Class 7 Maths Chapter 8 Solutions Malayalam Medium ആവർത്തനഗുണനം

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 8 ആവർത്തനഗുണനം can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 8 Solutions Malayalam Medium ആവർത്തനഗുണനം

Class 7 Maths Chapter 8 Malayalam Medium Kerala Syllabus ആവർത്തനഗുണനം

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളെ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയായോ, വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണ നഫലമായോ എഴുതി നോക്കൂ:
i) 125
ii) 72
iii) 100
iv) 250
v) 3600
vi) 10800
Answer:
i) 125
125 = 5 × 5 × 5 = 5³

ii) 72
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2³ × 3²

iii) 100
100 = 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 5²

iv) 250
250 = 2 × 5 × 5 × 5
= 2 × 5³

v) 3600
3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

(vi) 10800
10800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3³ × 5²

Question 2.
ചുവടെപ്പറയുന്ന കൃതികൾ ഭിന്നസംഖ്യകളായി കണക്കാക്കുക:
(i) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
Answer:
\(\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}\)

(ii) \(\left(1 \frac{1}{2}\right)^2\)
Answer:
\(\left(1 \frac{1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{9}{4}\right\)

(iii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^3\)
Answer:
\(\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)\)
= \(\frac{8}{125}\)

(iv) \(\left(2 \frac{1}{2}\right)^3\)
Answer:
\(\left(2 \frac{1}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}\)

Question 3.
ചുവടെപ്പറയുന്ന കൃതികൾ ദശാംശരൂപത്തിൽ കണക്കാക്കുക:
(i) (0.5)²
(ii) (1.5)²
(iii) (0.1)³
(iv) (0.01)³
Answer:
i) (0.5)²
= 0.5 × 0.5
= 0.25

ii) (1.5)²
= (1.5)(1.5)
= 2.25

iii) (0.1)³
= (0.1)(0.1)(0.1)
= 0.001

iv) (0.01)³
= (0.01)(0.01)(0.01)
= 0.000001

Question 4.
15³ = 3375 ആണ്. ഇത് ഉപയോഗിച്ച്, ചുവടെയുള്ള കൃതികൾ കണക്കാക്കുക: (i) (1.5)3 (ii) (0.15)3 (iii) (0.015)3
i) (1.5)³
ii) (0.15)³
iii) (0.015)³
Answer:
i) (1.5)³ = 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375
ii) (0.15)³ = 0.15 × 0.15 × 0.15 = 0.003375
iii) (0.015)³ = 0.015 × 0.015 × 0.015 = 0.000003375

Question 5.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണന ഫലമായി എഴുതുക:
i) 72 × 162
ii) 225 × 135
iii) 105 × 175
iv) 25 × 45 × 75
Answer:
i) 72 × 162
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
162 = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 3⁴ × 2
72 × 162 = (2³ × 3²)(3⁴ × 2)
= 2⁴ × 3⁶

ii) 225 × 135
225 = 3 × 3 × 5 × 5 = 3² × 5²
135 = 3 × 3 × 3 × 5 = 3³ × 5¹
225 × 135 = (3² × 5²)( 3³ × 5¹)
= 3⁵ × 5³

iii) 105 × 175
105 = 3 × 5 × 7 = 3¹ × 5¹ × 7¹
175 = 5 × 5 × 7 = 5² × 7¹
105 × 175 = (3¹ × 5¹ × 7¹)(5² × 7¹)
= 3 × 5³ × 7²

iv) 25 × 45 × 75
25 = 5¹ × 5¹
45 = 3² × 5¹
75 =3¹ × 5²
25 × 45 × 75 = (5¹ × 5¹)(3² × 5¹)(3¹ × 5²)
= 5⁵ × 3³

