When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 12 ബീജഗണിതം can save valuable time.
SCERT Class 7 Maths Chapter 12 Solutions Malayalam Medium ബീജഗണിതം
Class 7 Maths Chapter 12 Malayalam Medium Kerala Syllabus ബീജഗണിതം
Question 1.
അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പലത് എടുത്ത് കൂട്ടിനോക്കുക.
(i) ഈ തുകയ്ക്ക്, കൂട്ടുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു സംഖ്യയുമായി എന്തെങ്കിലും ബന്ധ മുണ്ടോ എന്നു പരിശോധിക്കുക.
(ii) ഈ ബന്ധം അടുത്തടുത്ത ഏതു മൂന്ന് എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കും എന്തുകൊണ്ടു ശരിയാ കുന്നു എന്നു വിശദീകരിക്കുക.
(iii) ഈ ബന്ധം സാധാരണഭാഷയിലും, തുടർന്ന് ബീജഗണിതരൂപത്തിലും എഴുതുക.
Answer:
ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പരിശോധിക്കാം. അവയുടെ തുകയും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
1. 21 + 22 + 23 = 66
2. 34 + 35 + 36 = 105
3. 78 + 79 + 80 = 237
(i) 21, 22, 23 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
21 + 22 + 23 = 66 ഉം
3 × 22 = 66 ആണ്.
34, 35, 36 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
34 + 35 + 36 = 105 ഉം
3 × 35 = 105 ആണ്.
78, 79, 80 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താൽ,
78 + 79 + 80 = 237 ഉം
3 × 79 = 237 ആണ്.
അതായത്, അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിര ട്ടിയാണ്.
(ii) 35, 36, 37 എന്ന അടുത്തടുത്ത മൂന്ന് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
35 നെയും 37നെയും 36 നോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ:
35 = 36 – 1
37 = 36 + 1
അതിനാൽ, മൂന്ന് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
(36 – 1) + 36 + (36 + 1) = 108
അതായത്,
(36 – 1) + 36 + (36 + 1) = 3 × 36 = 108
ഇവിടെ സംഖ്യകൾ ഒന്നിച്ചു കൂട്ടുമ്പോൾ 1 ഉം -1 ഉം നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ഇല്ലാതാകുന്നു. അതിനാൽ തുക എന്നത്
(iii) സാധാരണ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ:
അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, x – 1, x, x + 1 എന്ന മൂന്ന് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (x – 1) + x + (x + 1) = 3x
Question 2.
അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതാനും നാലു എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ, ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, നടുക്കുള്ളവയുടെ തുകയും ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
(i) അടുത്തടുത്ത ഏതു നാലു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുത്താലും, ഇങ്ങനെയുള്ള തുകകൾ ഒരേ സംഖ്യകൾ ആകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് വിശദീകരിക്കുക.
(ii) ഈ പൊതുതത്വത്തിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
Answer:
(i) 4, 5, 6, 7 എന്ന അടുത്തടുത്ത നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
4 + 7 = 4 + (4 + 3) = (2 × 4) + 3 = 11
നടുവിലെ രണ്ട് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
5 + 6 = (4 + 1) + (4 + 2) = (2 × 4) + 3 = 11
ഇവിടെ ആദ്യ സംഖ്യയോട് മറ്റ് മൂന്നു സംഖ്യകൾ ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ, ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും നടുവിലെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുകയും ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങിനോട് മൂന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്.
(ii)ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, n, n + 1,n + 2, n + 3 എന്ന നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
n + (n + 3) = 2n + 3
നടുവിലെ രണ്ട് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
അതായത്,
(n + 1) + (n + 2): =2n + 3
n ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, n + (n + 3) = (n + 1) + (n + 2) = 2 + 3
Question 3.
അടുത്തടുത്തുള്ള നാലു എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യക ളുടെ തുകയും, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിൽ എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ? ഈ ബന്ധത്തിന്റെ കാരണം വിശദീകരിക്കുക. ബന്ധം ബീജഗണിത രീതിയിൽ എഴുതുക. അടുത്തടുത്തുള്ള നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലോ?
Answer:
5, 6, 7, 8 എന്ന അടുത്തടുത്ത നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക. ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
5 + 6 = 5 + (5 + 1) = (2 × 5) + 1 = 11
മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
7 + 8 = (5 + 2) + (5 + 3) = (2 × 5) + 5 = 15
ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
[(2 × 5) + 5] [(2 × 5) + 1] = 15 – 11 = 4
ഇവിടെ ആദ്യ സംഖ്യയോട് മറ്റ് മൂന്നു സംഖ്യകൾ ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. അതുപോലെതന്നെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് അഞ്ച് കൂട്ടുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഈ തുകകളുടെ വ്യത്യാസം നാല് തന്നെയായിരിക്കും.
ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, 1,n + 1,n + 2,n + 3 എന്ന നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
n+ (n + 1) = 2n + 1
മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
(n + 2) + (n + 3) = 2n + 5
ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
(2n + 5) – (2n + 1) = 4
അതായത്, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമ ത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ വ്യത്യാസം എന്നത് 4 ആണ്. അതിനാൽ
n ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (n + (n + 1)] – [(n + 2) + (n + 3)] = (2n + 5) – (2n + 1) = 4
ഇവിടെയും 5, 6, 7, 8 എന്ന അടുത്തടുത്ത നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
5 + 7 = 5+ (5 + 2) = (2 × 5) + 2 = 12.
രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
6 + 8 = (5 + 1) + (5 + 3) = (2 × 5) + 4 = 14
ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
[(2 × 5) + 4] − [(2 × 5) + 2] = 14 – 12 = 2
ഇവിടെ ആദ്യ സംഖ്യയോട് മറ്റ് മൂന്നു സംഖ്യകൾ ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ, ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് മടങ്ങിനോട് രണ്ട് കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. അതുപോലെതന്നെ രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് നാല് കൂട്ടുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഈ തുകകളുടെ വ്യത്യാസം രണ്ട് തന്നെയായിരിക്കും.
ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, 1, n + 1, n + 2, n + 3 എന്ന നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
n + (n + 2) = 2n + 2
രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത്:
(n + 1) + (n + 3) = 2n + 4
ഈ രണ്ട് തുകകളുടെ വ്യത്യാസമെടുത്താൽ
(2n + 4) – (2n + 2) = 2
അതായത്, ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുകയും, രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെ യും സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ വ്യത്യാസം എന്നത് 2 ആണ്. അതിനാൽ
n ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, [(n + 1) + (n + 3)] – [n + (n + 2)] = (2n + 4) – (2n + 2) = 2
ഇനി ഇതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാം
ഇതിനായി ഒന്നാം നിലയിലെ സംഖ്യകളായി x, x + y, x + 2y, x + 3y എടുക്കുക
ഇതിൽ രണ്ടാമത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തണം അതിനായി ആദ്യ നിലയിലെ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുക കാണണം
അതായത്,
x + (x + y) = 2x + y
(x + y) + (x + 2y) = 2x + 3y
(x+2y) + (x + 3y) = 2x + 5y
തുടന്ന് മൂന്നാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ കാണാൻ രണ്ടാം നിലയിലെ അടുത്തടുത്ത സംഖ്യകൾ കൂട്ടുകയാണ് ചെയ്യുന്നത്
അതായത്,
(2x + y) + (2x + 3y) = 4x + 4y
(2x + 3y) + (2x+5y) = 4x + 8y
അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ = (4x + 4y) + (4x + 8y) = 8x + 12y = 4 (2x + 3y)
ഇവിടെ അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ ആദ്യ നിലയിലെ നടുവിലുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ നാല് മടങ്ങാണ്
{ഒന്നാം നിലയിലെ നടുവിലെ സംഖ്യകളുടെ തുക = (x + y) + (x + 2y) = 2x + 3y
ഈ തുകയുടെ നാല് മടങ്ങ് = 4 (2x + 3y)}
Question 4.
മൂന്നും, നാലും നിലകളുള്ള സംഖ്യാഗോപുരങ്ങൾ പോലെ അഞ്ചു നിലയുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഗോപുരത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ നിലയാണ് ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്.
(i) തുടർന്നുള്ള സംഖ്യകൾ എഴുതുന്നതിനുമുമ്പ്, ഏറ്റവും മുകളിലെ സംഖ്യ നടുവിലുള്ള 10 ന്റെ എത്ര മടങ്ങായിരിക്കും എന്ന് ഊഹിച്ചുനോക്കൂ. അതു ശരിയാണോ എന്ന് മറ്റു സംഖ്യകൾ എല്ലാം എഴുതി പരിശോധിക്കൂ.
(ii) ഒരേ അകലം ഇടവിട്ടുള്ള ഏത് അഞ്ചു സംഖ്യകളിൽ നിന്നു തുടങ്ങിയാലും അഞ്ചു നില ഗോപുരങ്ങളിൽ എല്ലാം അവസാന സംഖ്യ, ആദ്യവരിയിലെ സംഖ്യകളിൽ നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ ഒരേ മടങ്ങായിരിക്കും എന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കുക.
(iii) എല്ലാ സംഖ്യകളും എഴുതാതെതന്നെ ഇതു നിശ്ചയിക്കാനുള്ള എന്തെങ്കിലും വഴി ഉണ്ടോ?
Answer:
(i) ചിത്രത്തിലെ സംഖ്യഗോപുരം 5 നിരയിൽ ആയതിനാൽ മുകളിലുള്ള സംഖ്യ നടുവിലുള്ള 10 ന്റെ 16 മടങ്ങായിരിക്കും
മറ്റു സംഖ്യകൾ എഴുതുമ്പോൾ മുകളിലുള്ള സംഖ്യയായി 160 ആണ് കിട്ടുന്നത് ഇത് 10 ന്റെ 16 മടങ്ങാണ്.
(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ x ൽ തുടങ്ങി y വീതം കൂടിയ 5 സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം
x, x + y, x + 2y, x + 3y, x + 4y
രണ്ടാമത്തെ നിര
x + (x + y) = 2x + y
(x + y) + (x + 2y) = 2x + 3y
(x+2y) + (x + 3y) = 2x+5y
(x + 3y) + (x+4y) = 2x + 7y
മൂന്നാമത്തെ നിര
(2x + y) + (2x + 3y) = 4x + 4y
(2x + 3y) + (2x + 5y) = 4x + 8y
(2x+5y) + (2x + 7y) = 4x + 12y
നാലാമത്തെ നിര
(4x+4y) + (4x + 8y) = 8x + 12y
(4x+8y) + (4x + 12y) = 8x + 20y
അഞ്ചാമത്തെ നിര
(8x + 12y) + (8x + 20y) = 16x + 32y
ഇവിടെ മുകളിലെ സംഖ്യയായി വരുന്നത് 16x + 32y ആണ്
എന്നാൽ, 16x + 32y = 16 (x + 2y)
അതായതു ആദ്യനിരയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ 16 മടങ്ങാണ് മുകളിലെ സംഖ്യ
(iii) ഇവിടെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിലെ സംഖ്യകൾ 2x + y, 2x + 3y, 2x + 5y, 2x + 7y എന്നുകിട്ടും
ഇതിൽ നടുവിലെ രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ (2x + 3y) + (2x + 5y) = 4x + 8y എന്ന് കിട്ടും
ഈ നിരക്കുമുകളിൽ മറ്റു മൂന്ന് നിര കൂടി ഉള്ളതിനാൽ ഏറ്റവും മുകളിലെ സംഖ്യ ഈ നിരയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യകൾ കൂടിയതിന്റെ നാലിരട്ടി ആയിരിക്കും.
അതായതു, മുകളിലെ സംഖ്യ = 4(4x + 8y) = 16x + 32y
Question 5.
ഇവിടെ കണ്ടതുപോലെ സംഖ്യാഗോപുരം ഉണ്ടാക്കാൻ ഏതു സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം (ഒരേ അകലം ഇടവിട്ട് ആകണമെന്നില്ല). ഉദാഹരണമായി ഈ ഗോപുരം നോക്കുക.
(i) ഇതുപോലെ ഈ ഗോപുരത്തിലെ ഒഴിഞ്ഞകളങ്ങളിലെ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കി എഴുതുക.
(ii) ഇതുപോലെയുള്ള ഒരു ഗോപുരത്തിൽ, 10 കൾ ഒന്നും മാറ്റാതെ, താഴത്തെ വരിയിലെ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ മാത്രം മാറ്റി (1 നും 2 നും പകരം എഴുതി തുടർന്നുള്ള സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുക. ഏറ്റവും മുകളിലെ സംഖ്യ 50 തന്നെ കിട്ടുന്നുണ്ടോ ?
