When preparing for exams, Kerala State Syllabus Std 10 Maths Textbook Solutions Chapter 5 രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ Important Extra Questions and Answers Malayalam Medium can save valuable time.
SSLC Maths Chapter 5 Important Questions Malayalam Medium രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ
Second Degree Equations Class 10 Extra Questions Kerala Syllabus Malayalam Medium
Question 1.
ഒരു സംഖ്യയുടെയും അതിന്റെ വിപരീതഭിന്ന ത്തിന്റെയും തുക \(\frac{26}{5}\) ആണ്. ആ സംഖ്യ ഏതാണ്?
(a) 5
(b) 1
(c) 2
(d) 6
Answer:
5
Question 2.
(x – 1)2 = 100 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരങ്ങളാണ്
(a) 9, -10
(b) 10, -9
(c) 10, -10
(d) 11, -9
Answer:
11, -9
Question 3.
ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു വലിയ സമചതുരത്തിനുള്ളിൽ ഒരു ചെറിയ സമചതുരം വരയ്ക്കുന്നു. സമചതുരങ്ങ അകത്ത ൾക്കിടയിലുള്ള അകലം 2 ഉം സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 81 ഉം ആണ്.
a) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം x ആണെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.
b) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) (x – 4)2 = 81
b) x – 4 = 9, -9
x – 4 = 9, x = 13
വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം 13 സെമീ.
Question 4.
ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം മറുവശ കൂടുതൽ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 140 ചതുരശ്ര സെമീ. ആണ്.
a) ചെറിയ വശം x ആണെങ്കിൽ സമവാക്യം എഴുതുക.
b) ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) (x + 4)x = 140
b) x(x + 4) = 140
x2 + 4x = 140, x2 + 4x + 4 = 144,
(x + 2)2 = 144, x + 2 = 12, x = 10
വശങ്ങൾ = 10 സെമീ., 14 സെമീ.
Question 5.
ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ഞാണുകൾ വൃത്തത്തി നുള്ളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. കൂട്ടിമുട്ടിയ ബിന്ദു ഒരു ഞാണിനെ 9 സെന്റിമീറ്ററും 4 സെന്റിമീറ്ററും നീളമുള്ള ഖണ്ഡങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. മറ്റു ഞാണിന്റെ നീളം 15, സെന്റിമീറ്ററാണ്.
a) 15 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഞാണിന്റെ ഒരു ഖണ്ഡം x ആണെങ്കിൽ മറ്റേ ഖണ്ഡത്തിന്റെ നീളം എന്താണ്?
b) ഖണ്ഡങ്ങളുടെ നീളത്തെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക
c) രണ്ടാമത്തെ ഞാണിൽ കൂട്ടിമുട്ടിയ ബിന്ദുവിന്റെ ഇരുവശത്തുമുള്ള ഖണ്ഡങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) 15 – x
b) x(15 – x) = 9 × 4, -x2 + 15x = 36,
x2 – 15x = -36
c) പരിഹാരം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ x = 12. ഖണ്ഡങ്ങളുടെ നീളം 12, 3 ആകുന്നു.
Question 6.
രണ്ട് സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവിന്റെ ആകെത്തുക 80. അതിന്റെ ചുറ്റളവുകളുടെ ആകെത്തുക 48.
a) വശങ്ങൾ x ഉം y ഉം ആണെങ്കിൽ x + y എന്താണ്?
b) പരപ്പളവുകളുടെ ആകെത്തുകയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
c) സമചതുരങ്ങളുടെ വശം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) വശങ്ങൾ x ഉം 1 ഉം ആണ്.
4x + 4y = 48, x + y = 12
b) വശങ്ങൾ x ഉം 12 – x ഉം ആണ്.
x2 +(12 – x)2 = 80
x2 + 144 – 24x + x2 = 80
2x2 – 24x = -64,
x2 -12x = -32
c) x2 – 12x + 36 = -32 + 36,
(x – 6)2 = 4,
x – 6 = 2, x = 8
y = 12 – 8 = 4
Question 7.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 2 ആണ്. ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 24 ആണ്.
a) x – ൽ വശങ്ങളെയും പരപ്പളവിനെയും ബന്ധിപ്പി ക ക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
b) ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) ലംബവശങ്ങൾ x ഉം x + 2 ഉം ആണ്,
\(\frac{1}{2}\) × x(x + 2) = 24,
x2 + 2x = 48,
x2 + 2x +1 = 49
b) (x + 1 )2 = 49,
x + 1 = 7, x = 6 ലംബവശങ്ങൾ 6 ഉം 8 ഉം ആണ്.
