Class 10 Maths Chapter 11 Question Answer Malayalam Medium ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 11 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 11 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 11 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 11 Kerala Syllabus Malayalam Medium

സാമാന്തരികങ്ങൾ (Textbook Page No. 231-232)

Question 1.
ചിത്രത്തിലെ സാമാന്തരികങ്ങളുടെ നാലാം മൂലയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.

Answer:
(a) ചിത്രം നോക്കുക.

A-യും B-യും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം |5 – 1| = 4
Cയും Dയും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം 4
Aയും Bയും തമ്മിൽ കുത്തനെയുള്ള അകലം |6 – 4| = 2
Cയും Dയും തമ്മിൽ കുത്തനെയുള്ള അകലം 2
D(7 – 4, 10 – 2) = D(3, 8)
എളുപ്പവഴിയിൽ D(x, y)
x = 1 + 7 – 5, y = 4 + 10 – 6
അങ്ങനെയെങ്കിൽ x = 3, y = 8.
അതായത് D യുടെ സൂചകങ്ങൾ D(3, 8)

(b) ചിത്രം നോക്കുക.

Cയും Dയും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം |2 – 3| = 5.
Aയും Bയും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം 5
Cയും Dയും തമ്മിൽ കുത്തനെയുള്ള അകലം |3 – 2| = 1.
Aയും Bയും തമ്മിൽ കുത്തനെയുള്ള അകലം 1
A(1 – 5, 2 – 1) = A(-4, -3)
എളുപ്പവഴിയിൽ, A(x, y)
x = -3 + 1 = 2, y = 2 + (-2) – 3
അങ്ങനെയെങ്കിൽ x – 4y = -3
അതായത് A യുടെ സൂചകങ്ങൾ A(-4, -3)

Question 2.
ചിത്രത്തിലെ വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമാണ്.

വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകളുടെയെല്ലാം സൂചക സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:

PQ സമാന്തരം BR, PB സമാന്തരം QR. PQRB സാമാന്തരികം.
P, Q എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം 5 – 3 = 2,
P, Q എന്നിവയുടെ കുത്തനെയുള്ള അകലം 4 – 3 = 1
B, R എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം2,
B, R എന്നിവയുടെ കുത്തനെയുള്ള അകലം 1
B(4 – 2, 2 – 1) = B(2, 1)
PQCR സാമാന്തരികം.
C(4 + 5 – 3, 2 + 4 – 3) = C(6, 3), A(4, 5)

Question 3.
(x₁, y₁), (x₂, y₂) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ആധാരബിന്ദു വുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ സമീപവശ ങ്ങളായ സാമാന്തരികത്തിന്റെ നാലാമത്തെ മൂലയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എന്താണ്?

Answer:
O(0, 0) ആണ്.
നാലാമത്തെ മൂല B(x, y) എന്നെടുക്കാം.
O യുടെയും A യുടെയും വിലങ്ങനെയുള്ള
അകലം x₂ – 0 = x₂ കത്തനെയുള്ള അകലം y₂ – 0 = y₂
Bയുടെയും C’യുടെ വലങ്ങനെയും കുത്തനെയു മുള്ള അകലം x₂, y₂ വീതമാണ്.
B(x, y) യിൽ x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂
B(x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Question 4.
ചിത്രത്തിൽ ഒരു സാമാന്തരികത്തിന്റെ നാലുമൂല കളുടെയും സൂചകസംഖ്യകൾ അടയാളപ്പെടു ത്തിയിരിക്കുന്നു.

സൂചകസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ചുവടെ പറഞ്ഞിരി ക്കുന്ന ബന്ധമുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുക.
x₁ + x₃ = x₂ + x₄
y₁ + y₃ = y₂ + y₄
Answer:

Aയും Bയും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം x₂ – x₁
Cയും ഇയും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം x₃ – x₄
ABCD സാമാന്തരികമായതിനാൽ A, B എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള അകലവും
Cയും Dയും തമ്മിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലവും തുല്യം.
x₂ – x₁ = x₃ – x₄
⇒ x₁ + x₃ = x₂ + x₄
ഇതുപോലെ y₁ + y₃ = y₂ + y₄

മധ്വബിന്ദു (Textbook Page No. 236-237)

Question 1.
(2, 3), (6, 5) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വര വ്യാസമായി ഒരു വൃത്തം വരക്കുന്നു. വൃത്ത ത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ എന്താണ്?
Answer:
വൃത്തകേന്ദ്രം (x, y) ആയാൽ
x = \(\frac{2+6}{2}\) = 4
y = \(\frac{3+5}{2}\) = 4
കേന്ദ്രം (4, 4)

Question 2.
ഒരു സാമാന്തരികത്തിന്റെ ഒരു ജോടി എതിർ മൂലകളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ (4, 5) ഉം, (1, 3) ഉം ആണ്. അതിന്റെ വികർണ്ണങ്ങൾ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക. രണ്ടാമത്തെ വികർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ എന്താണ്?
Answer:
തന്നിരിക്കുന്ന വികർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദു = \(\left(\frac{4+1}{2}, \frac{5+3}{2}\right)\)
സൂചകസംഖ്യകൾ = (\(\frac {5}{2}\), 4)
വികർണ്ണങ്ങൾ പരസ്പരം സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു. രണ്ടാമത്തെ വികർണ്ണത്തിന്റെയും മധ്യബിന്ദു = (\(\frac {5}{2}\), 4)

Question 3.
A(1, 3), B(8, 6), C(12, 13), D(5, 10) മൂലകളായി ABCD എന്ന ചതുർഭുജം വരക്കുന്നു. ABCD സാമാന്തരികമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
AC എന്ന വികർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദു = \(\left(\frac{1+12}{2}, \frac{3+13}{2}\right)\) = (\(\frac {13}{2}\), 8)
BDയുടെ മധ്യബിന്ദു = \(\left(\frac{8+5}{2}, \frac{6+10}{2}\right)\) = (\(\frac {13}{2}\), 8)
രണ്ട് വികർണ്ണങ്ങളുടെയും മധ്യബിന്ദു ഒരേ ബിന്ദുവാണ്.
ABCD സാമാന്തരീകമാണ്.

Question 4.
സൂചകസംഖ്യകൾ (3, 5), (9, 13), (10, 6) ആയ ബിന്ദുക്കൾ മൂലകളായ ത്രികോണം സമപാർശ്വ മാണെന്നു തെളിയിക്കുക. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
A(3, 5), B(9, 13), C(10, 6) ആയാൽ

ഇത് സമപാർശ്വമട്ടത്രികോണമാണ് പരപ്പളവ് = \(\frac {1}{2}\) × 5√2 × 5√2 = 25
ഇവിടെ ഒരു സമഭുജത്രികോണമാണ് ലഭി ക്കുന്നത്. അതിനാൽ മധ്യബിന്ദു കണ്ടെത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല രണ്ട് ലംബവശങ്ങൾ പാദവും ഉയരവും ആണ്, ഇതിന്റെ മൂന്നാമത്തെ വശം കർണ്ണവും ആണ്.

Question 5.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം (1, 2) ഉം, അതിലെ ഒരു ബിന്ദു (3, 5) ഉം ആണ്. ഈ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള വ്യാസത്തിന്റെ മറ്റേ അറ്റം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
1 = \(\frac{x+3}{2}\)
⇒ x = -1
2 = \(\frac{y+5}{2}\)
⇒ y = -1
വ്യാസത്തിന്റെ മറ്റേ അറ്റം (-1, -1)

Question 6.
ചിത്രത്തിലെ വലിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ മധ്യ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാണ് അതിനുള്ളിലെ ചെറിയ ചതുർഭുജം വരച്ചിരിക്കുന്നത്.

