When preparing for exams, Kerala SCERT Class 9 Maths Solutions Chapter 14 Malayalam Medium അനുപാതം can save valuable time.
Kerala SCERT Class 9 Maths Chapter 14 Solutions Malayalam Medium അനുപാതം
Class 9 Maths Chapter 14 Kerala Syllabus Malayalam Medium
Class 9 Maths Chapter 14 Malayalam Medium Textual Questions and Answers
Question 1.
ചുവടെ പറയുന്ന ഓരോ സന്ദർഭത്തിലും ആദ്യത്തെ അളവിന് ആനുപാതികമായാണ് രണ്ടാമത്തെ അളവ് മാറുന്നത് എന്നു തെളിയിക്കുക. ഓരോന്നിലും ആനുപാതികസ്ഥിരം
കണക്കാക്കുക:
i) വശങ്ങളുടെ നീളം പലതായി വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ വശത്തിന്റെ നീളവും, ചുറ്റളവും.
ii) പല നീളങ്ങളുള്ള കമ്പികൾ വളച്ചുണ്ടാക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളിൽ കമ്പിയുടെ നീളവും, വശ ത്തിന്റെ നീളവും.
iii) ഒരു വരയിലൂടെ ഉരുളുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ കറക്കങ്ങളുടെ എണ്ണവും, വരയിലൂടെ സഞ്ചരിച്ച ദൂരവും.
Answer:
i) സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം 5 എന്നും, ചുറ്റളവിനെ P എന്നും എടുക്കാം.
സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, P = 4s
ഇനി, ചുറ്റളവും ഒരു വശത്തിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടെത്താം:
\(\frac{P}{s}=\frac{4 s}{s}\) = 4
സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിനൊപ്പം ആനുപാതികമായി മാറുന്നുവെന്നു കാണാം. ഇതിന്റെ, ആനുപാതികസ്ഥിരം 4 ആണ്.
ii) കമ്പിയുടെ മുഴുവൻ നീളം L എന്നും, സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം 5 എന്നും എടുക്കാം. സമചതുരത്തിന്റെ മുഴുവൻ നീളം, L = 45
കമ്പിയുടെ മുഴുവൻ നീളവും സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം
കണ്ടെത്താം:
\(\frac{L}{s}=\frac{4 s}{s}\) = 4
കമ്പിയുടെ മുഴുവൻ നീളം സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളത്തിനൊപ്പം ആനുപാതികമായി മാറുന്നു. ഇതിന്റെ, ആനുപാതികസ്ഥിരം 4 ആണ്.
iii) വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം r എന്നും, ചുറ്റളവിനെ C എന്നും എടുക്കാം.
വ്യത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, C = 2πr
ഒരു വരയിലൂടെ ഉരുളുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ കറക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം n എന്നും, വരയിലൂടെ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം d എന്നും എടുത്താൽ d =n C = n2πr
സഞ്ചരിച്ച ദൂരവും കറക്കത്തിന്റെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടത്താം:
\(\frac{d}{n}\) = 2πг
സഞ്ചരിച്ച ദൂരം കറക്കത്തിന്റെ എണ്ണത്തിനൊപ്പം ആനുപാതകമായി മാറുന്നു. ഇതിന്റെ ആനുപാതികസ്ഥിരം 21 ആണ്.
Question 2.
ചിത്രത്തിലെ ചരിഞ്ഞ വരയിലെ ബിന്ദുക്കളെല്ലാമെടുത്താൽ, കോണിന്റെ മൂലയിൽ നിന്നുള്ള അകലത്തിന് ആനുപാതികമായാണ്, താഴത്തെ വരയിൽ നിന്നുള്ള ഉയരം മാറുന്നത് എന്നു കണ്ടല്ലോ 30, 45°, 60° കോണുകളിൽ ആനുപാതികസ്ഥിരം കണക്കാക്കുക.
Answer:
കോൺ 30° ആയാൽ
ത്രികോണം ABC, AC = 2 സെമീ, BC = 1 സെമീ, AB = √3 സെ.മീ
ഇവിടെ ABC യും APQ യും സദൃശത്രികോണങ്ങളാണ്.
