Class 10 Maths Chapter 10 Question Answer Malayalam Medium വൃത്തങ്ങളും വരകളും

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 10 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium വൃത്തങ്ങളും വരകളും can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 10 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 10 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 10 Kerala Syllabus Malayalam Medium

പരപ്പളവുകൾ (Textbook Page No. 216)

Question 1.
5 സെന്റിമീറ്റർ നീളവും 4 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരവും ഉള്ള ചതുരം വരയ്ക്കുക.
(i) ഇതേ പരപ്പളവും, നീളം 6 സെന്റിമീറ്ററുമായ ചതുരം വരയ്ക്കുക.
(ii) ഇതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
(i) നീളം 5 സെമീ ഉം വീതി 4 സെമീ ഉള്ള ഒരു ചതുരശ്രം പരിഗണിക്കുക.
മറ്റൊരു നീളം 6 സെമീ എന്നും കരുതാം.
ആദ്യം ചതുരത്തിന്റെ, താഴത്തെ വശത്തു നിന്നും 4 സെമീ നീളം ഇടത്തേയ്ക്കും, ഇടതു വശത്തുനിന്നും 6 സെമീ നീളം താഴേയ്ക്കും നീട്ടി വരയ്ക്കാം:
ഇനി ഇടതും വലതും താഴെയുമുള്ള ബിന്ദു ക്കളിൽക്കൂടി വൃത്തം വരക്കുക. ചതുര ത്തിന്റെ ഇടതുവശം വൃത്തവുമായി കൂട്ടിമുട്ടുന്ന നീളം രേഖപ്പെടുത്തുക.
ഇനി ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ നീളം വിലങ്ങനെ അടയാ ഉപ്പെടുത്തി, നമുക്കാവശ്യമായ ചതുരം വര യ്ക്കാം.

ABCD എന്നതാണ് നമ്മുക്ക് ആവശ്യമാർന്ന ചതുരം.

(ii) നീളം 5 സെമീ ഉം വീതി 4 സെമീ ഉള്ള ഒരു ചതുരശ്രം പരിഗണിക്കുക.
ആദ്യം ചതുരത്തിന്റെ ഉയരം ചേർത്ത് നീളം കൂട്ടിവരയ്ക്കുക., പുതിയ നീളം 5 + 4 = 9
ഇനി താഴത്തെ വര വ്യാസമായി ഒരു അർധ വൃത്തം താഴെ വരയ്ക്കുക, ചതുരത്തിന്റെ വലതുവശം താഴോട്ടു നീട്ടി, അർധവൃത്ത വുമായി കൂട്ടിമുട്ടിക്കുക.
ഈ വരയാണ് സമചതുരത്തിന്റെ വശം.

ABCD എന്നതാണ് നമ്മുക്ക് ആവശ്യമാർന്ന സമചതുരം.

Question 2.
15 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
15 = 5 × 3
3 + 5 = 8 സെമീ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുക.
അതിൽ 5 സെമീ ഉം 3 സെമീ ഉം അടയാളപ്പെ ടുത്തുക.
8 സെമീ. നീളമുള്ള വരയെ വ്യാസമാക്കി ഒരു അർദ്ധവൃത്തം വരയ്ക്കുക.
5 സെ.മീ. 3 സെ.മീ. എന്നീ പൊതുബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബം വരയ്ക്കുക.
ഈ ലംബം അർദ്ധവൃത്തവുമായി മുട്ടുന്ന ബിന്ദു വിനെ AB എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ABCD ആണ് ആവശ്യമായ സമചതുരം.

Question 3.
മൂന്നു വ്യത്യസ്ത രീതിയിൽ 5 ചതുരശ്ര സെന്റി മീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കുക (പൈഥാഗറസ് സിദ്ധാന്തം ഓർക്കുക).
Answer:
മാർഗ്ഗം 1
5 = 1 × 5
1 + 5 = 6 സെ.മീ. നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുക. അതിൽ 5 സെമീ ഉം 1 സെമീ ഉം അടയാളപ്പെടു ത്തുക.
6 സെ.മീ. നീളമുള്ള വരയെ വ്യാസമാക്കി ഒരു അർദ്ധവൃത്തം വരയ്ക്കുക.
5 സെമീ 1 സെമി എന്നിവയുടെ പൊതുബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബം വരയ്ക്കുക.
ഈ ലംബം അർദ്ധവൃത്തവുമായി മുട്ടുന്ന ബിന്ദു വിനെ AB എന്നു അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ABCD ആണ് ആവശ്യമായ ചതുരം.