(a) വലിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ മറ്റു മൂന്നു മൂല കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
(b) ചെറിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ നാലാം മൂലയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:

(a) D(x, y) ആയാൽ
3 = \(\frac{2+x}{2}\)
⇒ x = 4
ഇതുപോലെ y = 5, D(4, 5)
C(x, y) യിൽ 6 = \(\frac{4+x}{2}\)
⇒ x = 8
6 = \(\frac{5+y}{2}\)
⇒ y = 7, C(8, 7)
B(x, y) യിൽ 9 = \(\frac{8+x}{2}\)
⇒ x = 10
5 = \(\frac{7+y}{2}\)
⇒ y = 3, B(10, 3)
(b) (\(\frac{2+10}{2}, \frac{1+3}{2}\)) = (6, 2)

Question 7.
സൂചകസംഖ്യകൾ (0, 0), (0, 4), (3, 0) ആയ ബിന്ദുക്കൾ മൂലകളായ ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
ഇവ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകളാണ്.
കർണ്ണത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ (0, 4), (3, 0).
കർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ് പരിവൃത്തകേന്ദ്രം.
പരിവൃത്തകേന്ദ്രം = (\(\frac {3}{2}\), 2)

അംശബന്ധം (Textbook Page No. 239-240)

Question 1.
Aഎന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ (3, 2)ഉം B എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ (8, 7) ഉം ആണ്. ABഎന്ന വരയെ ചുവടെ പറയുന്ന അംശബന്ധങ്ങളിൽ ഭാഗിക്കുന്ന P, Q എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
(i) AP : PB = 2 : 3
(ii) AQ : QB = 3 : 2
Answer:
(i) Aയിൽ നിന്ന് Bയിലേയ്ക്ക് ഉള്ള സ്ഥാനമാറ്റ ത്തിൽ വലത്തേയ്ക്കും മുകളിലേയ്ക്കും നീങ്ങുന്നു
ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ P(3 + a, 2 + b)

Question 2.
A(1, 6), B(5, 2) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയെ മൂന്ന് സമഭാഗങ്ങളാക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
(i) A യിൽ നിന്ന് B യിലേയ്ക്ക് ഉള്ള സ്ഥാനമാ ത്തിൽ വലത്തേയ്ക്കും താഴെയ്ക്കും നീങ്ങുന്നു P, Q എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ വരയെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളാക്കുന്നു.
AP = PQ = QB
ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ P(1 + a, 6 – b)

Question 3.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകൾ (-1, 5), (3, 7), (1, 1) ആയാൽ മധ്യമകേന്ദ്രം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
AB യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് M, CM നടുവര, G മധ്യമകേന്ദ്രം.
CG : GM = 2 : 1
M(\(\frac{-1+1}{2}, \frac{5+1}{2}\)) = M(0, 3)
Cയിൽ നിന്നും Mലേയ്ക്ക് ഇടത്തേയ്ക്കും താഴെ യ്ക്കും നീങ്ങുന്നു.
G(3 – a, 7 – b)
\(\frac{a}{3}=\frac{2}{3}\)
⇒ a = 2
\(\frac{b}{2}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3b = 8
⇒ b = \(\frac {8}{3}\)
G(3 – 2, 7 – \(\frac {8}{3}\)) = G(1, \(\frac {13}{3}\))

വരക്കണക്ക് (Textbook Page No. 245)

Question 1.
(-1, 4), (1, 2) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന വരയിലെ മറ്റു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
A(1, 4) നിന്നും B(1, 2) ലേയ്ക്ക് മാറുമ്പോൾ x സൂചകസംഖ്യ 1 – (-1) = 2 കൂടുന്നു.
y സൂചക സംഖ്യ 2 – 4 = -2, 2 കുറയുന്നു.
ഇതേ മാറ്റം വരുന്ന രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ എഴുതാം. C(3, 0), D(5, -2)

Question 2.
(1, 2), (2, 4), (3, 6) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഒരേ വരയിലാണെന്നു തെളിയിക്കുക. ഈ വരയിലെ മറ്റു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
(1, 2), (2, 4) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും സൂചകസംഖ്യകളുടെ
മാറ്റവും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac{4-2}{2-1}\) = 2
(2, 4), (3, 6) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും x സൂചകസംഖ്യകളുടെ
മാറ്റവും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac{6-4}{3-2}\) = 2
ഒരേ മാറ്റം കാണാം. അതായത് ഈ ബിന്ദുകൾ ഒരു വരയിലാണ്.
മാറ്റ് രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ (4, 8) ഉം (5, 10) ഉം എന്നും കിട്ടും.

Question 3.
y₁, y₂, y₃,… ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയാണ്. (1, y₁), (2, y₂), (3, y₃),… എന്നീ ജോടികൾ സൂചകസംഖ്യകളായ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു വരയിൽത്തന്നെ ആയിരിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
y₁, y₂, y₃,… എന്നിവ സമാന്തരശ്രേണിയിലായതി y₂ – y₁ = y₃ – y₂ = d
(1, y₁), (2, y₂) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക സംഖ്യകളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകളുടെയും
മാറ്റത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യ = \(\left(\frac{y_2-y_1}{2-1}\right)=\frac{d}{1}\) = d, (2, y₂), (3, y₃) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക
സംഖ്യകളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകളുടെയും
മാറ്റത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യ = \(\frac{y_3-y_2}{3-2}=\frac{d}{1}\) = d
എല്ലാ ജോടികളിലും ഈ മാറ്റം ഉണ്ട്. ബിന്ദുക്കൾ ഒരു വരയിലാണ്.

Question 4.
x₁, x₂, x₃,… ഉം y₁, y₂, y₃,…. ഉം സമാന്തരശ്രേണിയാണ്. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)…, സൂചകസംഖ്യകളായ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു വരയിൽത്തന്നെ ആയിരിക്കുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
d₁ എന്നത് x₁, x₂, x₃,… എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസസമായാൽ
x_n – x₁ = \(\frac{n-1}{d_1}\)
d₂ എന്നത് y₁, y₂, y₃,… എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസസമായാൽ
y_n – y₁ = \(\frac{n-1}{d_2}\)
\(\frac{y_n-y_1}{x_n-x_1}=\frac{d_2}{d_1}\)
n ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യ ആയാലും \(\frac{d_2}{d_1}\) മാറ്റമുണ്ടാ കുന്നില്ല.
(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)… ഒരു വരിയിലാണ്.

വരയുടെ ചരിവ് (Textbook Page No. 248)

Question 1.
ചുവടെ പറയുന്ന ഓരോ ജോടി ബിന്ദുക്കളും യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയുടെ ചരിവ് കണക്കാക്കുക.
(i) (2, 3), (4, 5)
(ii) (2, 3), (4, 1)
(iii) (1, 1), (-1, -1)
(iv) (0, 1), (1, 0)
Answer:
(i) y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം5 – 3 = 2,
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 4 – 2 = 2.
ചരിവ് 1

(ii) y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 1 – 3 = -2,
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 4 – 2 = 2,
ചരിവ് -1

(iii) y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം -1 -1 = 2,
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം -1 – 1 = 2,
ചരിവ് 1

(iv) y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 0 – 1 = 1,
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 1 – 0 = 1.
ചരിവ് -1

Question 2.
(2, 5) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരയുടെ ചരിവ് \(-\frac {2}{3}\) ആണ്. ഈ വരയിലെ മറ്റ് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാ ക്കുക.
Answer:
(2, 5)എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നും 3 സൂചക സംഖ്യയുടെ മാറ്റം -2ഉം x സൂചകസംഖ്യയുടെ മാറ്റം 3ഉം ആയ ബിന്ദു (2 + 3, 5 – 2) = (5, 3)
(2, 5)എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നും 3 സൂചക സംഖ്യയുടെ മാറ്റം x ഉം സൂചകസംഖ്യയുടെ മാറ്റം ആയ ബിന്ദു (2 – 3, 5 + 2) = (-1, 7)

Question 3.
(3, 1) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരയുടെ ചരിവ് \(\frac {-1}{2}\) ആണ്. ചുവടെ പറയുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ഈ വരയിലെ ബിന്ദുക്കളാണോ എന്നു പരിശോധിക്കുക.
(i) (5, 2)
(ii) (1, 0)
(iii) (4, 3)
(iv) (2, -1)
Answer:
(3, 1) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരയുടെ ചരിവ് \(\frac {-1}{2}\) അങ്ങനെയെങ്കിൽ,
y – y₁ = m(x – x₁) ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാൽ,
y – 1 = \(\frac {-1}{2}\)(x – 3)
y – 1 = \(-\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}\)
y = \(-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}\)

(i) (5, 2) എന്ന ബിന്ദുവിന് 2 = \(\frac {-1}{2}\)(5) + \(\frac {5}{2}\)
2 = \(-\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\)
2 = 0, ഇത് ഒരിക്കലും സാധ്യമല്ല.
അതിനാൽ (5, 2) ഈ വരയിലെ ബിന്ദുവല്ല.

