Class 10 Maths Chapter 9 Question Answer Malayalam Medium ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 9 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 9 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 9 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 9 Kerala Syllabus Malayalam Medium

ഗുണനക്രിയകൾ (Textbook Page No. 190)

ചുവടെയുള്ള ഓരോ കൂട്ടത്തിലെയും ഗുണനങ്ങൾ മനക്കണക്കായി ചെയ്യുക. ഓരോ കൂട്ടത്തിൽ നിന്നും കിട്ടുന്ന പൊതുതത്വം ബീജഗണിത സമവാക്യമായി എഴുതുക.

Question 1.
(i) 43 × 47
(ii) 63 × 67
(iii) 103 × 107
Ans:
(i) 43 × 47
= (40 + 3)(40 + 7)
= (40 × 40) + (40 × 7) + (3 × 40) + (3 × 7)
= 1600 + 40(7 + 3) + 21
= 1600 + 400 + 21
= 2021

(ii) 63 × 67
= (60 + 3)(60 + 7)
= (60 × 60) + (60 × 7) + (3 × 60) + (3 × 7)
= 3600 + 60(7 + 3) + 21
= 3600 + 600 + 21
= 4221

(iii) 103 × 107
= (100 + 3)(100 + 7)
= (100 × 100) + (100 × 7) + (3 × 100) + (3 × 7)
= 10000 + 100(7 + 3) + 21
= 10000 + 1000 + 21
= 11021
x ഏതു എണ്ണൽ സംഖ്യ ആയാലും,
(x + 3)(x + 7) = x² + (3 + 7)x + 21 = x² + 10x + 21

Question 2.
(i) 51 × 52
(ii) 81 × 82
(iii) 301 × 302
Answer:
(i) 51 × 52
= (50 + 1)(50 + 2)
= (50 × 50) + (50 × 2) + (1 × 50) + (1 × 2)
= 2500 + 50(1 + 2) + 2
= 2500 + 150 + 2
= 2652

(ii) 81 × 82
= (80 + 1)(80 + 2)
= (80 × 80) + (80 × 2) + (1 × 80) + (1 × 2)
= 6400 + 80(1 + 2) + 2
= 6400 + 240 + 2
= 6642

(iii) 301 × 302
= (300 + 1)(300 + 2)
= (300 × 300) + (300 × 2) + (1 × 300) + (1 × 2)
= 90000 + 300(1 + 2) + 2
= 90000 + 900 + 2
= 90902
x ഏതു എണ്ണൽ സംഖ്യ ആയാലും,
(x + 1)(x + 2) = x² + (1 + 2)x + 2 = x² + 3x + 2

ബഹുപദഗുണനം (Textbook Page No. 193)

Question 1.
ചുവടെയുള്ള ഗുണനഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
(i) (x + 2)(x + 5)
(ii) (x + 2)(x – 5)
(iii) (x – 2)(x + 5)
(iv) (x – 2)(x – 5)
Answer:
(i) (x + 2)(x + 5)
= x² + (2 + 5) × x + 2 × 5
= x² + 7x + 10

(ii) (x + 2)(x – 5)
= (x + 2)(x + (-5))
= x² + (2 + (-5)) × x + 2(-5)
= x² – 3x – 10

(iii) (x – 2)(x + 5)
= (x + (-2))(x + 5)
= x² + ((-2) + 5) × x + (-2) × 5
= x² + 3x – 10

(iv) (x – 2)(x – 5)
= (x + (-2))(x + (-5))
= x² + ((-2) + (-5)) × x + (-2)(-5)
= x² – 7x + 10

ബഹുപദഘടകങ്ങൾ (Textbook Page No. 195)

Question 1.
ചുവടെയുള്ള രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളെ രണ്ട് ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതിനോക്കു:
(i) x² + x – 6
(ii) x² – x – 6
(iii) x² + 7x + 6
(iv) x² – 7x + 6
Answer:
(i) x² + x – 6 = (x + a)(x + b) എന്നെടുത്താൽ
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x² + x – 6 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 1, ab = -6
അതായത് തുക 1 ഉം ഗുണനഫലം -6 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
അപ്പോൾ സംഖ്യകൾ -2 ഉം 3 ഉം ആണ്.
അതിനാൽ x² + x – 6 = (x + (-2)) (x + 3)
⇒ x² + x – 6 = (x – 2)(x + 3)

