുക.
(b) ശ്രേണിയുടെ 100-ാം പദം എന്താണ്?
(c) ആദ്യത്തെ 100 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
(d) 4, 6, 8….. എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 100 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടു പിടിക്കുക.
Answer:
(a) 3, 5, 7…..
(b) 2 × 100 + = 201
(c) 2(1 + 2 + 3 + … + 100) + 100=10200
(d) 4, 6, 8,… എന്ന ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങൾ 3, 5, 7,……. എന്ന ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളെക്കാൾ 1 കൂടുത ലാണ്. തുക = 10200 + 100 = 10300

Question 23.
x₁, x₂, x₃ ……… ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളാ യിട്ട് എടുക്കുക.
x₁ + x₅ + x₁₀ + x₁₅ + x₂₀ + x₂₄ = 225 എന്ന തന്നിരിക്കുന്നു.
ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ 24 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
x₁ + (x₁ + 4d) + (x₁ + 9d) + (x₁ + 14d) + (x₁ + 19d) + (x₁ + 23d) = 225
Answer:
6x₁ + 69d = 225, 2x₁ + 23d = 75
Sum = (x₁ + x₂₄) × \(\frac{24}{2}\)
= (x₁ + x₁ + 23d) × 12
= (2x₁ + 23d) × 12
= 75 × 12
= 900

Question 24.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം \(\frac{3}{7}\) n + 1 ആണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(b) ആദ്യത്തെ 1 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടി ക്കുക.
(c) ആദ്യത്തെ 21 പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
(a) \(\frac{3}{7}\)
(b) തുക = (x₁ + x_n) × \(\frac{n}{2}=\frac{3 n^2+17 n}{14}\)
(c) \(\frac{3 \times 21^2+17 \times 21}{14}\) = 120

Question 25.
-117,-114, 111… ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയാണ്.
(a) ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്താണ്?
(b) ശ്രേണിയുടെ 7-ാം പദം എന്താണ്?
(c) 0 ശ്രേണിയുടെ എത്രാമത്തെ പദമാണ്?
(d) ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 79 പദങ്ങളുടെ തുക എന്താണ്?
Answer:
((a) 3
(b) 3n – 120
(c) 3n – 120 = 0 × n = 40
(d) ആദ്യത്തെ 19 പദങ്ങൾ പരിഗണിച്ചാൽ, മധ്യപദം 40 ആം പദമാണ്. അത് ) ആണ്. അതിനാൽ ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക ആയിരിക്കും.

Question 26.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ തുക 230 ആണ്. ആദ്യത്തെ 15 പദങ്ങളുടെ തുക 495 ഉം.
(a) ആദ്യത്തെ ? പദങ്ങളുടെ തുക pm +q ആണെങ്കിൽ സമവാക്യജോഡികൾ എഴുതുക.
(b) ഉം ഉം കണ്ടുപിടിച്ചു ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കുക.
(c) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
(a) 100p + 10q = 230
⇒ 10p + q = 23
225 + 15q = 495
⇒ 15p + q = 33

(b) 5p = 10, p = 2, q = 3
ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക 2n + 3n

(c) x_n = 4n + 1

Question 27.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ 10-ാം പദത്തിന്റെ 10 മടങ്ങ് 20-ാം പദത്തിന്റെ 20 മടങ്ങാണ്.
(a) ശ്രേണിയിലെ 30-ാം പദം കണ്ടുപിടിക്കുക.
(b) ആദ്യത്തെ 30 പദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം എന്താണ്
Answer:
(a) 10(f + 9d) = 20(f + 19d)
⇒ f + 29d = 0, x₃₀ = 0

(b) 0

Question 28.
മൂന്നു സമാന്തരശ്രേണികളിലെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക y₁, y₂ and y₃. ഓരോന്നിന്റെയും ഒന്നാം പദം 1 ഉം പൊതുവ്യത്യാസം 1,2,3 എന്നിങ്ങനെ ക്രമത്തിൽ ആണ്. y₁ + y₃ = 2y₂ എന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
s₁ = 1 + 2 + 3 … n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
s₂ = 1 + 3 + 5 + …….. + 2n – 1 = n²
മൂന്നാമത്തെ ശ്രേണിയിൽ, f = 1, d = 3
n^thth term is 3n – 2
ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക = \(\frac{3 n^2}{2}-\frac{n}{2}\)
s₁ + s₃ = \(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{3 n^2}{2}-\frac{n}{2}\)
⇒ s₁ + s₃ = 2n²= 2s₂

Question 29.
ആദ്യത്തെ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക ? ആണ്.
(a) ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക എന്താണ്?
(b) ആദ്യത്തെ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക എന്താണ്?
(c) \(\frac{1+2+3+4+\cdots+15}{16+17+18+\cdots+30}\) കണ്ടുപിടിക്കുക
Answer:
(a) k + √k
(b) \(\frac{k+\sqrt{k}}{2}\)
(c) \(\frac{8}{23}\)

Question 30.
7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 4 ശിഷ്ടം വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക.
(a) ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(b) ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
Answer:
(a) 4, 11, 18…. ഒരു ശ്രേണിയാണ്.
ആദ്യത്തെ ” പദങ്ങളുടെ തുക
= pn² + qn
p + q = 4, 4p + 2q = 15
⇒ q = \(\frac{1}{2}\), p = \(\frac{7}{2}\)
ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക = \(\frac{7}{2}\) n² + \(\frac{1}{2}\)n

(b) \(\frac{7}{2}\) × 20² + \(\frac{20}{2}\)
= 1400 + 10
= 1410