(ii) (1, 0) എന്ന ബിന്ദുവിന് 0 = \(-\frac{1}{2}(1)+\frac{5}{2}\)
0 = \(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\)
0 = 2, ഇത് ഒരിക്കലും സാധ്യമല്ല.
അതിനാൽ (1, 0) ഈ വരയിലെ ബിന്ദുവല്ല.

(iii) (4, 3) എന്ന ബിന്ദുവിന് 3 = \(-\frac{1}{2}(4)+\frac{5}{2}\)
3 = \(-\frac{4}{2}+\frac{5}{2}\)
3 = \(\frac {1}{2}\) ഇത് ഒരിക്കലും സാധ്യമല്ല.
അതിനാൽ (5, 2) ഈ വരയിലെ ബിന്ദുവല്ല.

(iv) (2, 1) എന്ന ബിന്ദുവിന്
-1 = \(-\frac{1}{2}(2)+\frac{5}{2}\)
-1 = \(-\frac{2}{2}+\frac{5}{2}\)
-1 = \(\frac {3}{2}\) ഇത് ഒരിക്കലും സാധ്യമല്ല.
അതിനാൽ (5, 2) ഈ വരയിലെ ബിന്ദുവല്ല.

Question 4.
y₁, y₂, y₃… ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയാണെങ്കിൽ (1, y₁), (2, y₂), (3, y₃),… എന്നീ ജോടികൾ സൂചക സംഖ്യകളായ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു വരയിൽ ത്തന്നെയാണെന്നു കണ്ടല്ലോ. ഈ വരയുടെ ചരിവും, സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാ സവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?
Answer:
y₁, y₂, y₃, … എന്നിവ പൊതു വ്യത്യാസം d ആയുള്ള ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയാണെന്ന് കരു.
അപ്പോൾ തൊട്ടടുത്ത രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ (1, y₁), (2, y₂) ആയാൽ,
അവയെ ചരിവ് = \(\frac{y_2-y_1}{2-1}=\frac{d}{1}\) = d
അതായത്, രേഖയുടെ ചരിവ് ആ സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പൊതു വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

Question 5.
x₁, x₂, x₃,… ഉം y₁, y₂, y₃,… ഉം സമാന്തര ശ്രേണിക ളാണ്. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃),… എന്നീ ജോടി കൾ സൂചകസംഖ്യകളായ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു വരയിൽത്തന്നെ ആയിരിക്കുമെന്നു കണ്ടു. ഈ വരയുടെ ചരിവും, സമാന്തരശ്രേണികളിലെ പൊതു വ്യത്യാസങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?
Answer:
x₁, x₂, x₃… ഉം y₁, y₂, y₃,… ഉം d_x, d_y പൊതു വ്യത്യാസങ്ങളുള്ള സമാന്തര ശ്രേണികളാണെന്ന് കരുതുക.
അപ്പോൾ തൊട്ടടുത്ത രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ (x₁, y₁) ഉം (x₂, y₂) ആയാൽ,
അവയെ ചരിവ് = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{d_y}{d_x}\)
അതായത്, രേഖയുടെ ചരിവ് y ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെയും x ശ്രേണിയുടെ പൊതു വ്യത്യാസത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

Question 6.
(1, 3) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ, ചരിവ് \(\frac {1}{2}\) ആയി വരയ് ക്കുന്ന വരയിലെയും, ഇതേ ബിന്ദു വിലൂടെ ചരിവ് -2 ആയി വരയ്ക്കുന്ന വരയിലേയും മറ്റൊരു ബിന്ദുകൂടി എഴുതുക. ഈ വരകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
(സൂചന; പൈഥാഗറസ് സിദ്ധാന്തം)
Answer:
ആദ്യ വര P(1, 3) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നു പോകുന്നു, ചരിവ് \(\frac {1}{2}\) ആണ്.
x = 1 വലത്തോട്ട് 2 യൂണിറ്റ് നീങ്ങിയാൽ, x₂ = 1 + 2 = 3
ചരിവ് \(\frac {1}{2}\) ആയതിനാൽ y യിലെ മാറ്റം 1 ആയിരിക്കും.
ചരിവ് = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{y_2-3}{3-1}\)
y₂ – 3 = 1
y₂ = 4
അതിനാൽ, ആദ്യ വരയിലെ മറ്റൊരു ബിന്ദു A = (3, 4) ആണ്.
ആദ്യത്തെ വര (1, 3) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, ഇതിന്റെ ചരിവ് = -2 ആണ്.
x = 1 ൽ നിന്ന് വലത്തോട്ട് 1 യൂണിറ്റ് നീങ്ങി യാൽ,
x₃ = 1 + 1 = 2
ചരിവ് -2 ആയതിനാൽ y-യിലെ മാറ്റം 1 ആയിരിക്കും.
ചരിവ് = \(\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\)
-2 = \(\frac{y_3-3}{3-1}\)
y₃ – 3 = -2
y₃ = 1
അതിനാൽ, മറ്റൊരു ബിന്ദു B = (2, 1) ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ,
PA² = (3 – 1)² + (4 – 3)²
= 2² + 1²
= 4 + 1
= 5
PB² = (2 – 1)² + (1 – 3)²
= 1² + (-2)²
= 1 + 4
= 5
AB² = (3 – 2)² + (4 – 1)²
= 1² + 3²
= 1 + 9
= 10
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തപ്രകാരം:
PA² + PB² = AB²
5 + 5 = 10
10 = 10
അതിനാൽ, ഈ രണ്ടു രേഖകൾ പരസ്പരം ലംബം ആണ്

വരയുടെ സമവാക്യം (Textbook Page No. 251-252)

Question 1.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഓരോ ജോടി ബിന്ദുക്ക ളെയും യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയുടെ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.
(i) (0, 0), (1, 1)
(ii) (0, 0), (1, -1)
(iii) (1, 0), (0, 1)
(vi) (-1, 0), (0, -1)
Answer:
(i) വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{1-0}{1-0}\) = 1
വരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y).
y സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റം x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റത്തെ ചരിവ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണ്.
അതിനാൽ y – 0 = 1(x – 0)
y = x

(ii) വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{-1-0}{1-0}\) = -1
വരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y).
y സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റം x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റത്തെ ചരിവ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണ്.
അതിനാൽ y – 0 = -1(x – 0)
⇒ y = -x
⇒ x + y = 0

(iii) വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{1-0}{0-1}\) = -1
വരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y).
y സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റം x സൂചകസംഖ്യകളുടെ.
മാറ്റത്തെ ചരിവ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണ്
y – 0 = -1(x – 1)
⇒ y = -1(x – 1)
⇒ y = x + 1
⇒ x + y – 1 = 0

(iv) വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{-1-0}{0-(-1)}\) = -1
y സൂചകസംഖ്യ കളുടെ മാറ്റം x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റത്തെ ചരിവ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണ്
y – 0 = -1(x – (-1))
⇒ y = -1(x + 1)
⇒ y = -x – 1
⇒ y + x + 1 = 0

Question 2.
(i) (1, 3), (2, 5) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പി ക്കുന്ന വരയുടെ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.
(ii) (x, y)എന്ന ബിന്ദു ഈ വരയിലായാൽ (x + 3, y + 2) എന്ന ബിന്ദുവും ഈ ന്നെയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
(i) വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{5-3}{2-(-1)}=\frac{2}{3}\)
വരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y) എങ്കിൽ,
y – 3 = \(\frac {2}{3}\) × (x – (-1))
⇒ (y – 3) × 3 = 2(x + 1)
⇒ 3y – 9 = 2x + 2
⇒ 2x – 3y + 11 = 0
(ii) ഒരു ബിന്ദു ഒരു വരയിലെ ആണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ആ ബിന്ദുവിന്റെ സൂചക സംഖ്യകൾ വരയുടെ
സമവാക്യത്തിൽ ശരിയാകുന്നുണ്ടോ എന്ന് നോക്കിയാൽ മതി
(x + 3, y + 2) വലയിലാണോ എന്നറിയാൻ
2(x + 3) – 3(x + 2) + 11 = 2x + 6 – 3y – 6+ 11
= 2x – 3y + 11
= 0
(x + 3, y + 2) എന്ന ബിന്ദു ഈ വരയിലെ ബിന്ദുവാണ്

