Class 10 Maths Chapter 2 Question Answer Malayalam Medium വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 2 Circles and Angles Questions and Answers Malayalam Medium വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 2 Circles and Angles Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 2 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 2 Kerala Syllabus Malayalam Medium

(Textbook Page No. 36)

Question 1.
ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ചാപം വൃത്ത ത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ്?

Answer:
ചാപം മറുചാപത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ 40 ആണെന്ന് തന്നിരിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = 2 × 40 = 80°
\(\frac{80}{360}=\frac{2}{9}\)
ചാപത്തിന്റെ നീളം വൃത്തത്തിന്റെ \(\frac{2}{9}\) ഭാഗമാണ്.

Question 2.
ഒരു കമ്പി രണ്ടായി മടക്കി, അതിന്റെ മൂല ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ വച്ചപ്പോൾ, വൃത്ത ത്തിന്റെ \(\frac{1}{10}\) ഭാഗം അതിനുള്ളിൽപ്പെട്ടു. ഇതേ കമ്പിയുടെ മൂല, വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ചേർത്തുവച്ചാൽ, വൃത്തത്തിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ് അതിനുള്ളിലുണ്ടാകുക? മറ്റേതെങ്കിലും വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ചേർത്തുവച്ചാലോ?

Answer:
മടക്കിലെ കോൺ ‘സ്ഥിരമാക്കിവയ്ക്കുന്നു. മടക്കിന്റെ മൂല വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിലാണെങ്കിൽ
വൃത്തത്തിന്റെ \(\frac{1}{10}\) ഭാഗം കമ്പിയുടെ ഉള്ളിൽ വരും.
അപ്പോൾ മടക്കിലെ കോൺ \(\frac{1}{10}\) × 360 = 36°
മടക്കിന്റെ മൂല വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ, കമ്പിയുടെ ഉള്ളിലുള്ള ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 2 × 36 = 72° ആയിരിക്കും.

ഇത് വൃത്തത്തിന്റെ \(\frac{72}{360}=\frac{1}{5}\) ഭാഗമായിരിക്കും.
കമ്പിയുടെ മൂല, ഏതൊരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ചേർത്ത് വച്ചാലും മടക്കിനുള്ളിലുള്ള ഭാഗം എപ്പോഴും \(\frac{1}{5}\) ആയിരിക്കും.

(Textbook Page No. 41)

Question 1.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ, വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ കാണിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഓരോ ചിത്രത്തിലും ചാപം വൃത്തത്തിന്റെ മറ്റു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ കണക്കാക്കുക,
Answer:

ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ ചാപം BCD യുടെ കേന്ദ്രകോൺ 100 ആണ്.
അതിനാൽ, ∠BAD = 50.
ചാപം BAD യുടെ കേന്ദ്രകോൺ 360 – 100 = 260°
∠BCD = \(\frac{260}{2}\) = 130

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ ചാപം OPS യുടെ
കേന്ദ്രകോൺ 240 ആണ്.
അതിനാൽ, ∠QRS = 120.
ചാപം QRS ന്റെ കേന്ദ്രകോൺ 360 – 240 = 120°
∠QPS = \(\frac{120}{2}\) = 60°

(Textbook Page No. 46)

Question 1.
ഒരു ക്ലോക്കിലെ 1, 4, 8 എന്നീ സംഖ്യകൾ യോജിപ്പിച്ച ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുന്നു.

(i) ഈ ത്രികോണത്തിലെ കോണുകൾ കണക്കാ ക്കുക.
(ii) ക്ലോക്കിലെ സംഖ്യകൾ യോജിപ്പിച്ചു എത സമഭുജത്രികോണങ്ങളുണ്ടാക്കാം?
Answer:
(i) ക്ലോക്കിലെ 1 നും 4 നും ഇടയിലുള്ള ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = 90°
8 ലെ കോൺ = 45°
ക്ലോക്കിലെ 4 നും 8 നും ഇടയിലുള്ള ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = 30 × 4 = 120°
1 ലെ കോൺ = 60
ക്ലോക്കിലെ 8 നും 1 നും ഇടയിലുള്ള ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = 5 × 30 = 150°
4 ലെ കോൺ = 75°

(ii) ക്ലോക്കിലെ സമഭുജത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുന്ന ബിന്ദുക്കൾ :
12 – 4 – 8, 1 – 5 – 9, 2 – 6 – 10, 3 – 7 – 11.
അതിനാൽ, ക്ലോക്കിലെ സംഖ്യകൾ യോജിപ്പിച്ചു 4 സമഭുജത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം.

