When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 3 Arithmetic Sequences and Algebra Questions and Answers Malayalam Medium സമാന്തരശ്രേണിയും ബീജഗണിതവും can save valuable time.
SSLC Maths Chapter 3 Arithmetic Sequences and Algebra Questions and Answers Malayalam Medium
HSSLive Guru 10th Maths Chapter 3 Malayalam Medium
Class 10 Maths Chapter 3 Kerala Syllabus Malayalam Medium
(Textbook Page No. 63)
Question 1.
ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന സമാന്തരശ്രേണികളുടെ ബീജഗണിതരൂപം കണ്ടുപിടിക്കുക.
a) 1, 6, 11, 16…….
b) 2, 7, 12, 17….
c) 21, 32, 43, 54…….
d) 19, 28, 37……
e) 1, 1\(\frac{1}{2}\), 2, 2\(\frac{1}{2}\)
f) \(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}\), ……………….
Answer:
a) ഇത് 5 ന്റെ ഗുണിതത്തേക്കാൾ 4 കുറഞ്ഞ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്. അതിനാൽ,
xn =5n – 4
അല്ലെങ്കിൽ xn = dn + ( f – d) = 5n – 4
b) ഇത് 5 ന്റെ ഗുണിതത്തേക്കാൾ 3 കുറഞ്ഞ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയാണ്. അതിനാൽ,
xn = 5n – 3
അല്ലെങ്കിൽ xn = dn + (f – d)
= 5n + (2 – 5)
= 5n – 3
c) d = 11, xn = 11n + 10
d) d = 9, xn = 9n + 10
e) d = \(\frac{1}{2}\), x = \(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)(n + 1)
f) d = \(\frac{1}{6}\), xn = \(\frac{n}{6}\)
Question 2.
ചില സമാന്തരശ്രേണികളിലെ രണ്ടു സ്ഥാനങ്ങ ളിലെ പദങ്ങൾ ചുവടെ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ഓരോന്നി ന്റെയും ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(i) 1-ാം പദം 5
10-ാം പദം 23
(ii) 1-ാം പദം 5
7-ാം പദം 23
(iii) 5-ാം പദം 10
10-ാം പദം 5
(iv) 8-ാം പദം 2
12-ാം പദം 8
Answer:
i) 9d = 18 → d = 2.xn = 2n + 3
ii) 6d = 23 – 5 = 18, d = 3, xn = 3n + 2
iii) 5d = 5 – 10 = -5, d = -1, f = 14, xn = −n + 15
iv) 4d = 8 – 2 = 6, d = \(\frac{1}{2}\)
x1 = \(\frac{17}{2}\), xn = \(\frac{3}{2}\)n – 10
Question 3.
ആദ്യപദം \(\frac{1}{3}\) ഉം പൊതുവ്യത്യാസം ഉം ആയ സമാന്തരശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യ കളും ഉണ്ട് എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ശ്രേണിയെ ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ,
xn = \(\frac{1}{6}\)n + \(\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)=\frac{n+1}{6}\)
n = 5, 11, 17,……
x5 = \(\frac{5+1}{6}\) = 1
x11 = \(\frac{11+1}{6}\) = 2
x17 = \(\frac{17+1}{6}\) = 3
5,11,17,.. എന്നീ പദങ്ങൾ കൊടുക്കുമ്പോൾ 1,2,3,… എന്നിങ്ങനെ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ക്രമത്തിൽ ലഭിക്കുന്നു.
അതായത്, ആദ്യപദം \(\frac{1}{3}\) ഉം പൊതുവ്യത്യാസം \(\frac{1}{6}\) ഉം ആയ സമാന്തരശ്രേണിയിൽ എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ഉണ്ട്.
Question 4.
ആദ്യപദം \(\frac{1}{3}\) ഉം പൊതുവ്യത്യാസം \(\frac{2}{3
}\) ഉം ആയ സമാന്തരശ്രേണിയിൽ എല്ലാ ഒറ്റസംഖ്യകളും ഉണ്ട് എന്നും ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയും ഇല്ല എന്നും തെളിയിക്കുക.