Question 3.
(a) (1, 1) ഉം (2, 7) ഉം യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയുടെ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.
(b) x ആയി ഏത് സംഖ്യ എടുത്താലും (x, 2x + 3) എന്ന ബിന്ദു ഈ വരയിലാണെന്ന് തെളിയി.
Answer:
(a) വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{7-1}{2-(-1)}\) = 2
(x, y) വരയിലെ ബിന്ദു ആയാൽ
y – 1 = 2(x – (-1))
⇒ y – 1 = 2(x + 1)
⇒ y = 1 + 2x + 2
⇒ y = 2x + 3

(b) (x, 2x + 3) എന്ന ബിന്ദു ഈ വരയിലാണെന്ന് തെളിയിക്കണം
(x, y) ഈ വരയിൽ എന്ന് എടുത്തിട്ടുണ്ട് y = 2x + 3 എന്നത് വരയുടെ സമവാക്യമാണ്.
അതിനാൽ (x, y) എന്നത് (x, 2x + 3) എന്നെ ഴുതാം ഈ ബിന്ദു വരയിലെ ബിന്ദുവാണ്.

Question 4.
ആധാരബിന്ദുവും (1, 2) എന്ന ബിന്ദുവും യോജിപ്പി ക്കുന്ന വരയിലെ ഏത് ബിന്ദുവിന്റെയും x-സൂചക സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങാണ് y-സൂചകസംഖ്യ എന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
(0, 0), (1, 2) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{2-0}{1-0}\) = 2
(x, y) വരയിലെ ബിന്ദുവാണെന്ന് കരുതുക.
y – 0 = 2(x – 0)
⇒ y = 2x
വരയിലെ ഏത് ബിന്ദു പരിഗണിച്ചാലും y സൂചകസംഖ്യ x മടങ്ങാണ് സൂചകസംഖ്യയുടെ രണ്ട്

Question 5.
(2, 0) ഉം (0, 3) ഉം യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയിലെ ഏതു ബിന്ദുവിന്റെയും x-സൂചകസംഖ്യയുടെ പകു തിയും y-സൂചകസംഖ്യയുടെ മൂന്നിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ ഒന്നു കിട്ടുമെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
വരയുടെ ചരിവ് = \(\frac{3-0}{0-2}=-\frac{3}{2}\)
വരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y).
y – 0 = \(\frac {-3}{2}\)(x – 2)
⇒ y = \(\frac {-3}{2}\)(x – 2)
⇒ 2y = -3(x – 2)
⇒ 2y + 3x = 6
ഇരു വശത്തും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ
\(\frac{2 y+3 x}{6}\) = 1
⇒ \(\frac{2 y}{6}+\frac{3 x}{6}\) = 1
⇒ \(\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} y\) = 1

വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം (Textbook Page No. 253-254)

Question 1.
കേന്ദ്രം ആധാരബിന്ദുവും ആരം 5 ഉം ആയ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കുക. ഈ വൃത്തത്തിലെ എട്ടുബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യ കൾ എഴുതുക.
Answer:
വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുവാണ് (x, y) എന്ന് കരുതുക.
(x – 0)² + (y – 0)² = 5²
⇒ x² + y² = 25

Question 2.
(2, 3), (4, 7) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരെ വ്യാസമായി വൃത്തം വരക്കുന്നു.
(i) ഈ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചക സംഖ്യകൾ എന്താണ്?
(ii) വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്രയാണ്?
(iii) വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം എന്താണ്?
Answer:
(i) \(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right)\) അതായത് (3, 5)
(ii) ആരം r = \(\sqrt{(3-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{5}\)
(iii) (x – 3)² + (y – 5)² = (√5)²
⇒ (x – 3)² + (y – 5)² = 5
⇒ x² + y² – 6x – 10x – 29 = 0

Question 3.
ചിത്രത്തിലെ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴു തുക.

Answer:
(0, 2), (4, 0) വ്യാസത്തിന്റെ അറ്റങ്ങളാണ്.
കേന്ദ്രം (2, 1)
ആരം r = \(\sqrt{(4-0)^2+(0-2)^2}\)
= √20
= 2√5
വൃത്തത്തിന്റെ ആരം √5.
സമവാക്യം (x – 2)² + (y – 1)² = 5
⇒ x² + y² – 4x – 2y = 0

Question 4.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം x² + y² – 2x – 4y – 11 = 0 എന്നാണ്. ഇതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചക സംഖ്യകളും, ആരവും കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
x² + y² – 2x – 4y = 11
⇒ (x² – 2x + 1) + y² – 4y + 4 = 11 + 1 + 4
⇒ (x – 1)² + (y – 2)² = 4²
കേന്ദ്രം (1, 2), ആരം 4

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 11 ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും

Std 10 Maths Chapter 11 Notes Malayalam Medium

→ എതിർവശങ്ങൾ തുല്യവും സമാന്തരവുമായ ചതുർഭുജങ്ങളാണ് സാമാന്തരികങ്ങൾ. ചതുരത്തിൽ രണ്ട് ജോടി എതിർവശങ്ങളും അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കും

→ (x₁, y₁), (x₂, y₂) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയുടെ മധ്യബിന്ദു \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)

→ വരയുടെ അറ്റങ്ങളാണ് A(x₁, y₁), B(x₂, y₂). ഇടയിലെ P(x, y) എന്ന ബിന്ദു വരയെ ഭാഗിക്കുന്നു. AP എന്നത് AB യുടെ ഒരു നിശ്ചിത ഭാഗവും PB എന്നത് AB യുടെ മിച്ച ഭാഗവുമാണ്.

→ A യിൽ നിന്ന് P യിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം വലത്തേയ്ക്ക് യും കുത്തനെയുള്ള അകലം മുകളിലേയ്ക്ക് b യും ആണ്. അതിനാൽ P യുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ P(x₁ + a, y₁ + b) യും ആണ്.

→ അക്ഷങ്ങളൊന്നിനും സമാന്തരമല്ലാത്ത ഒരു വരയിലെ ഏതു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളെടുത്താലും y സൂചക സംഖ്യയിലെ മാറ്റം, x സൂചകസംഖ്യയിലെ മാറ്റത്തെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണ്.

→ അക്ഷങ്ങളൊന്നിനും സമാന്തരമല്ലാത്ത ഒരു വരയിലെ ഏതു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളെടുത്താലും y-സംഖ്യയിലെ മാറ്റത്തെ x-സൂചകസംഖ്യയിലെ മാറ്റംകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് ഒരേ സംഖ്യയാണ്

→ വരയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുരൂപം ax + by + c = 0 ആണ്.
ചരിവ് = \(-\frac {a}{b}\)

→ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം r = \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\)

ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ രണ്ടു അടിസ്ഥാന ശാഖകളാണ്. ഇവ രണ്ടും ചേർന്നാണ് നമുക്ക് ഒരു സാഹചര്യം ഗണിതപരമായി വിശകലനം ചെയ്യാൻ സഹായിക്കുന്നത്. “ഭൂമിയുടെ അളവ് എന്നർത്ഥമുള്ള ഗ്രീക്ക് വാക്കുകളിൽ നിന്നാണ് ജ്യാമിതി എന്ന പദം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. ഇത് ആകൃതി കൾ, വലുപ്പങ്ങൾ, അന്തരത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ എന്നിവ യുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതേസമയം, ബീജ ഗണിതം അക്ഷരങ്ങളും ചിഹ്നങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകളെയും അവയുടെ ബന്ധങ്ങളെയും പ്രതിനി ധീകരിക്കുന്ന ശാഖയാണ്. ഇതിലൂടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ശാസ്ത്രീയമായി അവതരിപ്പിക്കാനും കഴിയും. ജ്യാമിതി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്, ദൃശ്യരൂപം നൽകുമ്പോൾ, ബീജഗണിതം അതിനെ വിവരിക്കു കയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യാനുള്ള ഭാഷ യായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ പാഠഭാഗത്തിൽ നാം ചർച്ച ചെയ്യാൻ പോകുന്ന പ്രധാന ജ്യാമിതീയ ആക തികൾ വരകളും വൃത്തങ്ങളുമാണ്.