കർണ്ണം = \(\sqrt{6^2+8^2}\) = 10
Question 8.
15 വർഷത്തിനു ശേഷമുള്ള മഞ്ജുവിന്റെ പ്രായം 15 വർഷത്തിനു മുമ്പുള്ള അവളുടെ വയസ്സിന്റെ വർഗ്ഗമായിരിക്കും.
a) ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായം x ആണെങ്കിൽ 15 വയസ്സി ന് മുമ്പും ശേഷവുമുള്ള പ്രായം എന്താണ്?
b) നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സമവാക്യം എഴുതുക.
c) ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) x – 15 and x + 15
b) (x – 15)2 = (x + 15), x2 -30x + 225
= x + 15, x2 -31x + 210 = 0
c) പരിഹാരം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ x = 21. ഇപ്പോഴത്തെ പ്രായം 21 ആണ്.
Question 9.
തുടർച്ചയായ മൂന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 14 ആണ്. മധ്യ സംഖ്യ x ആണെങ്കിൽ
a) മറ്റ് സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
b) ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക c) സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) x – 1, x + 1
b) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 14
3x2 + 2 = 14, 3x2 = 12, x2 = 4, x = 2
c) സംഖ്യകൾ = 1, 2, 3
Question 10.
ഒരു കലണ്ടർ പേജിലെ A, B, C, D എന്നീ സംഖ്യകൾ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
a) A = x ആണെങ്കിൽ B,C,D എന്നിവ എഴുതുക.
b) A × C = 48 ആണെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
c) x കണ്ടെത്തുക.
d) B,C,D എന്നിവ കണ്ടെത്തുക
e) കലണ്ടറിലെ ഏതെങ്കിലും ചതുരങ്ങളിൽ A + B + C + D = 25 ആകാൻ കഴിയുമോ? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ന്യായീകരിക്കുക.
Answer:
a) B = x + 1, C = x + 8, D = x + 1
b) x(x + 8) = 48, x2 + 8x = 48
c) (x + 4)2 = 64, x + 4 = 8, x = 4
d) സംഖ്യകൾ A = 4, B = 5, C = 12, D = 11
e) ഇല്ല. A + B + C + D എപ്പോഴും 4 ന്റെ A + B + C + D ഗുണിതമാണ്.
Question 11.
ഒരു സംഖ്യയുടെയും അതിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും തുക 30 ആണ്. താഴെ പറയുന്നവയിൽ ഏത് സംഖ്യയാണ്?
(a) -5
(b) 1
(c) 2
(d) -6
Answer:
d) -6
Question 12.
ax2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൽ x + √x = 6 എന്നത്
(a) x2 + 12x + 6 = 0
(b) x2 – 13x + 36 = 0
(c) x2 – 10x – 12 = 0
(d) x2 + 13x – 36 = 0
Answer:
(b) x2 – 13x + 36 = 0
Question 13.
രണ്ട് സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവിന്റെ ആകെത്തുക 130 ആണ്. ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ വശം മറ്റേ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തേക്കാൾ 2 കൂടുതലാണ്.
a) ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം x ആണെങ്കിൽ വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം എന്താണ്?
b) വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു രണ്ടാം ഡിഗ്രി സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
Answer:
a) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം x +2 ആണ്.
b) x2 + (x + 2)2 = 130
x2 + x2 + 4x + 4 = 130,
2x2 + 4x + 4 – 130 = 0,
2x2 + 4x – 126 = 0,
x2 + 2x – 63 = 0
Question 14.
അടുത്തടുത്ത രണ്ട് ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഗുണനഫലം 360 ആണ്.
a) ഈ സംഖ്യകൾക്കിടയിലുള്ള ഒറ്റ സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ സംഖ്യകൾ എഴുതുക.
b) നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
c) സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) സംഖ്യകൾ x – 1, x + 1 ആണ്.
b) (x – 1)(x + 1) = 360, x2 – 1 = 360 .
c) x2 = 361, x = \(\sqrt{361}\) = 19.
സംഖ്യകൾ 19 -1 = 18, 19 + 1 = 20
Question 15.
