Class 10 Maths Chapter 5 Question Answer Malayalam Medium രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 5 Second Degree Equations Questions and Answers Malayalam Medium സാധ്യതകളുടെ ഗണിതം can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 5 Second Degree Equations Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 5 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 5 Kerala Syllabus Malayalam Medium

(Textbook Page No. 85)

Question 1.
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളെല്ലാം 2 മീറ്റർ കുറച്ച് ചെറുതാക്കിയപ്പോൾ, പരപ്പളവ് 49 ചതുരശ്രമീറ്ററായി. ആദ്യത്തെ സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം എത്ര മീറ്ററായിരുന്നു
Answer:
ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം √49 = 7 m
യഥാർത്ഥ ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം 9 m.

Question 2.
സമചതുരാകൃതിയായ ഒരു മൈതാനത്തിനു ചുറ്റും 2 മീറ്റർ വീതിയിൽ ഒരു പാതയുണ്ട്. മൈതാനവും പാതയും ചേർന്ന സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, 1225 ചതുരശ്ര മീറ്ററാണ്. മൈതാനത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
Answer:
വശം x ആയി എടുക്കുക.
(x + 4)² = 1225
⇒ x + 4 = 35,
x = 31 m
മൈതാനത്തിന്റെ പരപ്പളവ് x² = 31² = 961 m²

(Textbook Page No. 87)

Question 1.
അടുത്തടുത്ത രണ്ടു ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിനോട് 1 കൂട്ടിയപ്പോൾ 289 കിട്ടി. സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
Answer:
1 കൂട്ടിയില്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ ഗുണനഫലം 288 ആകും.
അടുത്തടുത്ത രണ്ടു ഇരട്ട സംഖ്യകൾ x – 1 ഉം x + 1 ഉം ആണെങ്കിൽ
(x – 1)(x + 1) = 288
⇒ x² – 1 = 288, x² = 289, x = 17
സംഖ്യകൾ = 16, 18.

Question 2.
6 ന്റെ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിനോട് 9 കൂട്ടിയപ്പോൾ 729 കിട്ടി. സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
Answer:
6 ന്റെ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു ഗുണിതങ്ങൾ x – 3 ഉം x + 3 ഉം ആണ്.
ഗുണനഫലത്തിനോട് 9 കൂട്ടിയില്ലെങ്കിൽ (x – 3) (x + 3) = 720
x² – 3² = 720, x² = 729,
സംഖ്യകൾ = 24, 30.

Question 3.
9, 11, 13, . എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ കുറച്ച് പദങ്ങളുടെ തുകയും 16 ഉം കൂട്ടിയപ്പോൾ 256 കിട്ടി. എത്ര പദങ്ങളാണ് കൂട്ടിയത്?
Answer:
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ 1-ാം പദം 2n + 7 ആണ്.
2(1 + 2 + 3 + ……. + n) + 7n = 240,
2(\(\frac{n}{2}\)(n + 1)) + 7n + 16 = 256
ഇതിനെ ലഘൂകരിച്ച് n + 8n +16 = 256 എന്ന് എഴുതാം.
(n + 8)² = 16² ⇒ n + 8 = 16, n = 8
ആദ്യത്തെ 8 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 16 കൂടി ചേർത്താൽ 256 ലഭിക്കും.

Class 10 Maths Chapter 5 Question Answer Malayalam Medium

(Textbook Page No. 92)

Question 1.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതു പോലെ ഒരു സമപാർശ്വത്രികോണം ഉണ്ടാക്കണം.
im-2
ഉയരം, പാദത്തെക്കാൾ 2 മീറ്റർ കുറവാകണം; പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്രമീറ്ററുമാകണം. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം എന്തായിരിക്കണം?
Answer:
പാദം x, ഉയരം x – 2
\(\frac{1}{2}\) × x(x – 2) = 12
⇒ x(x – 2) = 24
x² – 2x = 24,
x² – 2x + 1 = 25
(x – 1)² = 25,
x – 1 = 5, x = 6 ഉയരം
= 6 – 2 = 4
ത്രികോണത്തിന്റെ പാദത്തിന്റെ പകുതിയും മറുവശവും ഉയരവും കൂടിച്ചേർന്നാൽ ഒരു മട്ടത്രികോണം ലഭിക്കും.
ത്രികോണത്തിന്റെ വശം = 5 m
വശങ്ങളുടെ നീളം = 5 m, 5 m, 6 m.