മാർഗ്ഗം 2
5 = 2.5 × 2
ഇവിടെയും മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ തുടരുക
മാർഗ്ഗം 3
2 സെന്റിമീറ്ററും 1 സെന്റിമീറ്ററും ലംബ വശങ്ങളാ യുള്ള ഒരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
√5 അതിന്റെ കർണമായിരിക്കും.

ഈ കർണത്തെ വശങ്ങളുടെ നീളമായി കണ ക്കാക്കി ഒരു ചതുരം വരയ്ക്കുക, അതാണ് ആവ ശ്യമായ ചതുരം,

വൃത്തവും ബിന്ദുവും (Textbook Page No. 222-224)

Question 1.
ചിത്രത്തിൽ വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വര ഒരു ഞാണിനെ രണ്ടായി ഭാഗിക്കുന്നു.

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്രയാണ്?
Answer:

PX × PY = r² – d²
PX = 3 സെമീ, PY = 1 സെമീ, d = 2 സെമി
⇒ 3 × 1 = r² – 2²
⇒ 3 = r² – 4
⇒ r² = 3 + 4 = 7
⇒ r = √7 ≅ 2.645
അതായത്, വൃത്തത്തിന്റെ ആരം = √7 ≅ 2.645

Question 2.
ചിത്രത്തിൽ വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വര, ഒരു ഞാണുമായി കൂട്ടിമുട്ടുന്നു.

ഞാണിന്റെ രണ്ടു ഭാഗങ്ങളുടെയും നീളം കണ ക്കാക്കുക.
Answer:

OP വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങൾ തമ്മിൽ മുറിക്കുന്ന പോലെ നീട്ടി വരച്ചാൽ മറ്റൊരു ഞാൺ CD ലഭിക്കും.
AB യും CD യും P എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന രണ്ടു ഞാണുകളാണ്.
അതുകൊണ്ട്, AP × PB = CP × PD
OA = OC = 3 സെമീ,
PD = 3 – 2 = 1 സെമീ
CP = 3 + 2 = 5 സെമീ
AP × PB = 5 × 1
AP × PB = 5 സെമീ
കൂടാതെ, AP + PB = 4.5 സെമീ
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗണനഫലം എടുക്കുമ്പോൾ 5 ഉം തുക 4.5 ഉം കിട്ടുന്ന രണ്ടു സംഖ്യകൾ 2.5 ഉം 2 ഉം ആണ്.
അതായത്, a + b = 4.5 എന്നും ab = 5 എന്നും എടുത്താൽ
x² – (a + b)x + ab = 0 ആണ്
x² – 4.5x + 5 = 0
അങ്ങനെയെങ്കിൽ
D = 4.5² – 4 × 1 × 5
= 20.25 – 20
= 0.25
√D = √0.25 = 0.5
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{4.5 \pm 0.5}{2}\)
ഇതിൽനിന്നും x = 2.5,
അല്ലെങ്കിൽ x = 2 എന്ന് കിട്ടും
അതിനാൽ, AP = 2 സെമീ, PB = 2.5 സെമീ

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ AB വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസവും, P അതു നീട്ടിയതിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമാണ്. P യിൽ നിന്നുള്ള തൊടുവര വൃത്തത്തെ Q വിൽ തൊടുന്നു.