സമാന്തരശ്രേണി 5, 9, 13, 17, 21……. പരിഗണിക്കുക…
a) ഈ സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം എഴുതുക.
b) 625 വർഗ്ഗമായുള്ള പദത്തിന്റെ ശ്രേണിയിലെ സ്ഥാനം എന്താണ്?
c) 36 ഈ സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണോ? നിങ്ങൾക്ക് അത് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും?
d) ഈ സമാന്തരശ്രേണിയിലെ 49 ന്റെ സ്ഥാനം എന്താണ്?
Answer:
a) xn = dn + (f – d)
= 4n + (5 – 4)
= 4n + 1
b) (4n + 1)2 = 625,
4n + 1 = \(\sqrt{625}\) = 25,
4n = 24,
n = 6
c) എല്ലാ പദങ്ങളും ഒറ്റ സംഖ്യകളാണ്. ഇരട്ട സംഖ്യ 36 ഈ ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാകാൻ സാധിക്കില്ല.
d) 4n + 1 = 49,
4n = 48,
n = 12.
12-ാം പദം
Question 16.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം അതിന്റെ ചെറിയ വശത്തിന്റെ ഇരട്ടിയേക്കാൾ 1 കുറവാണ്. മൂന്നാം വശം അതിന്റെ ചെറിയ വശത്തേക്കാൾ 1 കൂടുതലാണ്
a) ചെറിയ വശം x ആണെങ്കിൽ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളം എത്രയാണ്?
b) വശങ്ങളുടെ നീളം ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
c) ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
a) കർണ്ണം = 2x – 1, മൂന്നാം വശം = x + 1
b) (2x – 1)2 = x2 + (x + 1)2,
4x2 – 4x + 1 = x2 + x2 + 2x + 1
2x2 – 6x = 0
c) x = 3. വശങ്ങളുടെ നീളം
കർണ്ണം, 2x – 1 = 6 – 1 = 5
ബാക്കി വശങ്ങളുടെ നീളം 3 സെമീ., 4 സെമീ.
Question 17.
ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളം അതിന്റെ വീതിയേക്കാൾ 4 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്. ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 357 ച. മീ.
a) വീതി x ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ നീളം എത്രയാണ്?
b) നീളം, വീതി, പരപ്പളവ് എന്നിവ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക
c) ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) നീളം x + 4
b) x(x + 4) = 357, x2 + 4x = 357
c) x2 + 4x + 4 = 357 + 4 = 361,
(x + 2)2 = 361,
x + 2 = \(\sqrt{361}\) = 19,
x = 19 – 2 = 17
വീതി 17 സെമീ. നീളം 17 + 4 = 21 സെമീ.
Question 18.
രണ്ട് സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ ആകെത്തുക 468 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ ആണ്. ചുറ്റളവുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം സെന്റീമീറ്റർ ആണ്.
a) ചെറിയ വശം x ആണെങ്കിൽ വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം എന്താണ്?
b) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് എന്താണ്?
c) വശങ്ങളുടെ നീളം x – ൽ എഴുതുക
d) ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തി
ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.
e) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം y ആണെങ്കിൽ, ചുറ്റളവുകളുടെ വ്യത്യാസം,
4y – 4x = 24,
4 (x – y) = 24,
x – y = 6,
y = x + 6
b) 4x + 24
c) ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം x, വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം \(\frac{4 x+24}{4}\) = x + 6
d) x2 +(x + 6)2 = 468,
x2 + x2 + 12x + 36 = 468,
2x2 +12x = 432
x2 + 6x = 216,
x2 + 6x + 9 = 225,
(x + 3)2 = 225
(x + 3) = 15, x = 12
ചെറിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം = 12 സെമീ.
e) വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം 12 + 6 = 18 സെമീ.
Question 19.
രണ്ടക്ക സംഖ്യ അക്കങ്ങളു ടെ ആകെത്തുകയുടെ 4 മടങ്ങാണ്. കൂടാതെ ആ സംഖ്യ അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ 3 മടങ്ങാണ്.
a) x, y എന്നിവ അക്കങ്ങളായി എടുത്ത് ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
b) നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കുക.
c) സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യ x ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യ സംഖ്യ 10 x + y ആണ്
10x + y = 4(x + y)
10x + y = 3xy
b) 10x + y = 4x + 4y,
6x = 3y, y = 2x
10x + y = 3xy
⇒ 10x + 2x = 3x × 2x
12x = 6x2
6x2 – 12x = 0
c) x = 0, x = 2. പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യ 0 ആവാൻ സാധിക്കുകയില്ല.
പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യ = 2, ഒറ്റയുടെ
സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യ = 2x – 4
സംഖ്യ = 24
Question 20.
ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ആ സംഖ്യയുടെ 10 മടങ്ങിൽനിന്ന് 8 കുറയുന്നു.
a) x ആണ് സംഖ്യ എങ്കിൽ സമവാക്യം എഴുതുക.
b) സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) x2 – 119 = (x – 8) x 10
b) x2 – 10x = 119 – 80, x2 – 10x = 39 x2 – 10x + 25 = 64
⇒ (x – 5)2 = 64
x – 5 = 8 അല്ലെങ്കിൽ x – 5 = -8
x = 13, x = – 3
Question 21.
അച്ഛന്റെ പ്രായം അയാളുടെ മകന്റെ പ്രായത്തിന്റെ 5 മടങ്ങാണ്. അവരുടെ പ്രായങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 2106 ആണ്.
a) x മകന്റെ വയസ്സാണെങ്കിൽ സമവാക്യം എഴുതുക.
b) അച്ഛന്റെയും മകന്റെയും പ്രായം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) x2 + (5x)2 = 2106
x2 + 25x2 = 2106,
26x2 = 2106, x2 = 81,
x = 9
b) മകന്റെ പ്രായം = 9
അച്ഛന്റെ പ്രായം = 45
Question 22.
ഒരു സംഖ്യയുടെയും അതിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും തുക തൊട്ടടുത്ത ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയുടെ 9 മടങ്ങാണ്.
a) x ആണ് സംഖ്യ എങ്കിൽ സമവാക്യം എഴുതുക
b) സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) സംഖ്യ : എന്ന് എടുക്കുക
x2 + x = 9 (x + 1)
x2 + x – 9x = 9,
x2 – 8x = 9
x2 – 8x + 16 = 9+ 16
⇒ (x – 4)2 = 25
b) x – 4 = 5 അല്ലെങ്കിൽ -5, x = 9,-1
Question 23.
ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളം അതിന്റെ വീതിയേക്കാൾ 8 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്.
a) വീതി x ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ നീളം എത്രയാണ്?
b) പരപ്പളവ് 240 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്ററാണെങ്കിൽ ഒരു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
c) നീളവും വീതിയും കണക്കാക്കുക.
Answer:
a) x + 8
b) x(x + 8) = 240
c) x2 + 8x = 240,
x2 + 8x + 16 = 240 + 16
(x + 4)2 = 256, x + 4 = 16, x = 12
വശങ്ങളുടെ നീളം = 12 സെമീ., 20 സെമീ.
Question 24.
2, 4, 6, 8 എന്നീ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ സമാന്തര ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക.
a) ആദ്യത്തെ n ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ ബീജഗണിത രൂപം എന്താണ്?
b) ക്രമത്തിൽ തുടക്കം മുതൽ എത്ര പദങ്ങൾ ചേർന്നാൽ തുക 210 ആകും?
Answer:
a) ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ സമാന്തരശ്രേണിയാണിത്. ആദ്യ n ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ തുക n (n + 1) ആണ്.
b) n(n+ 1) = 210 × n2 + n = 210,
n2 + n + \(\frac{1}{4}\) = 210 + \(\frac{1}{4}\)
(n + \(\frac{1}{2}\))2 = 210 + \(\frac{1}{4}\)
(n + \(\frac{1}{2}\))2 = \(\frac{841}{4}\),
n + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{29}{2}\),
n = 14
ആദ്യ 14 പദങ്ങളുടെ തുക 210 ആണ്.
Question 25.
അടുത്തടുത്ത് വരുന്ന രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 313 ആണ്.
a) ഒരു സംഖ്യ x ആണെങ്കിൽ അടുത്ത സംഖ്യ ഏതാണ്?
b) ഈ വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുക.
c) സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.
Answer:
a) x + 1
b) x2 +(x + 1)2 – 313
x2 + x2 + 2x + 1 = 313
2x2 + 2x – 312 = 0
x2 + x – 156 = 0
c) x = 12,13, സംഖ്യകൾ = 12, 13