Question 2.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ ഒരു വശത്തിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങിൽ നിന്ന് ഒരു സെന്റിമീറ്റർ കുറച്ചതാണ് അതിനു ലംബമായ വശം; രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒരു സെന്റിമീറ്റർ കൂട്ടിയതാണ് കർണ്ണം. വശങ്ങളുടെ നീളം എന്തൊക്കെയാണ്?
Answer:
ചെറിയ വശം x ആണ്. ലംബമായ വശം 2x – 1, കർണ്ണം = 2x + 1
(2x + 1)² = (2x − 1)² + x²
4x² + 4x + 1 = 4x² − 4x + 1 + x²
x² – 8x = 0
⇒ x = 8
വശങ്ങളുടെ നീളം = 8 സെമീ., 15 സെമീ., 17 സെമീ.

Question 3.
2.6 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കമ്പ് ഭിത്തിയിൽ ചാരിവച്ചിരിക്കുന്നു. കമ്പിന്റെ ചുവട്, ഭിത്തിയിൽ നിന്ന് 1 മീറ്റർ അകലെയാണ്. കമ്പിന്റെ താഴത്തെ അറ്റം അല്പം മുന്നോട്ട് നീക്കിയപ്പോൾ, മുകളറ്റം അത്രയും തന്നെ താഴോട്ടു നീങ്ങി. എത്ര ദൂരമാണ് മുന്നോട്ടു നീക്കിയത്?

Answer:

AC² + AB² = BC²
⇒ AC² + 12 = 2.62.
AC² = 2.62 – 12 = 5.76,
AC = 2.4
കമ്പിന്റെ താഴത്തെ അറ്റവും മുകളറ്റവും x ദൂരം മുന്നോട്ട് നീങ്ങി.
(2.4 – x)² + (1 + x)² = 2.62
⇒ x = 1.4 m

Question 4.
അടുത്തടുത്ത രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 195 ആണെങ്കിൽ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
Answer:
ഒറ്റസംഖ്യകൾ = x, x + 2
x(x + 2) = 195, x² + 2x + 1 = 196
⇒ (x + 1)² = 142, x + 1 = 14, x = 13
സംഖ്യകൾ 13, 15

Question 5.
5, 7, 9,… എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാലാണ് 140 കിട്ടുക?
Answer:
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം = 2n +3
ആദ്യത്തെ 11 പദങ്ങളുടെ തുക = (x₁ + x_n) × \(\frac{n}{2}\)
(5 + 2n + 3) × \(\frac{n}{2}\) = n² + 4n
n² + 4n = 140
⇒ n² + 4n + 4 = 144,
(n + 2)² = 144,
n + 2 = 12, n = 10
ആദ്യത്തെ 10 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 140 ആണ്.

SSLC Maths Chapter 5 Questions and Answers Malayalam Medium

(Textbook Page No. 96)

Question 1.
ഒരു സംഖ്യയും, അതിനോടു 2 കൂട്ടിയതും തമ്മിൽ ഗുണിച്ചപ്പോൾ 168 കിട്ടി. സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
Answer:
സംഖ്യ x എന്നെടുക്കുക.
x(x + 2) = 168 ⇒ x² + 2x = 168
x² + 2x + 1 = 169 ⇒ (x + 1)² = 169
x + 1 = 13, or -13, x = 12 or -14

Question 2.
തുക 4 ഉം, ഗുണനഫലം 2 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
സംഖ്യകൾ 2x ഉം 2 + x ഉം എന്നെടുക്കുക. തുക 4 ആണ്.
(2 – x)(2 + x) = 2
⇒ 2² – x² = 2
x = 2, x = 2 അല്ലെങ്കിൽ – 2 സംഖ്യകൾ = 2 + √2, 2 – √2