Question 2.
പരിവൃത്ത ആരം 3.5 സെന്റിമീറ്റർ ആയ ഒര സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
3.5 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. ആരങ്ങൾ വരച്ചു കേന്ദ്രത്തിനു ചുറ്റുമുള്ള കോണിന്റെ 3 തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കുക. ഓരോ കോണും 120° ആയിരിക്കും. ആരങ്ങളുടെ അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക. ഓരോ കോണും 60 ആയ ത്രികോണം കിട്ടും.

Question 3.
പരിവൃത്തആരം 3 സെന്റിമീറ്ററും, രണ്ടു കോണുക 3\(\frac{1}{2}\)° യും 37\(\frac{1}{2}\)° ഉം ആയ ത്രികോണം വരയ്ക്കു
Answer:
ആരം 3 സെന്റിമീറ്റർ ആയ ഒരു വൃത്തം വരയ് ക്കുക.
കേന്ദ്രത്തിനു ചുറ്റുമുള്ള കോൺ ആരങ്ങൾ വരച്ചു
3\(\frac{1}{2}\) × 2 = 65, 37\(\frac{1}{2}\) × 2 = 75° ഇങ്ങനെ ഭാഗിക്കുക..
അപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ കോൺ = 360 – (65 + 75)
= 360 – 140
= 220° .
ആരങ്ങളുടെ അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക.

Question 4.
ചിത്രത്തിൽ ഒരു വര വ്യാസമായി വലിയ അർധവൃത്തവും, വരയുടെ പകുതി വ്യാസമായ ചെറിയ അർധവൃത്തവും വരച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവും വലിയ അർധവൃത്തത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയെ, ചെറി അർധവൃത്തം സമഭാഗം ചെയ്യുമെന്ന് തെളിയി ക്കുക.

Answer:
AB വ്യാസവും 0 കേന്ദ്രവുമായ വൃത്തത്തിന്റെ ഞാൺ ആണ് AP.

ചെറിയ അർധവൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ് AO. OQ വരയ്ക്കുക. അർധവൃത്തത്തിലെ കോൺ 900 ആണ്.
∠AQO = 90°
വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും ഞാണിലേയ്ക്ക് വരയ്ക്കുന്ന കോൺ ഞാണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യും. അതായത് OQ, AP യെ സമഭാഗം ചെയ്യും.

Question 5.
ഒരു സമപാർശ്വത്രികോണത്തിന്റെ തുല്യമായ വശങ്ങൾ വ്യാസമായി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങൾ, മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകും എന്ന് തെളിയിക്കുക.

(സൂചന. ഓരോ വൃത്തമായി പരിശോധിക്കുക.).
Answer:
AB വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ്. ∠APB = 90°
∆APBഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്.
AB² = AP² + BP²
AC വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ്. AC = AP + PC
AB = AC, AP പൊതുവായ വശം ആണ്.
അതിനാൽ, AP² + BP² = AP² + PC² → BP = PC → PB = PC

Question 6.
ഒരു സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ നാലു വശങ്ങളും വ്യാസമായി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തങ്ങ ളെല്ലാം പൊതുവായ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകും എന്ന് തെളിയിക്കുക.

Answer:

ഒരു സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ ലംബസമഭാഗം ചെയ്യും എന്ന് നമുക്കറിയാം. വികർണ്ണങ്ങൾ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ് P. ∠APB, ∠BPC, ∠CPD and ∠APD are 90° അർധവൃത്തത്തിലെ കോൺ 90° ആണ്. സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ വശങ്ങൾ വ്യാസമായ അർധവൃത്തങ്ങളുടെ പൊതുവായ ബിന്ദുവാണ് . അതായത് P എന്നത് വൃത്തങ്ങൾ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ്.