\(\frac{A C}{A Q}=\frac{B C}{P Q}=\frac{A B}{A P}\)
BC യും PO യും ഉയരമായിട്ടും AC യും AQ യും അകലമായിട്ടും കണക്കാക്കുന്നു.
\(\frac{A C}{A Q}=\frac{B C}{P Q}\)
AQ = PQ × \(\frac{A C}{B C}\) = PQ × \(\frac{2}{1}\)
AQ = 2 PQ
അതിനാൽ, ആനുപാതികസ്ഥിരം = 2
കോൺ 60° ആയാൽ
ത്രികോണം ABC, AC = 2 സെമീ, AB = 1 സെമീ, BC = √3 സെമീ
ഇവിടെ ABC യും APO യും സദൃശത്രികോണങ്ങളാണ്.
\(\frac{A C}{A Q}=\frac{B C}{P Q}=\frac{A B}{A P}\)
BC യും PO യും ഉയരമായിട്ടും AC യും AQ യും അകലമായിട്ടും കണക്കാക്കുന്നു.
\(\frac{A C}{A Q}=\frac{B C}{P Q}\)
AQ = PQ × \(\frac{A C}{B C}\) = PQ × \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
AQ = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) PQ
അതിനാൽ, ആനുപാതികസ്ഥിരം = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
കോൺ 45° ആയാൽ
ത്രികോണം ABC, AC = √2 സെമീ, BC = 1 സെമീ, AB = 1 സെമീ
ഇവിടെ ABC യും APO യും സദൃശത്രികോണങ്ങളാണ്.
\(\frac{A C}{A Q}=\frac{B C}{P Q}=\frac{A B}{A P}\)
BC യും PQ യും ഉയരമായിട്ടും AC യും AQ യും അകലമായിട്ടും കണക്കാക്കുന്നു.
\(\frac{A C}{A Q}=\frac{B C}{P Q}\)
AQ = PQ × \(\frac{A C}{B C}\)
AQ = PQ × √2
AQ = √2 PQ
അതിനാൽ, ആനുപാതികസ്ഥിരം = √2
Question 3.
വശങ്ങളുടെ നീളം പലതായി വരയ്ക്കുന്ന സമഭുജത്രികോണങ്ങളുടെ ചുറ്റളവ് വശത്തിന് ആനുപാതികമാണ് എന്ന് സമർത്ഥിക്കുക. ആനുപാതികസ്ഥിരം കണക്കാക്കുക. മറ്റു സമബഹുഭുജങ്ങളിലോ?
Answer:
വശങ്ങളുടെ നീളം 5 ഉള്ള ഒരു സമഭുജത്രികോണം പരിഗണിക്കാം.
സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, P = 35
ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവുമായി ആനുപാതികമായി മാറുന്നു, ആനുപാതികസ്ഥിരം 3 ആണ്.
n വശങ്ങളുള്ളതും 5 നീളമുള്ളതുമായ ഒരു സമബഹുഭുജത്തെ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, P = ns
ഏതൊരു സമബഹുഭുജത്തിന്റെയും ചുറ്റളവ് അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവുമായി
ആനുപാതികമായി മാറുന്നു, ആനുപാതികസ്ഥിരം വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
Question 4.
ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തത്തിലെ വ്യത്യസ്ത ചാപങ്ങളുടെ നീളം, അവയുടെ കേന്ദ്രകോണിന് ആനുപാതികമാണ് എന്നു തെളിയിക്കുക. ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണ്? വ്യത്യസ്ത വൃത്താംശങ്ങളുടെ പരപ്പളവും കേന്ദ്രകോണും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമോ ?
Answer:
വ്യത്തത്തിന്റെ വ്യാസം = r സെമീ
കേന്ദ്രകോൺ = θ
ചാപത്തിന്റെ നീളം, L = θ x r
ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തത്തിന്റെ ചാപത്തിന്റെ നീളം അവയുടെ കേന്ദ്രകോണുമായി ആനുപാതികമായി മാറുന്നു, ആനുപാതികസ്ഥിരം r ആണ്.