Answer:
ശ്രേണിയെ ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ,
\(\frac{2}{3}\)n + \(\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)\)
xn = \(\frac{2n-1}{3}\)
x2 = 1, x5 = 3, x8 = 5…
n-ാം പദത്തിന്റെ അംശം ഒറ്റസംഖ്യയാണ്. ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ
ഒറ്റസംഖ്യയാണ് കിട്ടുന്നത്, ഇരട്ടസംഖ്യ അല്ല. A അതിനാൽ ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ പോലും ഈ ശ്രേണിയിലെ പദമാകില്ല.
Question 5.
4,7,10,… എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ യെല്ലാം വർഗങ്ങൾ ഈ ശ്രേണിയിൽത്തന്നെ ഉണ്ട് എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം 3n + 1 ആണ് 3n + 1 രൂപത്തിലുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും ഈ ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാണ്. ഈ ശ്രേണിയിലെ പദത്തിന്റെ വർഗം, (3n + 1)2 = 9n2 + 6n + 1 = 3(3n2 + 2n) + 1 അതിനാൽ ശ്രേണിയിലെ പദത്തിന്റെ വർഗവും ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദവുമാണ്.
Question 6.
5, 8, 11… എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിൽ പൂർണവർഗ ങ്ങളൊന്നും ഇല്ല എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ഈ ശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം 3 ആണ്. ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ പദങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ, പദങ്ങളെ പൊതുവ്യത്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരേ ശിഷ്ടം ലഭിക്കും. ഇവിടെ ശിഷ്ടം 2 ആണ് ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം 0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ആണ്, 2 അല്ല.
പ്രസ്താവനയുടെ തെളിവിനായി അധിക പ്രവർത്തന പേജ് കാണുക: ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം ) അല്ലെങ്കിൽ 1 ആണ് അതിനാൽ ഒരു പൂർണവർഗങ്ങളൊന്നും ശ്രേണിയുടെ ഒരു പദമല്ല.
(Textbook Page No. 76)
Question 1.
ചുവടെയുള്ള സമാന്തരശ്രേണികളുടെ തുകകൾ, മനകണക്കായി കണ്ടുപിടിക്കുക.
(a) 51 + 52 + 53 + … + 70
Answer:
1210
50 × 20 + (1 + 2 + 3 ……… + 20) = 1000 + 210 = 1210
1210 അല്ലെങ്കിൽ, ജോടികളുടെ തുക 121 വരത്തക്ക വിധത്തിൽ 20 സംഖ്യകളെ ജോടികളാക്കി 8, 121 × 10 = 1210
(b) 1\(\frac{1}{2}\) + 2\(\frac{1}{2}\) + ………. + 12\(\frac{1}{2}\)
Answer:
84
(1 + 2 + 3 + …. + 12) + 12 × \(\frac{1}{2}\) = 78 + 6 = 84
ഇരു വശങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേ അകലത്തി ലുള്ള പദങ്ങളെ ജോടിയാക്കിയാൽ, തുക 14 × 6 = 84
(c) \(\frac{1}{2}\) + 1 + 1\(\frac{1}{2}\) + 2 + ……….. + 12\(\frac{1}{2}\)
Answer:
162.5
2(1 + 2 + 3 + ………..+12) + 13 × \(\frac{1}{2}\) = 156 + \(\frac{1}{2}\) × 13 = 162.5
(d) \(\frac{1}{101}+\frac{3}{101}+\cdots+\frac{201}{101}\)
Answer:
\(\frac{101^2}{101}\) = 101
Question 2.
ചുവടെയുള്ള ഓരോ സമാന്തരശ്രേണിയുടെയും ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
(a) 11, 22, 33…..
(c) 21, 32, 43……
(b) 12, 23, 34….