Question 7.
ഒരു അർധവൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവും, വ്യാസത്തിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങളും ചേർത്ത് ഒരു ത്രികോണം വരച്ചു. തുടർന്ന്, ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങൾ വ്യാസമായി അർധവൃത്ത ങ്ങളും വരച്ചിട്ടുണ്ട്.

രണ്ടാം ചിത്രത്തിലെ നീലയും ചുവപ്പുമായ ചന്ദ്രക്കലകളുടെ പരപ്പളവുകൾ കൂട്ടിയാൽ, ത്രികോ ണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കിട്ടുമെന്ന് തെളിയിക്കുക. (സൂചന; ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിലെ വൃത്തഭാഗങ്ങൾ എന്ന പാഠത്തിലെ അവസാനത്തെ ചോദ്യം ഓർക്കുക).
Answer:

∆ABC മട്ടത്രികോണമായതിനാൽ, a = b + c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അർധവൃത്തങ്ങളുടെ വ്യാസങ്ങളാണ്.
ഇരുവശങ്ങളിലും π കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ,
πa² = πb² + πc²
ഇരുവശങ്ങളിലും 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ,
\(\frac{\pi a^2}{4}=\frac{\pi b^2}{4}+\frac{\pi c^2}{4}\)
\(\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2+\pi\left(\frac{c}{2}\right)^2\)
അതിനാൽ, വലിയ അർധവൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ചെറിയ അർധവൃത്തങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയാണ്.
വലിയ അർധവൃത്തത്തിനകത്തുള്ള വൃത്ത ഭാഗ ങ്ങളെ x, y എന്നെടുത്താൽ, നീല ചന്ദ്രക്കലയുടെ പരപ്പളവ് + x +ചുവപ്പ് ചന്ദ്രക്കലയുടെ പരപ്പളവ് – y = ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് + x + y

ഇരുവശത്തുനിന്നും x ഉം ഉം ഒഴിവാക്കിയാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ചന്ദ്രക്കലകളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

Question 8.
ചിത്രത്തിലെ വൃത്തത്തിൽ AB, CD ഇവ പരസ്പരം ലംബമായ ഞാണുകളാണ്. APC,BOD എന്നീ പാപങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ചാൽ, വൃത്തത്തിന്റെ പകുതിയാകും എന്ന് തെളിയിക്കുക.

Answer:

കേന്ദ്രം ) അടയാളപ്പെടുത്തുക. CB യോജിപ്പിക്കുക
∠AOC = 2 × ∠ABC, ∠DOB = 2 × DCB
മട്ടത്രികോണം CMB യിൽ,
∠DCB + ∠ABC = 90°
∠AOC = ∠DOB = 2∠ABC + 2∠DCB
= 2 (∠ABC + ∠DCB)
= 2 × 90 = 180°
ചാപം AC യുടെയും ചാപം DB യുടെയും ഇതേ വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗമായ കേന്ദ്രകോണുകളുടെ തുക = 180°
അതിനാൽ ഈ ചാപങ്ങൾ ചേർത്തുവെച്ചാൽ വൃത്തത്തിന്റെ പകുതിയാകും.

SSLC Maths Chapter 2 Questions and Answers Malayalam Medium

(Textbook Page No. 51)

Question 1.
ചുവടെയുള്ള മൂന്നു ചിത്രങ്ങളിലും ഈ വൃത്ത കേന്ദ്രവും A, B, C വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുമാണ്. ഓരോന്നിലും ABC, OBC എന്നീ ത്രികോണ ങ്ങളിലെ കോണുകളെല്ലാം കണക്കാക്കുക.