സാമാന്തരികങ്ങൾ
എതിർ വശങ്ങൾ തുല്യവും സമാന്തരവുമായ ചതുർഭുജങ്ങളാണ് സാമാന്തരികങ്ങൾ. ചതുരത്തിൽ രണ്ട് ജോടി എതിർവശങ്ങളും അക്ഷ ങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കും ഒരു ചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നത് അതിന്റെ ഒരു ജോടി സമാന്തരവശങ്ങൾ അക്ഷത്തിനും മറ്റു ജോടി സമാന്തര വശങ്ങൾ അക്ഷത്തിനും 43,2) സമാന്തരമായാണെന്ന് കരുതുക.

ഈ ചതുരത്തിന്റെ A(3, 2)ൽ നിന്നും C(8, 6)ൽ എത്തുമ്പോൾ x സൂചകസംഖ്യകൾക്കും y സൂചക സംഖ്യകൾക്കും മാറ്റം വരുന്നു.
A-യിൽ നിന്ന് C യിലേയ്ക്കുള്ള മാറ്റം വലത്തേയ്ക്കും മുകളിലേയ്ക്കുമാണ്.
x സൂചകസംഖ്യയുടെ മാറ്റം 8 – 3 = 5 വർദ്ധനവും ) സൂചകസംഖ്യയുടെ മാറ്റം 6 – 2 = 4 വർദ്ധനവുമാണ്.
ഈ മാറ്റം സംഭവിക്കുന്നത് Aയിൽ നിന്നും 3 വലത്തേയ്ക്ക് നീങ്ങി അവിടെനിന്ന് 4 മുകളിലേയ്ക്ക് നീങ്ങിയാണ്.
ഇത് താഴെ കാണും വിധം ചിത്രീകരിക്കാം.

D-യിലേയ്ക്കുള്ള മാറ്റം Bയിൽ നിന്ന് ഇടത്തേയ്ക്ക് 5 ഉം A-യിൽ നിന്ന് മുകളിലേയ്ക്ക് 4 ഉം ആണ്. അതായത് D(8 – 5, 2 + 4) എന്നെഴുതാം.
സമാന്തരികങ്ങളിലും ഇതേ മാറ്റം കാണാം. സാമാ ന്തരികങ്ങളിൽ എതിർ വശങ്ങൾ സമാന്തരങ്ങ ളാണ്. അതുകൊണ്ട് x സൂചകസംഖ്യകൾക്കും സൂചകസംഖ്യകൾക്കും മാറ്റം ഒരുപോലെയാണ്.
ABCD എന്ന സാമാന്തരികം സൂചകാക്ഷങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വരച്ചിരിക്കുന്നു.
A(1, 1) ഉം B(5, 3)ഉം ആയതിനാൽ AB എന്ന വര x അക്ഷ ത്തിനോ y അക്ഷത്തിനോ സമാന്തരമല്ല.
Aയിൽ Bലേയ്ക്ക് എത്തുമ്പോൾ x സൂചകസംഖ്യ 4 കൂടുന്നു. y സൂചകസംഖ്യ 2 കൂടുന്നു.
ഇതേ മാറ്റം Dയിൽ നിന്ന് Cയിലേയ്ക്കും ഉണ്ടാകും. എന്നാൽ Cയിൽ നിന്ന് Dയിലേയ്ക്ക് ആകുമ്പോൾ x സൂചകസംഖ്യ കുറയുകയാണ്. y സൂചക സംഖ്യയും കുറയുകയാണ്.
D(8 – 4, 6 – 2) = D(4, 4)
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄) സാമന്തരികത്തിന്റെ മൂലങ്ങളായാൽ

|x₂ – x₁| = |x₃ – x₄|
ഇത് ഇപ്രകാരം എഴുതാം. x₄ = x₁ + x₃ – x₂
ഇതുപോലെ y₄ = y₁ + y₃ – y₂

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
O ആധാരബിന്ദുവും OABC ഒരു സാമാന്തരീക വുമാണ്. B(7, 5) ആയാൽ

(a) യുടെയും Cയുടെയും സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക
(b) OABCയുടെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക
Answer:
(a) A(4, 0), C(0 + 7 – 4, 0 + 5 – 0) = (3, 5)
(b) പരപ്പളവ് = 4 × 5 = 20

Question 2.
ABCD ഒരു സാമാന്തരീകമാണ് A(1, 1), B(3, 2), C(5, 7) ആയാൽ Dയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.
Answer:
D(1 + 5 – 3, 1 + 7 – 2) = D(3, 6)

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ P(1, 2), Q(5, 3), R(3, 0) എന്നിവ ABC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.

(a) BPORന് ഉചിതമായ പേരെഴുതുക.
(b) Bയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.
(c) യുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുത്തുക.
Answer:
(a) സാമാന്തരികം
(b) B(1 + 3 – 5, 2 + 0 – 3) = B(-1, -1)
(c) (3, 5)

Question 4.
A (1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(4, 2) എന്നിവ സാമാന്തരികത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളാണ്
(a) x എത്ര?
(b) y എത്ര?
Answer:
(a) Aയുടെയും Bയുടെയും x സൂചകസംഖ്യയിലെ മാറ്റം 3.
C യുടെയും Dയുടെയും x സൂചക സംഖ്യയിലെ മാറ്റം 3.
4 – 1 = x – 4
⇒ x = 7
(b) ഇതുപോലെ, y – 2 = 6 – 2
⇒ y = 6

മധ്വബിന്ദു
ഒരു വരയെ രണ്ട് തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കുന്ന ബിന്ദു വാണ് വരയുടെ മധ്യബിന്ദു,
വരയുടെ അറ്റങ്ങളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ (x₁, y₁), (x₂, y₂) ആയാൽ മധ്യബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യ കൾ എന്തായിരിക്കും എന്നാണ് ചിന്തിക്കേണ്ടത് ചിത്രം നോക്കുക.

മധ്യബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകളാണ് P(x, y) എന്ന് കരുതുക. ത്രികോണം AMP, ത്രികോണം ACB എന്നിവ സദൃശത്രികോണങ്ങളാണ്.
അതിനാൽ = \(\frac{A M}{A C}=\frac{P M}{B C}=\frac{A P}{A B}\)
P മധ്യബിന്ദു ആയതിനാൽ \(\frac{A P}{A B}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{2}\) ഇതിൽ നിന്നും x = \(\frac{x_1+x_2}{2}\) എന്ന് കിട്ടുന്നു.
ഇതുപോലെ y = \(\frac{y_1+y_2}{2}\) എന്നെഴുതാം (x₁, y₁), (x₂, y₂) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ അറ്റങ്ങളായ വരയുടെ മധ്യബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ \(\left(\frac{x_1+x_1}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) ആണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
സൂചകാക്ഷങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വൃത്ത ത്തിലെ AB എന്ന വ്യാസത്തിന്റെ സൂചകസംഖ്യ കൾ A(2, 2), B(4, 2) വീതമാണ്.

(a) വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക
(b) ABയ്ക്ക് ലംബമായ വ്യാസത്തിന്റെ അഗ്രങ്ങ ളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.
Answer:
(a) (\(\frac{2+4}{2}\), 2) = (3, 2)
(b) C(3, 3), D(3, 1)

Question 2.
ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ സൂചകാക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമാണ്. A(1, 1), C(7, 4) ആയാൽ.