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്രയാണ്?
Answer:

മട്ടത്രികോണം ΔOPQ പരിഗണിച്ചാൽ,
QP = 4 സെമീ, OQ = r
AP = 8 സെമീ, OP = 8 – r സെമീ
പൈഥാഗറസ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്,
r² + 4² = (8 – r)²
⇒ r² + 16 = 64 – 16r + r²
⇒ 16r = 64 – 16
⇒ 16r = 48
⇒ r = 3 സെമീ
വൃത്തത്തിന്റെ ആരം = 3 സെമീ

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ച് വര പുറത്തേക്കു നീട്ടി, അവിടെനിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്ക് തൊടുവര വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ഇതേ വരതന്നെ അല്പം കൂടി വലത്തോട്ടു നീട്ടിയ സ്ഥാനത്തുനിന്ന് വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരയാണ് രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ

ഈ തൊടുവരയുടെ നീളമെന്താണ്?
Answer:

ചിത്രം: 1
PX × PY = PT²
PX = 4 സെമീ.
PT = 6 സെമീ.
⇒ 4 × PY = 6²
⇒ PY = 9 സെമീ.
XY = PY – PX
= 9 – 4
= 5 സെമീ.
ചിത്രം: 2
RX × RY = RT²
RX = 5 സെമീ, XY = 5 സെമീ (ചിത്രം: 1)
RY = RX + XY
= 5 + 5
= 10 സെമീ
⇒ 5 × 10 = RT²
⇒ 50 = RT²
⇒ RT = √50 ≅ 7.07
അങ്ങനെയെങ്കിൽ തൊടുവരയുടെ നീളം
RT = √50 ≅ 7.07

Question 5.
ചിത്രത്തിൽ, രണ്ടു വൃത്തങ്ങൾ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വരയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽനിന്ന് രണ്ടു വൃത്തങ്ങൾക്കും ഒരോ തൊടുവര വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ഈ തൊടുവരകൾക്ക് ഒരേ നീളമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:

രണ്ട് വൃത്തങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടി മുട്ടുന്ന ബിന്ദു ക്കളെ X എന്നും Y എന്നും വിളിക്കാം.
ചിത്രത്തിൽ ആദ്യത്തെ വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവര PQ എന്നും രണ്ടാമത്തെ വൃത്തത്തിന്റെ തൊടു വര PT എന്നും അടയാളപ്പെടുത്താം.
(ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദു വിൽനിന്ന് വൃത്തത്തെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ മുറി ക്കുന്ന ഏതു വര വരച്ചാലും, ഈ ബിന്ദുവിൽനിന്ന് മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള അകലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം, ബിന്ദുവിൽനിന്നുള്ള തൊടുവര യുടെ നീളത്തിന്റെ വർഗമാണ്.)
അതായത് PX × PY = PT²
അങ്ങനെയെങ്കിൽ,
ചിത്രം: 1
PX × PY = PT²
ചിത്രം: 2
PX × PY = PQ²
⇒ PT² = PX × PY = PQ²
⇒ PT² = PQ²
⇒ PT = PQ
അതായത് തൊടുവരകൾക്ക് രണ്ടിനും ഒരേ നീളമാണ്.

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 10 വൃത്തങ്ങളും വരകളും

Std 10 Maths Chapter 10 Notes Malayalam Medium

→ വ്യാസമല്ലാത്ത രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചുകടക്കുമ്പോൾ ഭാഗങ്ങളൊന്നും തുല്യമല്ല.

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചു കടക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഞാണിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലവും, മറ്റേ ഞാണിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലവും തുല്യമാണ്.

→ വ്യാസം കേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് ഞാണിലേക്കുള്ള ലംബമായതിനാൽ, അത് ഞാണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യും.

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തെ അതിനു ലംബമായ ഒരു ഞാൺ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം, ഞാണിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗമാണ്.

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചു കടക്കുമ്പോൾ, രണ്ടു ഞാണുകളുടെയും ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ ചതുരങ്ങൾക്ക് ഒരേ പരപ്പളവാണ്.

→ ആരം ആയ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് d അകലെയുള്ള ഒരു ബിന്ദു P യിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഏതു ഞാൺ XY എടുത്താലും
PX × PY = r² – d²

→ വൃത്തത്തിനു പുറത്ത് ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്തെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ മുറിക്കുന്ന എല്ലാ വരകളിലും, ഈ ബിന്ദുവിൽനിന്ന് വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള അകലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം ഒരേ സംഖ്യയാണ്.