(ii) x² – x – 6 = (x + a)(x + b)
എന്നെടുത്താൽ x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x² – x – 6 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = -1, ab = -6
അതായത് തുക -1 ഉം ഗുണനഫലം -6 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
അപ്പോൾ സംഖ്യകൾ 2 ഉം -3 ഉം ആണ്.
അതിനാൽ x² – x – 6 = (x + 2)(x + (-3))
⇒ x² – x – 6 = (x + 2)(x – 3)

(iii) x² + 7x + 6 = (x + a)(x + b) എന്നെടുത്താൽ
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x² + 7x + 6 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 7, ab = 6
അതായത് തുക 7 ഉം ഗുണനഫലം 6 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
അപ്പോൾ സംഖ്യകൾ 1 ഉം 6 ഉം ആണ്.
അതിനാൽ x² + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)

(iv) x² – 7x + 6 = (x + a) (x + b)
എന്നെടുത്താൽ x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x² – 7x + 6 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = -7, ab = 6
അതായത് തുക -7 ഉം ഗുണനഫലം 6 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
അപ്പോൾ സംഖ്യകൾ -1 ഉം -6 ഉം ആണ്.
അതിനാൽ x² – 7x + 6 = (x + (-1))(x + (-6))
⇒ x² – 7x + 6 = (x – 1)(x – 6)

ബഹുപദഘടകങ്ങൾ (Textbook Page No. 197)

Question 1.
ചുവടെയുള്ള ബഹുപദങ്ങളെ രണ്ടു ഒന്നാം കൃതി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
(i) x² + 30x + 221
(ii) x² + 4x – 221
(iii) x² + x – 156
Answer:
(i) x² + 30x + 221 = (x + a)(x + b)
എന്നെടുത്താൽ x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x² + 30x + 221 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 30, ab = 221
അതായത് തുക 30 ഉം ഗുണനഫലം 221 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 30² – 4 × 221
⇒ (a – b)² = 900 – 884 = 16
⇒ a – b = ±4
a – b = 4, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 30, a – b = 4
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (30 + 4) = \(\frac {1}{2}\) × 34 = 17
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (30 – 4) = \(\frac {1}{2}\) × 26 = 13
a – b = -4, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 30, a – b = -4
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (30 + (-4)) = \(\frac {1}{2}\) × 26 = 13
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (30 – (-4)) = \(\frac {1}{2}\) × 34 = 17
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്, x² + 30x + 221 = (x + 13)(x + 17)

(ii) x² + 4x – 221 = (x + a)(x + b)
എന്നെടുത്താൽ x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x² + 4x – 221 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 4, ab = -221
അതായത് തുക 4 ഉം ഗുണനഫലം -221 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 4² – 4 × (-221)
⇒ (a – b)² = 16 + 884 = 900
⇒ a – b = ±30
a – b = 30 എന്നെടുത്താൽ
a + b = 4, a – b = 30
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (4 + 30) = \(\frac {1}{2}\) × 34 = 17
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (4 – 30) = \(\frac {1}{2}\) × (-26) = -13
a – b = -30, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 4, a – b = -30
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (4 + (-30)) = \(\frac {1}{2}\) × (-26) = -13
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (4-(-30)) = \(\frac {1}{2}\) × 34 = 17
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്, x² + 4x – 221 = (x + (-13))(x + 17)
⇒ x² + 4x – 221 = (x – 13)(x + 17)

(iii) x² + x – 156 = (x + a)(x + b)
എന്നെടുത്താൽ x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
⇒ x²+ x – 156 = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 1, ab = -156
അതായത് തുക 1 ഉം ഗുണനഫലം -156 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 1² – 4 × (-156)
⇒ (a – b)² = 1 + 624 = 625
⇒ a – b = ±25
a – b = -25, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 1, a – b = -25
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (1 + 25) = \(\frac {1}{2}\) × 26 = 13
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (1 – 25) = \(\frac {1}{2}\) × (-24) = -12
a – b = -25 എന്നെടുത്താൽ
a + b = 1, a – b = -25
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (1 + (-25)) = \(\frac {1}{2}\) × (-24) = -12
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (1 – (-25) = \(\frac {1}{2}\) × 26 = 13
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്, x² + x – 156 = (x + 13)(x + (-12))
⇒ x² + x – 156 = (x + 13)(x – 12)

ഘടകങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും (Textbook Page No. 202)

Question 1.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം മറ്റൊരു വശത്തേക്കാൾ 2 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. അതിന്റെ പരപ്പളവ് 48 ചതുരശ്രമീറ്ററും. ഈ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചതുരത്തിന്റെ ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം x മീറ്റർ എന്നെടുത്താൽ വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം x + 2 മീറ്റർ
പരപ്പളവ് = x(x + 2) = 48
⇒ x² + 2x = 48
⇒ x² + 2x – 48 = 0
⇒ x² + 2x – 48 = (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 2, ab = -48
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 2² – 4 × (-48)
⇒ (a – b)² = 4 + 192 = 196
⇒ a – b = ±14
a – b = 14 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = 2, a – b = 14
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (2 + 14) = \(\frac {1}{2}\) × 16 = 8
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (2 – 14) = \(\frac {1}{2}\) × (-12) = -6
a – b = -14 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = 2, a – b = -14
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (2 + (-14) = \(\frac {1}{2}\) × (-12) = -6
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (2 – (-14) = \(\frac {1}{2}\) × 16 = 8
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്,
x² + 2x – 48 = (x + 8)(x + (-6))
⇒ x² + 2x – 48 = (x + 8)(x – 6)
x² + 2x – 48 = 0
⇒ (x + 8)(x – 6) = 0
⇒ x = -8 or x = 6
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമായ തിനാൽ ന്യൂനസംഖ്യ അല്ല.
അതിനാൽ ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം 6 മീറ്റർ.
വലിയവശത്തിന്റെ നീളം 6 + 2 = 8 മീറ്റർ.

Question 2.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ ഒരു വശത്തിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങിൽ നിന്ന് ഒരു സെന്റിമീറ്റർ കുറച്ചതാണ് അതിനു ലംബമായ വശം; രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒരു സെന്റിമീറ്റർ കൂട്ടിയതാണ് കർണ്ണം. വശങ്ങളുടെ നീളം എന്തൊക്കെയാണ്?
Answer:
ചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം x എന്നെടുത്താൽ
ലംബമായ വശം = 2x – 1
കർണ്ണം = 2x + 1
പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം
അനുസരിച്ച്,കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗ്ഗം, മറ്റ് രണ്ടു
വശങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.
(2x + 1)² = x² + (2x – 1)²
⇒ 4x² + 4x + 1 = x² + 4x² – 4x + 1
⇒ x² – 8x = 0
⇒ x(x – 8) = 0
⇒ x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 8
x ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമായതിനാൽ x = 0 അല്ല.
അതിനാൽ വശത്തിന്റെ നീളം 8 മീറ്റർ ലംബമായ വശം = 2 × 8 – 1 = 15 മീറ്റർ
കർണ്ണം = 2 × 8 + 1 = 17 മീറ്റർ

Question 3.
1 മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എത്ര വരെ കൂട്ടിയാലാണ് 300 കിട്ടുക?
Answer:
1 മുതലുള്ള തുടർച്ചായ n എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ കൂട്ടി യാലാണ് 300 കിട്ടുക എന്നെടുത്താൽ,
1 മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ
തുക = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
⇒ \(\frac{n(n+1)}{2}\) = 300
⇒ \(\frac{n^2+n}{2}\) = 300
⇒ n² + n = 600
⇒ n² + n – 600 = 0
n² + n – 600 = (n + a)(n + b) = n² + (a + b)n + ab
⇒ a + b = 1, ab = -600
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 1² – 4 × (-600)
⇒ (a – b)² = 1 + 2400 = 2401
⇒ a – b = ±49
a – b = 49 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = 1, a – b = 49
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (1 + 49) = \(\frac {1}{2}\) × 50 = 25
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (1 – 49) = \(\frac {1}{2}\) × (-48) = -24
a – b = -49 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = 1, a – b = -49
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (1 – 49) = \(\frac {1}{2}\) × (-48) = -24
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (1 – (-49)) = \(\frac {1}{2}\) × (1 + 49) = 25
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്,
n² + n – 600 = (n + 25)(n – 24)
n² + n – 600 = 0
⇒ (n + 25)(n – 24) = 0
⇒ n = 25 അല്ലെങ്കിൽ n = 24
n എന്നത് സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ആയതിനാൽ ന്യൂന സംഖ്യ അല്ല.
അതിനാൽ n = 24
1 മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ 24 വരെ എണ്ണൽ സംഖ്യ കൾ കൂട്ടിയാലാണ് 300 കിട്ടുക.