(iii) ഇതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കുക.
(iv) ചുവടെയുള്ള ഗോപുരത്തിലെ ഒഴിഞ്ഞ കളങ്ങളിലെ സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കി എഴുതുക.
Answer:
സംഖ്യകൾ മാറ്റിയാലും മുകളിലെ സംഖ്യ 50 തന്നെ ആകും
(iii) 2 നു പകരം x എടുത്താൽ താഴത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ : 10, x, 10 – x, 10
രണ്ടാമത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ : 10 + x, 10, 20
മൂന്നമത്തെ നിലയിലെ സംഖ്യകൾ : 20 + x, 30 – x
മുകളിലെ നിലയിലെ സംഖ്യ : (20 + x) + (30 – x) = 50
(iv)
Question 6.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതിലേതുപോലെ 1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ വരിയും നിരയുമായി എഴുതുക; രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെപ്പോലെ അതിൽ 9 സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ള പല സമചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. എല്ലാ സമചതുരങ്ങളുടെയും നടുക്കുള്ള സംഖ്യകളും അടയാളപ്പെടുത്തുക:
Answer:
ഓരോ സമചതുരത്തിലും ചുവടെ പറയുന്നവ കണക്കാക്കുക:
(i) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും അതിന്റെ ഇടതും വലതുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
(ii) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും അതിന്റെ മുകളിലും താഴെയുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
(iii) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും സമചതുരത്തന്റെ എതിർമുലകളിലെ സംഖ്യകളുടെ തുകകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
(iv) നടുക്കുള്ള സംഖ്യയും സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെ തുകയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം. ഇവയെല്ലാം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
(i) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 13 + 15 = 28
ഇതിൽ നിന്നും നടുവിലെ സംഖ്യ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്നു കിട്ടും
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ \(\frac{28}{2}\) = 14
രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 62 + 64 = 126
ഇതിൽ നിന്നും നടുവിലെ സംഖ്യ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്നു കിട്ടും
അതായത് , നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{126}{2}\) = 63
മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 77 + 79 = 156
ഇതിൽ നിന്നും നടുവിലെ സംഖ്യ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്നു കിട്ടും
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{156}{2}\) = 78
ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം
ഇവിടെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 11
നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ ഇടതും വലത്തുമുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക
= (x + 10) + (x + 12) = 2x + 22
ഇതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, \(\frac{1}{2}\) = x + 11
(ii) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 4 + 24 = 28
ഇവിടേയും നടുവിലെ സംഖ്യ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്ന് കിട്ടും.
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{28}{2}\) = 14
രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 53 + 73 = 126
ഇവിടേയും നടുവിലെ സംഖ്യ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്ന് കിട്ടും.
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{126}{2}\) = 63
മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക = 68 + 88 = 156
ഇവിടേയും നടുവിലെ സംഖ്യ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണെന്ന് കിട്ടും.
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{156}{2}\) = 78
ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം
ഇവിടെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 11
നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ മുകളിലും താഴെയും ഉള്ള സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ
= (x + 1) + (x + 21) = 2x + 22
ഇതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, \(\frac{2 x+22}{2}\) = x + 11
(iii) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 3, 25, 5, 23
ഇവയുടെ തുക = 3 + 25 + 5 + 23 = 56
ഈ തുകയെ നാലുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{3+25+5+23}{4}=\frac{56}{4}\) = 14
രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 52, 74, 54, 72
ഇവയുടെ തുക = 52 + 74 + 54 + 72 = 252
ഈ തുകയെ നാലുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{52+74+54+72}{4}=\frac{252}{4}\) = 63
മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
വട്ടമിട്ട സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 67, 89, 69, 87
ഇവയുടെ തുക = 67 + 89 + 69 + 87 = 312
ഈ തുകയെ നാലുകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ
അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ = \(\frac{67+89+69+87}{4}=\frac{312}{4}\) = 78
ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം
ഇവിടെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 11
നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ എതിർ മൂലകളിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുക
= x + x + 2 + x + 20 + x + 22 = 4x + 44
ഈ തുകയെ നാലു കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ = \(\frac{4 x+44}{4}\) = x + 11
(iv) ഒന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= 3 + 4 + 5 + 13 + 14 + 15 + 23 + 24 + 25 = 126
ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ
\(\frac{3+4+5+13+14+15+23+24+25}{9}=\frac{126}{9}\) = 14
രണ്ടാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= 52 +53 +54 + 62 + 63 + 64 + 72 ‘+ 73 + 74 = 567
ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ
\(\frac{3+4+5+13+14+15+23+24+25}{9}=\frac{126}{9}\) = 14
മൂന്നാമത്തെ സമചതുരത്തിൽ,
സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= 67 + 68 + 69 + 77 78 79 + 87 + 88+ 89 = 702
ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആയിരിക്കും നടുവിലുള്ള സംഖ്യ അതായത്, നടുവിലെ സംഖ്യ
= \(\frac{67+68+69+77+78+79+87+88+89}{9}=\frac{702}{9}\) = 78
ഇത് ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാൻ ആദ്യ സംഖ്യയെ x ആയി എടുത്താൽ ബാക്കി സംഖ്യകളെ താഴെ കൊടുക്കുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം
സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും തുക
= x + x + 1 + x + 2 + x + 10 + x + 11 + x + 12 + x + 20 + x + 21 + x + 22
= 9x + 99
= 9 (x + 11)
ഈ തുകയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ
= \(\frac{9(x+11)}{9}\)
= x + 11
Question 7.
കലണ്ടറിൽ അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതെങ്കിലും നാലു സംഖ്യകൾ വരുന്ന സമചതുരങ്ങൾ പലയിട ത്തായി വരയ്ക്കുക:
(i) ഇങ്ങനെയുള്ള ഏതു സമചതുരത്തിലും നാലു സംഖ്യകളുടെയും തുക നാലിന്റെ ഗുണിതം ആകുന്നതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കുക.