(a) മറ്റ് രണ്ട് മൂലകളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴു തുക.
(b) വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളുടെ സൂചക സംഖ്യകൾ എഴുതുക.
Answer:
(a) B(7, 1), D(1, 4)
(b) S(\(\frac{1+7}{2}\), 1) = S(4, 1)
R(7, \(\frac {5}{2}\)), Q(4, 4), P(1, \(\frac {5}{2}\))

Question 3.
വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു വ്യാസാഗ്രം (2, 3)ആണ്. വൃത്ത കേന്ദ്രം (7, 4) ആയാൽ മറ്റേ വ്യാസാഗ്രത്തിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
വ്യാസത്തിന്റെ അഗ്രം (x, y) ആയാൽ
\(\frac{2+x}{2}\) = 7
⇒ 2 + x = 14
⇒ x = 12
\(\frac{3+y}{2}\) = 4
ആയാൽ 3 + y = 8
⇒ y = 5
വ്യാസത്തിന്റെ അഗ്രം (12, 5)

Question 4.
AB എന്നത് x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വ്യാസമാണ്; CD എന്നത് y അക്ഷത്തിന് സമാന്ത രമായ വ്യാസമാണ്. വൃത്തകേന്ദ്രം (4, 4), ആരം 3 ആയാൽ.

(a) A യുടെയും Bയുടെയും സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.
(b) C യുടെയും Dയുടെയും സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.
Answer:
(a) A(1, 4), B(7, 4)
(b) C(4, 7), D(4, 1)

അംശബന്ധം
ഒരു ബിന്ദു വരയെ നിശ്ചിത അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുന്ന സാഹചര്യമാണ് ഈ പാഠഭാഗം

വരയുടെ അറ്റങ്ങളാണ് A(x1, y1), B(x2, y2).
ഇടയിലെ P(x, y) എന്ന ബിന്ദു വരയെ ഭാഗിക്കുന്നു.
AP എന്നത് AB യുടെ ഒരു നിശ്ചിത ഭാഗവും PB എന്നത് ABയുടെ മിച്ച ഭാഗവുമാണ്.
Aയിൽ നിന്ന് Pയിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം വലത്തേയ്ക്ക് aയും കുത്തനെയുള്ള അകലം മുകളിലേയ്ക്ക് bയും ആണ്.
അതിനാൽ Pയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ (x₁ + a, y₁ + b) എന്നെഴുതാം.
Aയിൽ നിന്ന് Bയിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം x₂ – x₁ കുത്തനെയുള്ള അകലം y₂ – y₁
\(\frac{a}{x_2-x_1}=\frac{b}{y_2-y_1}=\frac{A P}{A B}\)
എന്നെഴുതുന്നത് ചിത്രത്തി ലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ സാദൃശ്യത്തിൽ നിന്നാണ്.
ഇതിൽ നിന്നും ആ aയും b യും കണ്ടെത്തി Pയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുന്നത് ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും മനസിലാക്കുക.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
A(2, 4), B(8, 7) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ ചേർത്ത് വരക്കുന്ന വരയെ 1 : 2 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
A യുടെയും Bയുടെയും സൂചകസംഖ്യകൾ നോക്കുക.
Aയിൽ നിന്ന് Bയിലേയ്ക്ക് വലത്തോട്ട് വിലങ്ങനെയും മുകളിലേയ്ക്ക് കുത്തനെയും നിങ്ങണം.
Aയിൽ നിന്ന് ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുള്ള അകലം ABയുടെ മൂന്നിൽ ഒരു ഭാഗമാണ്.
Aയിൽ നിന്ന് P(ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദു)യിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം aആയും കുത്തനെയുള്ള അകലം bയുമായാൽ P(2 + a, 4 + b) ആണ്.
Aയിൽ നിന്ന് Bയിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള ദൂരം 8 – 2 = 6 ഉം കുത്തനെയുള്ള ദൂരം 7 – 4 = 3ഉം ആണ്
\(\frac{a}{6}=\frac{1}{3}\)
⇒ a = 2
\(\frac{b}{3}=\frac{1}{3}\)
⇒ b = 1
Pയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ P(2 + 2, 4 + 1) = P(4, 5)

Question 2.
A(1, 1), B(7, 4) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ ചേർത്ത് വരക്കുന്ന വരയെ 1 : 3 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
Aയുടെയും Bയുടെയും സൂചകസംഖ്യകൾ നോക്കുക. Aയിൽ നിന്ന് Bയിലേയ്ക്ക് വലത്തോട്ട് വിലങ്ങനെയും താഴെയ്ക്ക് കുത്തനെയും
നീങ്ങണം.
A യിൽ നിന്ന് ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുള്ള അകലം ABയുടെ നാലിൽ ഒരു ഭാഗമാണ്.
Aയിൽ നിന്ന് P(ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദു)യിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള അകലം ആയും കുത്തനെയുള്ള അകലം bയുമായാൽ P(1 + a, 1 – b) ആണ്. -b ശ്രദ്ധിക്കുക. കുത്തനെ താഴേയ്ക്ക് ആണ് നീങ്ങുന്നത്.
Aയിൽ നിന്ന് B യിലേയ്ക്കുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള ദൂരം 7 – 1 = 6 ഉം കുത്തനെയുള്ള ദൂരം 1 – (-4) = 5 ഉം ആണ്.
\(\frac{a}{6}=\frac{1}{4}\)
⇒ 4a = 6
⇒ a = \(\frac {3}{2}\)
\(\frac{b}{5}=\frac{1}{4}\)
⇒ 4b = 5
⇒ b = \(\frac {5}{4}\)
Pയുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ P(1 + \(\frac {3}{2}\), 1 – \(\frac {5}{4}\)) = P(\(\frac {5}{2}\), \(\frac {-1}{4}\))

Question 3.
A(1, 1), B(-3, -7) എന്നീ ബിന്ദുക്കളെ ചേർത്ത് വരക്കുന്ന വരയെ 2 : 3 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
Aയിൽ നിന്ന് B യിലേയ്ക്ക് ഉള്ള സ്ഥാനമാറ്റ ത്തിൽ ഇടത്തേയ്ക്കും താഴേയ്ക്കും നീങ്ങുന്നു ഭാഗിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ P(1 – a, 1 – b)

വരക്കണക്ക്
A(2, 5), B(6, 7) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന വര കാണുക.

Aയിൽ നിന്ന് Bയിലെത്താൻ 6 – 2 = 4 വിലങ്ങ നെയും 7 – 5 കുത്തനെയും നീങ്ങുന്നു.
ഇവിടെ Aകയിൽ നിന്നും Bയിലേയ്ക്കുള്ള നീക്ക ത്തിൽ വിലങ്ങനെയുള്ള ദൂരത്തിന്റെ പകുതിയാണ് കുത്തനെയുള്ള ദൂരം. ഈ പ്രത്യേകത ഈ വര യിൽ മുഴുവൻ പ്രകടമായിരിക്കും.
ഈ വരയിലെ ഏത് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെടുത്താലും വിലങ്ങനെയുള്ള അകലത്തിന്റെ പകുതിയായി രിക്കും കുത്തനെയുള്ള ദൂരം.

ഈ വരയിൽ തന്നെയുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കളാണ് (x₁, y₁), (x₂, y₂).
വിലങ്ങനെയുള്ള ദൂരം x₂ – x₁ ഉം കുത്തനെയുള്ള ദൂരം y₂ – y₁ ഉം ആണ്.
y₂ – y₁ = \(\frac {1}{2}\) × (x₂ – x₁)
അക്ഷങ്ങളൊന്നിനും സമാന്തരമല്ലാത്ത ഒരു വരയിലെ ഏതു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളെടുത്താലും y സൂചക സംഖ്യയിലെ മാറ്റം, x സൂചകസംഖ്യയിലെ മാറ്റത്തെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണി ച്ചതാണ്.
ഈ ആശയം ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ അറിഞ്ഞിരുന്നാൽ അവ മൂന്നും ഒരു വരയിൽ തന്നെയുള്ള ബിന്ദുക്കളാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
(1, 8), (-2, 10), (-5, 12) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഒരു വരയിലെ ബിന്ദുക്കളാണോ എന്ന് പരിശോ ധിക്കുക.
Answer:
A(1, 8), B(2, 10)ൽ Aയിൽ നിന്ന് Bയിലേയ്ക്കുള്ള y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 10 – 8 = 2 കൂടുന്നു.
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം -2 – 1 = -3.
അതാ യത് കുറയുന്നു. മാറ്റത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യാരൂപം
\(\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\)
B(2, 10), C(5, 12) എടുത്താൽ y സൂചകസംഖ്യ കളുടെ മാറ്റം 12 – 10 = 2 കൂടുന്നു x സൂചകസംഖ്യ കളുടെ മാറ്റം -5 – (-2) = -3, 3 കുറയുന്നു.
മാറ്റത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യാരൂപം
\(\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\)
മൂന്നു ബിന്ദുക്കളിൽ രണ്ടെണ്ണം വീതം എടുത്താൽ ഒരേ മാറ്റമാണ് കാണുന്നത്. ബിന്ദുക്കൾ ഒരു വരയിൽ തന്നെയാണ്.