Question 6.
1 മുതൽ 15 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
Ans:
1 (no primes)
2 = 2¹
3 = 3¹
4 = 2²
5 = 5¹
6 = 2¹ × 3¹
7 = 7¹
8 = 2³
9 = 3²
10 = 2¹ × 5¹
11 = 11¹
12 = 2² × 3¹
13 = 1³¹
14 = 2¹ × 7¹
15 = 3¹ × 5¹
1 മുതൽ 15 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ
കൃതികളുടെ ഗുണനഫലം എന്നു പറയുന്നത്
= 1× 2 × 3 × 2² × 5 × 2 × 3 × 7 × 2³ × 3² × 2 × 5 × 11 × 2² × 3 × 13 × 2 × 7 × 3 × 5
= 2¹¹ × 3⁶ × 5³ × 7² × 11¹ × 13¹

Question 7.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ
(i) 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതും ആയ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(ii) 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(iii) 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവയും 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(iv) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി ഏതാണ് ?
Answer:
(i) 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതും ആയ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 2, 6, 10, 14, 18, 22 ആണ്.
(ii) 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 4, 12, 20 ആണ്.
(iii) 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവയും 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 8, 24 ആണ് .
(iv) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 4, 8, 12, 16, 20, 24
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 8, 16, 24
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 16
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 22 (12 + 6 + 3 + 1) ആണ്

Question 8.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന
(i) 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി എന്താണ്?
(ii) 10 ന്റെ കൃതിയോ?
(iii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ അവസാനം എത്ര പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും?
Answer:
(i) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 5 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 5, 10, 15, 20, 25.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 25 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 25.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 6 (5 + 1) ആണ്.

(ii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാത ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 6 ആണ്. അതുപോലെ 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 22 ആണ്. എന്നാൽ, 10 = 2* 5 ആയതിനാൽ ഇതേ ഗുണനഫലത്തെ ഹരിക്കാൻകഴിയുന്ന, 10 ന്റെ വലിയ കൃതി കാണാൻ ഇവയിലെ ചെറിയ കൃതിയായ 6 അടുക്കുകയാണ് വേണ്ടത്.

(iii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ അവസാനം 6 പൂജ്യങ്ങളാണ് ഉളളത്.

Question 9.
ചുവടെയുള്ള ഹരണഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:
i) 512 ÷ 64
ii) 3125 ÷ 125
iii) 243 ÷ 27
iv) 1125 ÷ 45
Answer:
i) 512 ÷ 64
512 = 29 = 26 × 23
64 = 26 = 23 × 23
512 ÷ 64 = ( 2⁶ × 2³) ÷ (2³ × 2³)
= 2⁶ ÷ 2³
= 2^6-3
= 2³
= 8

ii) 3125 ÷ 125
3125 = 5⁵ = 5² × 5³
125 = 53 = 5² × 5¹
3125 ÷ 125 = (5² × 5³) ÷ (5² × 5¹)
= 5³ ÷ 5¹
= 5^3-1
= 5²
=25

iii) 243 ÷ 27
243 = 3⁵ = 3² × 3³
27 = 3³ = 3² × 3¹
243 ÷ 27 = (3² × 3³) – (3² × 3¹)
= 3³ – 3¹
= 3^3-1
= 3²
= 9

iv) 1125 ÷ 45
1125 = 5³ × 3²
45 = 5¹ × 3²
1125 ÷ 45 = (5³ × 3²) ÷ (5¹ × 3²)
= 5^3-1
= 5²
= 25

Question 10.
(i) 2¹⁰ ന്റെ പകുതിയെ 2 ന്റെ കൃതിയായി എഴുതുക
(ii) 3¹² ന്റെ മൂന്നിലൊരു ഭാഗത്തിനെ 3 ന്റെ കൃതിയായി എഴുതുക.
Answer:
i) 2¹⁰ ന്റെ പകുതി = 2¹⁰ ÷ 2¹
= 2^10-1
= 2⁹

ii) 3¹² ന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് = 3¹² ÷ 3¹
= 3¹¹

Question 11.
ഇതുപോലെ ചുവടെയുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഘൂകരിച്ച് എഴുതാമല്ലോ.
i) \(\frac{27}{243}\)
Answer:

ii) \(\frac{125}{3125}\)
Answer:

iii) \(\frac{48}{64}\)
Answer:

iv) \(\frac{54}{81}\)
Answer:

Question 12.
ചുവടെയുള്ള ഗുണനങ്ങൾ മനക്കണക്കായി ചെയ്യുക.
i) 5² × 4²
ii) 5³ × 6³
iii) 25³ × 4³
iv) 125² × 8²
Answer:
i) 5² × 4² = (5 × 4)²
= 20²
= 400

ii) 5³ × 6³ = (5 × 6)³
= 30³
= 27000

iii) 25³ × 4³ = (25 × 4)³
= (100)³
= 1000000

iv) 125² × 8² = (125 × 8)²
= (1000)²
= 1000000

Question 13.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
i) 15²
ii) 30³
iii) 12² × 21²
iv) 12² × 21³
Answer:
i) 15² = (3 × 5)³
= 3² × 5²

ii) 30³ = (2 × 3 × 5)³
= 2³ × 3³ × 5³

iii) 12² × 21²
12² = (2 × 2 × 3)²
= 2² × 2² × 3²

21² = (7 × 3)²
= 7² × 3²

12² × 21² = 2² × 2² × 3² × 7² × 3²
= 2⁴ × 3⁴ × 7²

iv) 12² × 21³
12² = (2 × 2 × 3)² = 2² × 2² × 3²
21³ = (7 × 3)³ = 7³ × 3³
12² × 21³ = 2² × 2² × 3² × 7³ × 3³
= 2⁴ × 3⁵ × 7³

Intext Questions And Answers

Question 1.
ചില ഭിന്നസംഖ്യകളെ ലഘൂകരിക്കാനും കൃത്യങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.
\(\frac{64}{512}=\frac{2^6}{2^9}\)
Answer:
= \(\frac{2^6}{2^6 \times 2^3\)
= \(\frac{2^6}{2^6} \times \frac{1}{2^3}\)
= \(\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)

Repeated Multiplication Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
താഴെയുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയായോ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായോ എഴുതുക.
i) 3125
ii) 200
iii) 1600
Answer:
i) 3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5s
ii) 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³3 × 5²
iii) 1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2⁶ × 5²

Question 2.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കൃതികളെ ഭിന്നസംഖ്യകളായി കണക്കാക്കുക:
i) \(\left(\frac{3}{2}\right)^3\)
Answer:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^3=\left(\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{27}{8}\right)\)

ii) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
Answer:
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2=\left(\frac{3}{5}\right) \times\left(\frac{3}{5}\right)\)
= \(\left(\frac{9}{25}\right)\)

iii) \(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2\)
Answer:
\(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
= \(\left(\frac{49}{4}\right)\)

Question 3.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ ഗുണനഫലവും വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക:
i) 75 × 45
ii) 96 × 144
iii) 72 × 175
Answer:
i) 75 × 45
75 = 3 × 5²
45 = 3² × 5
5 × 45 = (3 × 5²) × (3² × 5)
= 3³ × 5³

ii) 96 × 144
96 = 2⁵ × 3¹
144 = 122 = (2² × 3)² = 2⁴ × 3²
96 × 144 = (2⁵ × 3¹) × (2⁴ × 3²)
= 2⁹ × 3³

iii) 72 × 175
7² = 8 × 9 = 2³ × 3²
17⁵ = 25 × 7 = 5² × 7¹
7² × 17⁵ = (2³ × 3²) × (5² × 7¹)