(d) 19, 28, 37……
Answer:
(a) ഇത് 11 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ശ്രേണിയാണ്. അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം xn = 11n ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക = 11 × 1 + 11 × 2 + 11 × 3 +… 11 × 25
ആദ്യത്തെ പദങ്ങളുടെ തുക, എന്നെടു ക്കുക
8 No25 = 11(1 + 2 + 3 + …… + 25)
= 11 x \(\frac{25(25+1)}{2}\)
= 11 × 25 × 13
= 3575
(b) ഈ ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 11n + 1 ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക
(c) ഈ
= 11(1 + 2 + 3 + ……….. + 25) + 25
= 3575 + 25
= 3600
(c) ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 11n + 10 ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക
Sn = 11(1 + 2 + 3 …… + 25) + 10 × 25
= 3575 + 250
= 3825
(d) ഈ ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 9n + 10 ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക
= 9(1 + 2 + 3 +… +…+ 25) + 250
= 3175
Question 3.
ഒമ്പതിന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ എല്ലാ മൂന്ന സംഖ്യകളുടെയും തുക കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
9 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ മൂന്നക്ക സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി 108, 117, 126…..999
ഈ ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 9n + 99
9n + 99 = 999
⇒ 9n = 900,
n = 100
ഒമ്പതിന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ എല്ലാ മൂന്ന സംഖ്യകളുടെയും തുക
= (108 + 999) × \(\frac{100}{2}\)
= 55350
Question 4.
ചില സമാന്തരശ്രേണികളുടെ n-ാം പദം ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഓരോന്നിന്റെയും 1 പദങ്ങ ളുടെ തുക കണ്ടുപിടിക്കുക.
(a) 2n + 3
(b) 3n + 2
(c) 2n – 3
(d) 3n – 2
Answer:
(a) x = 2n + 3, x1 = 2 × 1 + 3 = 5:
തുക = (x1 + xn) × \(\frac{n}{2}\) → (5 + 2n + 3) × \(\frac{n}{2}\)
തുക = (8 + 2n) x \(\frac{n}{2}\) = n2 + 4n
(b) x =3n + 2, x1 = 3 × 1 + 2 = 5
തുക = (x1 + xn)× 2 = (5 + 3n + 2) × \(\frac{n}{2}\)
(c) xn = 2n – 3, x1 = −1, തുക = n2 – 2n
(d) xn = 3n – 2, x1 = 1, തുക = \(\frac{-n}{2}+\frac{3}{2}\)n2
Question 5.
ചില സമാന്തരശ്രേണികളിലെ ആദ്യത്തെ 1 പദങ്ങളുടെ തുക ചുവടെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഓരോ ശ്രേണിയിലെയും 1-ാം പദം കണ്ടുപിടി ക്കുക.
(a) n2 + 2n
(b) 2n + n
(c) n2 – 2n
(d) 2n2 – n
(e) n2 – n
Answer:
(a) തുക = n2 + 2 n
x1 = 12 + 2 × 1 = 3, x1 + x2 = 22 + 2 × 2 = 8
x2 = 8 – 3 = 5, പൊതുവ്യത്യാസം = 5 – 3 = 2.
xn = dn + (f – d) = 2n + 3 – 2 = 2n + 1
x1 ഉം ഉം ആദ്യപദത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
(b) തുക = 2n2 + n, x1 = 2 × 12 + 1 = 3
x1 + x2 = 2 × 22 + 2 = 10
x2 = 10 – 3 = 7, d = 7 – 3 = 4
xn = 4n + (3 – 4) = 4n – 1
(c) Sum = n2 – 2n
x1 = 12 − 2 × 1 = −1,
x1 + x2 = 22 −2 × 2 = 0
x2 = 0 – (-1) = 1.