Question 3.
55, 45, 35, … എന്ന സമാന്തരശ്രേണി നോക്കുക.
(i) ഇതിലെ ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ 175 കിട്ടും?
(ii) ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ 180 കിട്ടും?
(iii) ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ 0 കിട്ടും?
Answer:
x_n = -10n + 65

(i) കൂട്ടിയ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണ്.
കൂട്ടിയ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണ്.
\(\left(\frac{n+1}{2}\right)^{t h}\) പദം മധ്യപദമാണ്. അത്,
55 + (\(\frac{n+1}{2}\) – 1 ) d = 55 + \(\frac{n-1}{2}\) x -10
= 55 – 5(n – 1)
= 60 – 5n
60 – 5n = \(\frac{175}{n}\)
60n – 5n² = 175
5n² – 60n = -175
n² – 12n = -35
n² – 12n + 36 = 1
(n – 6)2 = 1
n – 6 = 1
n = 7
അപ്പോൾ 7 പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ തുക 175 ലഭിക്കും.

(ii) 7-0060 = (-10 × 7) + 65 = −70 + 65 = −5
6 പദങ്ങളുടെ തുക = 175 – (-5) = 180
അപ്പോൾ തുക 180 ലഭിക്കാൻ 6 പദങ്ങൾ കൂട്ടണം.

(iii) തുക ) ലഭിക്കാൻ മധ്യപദം 0 ആവണം.
60 – 5n = 0
5n = 60
n = 12
അതിനാൽ തുക 0 ലഭിക്കാൻ 12 പദങ്ങൾ കൂട്ടണം.

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 5 രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ

Std 10 Maths Chapter 5 Notes Malayalam Medium

→ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗീകരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ബീജഗണിതേതര സമീപ നമാണ് ഈ യൂണിറ്റിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്. മൂന്ന് തരം ചോദ്യങ്ങളാണ് ഈ യൂണിറ്റിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്. ആദ്യത്തേത് വർഗ്ഗം നേരിട്ട് ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം 1 ആണ്. സംഖ്യകൾ 1 ഉം -1 ഉം ആണ്.

→ ഇത് x = 1 എന്നും ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരങ്ങൾ 1 ഉം -1 ഉം ആണ്. രണ്ടാമതായി, ചില അടിസ്ഥാന പ്രവ ർത്തനങ്ങൾ ചെയ്തുകൊണ്ട് വർഗ്ഗത്തിന്റെ ബീജഗണിത രൂപം എഴുതാൻ കഴിയുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെ കുറിച്ച് നാം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെയും ചുറ്റളവിന്റെയും ആകെത്തുക 140 ച. സെമീ. ആണ്. x വശമാണെങ്കിൽ നമുക്ക് x² + 4x = 140 എന്ന് എഴുതാം. ഇരുവശത്തും x ന്റെ ഗുണക ത്തിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗ്ഗം കൂട്ടുന്നു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് x² + 4x + 4 = 140 + 4 ലഭിക്കും.

→ ഇത് (x + 4)² = 12² എന്ന സമവാക്യം ആകുന്നു. യൂണിറ്റിന്റെ മൂന്നാം ഭാഗം രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്ന ങ്ങളാണ്. ഈ വിഭാഗം ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ, സാഹചര്യം നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിനായി നാം ബഹുപദ ചിത്രങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നു.

→ ലളിതമായ യുക്തിയും മാനസിക കണക്കുകൂട്ടലും ബുദ്ധിമുട്ടാകുമ്പോൾ പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൽ ബീജഗ ണിത സമീപനം അത്യാവശ്യമാണ്.

→ രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പഠനത്തിലെ തുടക്കമാണ് വർഗ്ഗപ്രശ്നങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 100 ച.മീ. ആണ്. സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണ്? ലളിതമായ ന്യായവാദം അനുസരിച്ച്, വശം 10 സെമീ. ആണ്
സമചതുരത്തിന്റെ വശം ചെറിയ അളവിൽ വർദ്ധിപ്പിച്ച് വലുതാക്കിയാൽ പുതിയ പരപ്പളവ് 121 ച.സെമീ. ആയി മാറുന്നു. വശം എത്ര വർദ്ധിക്കുന്നു?
ചതുരത്തിന്റെ ലളിതമായ ഒരു യുക്തി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വർദ്ധനവ് 1 സെമീ ആണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും ബീജഗ ണിതപരമായി, അത് x ആയിരിക്കട്ടെ. (10 + x)² = 121, 10 + x = 11, x = 1 സെമീ.