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ഹരണഫലം കണക്കാക്കുക.
(i) \(\frac{1440}{120}\)
(ii) \(\frac{729}{27}\)
Answer:
i) 1440 = 12² × 10
= (2² × 3)² × (2¹ × 5¹)
= 2⁵ × 3²2 × 5¹
120 = 12 × 10 = (22 × 3) × (2 × 5)
120 = 23 × 31 × 51
= \(\frac{1440}{120}=\frac{2^5 \times 3^2 \times 5^1}{2^3 \times 3^1 \times 5^1}\)
= 2^5-3 x 3^2-1 x 5^1-1
= 2² × 3¹ × 5⁰
=4 × 3 × 1
= 12

(ii) \(\frac{729}{27}\)
729 = 3⁶
27 = 3³
\(\frac{729}{27}=\frac{3^6}{3^3}\) = 3^6-3 = 3³ = 27

Question 5.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ സംഖ്യകളും വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളായി എഴുതുക
i) 28
ii) 45²
iii) 18² × 30²
iv) 20³ × 27¹
Answer:
i) 28 = 2² × 7¹
ii) 45² = (3² × 5¹)² = 3⁴ × 5²
iii) 18² × 30² = (2¹ × 3²)² × (2¹ × 3¹ × 5¹)² = 2²⁺² × 3⁴⁺² × 5² = 2⁴ × 3⁶ × 5²
iv) 20³ × 27¹ = (2² × 5¹)³ × (3³)
= 2⁶ × 5³ × 3³

Repeated Multiplication Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമായ ആവർത്തന ഗുണനം എന്ന ആശയമാണ് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആവർത്തിച്ചുള്ള ഗുണനം എന്നാൽ ഒരു നമ്പർ തന്നെ ആവർത്തിച്ച് അതിനോട് തന്നെ ഗുണിക്കുന്നതാണ്. ഈ അധ്യായത്തിൽ ഫാക്റ്റർസ്, പവറുകളുടെ പ്രോഡക്ട്, പവറുകളുടെ കോഷ്യന്റ്, ഗുണനവും പവറുകളും എന്നീ ടോപ്പിക്കുകളാണ് ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആദ്യത്തെ ടോപിക്കിൽ എക്സ്പൊണെന്റ് സും, പവറുകളും അതിനോട് അനുബന്ധമായ കണക്കു കളുമാണ് പഠിക്കുന്നത്.

രണ്ടാമത്തെ ടോപിക്കിൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷന്റെ പവറുകൾ കൂടുന്നതും, കുറയുന്നതും എങ്ങനെയാണെന്നാണ് പറയുന്നത്.
മൂന്നാമത്തെ ടോപിക്കിൽ പ്രൊഡക്ടുകളുടെ പവറുകളെ പറ്റിയാണ് പഠിക്കുന്നത്. നാലാമത്തെ ടോപിക്കിൽ ഡിവിഷന്റെ കേസിൽ എങ്ങനെയാണ് പവറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതെന്നാണ് പറയുന്നത്.

ഈ അധ്യായത്തിലെ അവസാനത്തെ ടോപിക്കിൽ ഗുണനത്തേയും പവറുകളെയും പറ്റിയാണ് ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആവർത്തന ഗുണനം മനസിലാക്കുന്നതിലൂടെ സങ്കീർണമായ കണക്കുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.

ഘടകങ്ങൾ
ഒന്നിനെക്കാൾ വലിയ ഏതു എണ്ണൽസംഖ്യയെയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണന ഫലമായി എഴുതാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണമായി, 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
ഇതിനെ ചുരുക്കി 2′ എന്നും എഴുതാം.
ഒരേ സംഖ്യതന്നെ വീണ്ടും വീണ്ടും കുട്ടുന്നതിനെ ഗുണനമായി ചുരുക്കി എഴുതുന്നതുപോലെ, വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിക്കുന്നതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
ഉദാഹരണമായി,
5 + 5 = 5 × 2
5 × 5 = 5²

5 + 5 + 5 = 5 × 3
5 × 5 × 5 = 5³

കൃതീകരണം (Exponentiation) : ഒരു സംഖ്യയെ അതുകൊണ്ടുതന്നെ വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിക്കുന്ന ക്രിയയ്ക്ക് കൃതീകരണം എന്നു പറയുന്നു.

