Class 10 Maths Chapter 10 Extra Questions Malayalam Medium Kerala Syllabus വൃത്തങ്ങളും വരകളും

When preparing for exams, Kerala State Syllabus Std 10 Maths Textbook Solutions Chapter 10 വൃത്തങ്ങളും വരകളും Important Extra Questions and Answers Malayalam Medium can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 10 Important Questions Malayalam Medium വൃത്തങ്ങളും വരകളും

Circles and Lines Class 10 Extra Questions Kerala Syllabus Malayalam Medium

Question 1.
AB യും CD യും P യിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. O വൃത്തകേന്ദ്രമാണ്. CD വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ്.
OP = 2, PA = 9, PB = 5 ആയാൽ ആരം എത്?

(a) 7
(b) 8
(c) 4
(d) 3
Answer:
(a) 7
(r + 2)(r – 2) = 9 × 5
⇒ r² – 2² = 45
⇒ r² = 49
⇒ r = 7

Question 2.
AB വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ്. P വ്യാസത്തെ ചിത്രത്തിൽ കാണുന്ന പോലെ a, b ആയി ഭാഗിച്ചിരിക്കുന്നു. PC എന്നത് AB ് ലംബമാണ്. P എന്ന ബിന്ദു AB a : b എന്ന അംശബന്ധ ത്തിൽ ഭാഗിച്ചിരിക്കുന്നു. PC വശമായ സമചതുര ത്തിന്റെ പരപ്പളവ്.

(a) a × b
(b) a + b
(c) a/b
(d) a – b
Answer:
(a) a × b
a × b = PC²

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ AB വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ് PQ = √14, RS = √18 എന്നിവ AB യ്ക്ക് ലംബമാണ്. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നതിൽ AB യുടെ നീളമെത്.

(a) 10
(b) 9
(c) 12
(d) 15
Answer:
(b) 9
\(\sqrt{18}=\sqrt{6 \times 3}\)
\(\sqrt{14}=\sqrt{7 \times 2}\)
AB = 9

Question 4.
ചുവടെയുള്ള പ്രസ്താവനകൾ നോക്കുക. ഒരു വൃത്തത്തിൽ, AB എന്ന ഞാണിന്റെ നീളം 16 സെ.മീ. ആണ്. വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് AB യിലേക്ക് വരച്ച ലംബദൂരം 6 സെ.മീ. ആണ്.
പ്രസ്താവന (A): വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 10 സെ.മീ. ആണ്.
പ്രസ്താവന (B): കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഞാണിലേക്ക് വരച്ച ലംബം ഞാണിനെ രണ്ടായി വിഭജിക്കുന്നു.
(a) പ്രസ്താവന A ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന B തെറ്റ്
(b) പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന A തെറ്റ്
(c) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന 4 ന്റെ കാരണമാണ് പ്രസ്താവന B
(d) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന 4 ന്റെ കാരണമല്ല പ്രസ്താവന B
Answer:
(c) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന 4 ന്റെ കാര ണമാണ് പ്രസ്താവന B

Question 5.
ചുവടെയുള്ള പ്രസ്താവനകൾ നോക്കുക.
ഒരു വൃത്തത്തിൽ, രണ്ട് ഞാണുകൾ AB, CD എന്നിവ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ P എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടി മുട്ടുന്നു. AP = 4 സെ.മീ PB = 6 സെ.മീ, CP = 3 സെ.മീ, PD = ?
പ്രസ്താവന (A): PD = 8 സെ.മീ
പ്രസ്താവന (B): ഒരു വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ രണ്ട് ഞാണുകൾ തമ്മിൽ മുറിക്കുന്നുവെങ്കിൽ,
AP × PB = CP × PD
(a) പ്രസ്താവന A ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന B തെറ്റ്
(b) പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന A തെറ്റ്
(c) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന 4 ന്റെ കാരണമാണ് പ്രസ്താവന B
(d) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A ന്റെ കാരണമല്ല പ്രസ്താവന B
Answer:
(c) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന 4 ന്റെ കാരണമാണ് പ്രസ്താവന B

Question 6.
ചിത്രത്തിൽ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെയുള്ള ഒരു വര ഒരു ഞാണിനെ രണ്ടായി ഭാഗിക്കുന്നു. അങ്ങനെയെങ്കിൽ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണ്ട ത്തുക.