Answer:
ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ,
OA യോജിപ്പിക്കുക.
ത്രികോണം OBA, യിൽ, ∠OAB = 20
ത്രികോണം OCA,
∠OAC = 30°
∠BAC = 20 + 30 = 50°
∠BOC = 100°

OB = OC ആയതിനാൽ എതിർകോണുകൾ തുല്യമാണ്.
∠OBC = ∠OCB = 40°
∠ABC = 20 + 40 = 60,
∠ACB =30 + 40 = 70°

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ,
OB = OC → ∠OCB = 40,
∠BOC = 100°, A = 50°
OA യോജിപ്പിക്കുക.
OA = OC → ∠OAB = 30°
50 – 30 = 20°
∠OAB = 20°
∠A = 50°
∠B = 60°
∠C = 70°

മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ,
∠ACB = \(\frac{1}{2}\) × 40 = 20°,
∠CBA = \(\frac{1}{2}\) × 70 = 35°
∠BAC = 180 – (2 + 35)
= 180 – 55
= 125°

Question 2.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഓരോ കണക്കിലും ഒരു വൃത്തവും അതിലൊരു ഞാണും വരച്ചു വൃത്തത്തെ രണ്ടു ഭാഗങ്ങളാക്കണം. ഭാഗങ്ങൾ കണക്കിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നപോലെയാകണം:
(i) ഒരു ഭാഗത്തിലെ കോണുകളെല്ലാം 80
Answer:
ചുവടെയുള്ള ഓരോ കണക്കിലും ഒരു വൃത്തവും വൃത്തത്തെ രണ്ടായി മുറിക്കുന്ന ഒരു ഞാണും വരയ്ക്കണം.

ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. ഇടയിലുള്ള കോണുകൾ 2 × 80° ആകുന്ന തരത്തിൽ ആരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. അതായത് ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്ര കോൺ 160. അതിനാൽ മറുചാപത്തിലുള്ള കോൺ 80°.

(ii) ഒരു ഭാഗത്തിലെ കോണുകളെല്ലാം 110
Answer:

(iii) ഒരു ഭാഗത്തെ കോണുകളെല്ലാം, മറുഭാഗത്തെ കോണുകളുടെ പകുതി.
Answer:
വൃത്തത്തിന്റെ മറുഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക = 180°

വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോൺ x ആണെങ്കിൽ മറുഖണ്ഡത്തിലെ കോൺ 2x ആയിരിക്കും.
(തന്നിരിക്കുന്ന അനുപാതം 1:2)
3x = 180 → x = 60°

(iv) ഒരു ഭാഗത്തെ കോണുകളെല്ലാം, മറുഭാഗത്തെ കോണുകളുടെ ഒന്നര മടങ്ങ്.
Answer:
ഒരു ഭാഗത്തെ കോണുകളെല്ലാം, മറുഭാഗത്തെ കോണുകളുടെ ഒന്നര മടങ്ങാണ്.
ഈ കോണുകളുടെ അനുപാതം 2 : 3
വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോൺ = \(\frac{2}{5}\) × 180° = 72°
മറുഖണ്ഡത്തിലെ കോൺ = \(\frac{3}{5}\) × 180 = 108°
കേന്ദ്ര കോണിനെ 144, 216 ആയിട്ട് ഭാഗിക്കുക. ഇതിനായി ഇടയിലെ കോണുകൾ 144° ആയിട്ട് ആരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
മറ്റേ കോൺ = 360 – 144 = 216

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 2 Malayalam Medium

(Textbook Page No. 55)

Question 1.
ചിത്രത്തിലെ ചതുർഭുജത്തിന്റെ കോണുകളും, വികർണങ്ങൾക്കിടയിലെ കോണുകളും കണക്കാ ക്കുക.

Answer:

∠CAD = ∠CBD = 50
∠ADB = ∠ACB = 30°
∠ACD = ∠ABD = 45°
∠BAC = ∠BDC = x.
ABCD പ്രക്രീയചതുർഭുജമാണ്, അതിനാൽ
50 + x + 45 + 30 = 180 → x = 55
∠A = 55 + 50 = 105°, ∠B = 95°,
∠C = 75°, ∠D = 850.
ത്രികോണം OBC യിൽ,
∠BOC= 180 – (50 + 30) =1000
∠AOD =100 (എതിർകോണുകൾ തുല്യമാണ്.)
∠MOB = 180 – 100 = 80, ∠DOC = 80 (എതിർകോ ണുകൾ തുല്യമാണ്.)