→ ആരം r ആയ വൃത്തത്തിനു പുറത്ത്, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് d അകലെയുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വര വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ X ഉം Y യും ആണെങ്കിൽ,
PX × PY = d² – r²

→ ആരം r ആയ വൃത്തത്തിനകത്തോ പുറത്തോ, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് d അകലെയുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വര വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ X ഉം Y യും ആണങ്കിൽ
PX × PY = |r² – d²|

വൃത്തം എന്നത് ഒരു അടിസ്ഥാന ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്. നമ്മുടെ ഭക്ഷണത്തിലുള്ള പ്ലേറ്റിലെ പിസ്സയിൽ നിന്നു രാത്രി ആകാശത്തിലെ ചന്ദ്രനിൽ വരെ, എല്ലായിടത്തും വൃത്തത്തിന്റെ സാന്നിധ്യം കാണാം. ഹൈസ്കൂൾ ജ്യാമിതിയിൽ വൃത്തത്തെകുറിച്ച് പഠിക്കുമ്പോൾ, വൃത്തം കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു നിശ്ചിത കേന്ദ്ര ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലുള്ള ഒരു തലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും കൂട്ടമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സ്ഥിരമായ ദൂരം ആരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വൃത്തങ്ങൾക്ക് വ്യാസം, ചുറ്റളവ്, പരപ്പളവ് തുടങ്ങിയ വൃത്തങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അടിസ്ഥാന പദങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമായിരിക്കും. അതിനാൽ ഈ അധ്യായത്തിൽ പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനേക്കാൾ, വൃത്തത്തിനുള്ളിലെ പ്രധാനപ്പെട്ട ബന്ധങ്ങളെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും കുറിച്ചാണ് കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത്.

ഞാണുകൾ
വൃത്തത്തിലെ ഏതു രണ്ടു വ്യാസവും, കേന്ദ്രത്തി ലൂടെ മുറിച്ചുകടക്കുന്നു.
മുറിച്ചു കിട്ടുന്ന നാലു ഭാഗങ്ങളുടെയും നീളം ആര ത്തിനു തുല്യമാണ്.

വ്യാസമല്ലാത്ത രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തി നുള്ളിൽ മുറിച്ചുകടക്കുമ്പോൾ ഭാഗങ്ങളൊന്നും തുല്യമല്ല.
ഒരു ഞാണിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ a, b എന്നും, മറ്റേ ഞാണിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ c, d എന്നും ഞാണുകൾക്ക് AB, CD എന്നും അവ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന ബിന്ദുവിന് എന്നും പേരു കൊടുത്താൽ നമ്മുക്ക് അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ലഭിക്കും. അതായത്
AP × PB = CP × PD

ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചു കടക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഞാണിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലവും, മറ്റേ ഞാണിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലവും തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:
ചിത്രത്തിൽ നിന്നും CP യുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക?

Answer:
AP = 3 സെമീ
PB = 5 സെമീ
PD = 5 സെമീ
AP × PB = CP × PD
3 × 5 = CP × 5
15 = 5PC
PC = \(\frac {15}{3}\) = 3 സെമീ
പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ഞാണുകളിൽ ഒന്ന് വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസവും, മറ്റൊന്ന് അതിന് ലംബമായ ഒരു ഞാണുമായാൽ
വ്യാസം കേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് ഞാണിലേക്കുള്ള ലംബമായതിനാൽ, അത് ഞാണിനെ സമഭാഗം ചെയ്യും.
വ്യാസത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം a, b എന്നും വ്യാസം ഞാണിനെ മുറിക്കുന്ന രണ്ടു ഭാഗങ്ങളു ടെയും നീളം c എന്നുമെടുത്താൽ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ഞാണുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പൊതുതത്വമനുസരിച്ച് ab = c² ആണ്.

വൃത്തത്തിലെ ഒരു വ്യാസത്തെ അതിനു ലംബമായ ഒരു ഞാൺ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം, ഞാണിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗമാണ്.

ഉദാഹരണം:

Question 1.
ഈ ചിത്രം നോക്കുക:

വ്യാസത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽനിന്നുള്ള ലംബം അർധവൃത്തത്തെ മുട്ടുന്നു. ഈ ലംബത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണ്?
Answer:
വൃത്തം മുഴുവനാക്കി, ലംബം താഴോട്ടും നീട്ടി യാൽ, ഒരു ഞാണാകും. അതിന്റെ പകുതിയാണ് ലംബം.