(ii) ഈ തുകയും സമചതുരത്തിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
(i) കലണ്ടറിൽ അടുത്തടുത്ത് വരുന്ന നാലു സംഖ്യകളെ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചെഴുതുമ്പോൾ കിട്ടുന്നത് താഴെ കൊടുക്കുന്നു
| x | (x + 1) |
| (x + 7) | (x + 8) |
ഈ നാലു സംഖ്യകളും കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന തുക = x + (x + 1) + (x + 7) + (x + 8)
= 4x + 16
= 4(x + 4)
അതായതു, ഇവയുടെ തുക എപ്പോഴും നാലിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും
(ii) സമചതുരത്തിലെ ചെറിയ സംഖ്യയായി x എടുത്താൽ
സമചതുരത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന തുക = 4(x + 4)
ഇതിൽ നിന്നും ചെറിയ സംഖ്യ x = \(\frac{തുക – 16}{4}\) എന്ന് കിട്ടും
Question 8.
3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയും, മിച്ചം 2 വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടുക. ഇത്തരം ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയെയും 3 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാം എന്നതിന്റെ കാരണം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 വരുന്ന സംഖ്യ 7 എന്ന് എടുക്കാം അങ്ങനെയെങ്കിൽ, 7 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
7 = (2 × 3) + 1
3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 2 വരുന്ന സംഖ്യ 17 എന്ന് എടുക്കാം അങ്ങനെയെങ്കിൽ, 17 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
17 = (5 × 3) + 2
7 ഉം 17 ഉം തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ,
7 + 17 = 24 = 3 × 8
അതായത്, ഇവരുടെ തുകയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാദിക്കും
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയെയും 3 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കുന്നത് എങ്ങിനെയെന്ന് നോക്കാം.
അതിനായി,
3n + 1 (3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1) എന്നും 3m + 2 (3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 2) എന്നും ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇതിൽ, m,n ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ആകാം. അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
(3m + 1) + (3n + 2) = 3m + 3n + 3 = 3(m + n + 1)
എന്നാൽ m + n + 1 = p ആണെങ്കിൽ
(3m + 1) + (3n + 2) = 3p
ഇവിടെ p എന്നത് ഒരു എണ്ണൽ സംഖ്യ ആണ്
അതായത് 3 ന്റെ ഗുണനം “3p” ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയും, മിച്ചം 2 വരുന്ന മറ്റൊരു സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന തുകയെ 3 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ സാധിക്കും.
Question 9.
12 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 11 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ് 12, 23, 34,…
(i) ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെയും 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം എത്രയാണ് ?
(ii) ഇവയുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ടാകുമോ ? 1000 ആയാലോ ?
Answer:
(i) മിച്ചം 1 ആയിരിക്കും. അതായത് സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
12 = (1 × 11) + 1
23 = (2 × 11) + 1
34 = (3 × 11 ) + 1
(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 11n + 1 എന്നെഴുതാം. എന്നാൽ n എന്നത് 1, 2, 3, … എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
100 = (9 × 11) + 1
അതായത് 100 നെ 11n + 1 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
ചുരുക്കത്തിൽ 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ട്.
1000 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
1000 = (90 × 11) + 10
ഇവിടെ മിച്ചം 1 അല്ല.
അതായത് 1000 നെ 111 + 1 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല.
ചുരുക്കത്തിൽ 1000 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.
Question 10.
21 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 11 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ് 21, 32, 43…..
(i) ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെയും 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം എത്രയാണ് ?
(ii) ഇവയുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ടാകുമോ ? 1000 ആയാലോ ?
Answer:
(i) മിച്ചം 10 ആണ്
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
21 = (1 × 11) + 10
32 = (2 × 11) + 10
43 = (3 × 11) + 10
(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 11n + 10 എന്നെഴുതാം. എന്നാൽ 1 എന്നത് 1, 2, 3, ………. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
100 = (9 × 11) + 1
ഇവിടെ മിച്ചം 10 അല്ല
അതായത് 100 നെ 11n + 10 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല. ചുരുക്കത്തിൽ 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.
1000 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
1000 = (90 × 11) + 10
അതായത് 1000 നെ 11n + 10 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
ചുരുക്കത്തിൽ 1000 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ട്.
Question 11.
ഒരു രണ്ടക്ക സംഖ്യയും, അതു തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടുക. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ എല്ലാം 11 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീ കരിക്കുക.
Answer:
ഉദാഹരണമായി, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് രണ്ടക്കസംഖ്യകളും അത് തിരിച്ചെഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രണ്ടക്ക സംഖ്യയകളും പരിഗണിക്കാം,
അതായത്,
23 + 32 = 55
35 + 53 = 88
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പരിശോധിക്കാം:
രണ്ടക്കസംഖ്യ 10m + n എന്നെടുക്കാം. ഇതിലെ അക്കങ്ങളായ m n ഇവയുടെ സ്ഥാനം പരസ്പരം മാറ്റിയാൽ, തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യ 10 n + m എന്ന് കിട്ടും.
ഇനി രണ്ടക്ക സംഖ്യയുടെയും തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യയുടെയും തുക കാണാം.
(10m + n) + (10n + m) = 10m + n + 10n + m
= 11m + 11n
= 11(m + n)
ഈ തുക 11 ന്റെ ഗുണിതമാണ്
ഇങ്ങനെ ചെയ്തതിൽനിന്ന്, m + n എന്നത് സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള തുകയാണെന്ന് ലഭിക്കും.
Question 12.
ഏതു രണ്ടക്കംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
53 എന്ന ഒരു രണ്ടക്കസംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.
സംഖ്യയകളുടെ തുക എന്നത് = 5 + 3 = 8 ആണ്.
ഇനി രണ്ടക്ക സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
അതായത്, 53 – 8 = 45 = 9 × 5
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പരിശോധിക്കാം:
രണ്ടക്കസംഖ്യ എന്നത് 10 a + b എന്നെടുക്കാം.
എന്നെടുക്കാം. ഇതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക എന്നത് a + b
എന്നാൽ രണ്ടക്കസംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
(10a + b) – (a + b) = 10a + b – a – b = 9a
അതായത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ് ലഭിക്കുന്നത്.
Question 13.
(i) മൂന്നക്ക സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(ii) ഏതു മുന്നക്കസംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി, വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ 99 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
(iii) ഏതു മൂന്നക്ക സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
(i) മൂന്നക്ക സംഖ്യ എന്നത് xyz എന്ന് പരിഗണിക്കാം.