കൃത്യങ്കം (Exponent) : എത്രയെണ്ണം ഗുണിക്കുന്നു എന്നതിനെ കൃത്യങ്കം എന്നു പറയുന്നു. ഇതിനെയാണ് ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്ത്, അല്പം മുകളിലായി ചെറുതാക്കി എഴുതുന്നത്.

കൃതികൾ (Powers) : ഒരു സംഖ്യയെ തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യയുടെ കൃതികൾ എന്നു പറയുന്നു.

ഉദാഹരണമായി,
2 × 2 × 2 = 2³ രണ്ടിന്റെ മൂന്നാം കൃതി
3 × 3 = 3² മൂന്നിന്റെ രണ്ടാം കൃതി
ഇതുപോലെ, ഏതു സംഖ്യയെയും അതിന്റെ തന്നെ ഒന്നാം കൃതിയെന്നു പറയാം.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 198 നെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്ന തെങ്ങനെ?
198 = 2 × 3 × 3 × 11 = 2 × 11 × 3²
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ യെയും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയോ, വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമോ ആയി എഴുതാം.

ഭിന്നകൃതികൾ
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, വശങ്ങളുടെ നീളം 4 മീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എന്നു പറയുന്നത് 4 × 4 = 4² ആണ്.

അതുപോലെ, വശങ്ങളുടെ നീളം \(\frac{1}{4}\) മീറ്റർ ആയാൽ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^2\) എന്നും,
വശങ്ങളുടെ നീളം 0.33 മീറ്റർ ആയാൽ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 0.33 × 0.33 = (0.33)² എന്നും പറയാം.
ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
വശങ്ങളുടെ നീളം × ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് x²
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, വക്കുകളുടെയെല്ലാം നീളം \(\frac{1}{2}\) മീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം എന്നു പറയുന്നത് \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\) ആണ്.

അതുപോലെ, വക്കുകളുടെയെല്ലാം നീളം 0.75 മീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം എന്നു പറയുന്നത് 0.75 × 0.75 × 0.75 = 0.753 ആണ്.
ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
വക്കുകളുടെ നീളം × ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം x³

2 ന്റെ കൃതികൾ ക്രമമായി കണക്കാക്കാം
2² = 2 × 2 = 4
2³ = 4 × 2 = 8
2⁴ = 8 × 2 = 16
2⁵ = 16 × 2 = 32

ന്റെ കൃതികൾ ക്രമമായി കണക്കാക്കാം

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ
ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികൾ ക്രമമായി വലുതാകുന്നു. ഒന്നിനേക്കാൾ ചെറുതും, പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികൾ ക്രമമായി ചെറുതാകുന്നു. ഒന്നിന്റെ കൃതികൾ എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ. പൂജ്യത്തിന്റെ കൃതികളും പൂജ്യമായി തന്നെ തുടരുന്നു.

കൃതികളുടെ ഗുണനം
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം,
4² × 4³ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4
അതായത് , 4² × 4³ നെ 4⁵ എന്നും എഴുതാം.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃതികൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടണം

ബീജഗണിതഭാഷയിൽ,
x ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ ഏതു രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും x^m × xⁿ = x^m+n

ഇതിൽ രണ്ടുകാര്യങ്ങളുണ്ട്
(i) ഒരേ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു കൃതികളുടെ ഗുണനഫലം ആ സംഖ്യയുടെതന്നെ കൃതിയാണ്.
(ii) ഗുണനഫലത്തിന്റെ കൃത്യങ്കം, ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതു സംഖ്യ ആയാലും, mn ഇവ m < n ആയ ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ആയാലും, \(\frac{x^m}{x^n}=\frac{1}{x^{n-m}}\)