വൃത്താംശത്തിന്റെ പരപ്പളവ് A = \(\frac{1}{2}\)r² θ
ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തത്തിന്റെ വൃത്താംശത്തിന്റെ പരപ്പളവ് അതിന്റെ കേന്ദ്രകോണുമായി ആനുപാതികമായി മാറുന്നു, ആനുപാതികസ്ഥിരം = \(\frac{1}{2}\)r² ആണ്.
Question 5.
i) ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ തുക എത്രയാണ്? ഒരു ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെയോ ?
iii) ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം മാറുന്നതിന് ആനുപാതികമായാണോ, കോണു കളുടെ തുക മാറുന്നത് ? കാരണം വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
i) ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക = (3 – 2) × 180° = 180°
ഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക = (6 – 2) × 180° = 720°
ii) n വശങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എന്നു പറയുന്നത്, S = (n – 2) × 180°
ബഹുഭുജങ്ങളുടെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിനു ആനുപാതികമായി മാറുന്നു, ആനുപാതികസ്ഥിരം 180° ആണ്.
Question 6.
പാദം 6 സെന്റിമീറ്ററും, ഉയരം 3 സെന്റിമീറ്ററും ആയ ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ പാദത്തിനു സമാന്തരമായി വരകൾ വരയ്ക്കുന്നു ഈ വരകളുടെ നീളം മുകളിലെ മൂലയിൽനിന്നുള്ള അക . ലങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണെന്നു തെളിയിക്കുക ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണ് ?
Answer:
പാദം = 6 സെന്റിമീറ്റർ
ഉയരം = 3 സെന്റിമീറ്റർ
ത്രികോണത്തിന്റെ മുകളിലെ മൂലയിൽ നിന്നും നീളം വരുന്ന ഒരു സമാന്തര വര വരക്കുക. മുകളിലെ മൂലയിൽ നിന്നും സമാന്തര വരയിലേക്കുള്ള അകലം y ആയിട്ടെടുക്കുക. സദൃശത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ,
\(\frac{y}{x}=\frac{6}{3}\)
y = 2x
ത്രികോണത്തിന്റെ പാദത്തിനു സമാന്തരമായി വരക്കുന്ന വരകളുടെ നീളം അതിന്റെ മുകളിലെ മൂലയിൽ നിന്നും സമാന്തര വരയിലേക്കുള്ള അക്കാലത്തിനു ആനുപാതികമായി മാറുന്നു . ഇതിന്റെ ആനുപാതികസ്ഥിരം 2 ആണ് .
Question 7.
വ്യാസം 10 സെന്റിമീറ്റർ ആയ അർധവൃത്തത്തിനുള്ളിൽ വ്യാസത്തിനു സമാന്തരമായി വരകൾ വരയ്ക്കുന്നു.
i) ചുവടെയുള്ള ഓരോ ചിത്രത്തിലും, വ്യാസത്തിനു സമാന്തരമായ വരയുടെ നീളം കണക്കാക്കുക:
ii) വരകളുടെ നീളം അർധവൃത്തത്തിന്റെ ഏറ്റവും മുകളിൽ നിന്നുള്ള അകലങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണോ? കാരണം വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
i) Figure 1
സമാന്തരമായ വരയുടെ നീളം = 2\(\sqrt{(5)^2-(4)^2}\) = 2 × 3 = 6 സെമീ
Figure 2
സമാന്തരമായ വരയുടെ നീളം = 2\(\sqrt{(5)^2-(3)^2}\) = 2 × 4 = 8 സെ.മീ
ii) സമാന്തരമായ വരയുടെ നീളം അർധവൃത്തത്തിന്റെ ഏറ്റവും മുകളിൽ നിന്നുള്ള അകലവും ആനുപാതികമല്ല.
Question 8.
(i) സമഭുജത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്, വശത്തിന്റെ വർഗത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്നു തെളിയിക്കുക. ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താാണ്?
Answer:
സമഭുജത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് വശത്തിന്റെ വർഗത്തിന് ആനുപാതികമായാണ് മാറുന്നത്. ആനുപാതികസ്ഥിരം = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
(ii) സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്, വശത്തിന്റെ വർഗത്തിന് ആനുപാതികമാണോ? ആണെങ്കിൽ, ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണ്?