Question 4.
x2 – 2x – 1 എന്ന ബഹു പദത്തിന്റെ ചിത്രം, x അകത്തെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ഏതൊക്കെ യാണ്?
Answer:
x² – 2x – 1 എന്ന ബഹു പദത്തിന്റെ ചിത്രം, x അക്ഷത്തെ മുറിച്ചുകടക്കണമെങ്കിൽ x² – 2x – 1 = 0 ആയിരിക്കും.
x² – 2x – 1 = (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = -2, ab=-1
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = (-2)² – 4 × (-1)
⇒ (a – b)² = 4 + 4 = 8
⇒ a – b = ±√8 = ±2√2
a – b = 2√2 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = -2, a – b = 2√2
a = \(\frac {1}{2}\)(-2 + 2√2)
= \(\frac {1}{2}\) × 2(-1 + √2)
= √2 – 1
b = \(\frac {1}{2}\)(-2 – 2√2)
= \(\frac {1}{2}\) × 2(-1 – √2)
= -1 – √2
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്,
x² – 2x – 1 = (x + √2 – 1)(x + (-1 – √2))
x² – 2x – 1 = 0
⇒ (x + √2 – 1)(x + (-1 – √2)) = 0
⇒ x = 1 – √2 അല്ലെങ്കിൽ x = 1 + √2
x² – 2x – 1 എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ ചിത്രം, x-അക്ഷത്തെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ (1 – √2, 0), (1 + √2, 0)

പൊതുപരിഹാരം (Textbook Page No. 206)

Question 1.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ബഹുപദങ്ങളുടെ ചിത്രങ്ങൾ x-അക്ഷത്തെ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ കണക്കാക്കുക.
(i) 2x² – 7x – 1
(ii) 2x² + 7x – 1
(iii) 9x² + 12x + 4
Answer:
(i) 2x² – 7x – 1 = 0
a = 2, b = -7, c = -1
അതിനാൽ,

x-അക്ഷത്തെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ:
(\(\frac{7+\sqrt{57}}{4}\), 0) & (\(\frac{7-\sqrt{57}}{4}\), 0)

(ii) 2x² + 7x – 1 = 0
a = 2, b = 7, c = -1
അതിനാൽ,

x-അകത്തെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ
(\(\frac{-7+\sqrt{57}}{4}\), 0) & (\(\frac{-7-\sqrt{57}}{4}\), 0)

(iii) 9x² + 12x + 4 = 0
a = 9, b = 12, c = 4
അതിനാൽ,
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

x-അക്ഷത്തെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദു: (-3, 0)

Question 2.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 42 മീറ്ററും, അതിന്റെ വികർണ്ണം 15 മീറ്ററുമാണ്. അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം എന്താണ്?
Answer:
ചതുരത്തിന്റെ നീളം x എന്നെടുത്താൽ
ചുറ്റളവ് = 42 മീറ്റർ
⇒ 2(നീളം + വീതി) = 42
⇒ നീളം + വീതി = 21
⇒ x + വീതി = 21
⇒ വീതി = 21 – x
വികർണ്ണം = 15 മീറ്റർ
x² + (21 – x)² = 15²
⇒ x² + 21² – 42x + x² = 152
⇒ 2x² – 42x + 441 = 225
⇒ 2x² – 42x + 216 = 0
a = 2, b = -42, c = 216
അതിനാൽ,

ചതുരത്തിന്റെ നീളം 12 എന്നെടുത്താൽ,
വീതി = 21 – 12 = 9 മീറ്റർ
ചതുരത്തിന്റെ നീളം 9 എന്നെടുത്താൽ,
വീതി = 21 – 9 = 12 മീറ്റർ

Question 3.
ചതുരാകൃതിയായ ഒരു കടലാസിൽ നിന്ന് ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ രണ്ടു സമചതുരങ്ങൾ മുറിച്ചു മാറ്റുന്നു.