അതായത്, ab = c²
3 × 2 = 6
ലംബത്തിന്റെ നീളം = √6 സെമീ

Question 2.
√5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കുന്നതെ ങ്ങനെ? √6 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള വര മറ്റൊരു തരത്തിൽ വരയ്ക്കാമോ?
Answer:
√5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കുന്നതിന്,
ലംബത്തിന്റെ വർഗം = 1 × 5 = 5
ലംബത്തിന്റെ നീളം = √5 സെമീ
√6 സെ. മീ നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കുന്നതിന്,
ലംബത്തിന്റെ വർഗം = 1 × 6 = 6
ലംബത്തിന്റെ നീളം = √6 സെമീ
ഏതു സംഖ്യയുടെയും വർഗമൂലം നീളമായ വര വരയ്ക്കാം.

പരപ്പളവുകൾ
ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ഞാണുകൾ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മുറിച്ചു കടക്കുമ്പോൾ, രണ്ടു ഞാണുകളുടെയും ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ ചതുരങ്ങൾക്ക് ഒരേ പരപ്പളവാണ്.

ഒരു ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവിന് തുല്യമായ, എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത നീളമുള്ള ഒരു ചതുരം വരയ്ക്കുന്നതിന്
നീളം a യും വീതി b യും ഉള്ള ഒരു ചതുരം പരി ഗണിക്കുക.

മറ്റൊരു നീളം ആ എന്നും കരുതാം.

ആദ്യം ചതുരത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തെ b നീളം ഇടത്തേയ്ക്കും, ഇടതുവശത്തെ c നീളം താഴേ യ്ക്കും നീട്ടി വരയ്ക്കാം:

ഇനി ഇടതും വലതും താഴെയുമുള്ള ബിന്ദുക്ക ളിൽക്കൂടി വൃത്തം വരച്ച്, ചതുരത്തിന്റെ ഇടതു വശം നീട്ടി അതിൽ മുട്ടിച്ചാൽ മതി.

ഇനി ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ നീളം വിലങ്ങനെ അടയാള പ്പെടുത്തി, നമുക്കാവശ്യമായ ചതുരം വരയ്ക്കാം.

ഇങ്ങനെ വരയ്ക്കാൻ, ആദ്യത്തെ ചതുര ത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം അറിയണമെന്നില്ല.
ഒരു വശം എത്ര കൂട്ടണമെന്നോ കുറയ്ക്കണമെന്നോ മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതി.

ഒരു ചതുരത്തിന്റെ അതേ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ
നീളം a യും ഉയരം b യുമായ ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക.

ആദ്യം ചതുരത്തിന്റെ ഉയരം ചേർത്ത് നീളം കൂട്ടിവരയ്ക്കുക. പുതിയ നീളം a + b യും

ഇനി താഴത്തെ വര വ്യാസമായി ഒരു അർധവൃത്തം താഴെ വരയ്ക്കുക, ചതുരത്തിന്റെ വലതുവശം താഴോട്ടു നീട്ടി, അർധവൃത്തവുമായി കൂട്ടിമുട്ടി ക്കുക.

ഈ വരയാണ് സമചതുരത്തിന്റെ വശം.

നിശ്ചിത പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വര യ്ക്കാനും ഈ മാർഗം ഉപയോഗിക്കാം.

√ab നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുന്നതിന്
ആദ്യം, നീളം a ആയൊരു വര വരയ്ക്കുക.
അതിന്റെ ഏതേങ്കിലും ഒരു അറ്റത്തിൽ നിന്ന് b നീളമുള്ള മറ്റൊരു വര വരയ്ക്കുക.
ആ രണ്ടു വരകളും കൂടിച്ചേരുന്ന പൊതു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് അർദ്ധവൃത്തത്തിലേക്ക് ഒരു ലംബ വരയ്ക്കുക.
ആ ലംബത്തിന്റെ നീളം √ab ആയിരിക്കും.

വൃത്തവും ബിന്ദുവും
വൃത്തത്തിനകത്ത് ഒരു ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നു പോകുന്ന കുറേ ഞാണുകൾ വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കും.
ഈ ബിന്ദു ഞാണുകളെ എല്ലാം രണ്ടു ഭാഗങ്ങളാക്കുന്നു. ഈ ഭാഗങ്ങളുടെയെല്ലാം ഗുണനഫലം ഒരേ സംഖ്യയാണ്.