Answer:
സമചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് വശത്തിന്റെ വർഗത്തിന് ആനുപാതികമായാണ് മാറുന്നത്. ആനുപാതികസ്ഥിരം = 1.
Question 9.
പരപ്പളവ് ഒരു ചതുരശ്രമീറ്ററായ ചതുരങ്ങളിൽ, ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് മറ്റേ വശത്തിന്റെ നീളവും മാറണം. ഈ ബന്ധം ബീജഗണിതസമവാക്യമായി എഴുതുക. അനുപാതത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ഈ ബന്ധം എങ്ങനെ പറയാം ?
Answer:
പരപ്പളവ് 1 ചതുരശ്രമീറ്ററായ ചതുരങ്ങളിൽ നീളം × ഉം വീതി y യും ആയി
പരിഗണിച്ചാൽ,
പരപ്പളവ് = നീളം × വീതി
1 = x × y
1 = xy
y = \(\frac{1}{x}\)
y, x നു വിപരീതാനുപാതത്തിലാണ്.
Question 10.
ഒരേ പരപ്പളവുള്ള ത്രികോണങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും വലിയ വശത്തിന്റെ നീളവും, എതിർ മൂലയിൽ നിന്ന് ആ വശത്തിലേക്കുള്ള ലംബത്തിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം അനുപാതമായി എങ്ങനെ പറയാം ? ഏറ്റവും വലിയ വശത്തിനു പകരം, ഏറ്റവും ചെറിയ വശമെടുത്താലോ ?
Answer:
വലിയ വശം a എന്നും , എതിർ മൂലയിൽ നിന്നുള്ള ലംബം h എന്നും, പരപ്പളവ് A എന്നും എടുത്താൽ,
A = \(\frac{1}{2}\)a × h,
a = \(\frac{2A}{h}\)
വലിയ വംശത്തിന്റെ നീളം എതിർമൂലയിൽ നിന്നുള്ള ലംബവുമായി
വിപരീതാനുപാതത്തിലാണ്.
അതുപോലെതന്നെ, ചതുരത്തിന്റെ ചെറിയവശത്തിന്റെ നീളം ആ വശത്തിന്റെ
എതിർമൂലയിൽ നിന്നുള്ള ലംബത്തിന് വിപരീതാനുപാതത്തിലാണ്.
Question 11.
സമബഹുഭുജങ്ങളിൽ, വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും, ഒരു പുറംകോണിന്റെ അളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ സമവാക്യമെന്താണ് ? ഈ ബന്ധം അനുപാതമായി പറയാൻ കഴിയുമോ ? ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണ് ?
Answer:
ഏതൊരു ബഹുഭുജത്തിന്റെയും പുറംകോണുകളുടെ തുക 360° ആണ്.
വശങ്ങളുടെ എണ്ണം n എന്നെടുത്താൽ,
ഒരു പുറംകോണിന്റെ അളവ് × എന്നെടുത്താൽ,
x = \(\frac{360^{\circ}}{n}\)
സമബഹുഭുജങ്ങളിൽ വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും ഒരു പുറംകോണിന്റെ അളവും വിപരീതാനുപാതത്തിലാണ്.
ആനുപാതികസ്ഥിരം = 360°
Proportion Class 9 Extra Questions and Answers Malayalam Medium
Question 1.
ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ടാങ്കിലേക്ക് ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള വെള്ളം ഒഴുകുന്നു . ഒഴുക്കിന്റെ നിരക്ക് വ്യത്യസ്ത പൈപ്പുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റാം . ഇനിപ്പറയുന്ന അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യമായും അനുപാതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലും എഴുതുക.
i) ജലപ്രവാഹത്തിന്റെ തോതും ജലനിരപ്പിന്റെ ഉയരവും.
ii) ജലപ്രവാഹത്തിന്റെ തോതും ടാങ്ക് നിറയാൻ എടുത്ത സമയവും.