മിച്ചമുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 27 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററാണ്. ചതുരത്തിന്റെ മറ്റു വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണ്?
Answer:
മുറിച്ചു മാറ്റിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശം x എന്നെടു ത്താൽ,
മിച്ചമുള്ള ചതുരത്തിന്റെ നീളം = 15 – 2x
വീതി = x
മിച്ചമുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 27 ചതുരശ്രമീറ്റർ
⇒ x(15 – 2x) = 27
⇒ 15x – 2x² = 27
⇒ 2x² – 15x + 27 = 0
a = 2, b = -15, c = 27

ചതുരത്തിന്റെ മറ്റേ വശത്തിന്റെ നീളം = 4.5 മീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ 3 മീറ്റർ.

Question 4.
1, 5, 9,…. എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ എത്ര പദങ്ങൾ കൂട്ടിയാലാണ് 91 കിട്ടുക?
Answer:
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ ആ n പദങ്ങൾ കൂട്ടി യാലാണ് 91 കിട്ടുക എന്നെടുത്താൽ,
മണിയുടെ n-ാം പദം = dn + (f – d)
= 4n + (1 – 4)
= 4n – 3
ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക = \(\frac {n}{2}\)(4n – 3 + 1)
= \(\frac {n}{2}\)(4n – 2)
= \(\frac {n}{2}\) × 2(2n – 1)
= n(2n – 1)
= 2n² – n
അതിനാൽ,
2n² – n = 91
2n² – n – 91 = 0
a = 2, b = -1, c = -91

n എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ആയതിനാൽ ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യ ആയിരിക്കും.
അതിനാൽ n = 7
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 7 പദങ്ങൾ കൂട്ടി യാലാണ് 91 കിട്ടുക.

Question 5.
28 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കമ്പി വളച്ച് ഒരു ചതുരമുണ്ടാക്കണം.
(i) വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരമുണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമോ?
(ii) വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 10 സെന്റിമീറ്റർ ആയാലോ?
(iii) വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 14 സെന്റിമീറ്റർ ആയാലോ?
ഇവയിലെ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുന്ന ചതുരങ്ങളുടെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെയും നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
(i) ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 28 സെന്റിമീറ്റർ
ചതുരത്തിന്റെ നീളം x എന്നെടുത്താൽ
⇒ 2(നീളം + വീതി) = 28
⇒ നീളം + വീതി = 14
⇒ x + വീതി = 14
⇒ വീതി = 14 – x
വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെടു ത്താൽ,
x² + (14 – x)² = 8²
⇒ x² + 14² – 28x + x² = 82
⇒ 2x² – 28x + 196 = 64
⇒ 2x² – 28x + 132 = 0
a = 2, b = -28, c = 132
അതിനാൽ,

∴ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുര മുണ്ടാക്കാൻ കഴിയില്ല.

(ii) വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 10 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെടു
x² + (14 – x)² = 10²
⇒ x² + 14² – 28x + x² = 102
⇒ 2x² – 28x + 196 = 100
⇒ 2x² – 28x + 96 = 0
a = 2, b = -28, c = 96
അതിനാൽ


ചതുരത്തിന്റെ നീളം 8 എന്നെടുത്താൽ,
വീതി = 14 – 8 = 6 മീറ്റർ
ചതുരത്തിന്റെ നീളം 6 എന്നെടുത്താൽ,
വീതി = 14 – 6 = 8 മീറ്റർ
വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 10 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരമുണ്ടാക്കാൻ കഴിയും.

(iii) വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 14 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെ ടുത്താൽ
x² + (14 – x)² = 142
⇒ x² + 142 – 28x + x² = 142
⇒ 2x² – 28x + 196 = 196
⇒ 2x² – 28x = 0
⇒ 2x(x – 14) = 0
⇒ x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x – 14 = 0
⇒ x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 14
x ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമായ തിനാൽ x = 0 അല്ല
അതിനാൽ ചതുരത്തിന്റെ നീളം = 14 cm
വീതി = 14 – 14 = 0 മീറ്റർ
ചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം ഒരിക്കലും 0 ആകില്ല.
വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 14 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുര മുണ്ടാക്കാൻ കഴിയില്ല.