ഇതിൽ, നൂറിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം x എന്നും പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം ) എന്നും ഒന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം 2 എന്നും എടുക്കാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം,
100x + 10y + z ആണ്.
(ii) 531 എന്ന മൂന്നക്ക സംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.
ഈ സംഖ്യ തിരിച്ചെഴുതിയാൽ 135 എന്ന് കിട്ടും.
ഇനി വലുതിൽ നിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ,
531 135 = 396 എന്ന് ലഭിക്കും
396 നെ 99 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ,
396 – 99 = 4 എന്ന് ലഭിക്കും.
അതായത്, 99 ന്റെ ഗുണിതമാണ് 396.
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പറഞ്ഞാൽ: മൂന്നക്ക സംഖ്യ എന്നത്
100a + 10b + c എന്ന് ലഭിക്കും.
ഈ സംഖ്യ തിരിച്ചെഴുതിയാൽ, 100c + 10b + a എന്ന് ലഭിക്കും.
ഈ സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം എന്നത്:
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= 100a – a + 10b – 10b + c – 100c
= 99a – 99c
= 99(a – c)
ഏതു മുന്നക്കസംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി, വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ 99 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.
ഈ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 99 (a – c) ആണ്.
(iii) 352 എന്ന ഒരു മൂന്നക്ക സംഖ്യ പരിഗണിക്കാം.
സംഖ്യകളുടെ തുക എന്നത് = 3 + 5 + 2 = 10 ആണ്.
ഇനി രണ്ടക്കസംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
അതായത്, 352 – 10 = 342
342 നെ 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ,
396 ÷ 9 = 38 എന്ന് ലഭിക്കും.
അതായത്, 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ് 342.
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പറഞ്ഞാൽ:
മൂന്നക്ക സംഖ്യ എന്നത്
100a + 10b + c എന്നെടുക്കാം.
ഇതിൽ സംഖ്യയകളുടെ തുക എന്നത് = a + b + c ആണ്
എന്നാൽ മൂന്നക്ക സംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ,
(100a + 10b + c) − (a + b + c) = 100a + 10b + c – a – b – c
= (100a − a) + (10b − b) + (c − c)
= 99a + 9b = 9(11a + b)
ഏതു മൂന്നക്കസംഖ്യയിൽ നിന്നും അതിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ്. ഈ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിതരൂപം 9 (11 a + b) ആണ്.
Intext Questions And Answers
Question 1.
ഇവിടെ അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യയും ആദ്യ നിലയിലെ സംഖ്യകളും തമ്മിൽ എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ?
Answer:
അവസാന നിരയിലെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യയുടെ തുക = 2 + 3 = 5
ഈ തുകയെ നാലു കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ കിട്ടും.
അതായത് , 4 × 5 = 20
Question 2.
ഇതുപോലെ ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയും ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയും കൂട്ടിയാൽ ഒറ്റസംഖ്യ കിട്ടുന്നത് എന്തു കൊണ്ടാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു വിശദീകരിക്കാമോ?
Answer:
ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യ 2m എന്നും ഒറ്റസംഖ്യ 2n +1 എന്നും പരിഗണിക്കാം ഇതിൽ, m, n ഇവ പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
2m+ (2n + 1 ) = 2m + 2n + 1
= 2(m + n) + 1
എന്നാൽ m + n = p ആണെങ്കിൽ
2m + (2n + 1) = 2p + 1
ഇവിടെ p എന്നത് പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ 2p എന്നത് ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയാണ്.
ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയുടെ കൂടെ 1 കൂട്ടിയാൽ ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ ലഭിക്കും.
അതായത്, ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യ 2m ഉം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ 21 + 1 ഉം തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ ഒറ്റസംഖ്യ 2p+1 ലഭിക്കും
Algebra Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium
Question 1.
9 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 10 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിതരൂപം
എഴുതുക.
Answer:
9 + 10 = 19
19 + 10 = 29
29 + 10 = 39
9 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 10 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ 19, 29, 39…. ആണ് ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 10 n + 9 എന്നെഴുതാം.
Question 2.
14 ൽ നിന്നു തുടങ്ങി, വീണ്ടും വീണ്ടും 11 കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ് 14, 25, 36, ………..
(i) ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതിനെയും 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം എത്രയാണ് ?
(ii) ഇവയുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഉണ്ടാകുമോ ? 1000 ആയാലോ ?
Answer:
(i) മിച്ചം 3 ആയിരിക്കും. അതായത് സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
14 = (1 × 11 ) + 3
25 = (2 × 11 ) + 3
36 = (3 × 11) + 3
(ii) ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ 11n + 3 എന്നെഴുതാം. എന്നാൽ n എന്നത് 1, 2, 3, … എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
(iii) 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
100 = (9 × 11) + 1
ഇവിടെ മിച്ചം 3 അല്ല.
അതായത് 100 നെ 11n + 3 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല. ചുരുക്കത്തിൽ 100 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.
1000 എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം
1000 = (90 × 11) + 10
ഇവിടെ മിച്ചം 3 അല്ല.
അതായത് 1000 നെ 11n + 3 എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കില്ല.
ചുരുക്കത്തിൽ 1000 എന്ന സംഖ്യ ഇക്കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ല.
Question 3.
അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പലത് എടുത്ത് കൂട്ടിനോക്കുക.
(i) ഈ തുകയ്ക്ക്, കൂട്ടുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു സംഖ്യയുമായി എന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ എന്നു പരിശോധിക്കുക.
(ii) ഈ ബന്ധം അടുത്തടുത്ത ഏതു അഞ്ച് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾക്കും എന്തുകൊണ്ടു ശരിയാ കുന്നു എന്നു വിശദീകരിക്കുക.
(iii) ഈ ബന്ധം സാധാരണഭാഷയിലും, തുടർന്ന് ബീജഗണിതരൂപത്തിലും എഴുതുക.
Answer:
ഏതെങ്കിലും അഞ്ച് അടുത്തടുത്ത് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ പരിശോധിക്കാം. അവയുടെ തുകയും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
34 +35 +36 + 37 + 38 = 180
(i) 34, 35, 36, 37, 38 എന്ന അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
34 + 35 +36 + 37 + 38 180 20
5 × 36 = 180 ആണ്.
അതായത്, അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയാണ്.
(ii) 34, 35, 36, 37, 38 എന്ന അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ എടുക്കുക.