Question 2.
(1, 1), (3, 3) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള വരയും (3, 1), (5, 3) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള വരയും സമാന്തരവരകളാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
(1, 1), (3, 3) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ പരിഗണിച്ചാൽ സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 3 – 1 = 2 കൂടുന്നു,
സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 3 – 1 = 2 കൂടുന്നു.
മാറ്റത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യാരൂപം \(\frac {2}{2}\) = 1
(3, 1), (5, 3) എന്നിവ പരിഗണിച്ചാൽ ) സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 5 – 3 = 2 കൂടുന്നു.
x സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 3 – 1 = 2 കൂടുന്നു.
മാറ്റത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യാരൂപം \(\frac {2}{2}\) = 1
രണ്ട് വരകളിലും y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും ഒരേ പോലെ യാണ്. വരകൾ സമാന്തരങ്ങളാണ്.

Question 3.
(1, 3), (4, 5), (7, 7), (4, 5) എന്നിവ സാമാന്തരി കത്തിന്റെ മൂലകളാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
A(1, 3), B(3, 5) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക സംഖ്യകളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകളുടെയും മാറ്റം 5 – 3 = 2 കൂടുന്നു. 4 – 1 = 3 കൂടുന്നു.
മാറ്റത്തിന്റെ അംശബന്ധം \(\frac {2}{3}\)
C(7, 7), D(4, 5) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക സംഖ്യകളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകളുടെയും 5 – 7 = -2, 1 – 7 = 3
മാറ്റത്തിന്റെ അംശബന്ധം ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതിയാൽ \(\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\)
AB, CD എന്നീ വരകൾ സമാന്തരവരകളാണ്.
B(4, 5), C(7, 7)യും A(1, 3), D(4, 5) ഇവ പരിഗണിച്ചാൽ y സൂചകസംഖ്യകളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകളുടെയും മാറ്റത്തിന്റെ അംശബന്ധം തുല്യമാണ്. BC സമാന്തരം AD
ABCD സാമാന്തരീകമാണ്.

വരയുടെ ചരിവ്
സൂചകാക്ഷങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വരകൾ വിലങ്ങനെയും കുത്തനെയും ചരിച്ചും വരക്കാം വില ങ്ങനെയുള്ള വരകൾ x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായവയും കുത്തനെയുള്ള വരകൾ y അക്ഷത്തിന് സമാന്ത രമായവയും ആയിരിക്കും. ചരിഞ്ഞ വര എന്നാൽ x അക്ഷത്തിനോ y അക്ഷത്തിനോ സമാന്തരമല്ലാത്തതാണ്.

(2, 8), (4, 19) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വര നോക്കുക.
y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 1 ഉം x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 2 ഉം ആണ്. y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്താം. y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റത്തെ സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് ആ വരയിൽ എവിടെയും ഒരേ സംഖ്യതന്നെയായിരിക്കും. ഈ സംഖ്യയാണ് വരയുടെ ചരിവ്. ഒരു വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം ചരിവിന്റെ x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.

വരയുടെ ചരിവ് അധിസംഖ്യയോ, ന്യൂന സംഖ്യയോ, പൂജ്യമോ ആകാം. വര x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായാൽ ചരിവ് പൂജ്യ മായിരിക്കും. വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യ കളുടെ മാറ്റവും x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റവും അധിസംഖ്യ ആയാൽ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും ന്യൂനസംഖ്യ ആയാൽ ചരിവ് അധിസംഖ്യയാണ്. വര വലത്തേയ്ക്ക് ചരിഞ്ഞതാണ്. വരയും x അക്ഷവും തമ്മിലുള്ള വലത്തെ കോൺ 90° യിലും കുറവായിരിക്കും.

വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ ) സൂചകസംഖ്യ കളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകളുടെയും മാറ്റങ്ങ ളിൽ ഒന്ന് അധിസംഖ്യയും മറ്റേത് ന്യൂനസംഖ്യ യുമായാൽ ആ വരയുടെ ചരിവ് ന്യൂനസംഖ്യയാണ്. വര ഇടത്തേയ്ക്ക് ചരിഞ്ഞതാണ്, വരയും അക്ഷവും തമ്മിലുള്ള വലത്തെ കോൺ 90° യിലും കൂടുതലായിരിക്കും.

ഒരു വരയുടെ ചരിവ് കാണാൻ വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റത്തെ x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
ഒരു വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളാണ് (1, 1), (5. 5)
(a) ഈ വരയുടെ ചരിവ് കണക്കാക്കുക
(b) ഇതേ ചരിവുള്ള മറ്റ് വരകൾ ഉണ്ടായിരി ക്കുമോ? ഇത്തരം വരകളുടെ പ്രത്യേകത എന്ത്?
(c) ഒരു വര വലതുവശത്ത് x അക്ഷവുമായ 45° കോൺ രൂപീകരിക്കുന്നു. ഈ വരയുടെ ചരിവ്
Answer:
(a) y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം -5 – 1 = -6
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം -5 – 1 = 6.
ചരിവ് = \(\frac {-6}{-6}\) = 1
(b) ഇതേ ചരിവുള്ള അനേകം വരകൾ ഉണ്ടായി രിക്കും. ഈ വരകളിലെല്ലാം രണ്ട് ബിന്ദുക്ക ളെടുത്താൽ അവയുടെ സൂചകസംഖ്യ കളുടെ മാറ്റത്തെ x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 കിട്ടും. ഈ വരകൾ എല്ലാം സമാന്തരവരകളാണ്.
(c) വലതുവശത്ത് 45° വരുന്ന വരകളിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ എടുത്താൽ അവയിലെ അവയ്ക്ക് ഇടയിലെ വിലങ്ങനെയുള്ള അകലവും കുത്തനെയുള്ള അകലവും തുല്യമായിരിക്കും. ചരിവ് 1 ആയിരിക്കും.

Question 2.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വരകളിൽ ഓരോ ന്നിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ വീതം അടയാളപ്പെടു ത്തിയിരിക്കുന്നു.

രണ്ട് വരകളുടെയും ചരിവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
(1, 0), (3, 2) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ പരിഗണിച്ചാൽ ഇവയുടെ y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 2 – (0) = 2,
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 3 – (-1) = 4.
വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
(2, 0), (3, 2) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ പരിഗണിച്ചാൽ ഇവയുടെ സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം 2 – 0 = 2,
x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം = 3 – (2) = 1.
വരയുടെ ചരിവ് \(\frac {2}{1}\) = 2

Question 3.
ഒരു വരം X അക്ഷത്തിന്റെ വലതുവശവുമായി 45° കോൺ രൂപീകരിക്കുന്നു. വര x അക്ഷ ആധാബിന്ദുവിൽ നിന്നും 4 യൂണിറ്റ് അകലെ മുറിക്കുന്നു.
(a) വര x അകത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ ഏതെല്ലാം?
(b) ചരിവ് എത്?
(c) വരയിലെ മറ്റ് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചക സംഖ്യകൾ എഴുതുക.
Answer:
(a) (4, 0)
(b) വര x അക്ഷത്തിന്റെ വലതുവശവുമായി 45° രൂപീകരിക്കുന്നതിനാൽ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള വിലങ്ങനെയുള്ള ദൂരവും കുത്തനെയുള്ള ദൂരവും തുല്യമാണ്. ചരിവ് 1
(c) വരയിലെ ഒരു ബിന്ദു (4 + 3, 0 + 3) = (7, 3).
മറ്റൊരു ബിന്ദു (4 + 10, 0 + 10) = (14, 10)

Question 4.
A(1, 1), B(7, 3), C(10, 5), D(4, 3) ഒരു സാമന്തരി കത്തിന്റെ മൂലകളാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
AB എന്ന വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{3-1}{7-1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
CD എന്ന വരയുടെ ചരിവ് \(\frac{3-5}{4-10}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}\)
AB എന്ന വര CDയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ്.
BCയുടെ ചരിവ് \(\frac{5-3}{10-7}=\frac{2}{3}\)
AD യുടെ ചരിവ് \(\frac{3-1}{4-1}=\frac{2}{3}\)
AD സമാന്തരം BC
എതിർ വശങ്ങൾ സമാന്തരങ്ങളാണ്. ABCD സാമാന്തരീകം.