Question 2.
ഒരു പ്രക്രീയചതുർഭുജത്തിലെ ഏതു മൂലയിലെയും പുറം കോൺ, എതിർ മൂലയിലെ അകക്കോണിനു തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:

∠PCD = x ആണെങ്കിൽ, ∠BCD = 180 – x അതിനാൽ, ∠A = 180 – (180 – x) = x

Question 3.
ചതുരമല്ലാത്ത സാമാന്തരികങ്ങളൊന്നും പ്രക്രീയ മല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
ഒരു സാമാന്തരികത്തിന്റെ എതിർകോണുകൾ Xpe yanWy] t£ Ah 90° അല്ല. അതിനാൽ എതിർ കോണുകളുടെ തുക 180° ആകില്ല. അതായത്, ചതുരമല്ലാത്ത സാമാന്തരിക ളൊന്നും പ്രക്രീയമല്ല.

Question 4.
സമപാർശ്വമല്ലാത്ത ലംബകങ്ങളൊന്നും പ്രക്രീയ മല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:

ABCD ഒരു AB. AD ലംബകമാണ്. CD യ്ക്ക് സമാന്തരമാണ് AB. AD ≠ BC. ∠A ≠ ∠B. AB, CD, യ്ക്ക് സമാന്തരമായതിനാൽ, ∠B + ∠C = 180°. അതിനാൽ ∠A + ∠D = 180°.
ABCD പ്രക്രീയമല്ല.

Question 5.
ചുവടെയുള്ള ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ, മൂലക ളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലായ സമഭുജത്രികോണം വരച്ചു, അതിന്റെ രണ്ടുമൂലകൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ, മൂലകളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലായ സമചതുരം വരച്ച്, അതിന്റെ രണ്ടു മൂലകൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചി രിക്കുന്നു.

രണ്ടു ചിത്രത്തിലെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയി രിക്കുന്ന കോൺ കണക്കാക്കുക.
Answer:

ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ ത്രികോണം ABC സമഭുജ ത്രികോണമാണ്.
∠A = 60°
ABCD പ്രകീയമാണ്.
∠D = 180 – 60 = 120°
രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ,

സമചതുരത്തിന്റെ വികർണങ്ങൾ പരസ്പരം ലംബസമഭാജികളാണ്. ∠APB = 45°
PAQB പ്രകീയമായതിനാൽ, ∠Q = 180 – 45 = 135°.

Question 6.
(i) ചിത്രത്തിലെ വൃത്തങ്ങൾ P,Q എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ മുറിച്ചുകടക്കുന്നു. ഈ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള രണ്ട് വരകൾ, വൃത്തങ്ങളുമായി A,B,C,D എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു കൂട്ടിമുട്ടുന്നു . AC, BD എന്നീ വരകൾ സമാന്തരമല്ല. ഈ വരികൾക്ക് ഒര നീളമാണെങ്കിൽ, ABCD പ്രക്രിയ ചതുർഭുജമാ ണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

Answer:
ചിത്രം ശ്രദ്ധിക്കുക.

PQ യോജിപ്പിക്കുക. APQB ചക്രീയചതുർഭുജമാണ്.
∠B = x ആണെങ്കിൽ, ∠APO = 180
അതിനാൽ, ∠QPC = x, ∠D = 180 – x
∠B + ∠D = x + 180 – x = 180°.
അതിനാൽ, CD യ്ക്ക് സമാന്തരമാണ് AB, ABCD ഒരു ലംബകമാണ്.
AC = BD എന്ന് തന്നിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ABCD ഒരു സമപാർശ്വലംബകമാണ്.
സമപാർശ്വലംബകം പ്രക്രീയമാണ്. അതിനാൽ ABCD പ്രക്രീയമാണ്.