34 നെയും 35 നെയും 37നെയും 38 നെയും 36 നോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ:
34 = 36 – 2
35 = 36 – 1
37 = 36 + 1
38 = 36 + 2
അതിനാൽ, അഞ്ച് സംഖ്യയുടെ തുക എന്നത്:
(36 – 2) + (36 – 1) + 36 + (36 + 1) + (36 + 2) = 180
അതായത്,
(36 – 2) + (36 – 1) + 36 + (36 + 1) + (36 + 2) = 5 × 36 = 180
ഇവിടെ സംഖ്യകൾ ഒന്നിച്ചു കൂട്ടുമ്പോൾ 2 ഉം 1 ഉം -1 ഉം -2 ഉം ഇല്ലാതാകുന്നു. അതിനാൽ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയാണ്.
(iii) സാധാരണ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ:
അടുത്തടുത്ത അഞ്ച് എണ്ണൽസംഖ്യളുടെ തുക എന്നത് നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, x – 2, x – 1, x, x + 1, x + 2 എന്ന അഞ്ച് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (x – 2) + (x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) = 5x
Question 4.
അഞ്ചു നിലയുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഗോപുരത്തിന്റെ ആദ്യ നിലയിലുള്ള സംഖ്യ 1 ൽ തുടങ്ങി 2 വീതം കൂടി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് മറ്റു നിലകളിലെ സംഖ്യകളും എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ആദ്യ നിലയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യയും അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
ഗോപുരത്തിലെ സംഖ്യകളെ ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ എഴുതിയാൽ
ആദ്യ വരിയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യ = x + 4
അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ = 16x + 64 = 16 (x + 4)
ഇതിൽനിന്നും അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ ആദ്യനിലയിലെ നടുവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ 16 മടങ്ങാണെന്ന് കിട്ടുന്നു.
Algebra Class 7 Notes Malayalam Medium
ഈ അധ്യായത്തിൽ, ബീജഗണിതത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ട് അളവുകളെയും സംഖ്യ കളെയും കുറിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ കൂടുതൽ ലളിതമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനുള്ള വ്യത്യസ്ത മാർഗ്ഗങ്ങൾ നാം മനസ്സിലാക്കും. ചിഹ്നങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് അളവുകളുടെയും സംഖ്യകളും ടെയും ബന്ധങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ശക്തമായ ഉപകരണമായി ബീജഗണിതം വർത്തിക്കുന്നു, ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ ആശയങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.
രണ്ട് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക ചെറിയ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടിയുടെ കൂടെ ഒന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
x + (x + 1) = 2x + 1
മൂന്ന് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയുടെ രണ്ടിരട്ടിയോട് തുല്യമായിരിക്കും. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
(x-1) + (x + 1) = 2x
2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളെയാണ് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ എന്ന് പറയുന്നത്. അതായത്, 2n എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്നതെല്ലാം ഇരട്ട സംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും, ഇതിൽ n എന്നത്, 0, 1, 2, 3…. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
2 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഒറ്റസംഖ്യകൾ എന്ന് പറയുന്നത്. അതായത്, 2n + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുന്നതെല്ലാം ഒറ്റസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും; ഇതിൽ n എന്നത്, 0, 1, 2, 3, … എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
എല്ലാ രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയും വരികളും നിരകളുമായി ക്രമീകരിച്ചാൽ അതിനെ ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാൻ സാധിക്കും: 10m + n (m = 1, 2, …,9; n = 0, 1, 2,…,9)
രണ്ടക്ക സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങൾ തിരിച്ചെഴുതി കിട്ടുന്ന ഒരു സംഖ്യ, അവയിലെ വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ചെറിയ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന വ്യത്യാസം ഒമ്പതിന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും. ഈ വ്യത്യാസം m – n ആണെങ്കിൽ m, n സംഖ്യകളുടെ അക്കങ്ങൾ ആയിരിക്കും
ഈ അധ്യായത്തിലുടനീളം, അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വിവിധ സെറ്റിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം നാം കണ്ടെത്തും. ഇത് നമ്മെ ബീജഗണിതത്തിന് സംഖ്യകളുടെ ബന്ധങ്ങളെ എങ്ങനെ ലളിതവും വ്യത്യസ്തവും മാക്കാൻ കഴിയും എന്ന വ്യക്തമായ ധാരണ നൽകാൻ സാധിക്കുന്നു.
സംഖ്യകളും ബീജഗണിതവും
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു അളവുകളെയും സംഖ്യകളെയും കുറിച്ചുള്ള കാര്യങ്ങൾ അക്ഷരങ്ങളായി ചുരുക്കിയെഴുതുന്ന വിവിധ രീതികളെ കുറിച്ചു മനസ്സിലാക്കിയല്ലോ.
ആദ്യം തന്നെ നമുക്ക് അടുത്തടുത്ത രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ പരിശോധിക്കാം. ഉദാഹരണമായി 156, 157 എന്ന സംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇവിടെ 156 നോട് 157 കൂട്ടിയാലും, 156 ന്റെ 2 മടങ്ങിനോട് 1 കൂട്ടിയാലും ഒരേ സംഖ്യയാണോ കിട്ടുന്നാത് എന്ന് പരിശോധിക്കാം.
അതായത്,
156 + 157 = 313
(2 × 156) + 1 = 313
ഇവിടെ, ആദ്യത്തെ ക്രിയയിലെ 157 രണ്ടാമത്തെ ക്രിയയിൽ ഇല്ല. അതിനാൽ, 157 നെ ഇങ്ങനെ എഴുതിയാലോ
156 + 1 = 157
അപ്പോൾ,
156 + 157 = 156 + (156 + 1)
അതായത്,
156 + (156 + 1) = (156 + 156) + 1 = (2 × 156) + 1
ഒരു പൊതുതത്വമായി ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
അടുത്തടുത്ത ഏതു രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും, അവയിലെ ചെറിയ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും ഒരേ സംഖ്യയാണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.
x ഉം y ഉം അടുത്തടുത്തുള്ള രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ആണെങ്കിൽ ചെറിയസംഖ്യയെ x എന്നും വലിയ സംഖ്യയെ എന്നും എടുക്കാം. x ഉപയോഗിച്ച് അടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യയെ x + 1 എന്ന് എഴുതാം.