വരയുടെ സമവാക്യം
വരയുടെ ചരിവ് എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കിക്ക ഴിഞ്ഞു. ഒരു വരയ്ക്ക് ഒരു ചരിവ് മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നും ആ വരയിലെ ഏത് രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുടെയും y സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം x സൂചകസംഖ്യ കളുടെ മാറ്റത്തെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതാണെന്നും അറിഞ്ഞു. ഈ നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ് ആ വരയുടെ ചരിവ് ഒരേ ചരിവുള്ള അനേകം വരകൾ ഉണ്ട്. ഈ വരകളെല്ലാം സമാന്തര വരകളായിരിക്കും. ഒരു വരയിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ x, y സൂചകസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ പൊതുവായ ഒരു ബന്ധം ഉണ്ടായിരിക്കും. ഈ ബന്ധത്തിന്റെ ബീജഗണിതമാണ് വരയുടെ സമവാക്യം

(1, 1), (2, 2), (3, 3),….. ഈ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു വരയി ലാണ്. ഈ വരയിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും x സൂചകസംഖ്യയും y സൂചകസംഖ്യയും തമ്മി ലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്? y = x എന്നോ y – x = 0 എന്നോ എഴുതാം. ഈ ബന്ധമാണ് ഈ വരയുടെ സമവാക്യം. (-1, 1), (0, 0), (-5, -5) എന്നിവയെല്ലാം ഈ വരയിൽ തന്നെയുള്ള ബിന്ദുക്കളാണ് ഈ വരയുടെ ചിത്ര രൂപം താഴെ കാണുന്നതല്ലേ?

(1, -1), (-1, 1), (3, -3), (-3, 3) ഈ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം ഒരു വരയിലാണ്. ഈ വരയിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചകസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ y = -x അതായാത് x + y = 0 എന്ന ബന്ധമുണ്ട്. ഇതാണ് ഈ വരയുടെ സമവാക്യം.

വരയുടെ ചരിവ് ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം എഴുതാം. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകളും ചരിവും അറിഞ്ഞിരുന്നാൽ വരയുടെ സമവാക്യം എഴുതാം (1, 3) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന, ചരിവ് -2 ആയ വരയുടെ സമവാക്യം എഴുതാം

(x, y) ഈ വരയിലെ ഒരു ബിന്ദു എന്ന് കരുതുക. (1, 3), (x, y) എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചക സംഖ്യകളുടെ മാറ്റം = 2 × x സൂചകസംഖ്യകളുടെ മാറ്റം ആണല്ലോ.
സമവാക്യമായി y – 3 = -2(x – 1)
അതായത് y – 3 = -2x + 2
2x + y – 5 = 0 എന്നത് ഈ വരയുടെ സമവാക്യമാണ്.

വരയുടെ സമവാക്യം ഇപ്രകാരം എഴുതിയാൽ x ന്റെ ഗുണകൾ y യുടെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന്റെ ന്യൂനമാണ് ചരിവ്.
ax + by + c = 0 എന്ന സമവാക്യം വരയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുരൂപമാണ്.
ചരിവ് \(-\frac {a}{b}\)

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
(1, 0), (0, 1) എന്നീ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ കടന്നു പോകുന്ന വരയുടെ ചരിവ് എത്ര? ഈ വരയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക.
Answer:
ചരിവ് = \(\frac{1-0}{0-1}=\frac{1}{-1}\) = -1
(x, y) ഈ വരയിലെ ഒരു ബിന്ദു എന്ന് കരുതുക.
y – 0 = -1(x – 1)
y = -x + 1
y + x – 1 = 0 ഇതാണ് ഈ വരയുടെ സമവാക്യം.

Question 2.
x + 2y – 3 എന്ന വരയുടെ ചരിവ് എത്ര? ഇതേ ചരിവുള്ള മറ്റൊരു വരയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക. ഈ രണ്ട് വരകളുടെയും പ്രത്യേകത എന്ത്?
Answer:
ചരിവ് = \(-\frac {1}{2}\)
വരയുടെ ചരിവ് xന്റെ ഗുണത്തെയും yയുടെ ഗുണകത്തെയും മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്നു. ഇവ മാറാതിക്കുകയോ ഇവ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം മാറാതിരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ ചരിവിന് മാറ്റം ഉണ്ടാകില്ല. x + 2y – 1 എന്നത് അതേ ചരിവുള്ള മറ്റൊരു വരയാണ്. രണ്ട് വരകളും സമാന്തര ങ്ങളാണ്.

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ കാണുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ C യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നടുവരയുടെ സമ വാക്യം എഴുതുക.

Answer:
ABയുടെ മധ്യബിന്ദു M\(\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)\)
നടുവരയുടെ ചരിവ് \(\frac{3-\frac{3}{2}}{2-\frac{7}{2}}\) = -1
നടുവരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y) സമവാക്യം
y – 3 = -1(x – 2)
⇒ y – 3 = -x + 2
⇒ x + y – 5 = 0

വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം
വൃത്തത്തെക്കുറിച്ച് മൂൻക്ലാസുകളിലും മുൻപാഠങ്ങളിലും ഒത്തിരി കാര്യങ്ങൾ മനസിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്. വൃത്തത്തെ ജ്യാമിതീയമായി കാണുകയായിരുന്നു ഈ പാഠങ്ങളിൽ. ഇവിടെ വൃത്തത്തിന്റെ ബീജഗണിതം മനസിലാക്കുന്നു. വൃത്തം രൂപപ്പെടുന്ന സൂചകസംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴുതാം.
(x, y) വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവും (a, b) കേന്ദ്രവും ആണെന്ന് കരുതുക. ഈ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകല മാണ് വൃത്തത്തിന്റെ ആരം.
ആരം r എന്നെടുത്താൽ r = \(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\) എന്നെഴുതാം. ഇതാണ് വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
(1, 1) കേന്ദ്രവും 2 ആരവുമായ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.
Answer:
വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y)
(x – 1)² + (y – 1)² = 2²
⇒ x² + 1² – 2x + y² + 1² – 2y = 4
⇒ x² + y² – 2x – 2y + 2 – 4 = 0
⇒ x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0

Question 2.
കേന്ദ്രം ആധാരബിന്ദുവും ആരം √2 ഉം ആയ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.
Answer:
വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് (x, y)
(x – 0)² + (y – 0)² = (√2)²
⇒ x² + y² = 2

Question 3.
(1, 1) കേന്ദ്രവും ആരം √5 ഉം ആകുന്ന വൃത്ത ത്തിന്റെ സമവാക്യം എഴുതുക. വൃത്തം x അക്ഷത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സൂചക സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
(x, y) വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുവാണ്.
(x – 1)² + (y – 1)² = (√5)²
⇒ x2 + 1 – 2x + y2 + 1 – 2y = 5
⇒ x² + y² – 2x – 2y – 3 = 0
x അകത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ y സൂചകസംഖ്യകൾ.
x² + 0² – 2x – 0 – 3 = 0
⇒ x² – 2x – 3 = 0
x ആകുന്ന സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കാം.
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
x = 3, 1.
x അക്ഷത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ (3, 0), (-1, 0)

Question 4.
x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0 lang കേന്ദ്രവും ആരവും കണക്കാക്കുക.
Answer:
x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0
⇒ x² + y² – 4x + 2y = 4
⇒ (x² – 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = 4 + 5 + 2 = 11
⇒ (x – 2)² + (x + 1)² = 6
⇒ (x – 2)² + (x – 1)² = (√2)²
വൃത്തകേന്ദ്രം (2, 1) ആരം √2.