→ ചില പ്രശ്നങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമായ രീതിയിലാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു സമച തുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെയും ചുറ്റളവിന്റെയും ആകെത്തുക 140 ച.സെമീ. x എന്നത് വശമാണെങ്കിൽ നമുക്ക് x² + 4x = 140

→ ഇരുവശത്തും 4 ചേർത്താൽ, സമവാക്യം x² + 4x + 4 = 144 ആയി മാറുന്നു, ഇത് (x + 2)² = 144, x + 2 = 12, x = 10 സെമീ എന്നിങ്ങനെ എഴുതാം. ഈ പ്രക്രിയയെ സാധാരണയായി വർഗത്തികവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സാധാരണയായി ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ രണ്ട് ഉത്തരങ്ങളും സ്വീകാര്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 15 വർഷത്തിന് ശേഷമുള്ള ഒരു ആൺകുട്ടിയുടെ പ്രായം 15 വർഷം മുമ്പുള്ള അവന്റെ പ്രായത്തിന്റെ വർഗ്ഗമായിരിക്കും. അവന്റെ ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായം എന്താണ്?

→ ഈ പ്രശ്നം ബീജഗണിതപരമായി (x – 15)² = x + 15 എന്ന് പ്രസ്താവിക്കാം, ഇവിടെ X എന്നത് ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായമാണ്. ബീജഗണിതപരമായോ അല്ലാതെയോ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഇവ x = 10, 21 ആണ്.

→ x = 10 സ്വീകാര്യമല്ല. അപ്പോൾ ഉത്തരം 21 ആണ്. അതായത് ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായം 21 വയസ്സാണ്. രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ രണ്ടാംകൃതിയുടെ ചിത്രം ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു ബഹുപദം p(x) = x² – 4x+ 3

→ രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ ചിത്രരൂപം ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ ബഹുപദചിത്രങ്ങൾ എന്ന പാഠത്തിൽ കണ്ടല്ലോ (രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദങ്ങൾ എന്ന ഭാഗം), ബഹുപദത്തിന്റെ ചിത്രം വിലങ്ങനെയുള്ള വരയെ മുറിച്ചുകടക്കുന്നത്, 1, 3 എന്നീ സംഖ്യകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയാണ്. വിലങ്ങനെയുള്ള വരയിലെ ഒരു ബിന്ദു (x) വിൽ നിന്ന് ചിത്രരൂപത്തെ മുറിക്കുന്ന ലംബ രേഖയുടെ നീളം x ലെ p(x) ന്റെ മൂല്യമായിരിക്കും. ഇവിടെ p(1) ഉം p(3) ഉം 0 ആണ്.
അതായത് x² + 4x + 3 = 0 ന് x = 1 ഉം x = 3 ഉം എന്ന ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്.

→ ഒരു രണ്ടാം ഡിഗ്രി സമവാക്യം ax² + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിലാണ്, ഇവിടെ a ≠ 0, a, b, c എന്നിവ രേഖീയ സംഖ്യകളാണ്.

→ ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരം

• സമവാക്യത്തെ പൂർത്തീകരിക്കുന്ന x ന്റെ മൂല്യമാണ് ഉത്തരം.
• ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന് സാധാരണയായി രണ്ട് ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്.

→ വർഗത്തികവ് രീതി

• (x + p)² = q എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി
• രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനും ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും
  ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

→ ഉപയോഗങ്ങൾ:

• ജ്യാമിതി (പരപ്പളവും ചുറ്റളവും)
• പ്രായം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ
• ചലനവും വേഗതയും
• യഥാർത്ഥ ജീവിത പദപ്രശ്നങ്ങൾ