Answer:
OP വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങൾ തമ്മിൽ മുറിക്കുന്ന പോലെ നീട്ടി വരച്ചാൽ മറ്റൊരു ഞാൺ CD ലഭിക്കും.

AB യും CD യും P എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന രണ്ടു ഞാണുകളാണ്.
അതുകൊണ്ട്, PA × PB = PC × PD
അതായത്
4 × 6 = (r + 5) × (r – 5)
⇒ 24 = r² – 5²
⇒ 24 = r² – 25
⇒ 24 + 25 = r²
⇒ 49 = r²
⇒ r = ±7
r എന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ ആരം ആണ്. അത് ഒരു അധിസംഖ്യ ആയിരിക്കും
അതിനാൽ r = 1

Question 7.
ചിത്രത്തിൽ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽനിന്നുള്ള ഒരു വര, വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഞാണുമായി കൂട്ടി മുട്ടുന്നു. ഞാണിന്റെ രണ്ടു ഭാഗങ്ങളുടെയും നീളം എത്രയാണ്?

Answer:

OP വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങൾ തമ്മിൽ മുറിക്കുന്ന പോലെ നീട്ടി വരച്ചാൽ മറ്റൊരു ഞാൺ CD ലഭിക്കും.
AB യും CD യും P എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന രണ്ടു ഞാണുകളാണ്.
അതുകൊണ്ട്, AP × PB = CP × PD
⇒ AP × PB = 4 × 10
⇒ AP × PB = 40
കൂടാതെ, AP + PB = 13 സെമീ
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗണനഫലം എടുക്കുമ്പോൾ 40 ഉം തുക 13 ഉം കിട്ടുന്ന രണ്ടു സംഖ്യകൾ 8 ഉം 5 ഉം ആണ്.
അതിനാൽ, AP = 5 സെമീ, PB = 8 സെമീ.

Question 8.
AB, CD എന്നീ ഞാണുകൾ P എന്ന ബിന്ദുവിൽ മുറിച്ചുകടക്കുന്നു. AB = 17 സെന്റീമീറ്റർ, PA = 9 സെന്റീമീറ്റർ, PD = 12 സെന്റീമീറ്റർ,

(a) PB യുടെ നീളം എത്രയാണ്?
(b) PC യുടെ നീളം കണക്കാക്കുക?
Answer:
AB = PA + PB
⇒ 17 = 9 + PB
⇒ PB = 17 – 9 = 8 സെമി
PA × PB = PC × PD
⇒ 9 × 8 = PC × 12
⇒ PC = 6 സെമി

Question 9.

(a) ചിത്രത്തിൽ AB അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വ്യസ മാണ്. AB യുടെ ലംബമാണ് PC. AP = 5 സെന്റീമീറ്റർ, PB = 3 സെന്റീമീറ്റർ ആയാൽ PC യുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
(b) 15 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
(a) AP × PB = PC × PC
⇒ 5 × 3 = PC × PC
⇒ 15 = PC²
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, PC = √15 സെമീ
(b)

Question 10.
ഞാൺ AB യും CD യും P എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. AB = 13 സെമീ, CD = 15 സെമീ, PD = 3 സെമീ,