പൊതുവ്യത്യാസം d = 1 – (-1) = 2
x = dn + (f – d)
= 2n + (-1 – 2)
= 2n – 3
(d) തുക = 2n2 – n
x1 = 2 × 12 − 1 = 1, x1 + x2 = 2 × 22 – 2 = 6
x2 = 6 – 1 = 5, d = 5 – 1 = 4
Xn = 4n – 3
(e) തുക = n2 – n
ഈ ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ നിന്ന് -ാം പദം ലഭിക്കാൻ ഒരു കുറുക്കുവഴി ഉണ്ട്.
pn + qn ആണ് ഈ തുകയുടെ പൊതുവായ രൂപം. 12 ന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ 2 മടങ്ങാണ് പൊതുവ്യത്യാസം.
d = 2p
d = 2 × 1 = 2, f = 1′ – 1 = 0,
x = 2n + (0 – 2) = 2n – 2
ഈ കുറുക്കുവഴി ഒറ്റവാക്കിൽ ഉത്തരമെഴുതാ നുള്ള ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉപകാരപ്പെടും.
Question 6.
(i) 1 മുതൽ 20 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യക ളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
(ii) എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു 1 കൂട്ടിയ ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക. ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
Answer:
(a) 1 മുതൽ 20 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യക ളുടെ തുക = \(\frac{20}{2}\)(20 + 1) = 210
(b) ശ്രേണി 1 × 5 + 1, 2 × 5 + 1, 3 × 5 + 1, അതിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം ആദ്യത്തെ 20 പദങ്ങളുടെ തുക
S20 = 5(1 + 2 + 3 ··· + 20) + 20
= 5 × 210 + 20
= 1070
ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക
= 5 × \(\frac{1}{2}\)n(n + 1) + n
= \(\frac{5}{2}\)n2 + \(\frac{7}{2}\)n
Question 7.
7, 13, 19 …. എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുകയേക്കാൾ എത കൂടുതലാണ് 15,21,27,… എന്ന സമാന്തരശ്രേണി യുടെ ആദ്യത്തെ 25 പദങ്ങളുടെ തുക.
Answer:
രണ്ടു ശ്രേണിയുടെയും പൊതുവ്യത്യാസം 6 ആണ്. അതിനാൽ ഒരേ സ്ഥാനത്തുള്ള പടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവും തുല്യമാണ്. അത് 8 ആണ്.
തുകകളുടെ വ്യത്യാസം = 25 × 8 = 200
Question 8.
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ 10-ാം പദം 50 ഉം 21-ാം പദം 75 ഉം ആണ്. ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 30 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.
Answer:
10-ാം പദം മുതൽ 21-ാം പദം വരെ 12 പദങ്ങളുണ്ട്.
x10 + x21 = 125
അതിനാൽ, x1 + x30 = 125
ആദ്യത്തെ 30 പദങ്ങളുടെ തുക
= (x1 + x30) × \(\frac{30}{2}\)
= 125 × 15
= 1875
10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 3 സമാന്തരശ്രേണിയും ബീജഗണിതവും
Std 10 Maths Chapter 3 Notes Malayalam Medium
→ ആദ്യത്തെ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ സമാന്തരശ്രേണിയും അതിന്റെ സവിശേഷതകളും പരിചയപ്പെട്ടല്ലോ. അതിന്റെ തുടർച്ചയാണ് ഈ അധ്യായം. ഉന്നത പഠനങ്ങൾക്കും സൈദ്ധാന്തിക വിശകലനത്തിനും ശ്രേണി മനസ്സിലാക്കാൻ ബീജഗണിതപരമായി ചർച്ച ചെയ്യണം.
→ സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എന്നത് ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളും എണ്ണൽ സംഖ്യകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ്.
→ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ 7-ാം പദം xn = an + b എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും.
f ആദ്യ പദവും d പൊതുവ്യത്യാസവുമാണെങ്കിൽ, xn = dn + (f – d) അല്ലെങ്കിൽ x = f + (n-1)d ആയിരിക്കും. n-ാം പദം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് n = 1, 2, 3….. നൽകി ശ്രേണിയുടെ സംഖ്യാരൂപം എഴുതാം.