Answer:
i) ജലപ്രവാഹത്തിന്റെ തോത് x എന്നും, ടാങ്കിലെ ജലനിരപ്പ് y എന്നും , ടാങ്കിന്റെ പാദപരപ്പളവ് A എന്നും എടുത്താൽ, x = A y
അതായത്, ടാങ്കിലെ ജലനിരപ്പ് ജലപ്രവാഹത്തിന്റെ തോതില് നേരനുപാതത്തിലാണ്.
ii) ടാങ്കിന്റെ വ്യാപ്തം C എന്നും, ഒരു സെക്കന്റിൽ ഒഴുകുന്ന ജലത്തിന്റെ വ്യാപ്തം V എന്നും എടുത്താൽ,
t സെക്കന്റിൽ ഒഴുകിയ ജലത്തിന്റെ അളവ്,
C = V × t
V = C × \(\frac{1}{t}\)
അതായത്, ജലപ്രവാഹത്തിന്റെ തോതും നിറയാൻ എടുക്കുന്ന സമയവും വിപരീതാനുപാതത്തിലാണ്. ആനുപാതികസ്ഥിരം = C
Question 2.
രഘു 60,000 രൂപയും നാസർ 1,00,000 രൂപയും നിക്ഷേപിച്ചു ഒരു ബിസിനസ് തുടങ്ങി. ഒരു മാസത്തിനകം 4800 രൂപ ലാഭം കിട്ടി. ലാഭത്തിൽ 1800 രൂപ രഘുവും 3000 രൂപ നാസറും എടുത്തു.നിക്ഷേപത്തിന്റെ അനുപാതം എന്താണ്? നിക്ഷേപവും ലാഭവും വിഭജിച്ചത് അനുപാതികമായാണോ?
Answer:
നിക്ഷേപിച്ച തുകയുടെ അനുപാതം = 60000: 100000 = 6: 10 = 3: 5
ലാഭത്തിന്റെ അനുപാതം = 1800: 3000 = 18: 30 = 3: 5
നിക്ഷേപിച്ച തുകയുടെ അനുപാതവും ലാഭത്തിന്റെ അനുപാതവും
തുല്യമാണ്.അതിനാൽ നിക്ഷേപവും ലാഭവും വിഭജിച്ചത് ആനുപാതികമാണ്.
Question 3.
ഒരേ ചുറ്റളവുള്ള ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും വിപരീതാനുപാതത്തിലാണോ ?
Answer:
സമചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 20 സെന്റിമീറ്റർ
2(നീളം +വീതി) = 10
നീളം +വീതി = 10
നീളം x എന്നും വീതി y എന്നുമെടുത്താൽ,
x + y = 10
x ന്റെയും y യുടെയും സാധ്യമായ വിലകൾ,
x = 9 ആയാൽ y = 1
x = 8 ആയാൽ y = 2
ഇവിടെ xy ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയല്ല.
അതിനാൽ, നീളവും വീതിയും വിപരീതാനുപാതത്തിലല്ല.
Question 4.
5 ലിറ്റർ പെട്രോൾ ഉള്ള ഒരു കാർ 75 കിലോമീറ്റർ ദൂരം സഞ്ചരിക്കും. സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിന്റെയും പെട്രോളിന്റെ അളവിന്റെയും ഇടയിലുള്ള ആനുപാതികസ്ഥിരം എന്താണ്? 180 കിലോമീറ്റർ ദൂരം സഞ്ചരിക്കാൻ എത്ര പെട്രോൾ വേണം?
Answer:
സഞ്ചരിച്ച ദൂരം x എന്നും പെട്രോളിന്റെ അളവ് y എന്നും എടുത്താൽ,
k = \(\frac{x}{y}=\frac{75}{5}\) = 15
ആനുപാതികസ്ഥിരം : 15
സഞ്ചരിച്ച ദൂരം =180 കിലോമീറ്റർ
k = \(\frac{x}{y}\) = 15
\(\frac{180}{x}\) = 15
x = \(\frac{180}{15}\) = 12
180 കിലോമീറ്റർ ദൂരം സഞ്ചരിക്കാൻ 12 ലിറ്റർ പെട്രോൾ വേണം.