(ii) ചിത്രത്തിലെ ഇടതും വലതും വൃത്തങ്ങൾ നടുവിലെ വൃത്തത്തിന്റെ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളാണ് P Q, R, S; ഇവ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ ഇടതും വലതും വൃത്തങ്ങളുമായി A, B, C, D എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. ABCD ചക്രീയചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

Answer:
രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ,

PQRS യോജിപ്പിക്കുക. APQB, PQSR, RSDC എന്നിവ ചക്രീയചതുർഭുജങ്ങളാണ്.
∠B = x ആണെങ്കിൽ,
∠APQ = 180 – x
∠QPR = x, ∠QSR = x,
∠QSR = 180 – x,
∠RSD = x, C = 180 – x
∠B + ∠C = x + 180 – x = 180°
അതിനാൽ ABDC പ്രകീയമാണ്.

Question 7.
ചിത്രത്തിൽ ABCD എന്ന ചതുർഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ സമഭാജികൾ – പരസ് പരം പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളാണ് P Q R, S.

PQRS ചക്രീയചതുർഭുജമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
(സൂചന : PCD എന്ന ത്രികോണത്തിലെയും RAB എന്ന ത്രികോണത്തിലെയും കോണുകളുടെ തുക നോക്കുക.)
Answer:

∠A യുടെ സമഭാജിയാണ് AS, ∠D യുടെ സമഭാജിയാണ് DS.
∠DSA = 180 – \(\left(\frac{A}{2}+\frac{D}{2}\right)\)
അതിനാൽ,
∠RSP = 180 – \(\left(\frac{A}{2}+\frac{D}{2}\right)\)
∠PQR = 180 – \(\left(\frac{C}{2}+\frac{B}{2}\right)\)
PQRS, ∠S + ∠Q = 180 – \(\frac{A}{2}-\frac{D}{2}\) + 180 – \(\frac{C}{2}-\frac{B}{2}\)
∠S + ∠Q = 360 – \(\frac{A+B+C+D}{2}\) = 360 – \(\frac{360}{2}\) = 180
PQRS പ്രക്രീയമാണ്.

Question 8.
ചുവടെയുള്ള ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ ABC എന്ന ത്രികോണത്തിലെ BC, CA, AB എന്നീ വശങ്ങളിൽ P, Q, R എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തി AQR, BRP എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരിവൃത്തങ്ങൾ വരച്ചിരുന്നു; അവ ത്രികോണത്തിനകത്തെ S എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ മുറിച്ചുകടക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെപ്പോലെ, CPO എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്തവും S ൽ കൂടി കടന്നുപോകുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.
(സൂചന : ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ PS, QS, RS യോജിപ്പിച്ചു, S ൽ ഉണ്ടാകുന്ന മൂന്നു കോണു കൾക്കു ∠A, ∠B, ∠C ഇവയുമായുള്ള ബന്ധം കണ്ടുപിടിക്കുക.)
Answer:
ARSQ ചക്രീയമാണ്. ∠RSQ = 180 – A
BPSR ചക്രീയമാണ്. ∠PSR = 180 – B
∠PSQ = 360 – (180 – A + 180 – B) = A + B
ത്രികോണം ABC ൽ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
അതായത്, ∠PSQ + ∠C = 180°
PSC ക്രീയമാണ്. അതായത്, CPO എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്തവും S ൽ കൂടി. കടന്നുപോകും.