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ തുക
ശ്രേണിയുടെ രണ്ടറ്റങ്ങളിൽ നിന്നും പദങ്ങൾ ജോടിയാക്കി തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് നമ്മൾ ആദ്യ അധ്യായത്തിൽ പഠിച്ചു. ഇവിടെ നമ്മൾ തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് (x1 + xn) × \(\frac{n}{2}\) ആദ്യത്തെ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക, ആദ്യത്തെ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക, ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക എന്നിവയും ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.
→ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എന്നത് ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളും എണ്ണൽ സംഖ്യകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ്.
→ പ്രശ്നപരിഹാരത്തിനും സൈദ്ധാന്തിക ആവശ്യങ്ങൾക്കും ബീജഗണിത രൂപം ഉപയോഗിക്കാം. ആദ്യ പദവും പൊതുവ്യത്യാസവുമാണെങ്കിൽ, xn = dn + (f – d) അല്ലെങ്കിൽ xn = f + (n – 1)d
ആയിരിക്കും. 7-ാം പദം ഉപയോഗിച്ച് n = 1, 2, 3 നൽകി ശ്രേണിയുടെ സംഖ്യാരൂപം എഴുതാം.
→ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ 7-ാം പദം an + b, a പൊതുവ്യത്യാസവും a + b ഒന്നാം പദവും ആദ്യത്തെ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക ശ്രേണിയുടെ രണ്ടറ്റങ്ങളിൽനിന്നും പദങ്ങൾ ജോഡിയാക്കി കണ്ടുപിടിക്കാം.
→ ആദ്യത്തെ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക = \(\frac{1}{2}\) x (n + 1)
ആദ്യത്തെ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക = n2
ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക = n (n + 1)
an + b ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം ആണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ 1 പദങ്ങളുടെ തുക = a(1 + 2 + 3 + ………. + n) + nb = a\(\frac{n}{2}\)(n + 1) + nb
ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക = (x1 + xn) × \(\frac{n}{2}\)
→ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുക pn + qn രൂപത്തിലാണ്.
n = 1 കൊടുക്കുമ്പോൾ, p + 4 ആദ്യപദമായി ലഭിക്കും. n = 2 കൊടുക്കുമ്പോൾ ആദ്യത്തെ രണ്ടു പദങ്ങളുടെ തുക ലഭിക്കും.
→ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ രണ്ടു പദങ്ങളുടെ തുക ആദ്യപദം, രണ്ടാം പദം x ലഭിക്കും.
x2 – x1 = d, പൊതുവ്യത്യാസം
ആദ്യപദവും പൊതുവ്യത്യാസവും ഉപയോഗിച്ച് 1-ാം പദം കണ്ടുപിടിക്കാം.
→ ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങളുടെ തുകയിൽ 1 ന്റെ ഗുണകത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങാണു പൊതുവ്യത്യാസം.
→ ഏതു സമാന്തരശ്രേണിയുടേയും ബീജഗണിതരൂപം
xn = an + b എന്നാണ് ; ഇതിൽ a, b ഇവ നിശ്ചിത സംഖ്യകളാണ്.
ഒന്നു മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ കുറേ എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക അവസാനസംഖ്യയുടെയും അതിനടുത്ത സംഖ്യയുടെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
→ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം xn = an + b ആണെങ്കിൽ, അതിലെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക
x1 + x2 + ………. + xn = \(\frac{1}{2}\) an(n + 1) + nb
ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുടർച്ചയായ കുറേ പദങ്ങളുടെ തുക, ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങളുടെ തുകയെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ പകുതിയാണ്.
→ ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടേയും ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ ബീജഗണിതരൂപം pn + qn എന്നാണ്. ഇതിൽ p, 4 നിശ്ചിത സംഖ്യകളാണ്.