അതായത് x നോട് 1 കൂട്ടിയത്.
അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇങ്ങനെ തുടങ്ങാം:
(i) x ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യ
(ii) അടുത്ത എണ്ണൽസംഖ്യ x + 1
(iii) ഇവ രണ്ടും കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ x + (x + 1)
അടുത്തതായി, ചെറിയ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യ നോക്കാം:
(i) ചെറിയ സംഖ്യ x
(ii) അതിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങ് 2x
(iii) അതിനോട് 1 കൂട്ടിയത് 2x + 1
അതിനാൽ മുകളിൽ എഴുതിയ തത്വത്തിന്റെ ബീജഗണിതരൂപം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും x + (x + 1) = 2x + 1
ഈ തത്വം എണ്ണൽസംഖ്യകൾക്കു മാത്രമല്ല ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്.
അതായത്, എണ്ണൽസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് കണ്ടുപിടിച്ച തത്വം എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും ശരിയാണ്. അടുത്ത ടുത്ത സംഖ്യകൾ എന്നതിനു പകരം, സംഖ്യയും അതിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയതും എന്നു മാറ്റണം എന്നുമാത്രം. അതിനാൽ, നമ്മുക്ക് പറയാം
ഒരു സംഖ്യയും അതിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യയും തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും, അവയിലെ ചെറിയ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങിനോട് ഒന്നു കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നതും ഒരേ സംഖ്യ തന്നെയാണ്.
നമ്മുക്ക് അറിയാമല്ലോ.
x, y, z ഏതു സംഖ്യകളായാലും (x + y) + z = x + (y + z)
ഈ സമവാക്യം തിരിച്ചു വായിച്ചാൽ
x + (y + z) = (x + y) + z
ഇവിടെ y നെ x എന്നും z നെ 1 ആയും എടുത്താൽ
x + (x + 1) = (x + x) + 1
അതായത്,
x + (x + 1) = 2x + 1
ബീജഗണിതം 12 ഇനി അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പരിശോധിച്ചാലോ. ഉദാഹരണമായി 54, 55, 56 എന്ന സംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇവിടെ 54 + 56 ഉം ചെയ്താലും 55 × 2 ഉം ചെയ്താലും ഒരേ സംഖ്യയാണോ കിട്ടുന്നാത് എന്ന് പരിശോധിക്കാം.
അതായത്,
54 + 56 = 110
2 × 55 = 110
ഇവിടെ 54 നെയും 56 നെയും, 55 നോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി എഴുതിയാൽ:
54 = 55 – 1
56 = 55 + 1
അപ്പോൾ,
54 + 56 = (55 – 1) + (55 + 1)
ഇനി (55 – 1) + (55 + 1) ൽ ചെയ്യുന്ന ക്രിയകൾ മൊത്തമായി നോക്കാം:
രണ്ട് 55 കൾ കൂട്ടിയിട്ടുണ്ട്
ഒരു 1 കൂട്ടിയിട്ടുണ്ട്
ഒരു 1 കുറച്ചിട്ടുമുണ്ട്
അതായത്,
54 + 56= (55 – 1) + (55 + 1)
= (2 × 55) + 1 – 1
= 2 × 55
ഒരു പൊതുതത്വമായി ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
അടുത്തടുത്ത മൂന്നു എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യ കളുടെ തുകയും നടുവിലെ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു മടങ്ങും ഒരേ സംഖ്യയാണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.
ഇവിടെ നടുവിലെ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ ക്രിയ വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ട്, ആ സംഖ്യയെ x എന്നെടുത്താൽ.
നടുവിലെ സംഖ്യ x
ആദ്യത്തെ സംഖ്യ x ൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചത്, അതായത് x – 1
അവസാനത്തെ സംഖ്യ x നോട് 1 കൂട്ടിയത്, അതായത് x + 1
അപ്പോൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ കാര്യം സമവാക്യമായി എഴുതിയാൽ,
(x-1) + (x + 1) = 2x
നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ (x – 1) + (x + 1) ലെ ക്രിയകളെല്ലാം ഒരുമിച്ചു നോക്കിയാൽ, രണ്ട് x കൂട്ടി, വീണ്ടും 1 കൂട്ടി, 1 കുറച്ചു; ഫലത്തിൽ രണ്ട് x കൂട്ടിയതു മാത്രം. അതായത് x നെ രണ്ടുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചത്.
x ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ ആയാലും, (x – 1) + (x + 1) = 2x
ഇതുതന്നെ ഇങ്ങനെയും എഴുതാം:
x, y, z ഇവ അടുത്തടുത്ത ഏതു മൂന്ന് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ ആയാലും x + z = 2y ആണ്.
സംഖ്യാകൗതുകങ്ങൾ
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത് നാലു നിലയുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഗോപുരമാണ്
ഇവിടെ താഴത്തെ നിലയിലുള്ള സംഖ്യകൾ = 1, 2, 3, 4
രണ്ടാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ = 3 [1 + 2], 5[2 + 3], [3 + 4] {ഇവിടെ ഒന്നാം നിലയിലെ അടുത്തടുത്ത രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാണ് രണ്ടാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ കിട്ടുന്നത്
മൂന്നാം നിലയിലെ സംഖ്യകൾ = 8 [3 + 5], 12 [5 + 7]
അവസാന നിലയിലെ സംഖ്യ = 20 [8 + 12]
ഏതു എണ്ണൽ സംഖ്യയെയും മറ്റൊരു എണ്ണൽ സംഖ്യകൊണ്ടു ഹരിച്ച്, മടങ്ങും മിച്ചവുമായി എഴുതാം.
ഉദാഹരണമായി, 7, 3 എന്ന രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാം:
7 നെ 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ,
7 = (3 × 2) + 1 എന്നെഴുതാം
3 നെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ,
3 = ( 0 × 7) + 3 എന്നെഴുതാം
2 കൊണ്ടു മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാം
ഉദാഹരണം:
2 = 1 × 2
4 = 2 × 2
6 = 3 × 2
ഇങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളെയാണ് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ എന്നു വിളിക്കുന്നത്.
എന്നാൽ, 0 = 0 × 2
അതായത്, 0 വും ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ.