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 9 ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും

Std 10 Maths Chapter 9 Notes Malayalam Medium

തുക തുക കൊണ്ടു ഗുണിക്കാൻ, ആദ്യത്തെ തുകയിലെ ഓരോ സംഖ്യയേയും രണ്ടാമത്തെ തുകയിലെ ഓരോ സംഖ്യകൊണ്ടും ഗുണിച്ചു, ഗുണനഫലങ്ങളെല്ലാം കൂട്ടണം.
x, y, u, v എന്ന ഏതു നാല് അധിസംഖ്യകളെടുത്താലും
(x + y) (u + v) = xu + xv + yu + yv

x + a എന്ന ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദത്തിന്റെയും x + b എന്ന ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദത്തിന്റെയും ഗുണന ഫലം x² + (a + b)x + ab എന്ന രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദമാണ് x, a, b ഏതു സംഖ്യകളായാലും.

• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (x + a)(x – b) = x² + (a – b)x – ab
• (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab

ഒരു രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദത്തെ രണ്ടു ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതാം

ax² + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒന്നോ അതിലധികമോ പദങ്ങളുടെ ബീജീയ വ്യഞ്ജനം ആണ് ബഹുപദം. ഒന്നോ അതിലധികമോ ചരങ്ങൾക്കും സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്കും ഇടയിൽ ഗണിതസംകാരകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ബഹുപദങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നത്.
ഉദാഹരണം: 2x² – 3x + 1
ഒരു ബഹുപദത്തിലെ ഓരോ ഭാഗത്തെയും പദം എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 2x² എന്നത് ഒരു പദമാണ്. അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്ന, മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന വിലകളുള്ള ഘടകങ്ങളാണ് ചരങ്ങൾ. 2x² – 3x+1 എന്ന ബഹുപദത്തിൽ x ചരമാണ്. കൂട്ടുക, കുറയ്ക്കുക, ഗുണിക്കുക, ഹരിക്കുക തുടങ്ങിയ ഗണിതക്രിയകളാണ് ഗണിതസംകാരകങ്ങൾ.
കൃതി രണ്ടായ സമവാക്യങ്ങളെ രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് പറയുന്നു.
രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പൂർണ്ണരൂപം ax² + bx + c = 0
ax² + bx + c = 0 എന്ന രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

ഗുണനക്രിയകൾ
തുകയെ തുക കൊണ്ടു ഗുണിക്കാൻ, ആദ്യത്തെ തുകയിലെ ഓരോ സംഖ്യയേയും രണ്ടാമത്തെ തുകയിലെ ഓരോ സംഖ്യകൊണ്ടും ഗുണിച്ചു. ഗുണനഫലങ്ങളെല്ലാം കൂട്ടണം.
ബീജഗണിതസമവാക്യമായി എഴുതിയാൽ,
x, y, u, v എന്ന ഏതു നാല് അധിസംഖ്യകളെടുത്താലും,
(x + y)(u + v) = xu + xv + yu + yv

ബഹുപദഗുണനം
x, a, b ഏതു സംഖ്യകളായാലും,
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
ബഹുപദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പറഞ്ഞാൽ,
x + a എന്ന ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദത്തിന്റെയും x + b എന്ന ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം x² + (a + b)x + ab എന്ന രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദമാണ്.
അതുപോലെതന്നെ,

• (x + a)(x – b) = x² + (a – b)x – ab
• (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab

ബഹുപദഘടകങ്ങൾ
ഒരു രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദത്തെ രണ്ടു ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, x² + 5x + 6 നെ രണ്ടു ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് നോക്കാം.
x² + 5x + 6 = (x + a)(x + b) എന്നെടുത്താൽ
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
x² + 5x + 6 = x² + (a + b)x + ab
a + b = 5, ab = 6
അതായത് തുക 5 ഉം ഗുണനഫലം 6 ഉം ആയ രണ്ടു സംഖ്യകളാണ് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടത്.
അപ്പോൾ സംഖ്യകൾ 2 ഉം 3 ഉം ആണ്.
അതിനാൽ, x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

എല്ലാ കണക്കുകളിലും ഇതുപോലെ രണ്ടു സംഖ്യ കളുടെ തുകയും ഗുണനഫലവും തന്നാൽ സംഖ്യകൾ കണ്ടു പിടിക്കുന്നത് എളുപ്പമല്ല.
അങ്ങനെയുള്ള കണക്കുകളിൽ (a – b)² = (a + b)² – 4ab എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് a – b കണ്ടുപിടിക്കുക. പിന്നീട് a + b, a – b യും ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ കണ്ടു പിടിക്കാം.

ഘടകങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശം മറ്റൊരു വശത്തേക്കാൾ 3 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. അതിന്റെ പരപ്പളവ്, 270 ചതുരശ്രമീറ്ററും. ഈ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം എന്തൊക്കെയാണ്?
ചതുരത്തിന്റെ ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം x മീറ്റർ
എന്നെടുത്താൽ വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം x + 3
മീറ്റർ, പരപ്പളവ് = x(x + 3) = 270 ചതുരശ്രമീറ്റർ
ചോദ്യം ബീജഗണിതരൂപത്തിലാക്കിയാൽ
x² + 3x = 270 ആകണമെങ്കിൽ x എന്താകണം?
x²+ 3x – 270 = 0 ആകണമെങ്കിൽ x എന്താകണം?
x² + 3x – 270 നെ ഘടകങ്ങൾ ആക്കുക.
x² + 3x – 270 = (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = 3, ab = -270
(a – b)² = (a + b)² – 4ab എന്ന സമവാക്യം ഉപയോ a – b കാണുക.
⇒ (a – b)² = 3² – 4 × (-270)
⇒ (a – b)² = 9 + 1080 = 1089
a – b കാണാൻ 1089 ന്റെ വർഗമൂലം കണക്കാക്കണം.
1089 = 32 × 112 = (3 × 11)² = 33²
⇒ a – b = ±33
a – b = 33 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = 3, a – b = 33
⇒ a = \(\frac {1}{2}\) × (3 + 33) = \(\frac {1}{2}\) × 36 = 18
⇒ b = \(\frac {1}{2}\) × (3 – 33) = \(\frac {1}{2}\) × (-30) = -15
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്,
⇒ x² + 3x – 270 = (x + 18)(x + (-15))
⇒ x² + 3x – 270 = (x + 18) (x – 15)
x² + 3x – 270 = 0
⇒ (x + 18)(x – 15) = 0 ആകണമെങ്കിൽ x എന്താകണം?
⇒ x = -18 അല്ലെങ്കിൽ x = 15

x ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമായതിനാൽ ന്യൂനസംഖ്യ അല്ല. അതിനാൽ ചെറിയ വശത്തിന്റെ നീളം 15 മീ. വലിയവശത്തിന്റെ നീളം 15 + 3 = 18 മീ.
ഒരു സംഖ്യയോട് ഒന്നു കൂട്ടിയപ്പോൾ ആ സംഖ്യ യുടെ വർഗം കിട്ടി. സംഖ്യ എന്താണ്?
സംഖ്യ x എന്നെടുത്താൽ,
x + 1 = x²
⇒ x² – x – 1 = 0 ആകണമെങ്കിൽ x എന്താകണം?
x² – x – 1 നെ ഘടകങ്ങൾ ആക്കുക.
x² – x – 1 = (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
⇒ a + b = -1, ab = -1
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = (-1)² – 4 × (-1)
⇒ (a – b)² = 1 + 4 = 5
⇒ a – b = ±√5
a – b = √5 എന്നെടുത്താൽ,
a + b = -1, a – b = √5

\(-\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനോട് 1 കൂട്ടിയാലും അതിന്റെ വർഗം കിട്ടും.

പൊതുപരിഹാരം
ഏതു രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദത്തിനെയും ax² + bx + c എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
അപ്പോൾ ഏതു രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യത്തെയും ax² + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
ax² + bx + c = 0
⇒ \(x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\) = 0
\(x^2+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\) = (x + p)(x + q) = x² + (p + q)x + pq
⇒ p + q = \(\frac {b}{a}\) എന്നും pq = \(\frac {c}{a}\) എന്നും കിട്ടും
(p – q)² = (p + q)² – 4pq എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു p – q കണ്ടുപിടിക്കുക.
p – q, p + q ഉപയോഗിച്ച് p, q ഇവ കാണുക.
ചുരുക്കി പറയുമ്പോൾ,
ax² + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)