വൃത്തത്തിന്റെ ചാപവും, കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ടുള്ള അതിന്റെ സവിശേഷതകളുമാണ് ഈ അധ്യായത്തിന്റെ പ്രധാന ഉള്ളടക്കം. വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ അതിന്റെ രണ്ടു ചാപങ്ങളെ നിശ്ചയിക്കുന്നു, ഒരു ചാപം മറ്റൊന്നിന്റെ മറുചാപമായിരിക്കും. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്തിന് മൂന്നുതരം കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കാം. അതിൽത്തന്നെയുള്ള കോൺ, കേന്ദ്രത്തിലെ കോൺ, മറു ചാപത്തിലെ കോൺ. ഈ കോണുകൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ, അത് മറു ചാപത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങായിരിക്കും.അർധവൃത്തത്തിലെ കോൺ മട്ടമാണ്. ഒരു ചാപത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്തിലെയും മറു ചാപത്തിലെയും കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്. ഇത് ചക്രീയചതുർഭുജം എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ, അതിനെ ചക്രീയചതുർഭുജം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ അധ്യായത്തിൽ വൃത്തഖണ്ഡത്തെയും മറു ഖണ്ഡത്തെയും കുറിച്ചും ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലേയും മറുഖണ്ഡത്തിലെയും കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 2 വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും

Std 10 Maths Chapter 2 Notes Malayalam Medium

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ ആരണ്ടു ചാപങ്ങളാക്കുന്നു. ഒരു ചാപത്തെ മറ്റേതിന്റെ മറുചാപം എന്ന് പറയുന്നു.

→ വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഞാൺ വൃത്തപരപ്പിനെ രണ്ടു
ഭാഗങ്ങളാക്കും. ഇത്തരം വൃത്തഭാഗങ്ങളെ വൃത്ത ഖണ്ഡം എന്ന് പറയുന്നു. വൃത്തഖണ്ഡങ്ങളിൽ ഒന്നിനെ മറ്റൊന്നിന്റെ മറുഖണ്ഡം എന്നും
പറയുന്നു.

→ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്തിന് മൂന്നു തരം കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കാം:
(i) അതിൽത്തന്നെയുള്ള കോൺ
(ii) കേന്ദ്രത്തിലെ കോൺ
(iii) മറു ചാപത്തിലെ കോൺ

അതിൽത്തന്നെ

• ∠APB, AB എന്ന ചാപം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ ആണ്.
• ∠AQB, AB എന്ന ചാപം മറ്റു ചാപത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ ആണ്.
• ∠AOB, AB എന്ന ചാപം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ ആണ്.

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങളിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിൽ ആ ചാപത്തിലെ തന്നെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കും. അതായത്, ഒരു ചാപത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമായിരിക്കും.

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ മറു ചാപത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവുമായും യോജിപ്പിച്ചാ ലുണ്ടാകുന്ന കോൺ, ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോ ണിന്റെ പകുതിയാണ്.

→ അർധവൃത്തത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ( മറ്റേതെങ്കിലും ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ മട്ടമാണ്. അർധവൃത്തത്തിലെ കോൺ മട്ടമാണ്.

→ ഒരേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.

→ ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലേയും മറുഖണ്ഡത്തി ലെയും കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.

∠APB + ∠AQB = 180°

→ ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ, അതിലെ എതിർകോണുക ളുടെ തുക 180° ആണ്.

→ ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എതിർകോണുകളുടെ തുക 180° ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ നാലു മൂലകളിൽ ക്കൂടിയും കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കാം.

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ, വൃത്തത്തിലെ ആ ചാപത്തിൽ അല്ലാത്ത, ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചാലുണ്ടാകുന്ന കോൺ, ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.

→ അർധവൃത്തത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ മറ്റേതെങ്കിലും ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ മട്ടമാണ്.

→ അർധവൃത്തത്തിലെ കോൺ മട്ടമാണ്.

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ, മറുചാപത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവുമായും യോജിപ്പിച്ചാലുണ്ടാകുന്ന കോൺ, ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ്.

→ ഒരു വൃത്തഖണ്ഡത്തിലേയും മറുഖണ്ഡത്തിലെയും കോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.

→ ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകളെല്ലാം ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ, അതിലെ എതിർകോണുകളുടെ തുക 180° ആണ്.

→ ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എതിർകോണുകളുടെ തുക 180° ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ നാലു മൂലകളിൽക്കൂടിയും കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കാം.

→ നാല് മൂലകളിൽക്കൂടിയും കടന്നു പോകുന്ന വൃത്തം വരയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന ചതുർഭുജം ചക്രീയചതുർഭുജം എന്ന് പറയുന്നു.