ഇക്കാര്യം ബീജഗണിതത്തിൽ പറയാം:
ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയെയും 21 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ 1 എന്നത്, 0, 1, 2, 3, …….. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
ഇനി 2 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാം
ഉദാഹരണം:
1 = (0 × 2) + 1
3 = (1 × 2) + 1
5 = (2 × 2) + 1
ഇങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളെയാണ് ഒറ്റസംഖ്യകൾ എന്നു വിളിക്കുന്നത്.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
2 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഒറ്റസംഖ്യകൾ.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പറഞ്ഞാൽ;
ഏത് ഒറ്റസംഖ്യയെയും 2 1 + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ n എന്നത്, 0, 1, 2, 3,… എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതു രണ്ട് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതും ഇരട്ടസംഖ്യ തന്നെയാണെന്ന് കാണാം.
അതിനായി, 2m എന്നും 21 എന്നും ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇതിൽ, m, n ഇവ പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
2m + 2n = 2 (m + n)
എന്നാൽ m + n = p ആണെങ്കിൽ
2m + 2n = 2p
ഇവിടെ p എന്നത് പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അതായത്, 2p എന്നത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതു രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതും ഇരട്ടസംഖ്യ തന്നെയാണെന്ന് കാണാം.
അതിനായി, 2m + 1 എന്നും 2n + 1 എന്നും ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകൾ എടുക്കാം. ഇതിൽ, m, n ഇവ പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ അവയുടെ തുക,
(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2
= 2(m + n + 1)
എന്നാൽ m + n + 1 = p ആണെങ്കിൽ
(2m + 1)(2n + 1) = 2 p
ഇവിടെ p എന്നത് പൂജ്യമോ, ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളോ ആകാം.
അതായത്, 2p എന്നത് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.
3 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന മിച്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഇവ പരിഗണിച്ചാൽ
| സംഖ്യാക്കുട്ടം | സവിശേഷത | ബീജഗണിതരൂപം |
| 0, 3, 6, 9,… | 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 0 | 3n (n = 0, 1, 2, 3 …) |
| 1, 4, 7, 10, … | 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 1 | 3n + 1 (n = 0, 1, 2, 3 …) |
| 2, 5, 8, 11,… | 3 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ മിച്ചം 2 | 3n + 2 (n = 0, 1, 2, 3 …) |
അക്കങ്ങളും സംഖ്യകളും
രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയെല്ലാം ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വരിയും നിരയുമായി എഴുതാം:
ആദ്യത്തെ വരിയിലെ സംഖ്യകൾ,
10 നോട് 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ കൂട്ടികിട്ടുന്നവയാണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, അവയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ സംഖ്യകൾ,
10 + n (n = 0, 1, 2, …, 9)
20 നോട് 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ കൂട്ടികിട്ടുന്നവയാണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, അവയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
20 + n ( n = 0, 1, 2, …,9)
ഇങ്ങനെ ഓരോ വരിയിലെയും സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതാമല്ലോ
ഇങ്ങനെ എഴുതുമ്പോൾ n എന്നത്, ഈ സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം ഒന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമാണ്. പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കം m എന്നും എഴുതിയാൽ, എല്ലാ സംഖ്യകളെയും 10 m + n എന്ന ബീജഗണിത രൂപത്തിലാക്കാം.
അതായത്, രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
10m + n (m = 1, 2,…,9 & n = 0, 1, 2,… 9) എന്നതാണ്.
ഇനി ഇത് ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു കണക്കുനോക്കാം:
ഏതെങ്കിലും ഒരു രണ്ടക്കസംഖ്യയും അത് തിരിച്ചെഴുതിയാൽ കിട്ടുന്ന രണ്ടക്ക സംഖ്യയും എടുത്ത്, വലുതിൽനിന്ന് ചെറുത് കുറയ്ക്കുക.
ഉദാഹരണമായി, 32 – 23 = 9
42 – 24 = 18
ഇത് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചു പരിശോധിക്കാം:
ഇങ്ങനെയെടുക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ, വലുതിനെ 10m + n എന്നെടുക്കാം;
ഇതിലെ അക്കങ്ങളായ m n ഇവയുടെ സ്ഥാനം പരസ്പരം മാറ്റിയാൽ, തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യയാ കുമല്ലോ; അതായത്, തിരിച്ചെഴുതിയ സംഖ്യ 10n + m.
ഇനി വലുതിൽ നിന്നു ചെറുതു കുറയ്ക്കാൻ 10m + n എന്ന സംഖ്യയിൽനിന്ന് 10n + m എന്ന തുക കുറയ്ക്കണം.
അതായത്, (10m + n) (10n + m) = (10m + n – 10n) – m
= (10m – 10n + n) – m
= (10m – 9n) – m
= 10m – m – 9n
= 9m – 9n = = 9(m − n)
ഈ വ്യത്യാസം 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ്
ഇങ്ങനെ ചെയ്തതിൽനിന്ന്, m – n എന്നത് സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണെന്ന് ലഭിക്കും.
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, ഏതു രണ്ടക്കസംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതം ആണെന്നു മാത്രമല്ല, അക്കങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ 9 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ആണ് എന്നും കാണാം.
രണ്ട് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക ചെറിയ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടിയുടെ കൂടെ ഒന്നു കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
x + (x + 1) = 2x + 1
മൂന്ന് അടുത്തടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും സംഖ്യകളുടെ തുക മധ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയുടെ രണ്ടിരട്ടിയോട് തുല്യമായിരിക്കും. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഇതിനെ ഈ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും:
(x – 1) + (x + 1) = 2x
- ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയെയും 21 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ 1 എന്നത്, 0, 1, 2, 3, ….. എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
- ഏത് ഒറ്റസംഖ്യയെയും 2n + 1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം; ഇതിൽ 1 എന്നത്, 0, 1, 2, 3,… എന്നീ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലുമാണ്.
- രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയെല്ലാം വരിയും നിരയുമായി എഴുതിയാൽ, രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം
10m + n ( m = 1, 2, …,9 & n = 0, 1, 2, ……… ,9) എന്നതാണ്. - ഏതു രണ്ടക്ക സംഖ്യയെയും തിരിച്ചെഴുതി വലുതിൽനിന്നു ചെറുതു കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് 9 ന്റെ ഗുണിതമാണ്. m – n എന്നത് സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണെന്നും ലഭിക്കും.