ഈ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഒരു വ്യാസം വരച്ചാൽ, അതുമൊരു ഞാൺ ആണ്. ബിന്ദുവിലൂടെ വരയ്ക്കുന്ന ഏതു ഞാണിന്റെയും ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം ഒരേ സംഖ്യയാണ്.
അതിനാൽ, വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r എന്നും, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള അകലം d എന്നും എടുത്താൽ, വ്യാസത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം r + d എന്നും r – d എന്നും അടയാളപ്പെടുത്താം.

അപ്പോൾ ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം,
(r + d)(r – d) = r² – d²
അങ്ങനെയെങ്കിൽ ഇത്തരം എല്ലാ ഞാണുകളുടെയും ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം,

ആരം r ആയ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് d അകലെയുള്ള ഒരു ബിന്ദു P യിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഏതു ഞാൺ XY എടുത്താലും
PX × PY = r² – d²

r² – d² എന്നത്, P യിലൂടെയുള്ള വ്യാസത്തിന് ലംബമായി വരയ്ക്കുന്ന ഞാണിന്റെ പകുതിയുടെ വർഗമാണ്.

വൃത്തത്തിനു പുറത്ത്, P എന്ന് ബിന്ദുവെടുത്ത്, വൃത്തം മുറിക്കുന്ന വരകൾ വരച്ചാൽ

വൃത്തത്തിനു പുറത്ത് ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്തെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ മുറിക്കുന്ന എല്ലാ വരകളിലും, ഈ ബിന്ദുവിൽനിന്ന് വൃത്ത മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള അകലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം ഒരേ സംഖ്യയാണ്.
PA × PB = PC × PD

പുറത്ത് ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്തെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ മുറിക്കുന്ന വരകളിൽ ഒന്ന് കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോയാൽ.
വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r എന്നും, കേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം d എന്നും എടുക്കാം.

പുറത്തെ ബിന്ദുവിൽനിന്ന് വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള അകലങ്ങൾ d – r ഉം d + r ഉം ആണ്. അവയുടെ ഗുണനഫലം, (d + r)(d – r) = d² – r²

ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ വരയ്ക്കുന്ന ഏതു വര എടുത്താലും, വര വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള അകലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം d² – r² ആയിരിക്കും
PX × PY = d² – r²

ആരം r ആയ വൃത്തത്തിനു പുറത്ത്, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് d അകലെയുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വര വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ X ഉം Y യും ആണെങ്കിൽ,
PX × PY = d² – r²

P യിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള തൊടുവര വരച്ച്, അത് വൃത്തത്തെ തൊടുന്ന ബിന്ദു T എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തുക. P യും T യും വൃത്ത ത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി യോജിപ്പിച്ചാൽ ഒരു മട്ട ത്രികോണം കിട്ടും;
അതായത്, d² – r² = PT²

അങ്ങനെയെങ്കിൽ
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദു വിൽനിന്ന് വൃത്തത്തെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ മുറി ക്കുന്ന ഏതു വര വരച്ചാലും, ഈ ബിന്ദുവിൽനിന്ന് മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള അകലങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം, ബിന്ദുവിൽനിന്നുള്ള തൊടുവര യുടെ നീളത്തിന്റെ വർഗമാണ്.

അതായത്, PX × PY = PT²
ബിന്ദു വൃത്തത്തിന് അകത്തായാലും പുറത്തായാലും r2, d2 ഇവയിൽ വലുതിൽ നിന്ന് ചെറുത് കുറയ്ക്കുകയാണ് ചെയ്യുന്നത്; അതായത്, രണ്ടിലും എടുക്കുന്നത് r² – d² ന്റെ കേവല മൂല്യമാണ്.

ആരം r ആയ വൃത്തത്തിനകത്തോ പുറത്തോ, വൃത്തകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് d അകലെയുള്ള P എന്ന ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വര വൃത്തത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ X ഉം Y യും ആണങ്കിൽ,
PX × PY = |r² – d²|