മടങ്ങും കൃതിയും
4 ന്റെ 2 മടങ്ങും 6 ന്റെ 2 മടങ്ങും എങ്ങനെ കൂട്ടാം എന്ന് നോക്കാം.
4 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 4 + 4
ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 6 + 6
ഇവ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ,
4 ന്റെ 2 മടങ്ങ് + 6 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = (4 + 6) + (4 + 6)
= 10 + 10 = 10 ന്റെ 2 മടങ്ങ്

ചുരുക്കി പറഞ്ഞാൽ,
(2 × 4) + (2 × 6) = 2 × (4 + 6)

മടങ്ങുകൾക്കു പകരം കൃതികളാക്കിയാൽ;
4 ന്റെ 2-ാം കൃതി = 4 × 4
6 ന്റെ 2-ാം കൃതി = 6 × 6
ഇവ ഗുണിക്കുമ്പോൾ,
(4 ന്റെ 2-ാം കൃതി) × (6 ന്റെ 2-ാം കൃതി) = (4 × 4) × (6 × 6)

അതായത്,
4² × 6² = (4 × 6)²

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഒരേ കൃതികൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം, സംഖ്യക ളുടെ ഗുണന ഫലത്തിന്റെ അതേ കൃതിയാണ്.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് പറഞ്ഞാൽ,
x, y ഇവ ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളും n ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യയും ആയാലും,
xⁿyⁿ = (xy)ⁿ

7 ന്റെ 2 മടങ്ങിന്റെ 5 മടങ്ങ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.
2 ന്റെ 5 മടങ്ങ് = 5 × 2 = 10
7 ന്റെ 10 മടങ്ങ് = 10 × 7 = 70

അതുപോലെതന്നെ,
7 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 7 × 2 = 14
5 ന്റെ 14 മടങ്ങ് = 5 × 14 = 70

ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ശരിയാകുന്നു എന്നു നോക്കാം.
7 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 7 + 7
(7 + 7) ന്റെ 5 മടങ്ങ് (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)
= 7 ന്റെ 10 മടങ്ങ്

ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
5 × (2 × 7) = (5 × 2) × 7

മടങ്ങുകൾക്ക് പകരം കൃതികളായാൽ,
7 ന്റെ 2 കൃതി = 7 × 7
(7 × 7) ന്റെ 5 കൃതി = (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7)
= 7 ന്റെ 10 കൃതി

കൃതികളായി എഴുതി, ഈ സമവാക്യം ചുരുക്കാം.
(7 × 7)⁵ = (7²)⁵ = 7¹⁰
ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെ കൃതി കണക്കാക്കാൻ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കണം.

ബീജഗണിതത്തിൽ എഴുതിയാൽ,
x ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും,
(x^m)ⁿ = x^mn

കൃതികളുടെ ഹരണം
ഇനി കൃതികളെ എങ്ങനെ ഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, 288 ÷ 36
ആദ്യം 288 നെയും 36 നെയും ഘടകങ്ങളാക്കുക.
288 = 2⁵ × 3²
36 = 2² × 3²
പൊതുവായ ഘടകങ്ങളെ മാറ്റിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടുന്നത്,
(2⁵ × 3²) ÷ (2² × 3²) = 2⁵÷ 2²

ഇനി നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഹരിക്കാം,
2⁵ ÷ 2² = 2^5-2= 2³
288 ÷ 36 = (2⁵ × 3²) ÷ (2² × 3²)
= 2⁵ ÷ 2²
= 2^5-2
= 2³
= 8

ഇത് ഒരു പൊതുതത്വമായി പറഞ്ഞാൽ:
പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയുടെ വലിയ കൃതിയെ അതേ സംഖ്യയുടെ ചെറിയ കൃതി കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കുറയ്ക്കണം.

ഇനി ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ m > n ആയ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും \(\frac{x^m}{x^n}\) = x^m-n