(a) PC യുടെ നീളം എത്രയാണ്?
(b) PB = x ആണെങ്കിൽ, PA കണ്ടെത്തുക.
(c) PB യുടെ നീളം എത്രയാണ്?
Answer:
CD = PC + PD
⇒ 15 = PC + 3
⇒ PC = 15 – 3 =12
(a) AB = PA + PB
⇒ 13 = PA+ x
⇒ PA = 13 – x
(b) PC × PD = PA × PB
⇒ 12 × 3 = (13 – x) × x
⇒ 36 = 13x – x²
⇒ x² – 13x + 36 = 0
⇒ x = 4 അല്ലെങ്കിൽ x = 9
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, PB = 4 സെമീ

Question 11.
24 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ഒരു ചതുരം വരയ്ക്കുക. ഇതെ പരപ്പളവുള്ള ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
നീളം 6 സെമീ ഉം ഉയരം 4 സെമീ യുമായ ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക.
ആദ്യം ചതുരത്തിന്റെ ഉയരം ചേർത്ത് നീളം കൂട്ടിവരയ്ക്കുക., പുതിയ നീളം 6 + 4 = 10
ഇനി താഴത്തെ വരെ വ്യാസമായി ഒരു അർധ വൃത്തം താഴെ വരയ്ക്കുക, ചതുരത്തിന്റെ വലതുവശം താഴോട്ടു നീട്ടി, അർധവൃത്ത വുമായി കൂട്ടിമുട്ടിക്കുക.
ഈ വരയാണ് സമചതുരത്തിന്റെ വശം.
BSTF ആണ് ആവശ്യമായ സമ ചതുരം.

Question 12.
ചിത്രത്തിൽ AB അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസമാണ്, PC എന്നത് AB് ലംബമാണ്. AC = 5√29 സെന്റീമീറ്റർ PA = 25 സെന്റിമീറ്റർ.

(a) PC യുടെ നീളമെത്?
(b) PR ന്റെ നീളമെത്?
(c) വൃത്തത്തിന്റെ ആരമെത്ര?
Answer:
(a) PC = \(\sqrt{(5 \sqrt{29})^2-25^2}\) = 10 സെമീ
(b) PA × PB = PC²
⇒ 25 × PB = 10²
⇒ PB = 4 സെമീ
(c) AB = 25 + 4 = 29
ആരം = 14.5 സെമീ

Question 13.
AB, CD എന്ന് ഞാണുകൾ നീട്ടിയാൽ വൃത്ത ത്തിന് പുറത്ത് P യിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. PA = PC ആയാൽ AB = CD എന്ന് തെളിയിക്കുക.

Answer:
PA × PB = PC × PD
PA, PC എന്നിവ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒഴിവാക്കി യാൽ.
PB = PD,
PA – AB = PC – CD
PA, PC ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒഴിവാക്കിയാൽ.
-AB = -CD
AB = CD

Question 14.
AB, CD എന്ന് ഞാണുകൾ P യിൽ ഖണ്ഡി ക്കുന്നു.

(a) ചിത്രം വരക്കുക, AC യും BD യും വരക്കുക. ത്രികോണം PAC ത്രികോണം PBD എന്നിവ സദൃശത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് സ്ഥാപിക്കുക,. PA, PB, PC, PD എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്തുക.
(b) PA = 3 സെന്റീമീറ്റർ PB = 5 സെന്റീമീറ്റർ, PC യും PD യും വശമായ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
(c) വശങ്ങളുടെ നീളം 5 സെന്റീമീറ്റർ, 3 സെന്റീ മീറ്റർ വീതമുള്ള ചതുരം വരക്കുക. ഈ ചതുര ത്തിന്റെ പരപ്പളവിന് തുല്യമായ പരപ്പളവുള്ള, വശം 6 സെന്റീമീറ്റർ ആയ ചതുരം വരക്കുക.
Answer:
(a) ത്രികോണം PCA, ത്രികോണം PBD പരിഗണി ക്കുക.
∠C = ∠B, ∠A = ∠D
(ഒരു ചാപത്തിലെ കോണുകളെല്ലാം തുല്യം)
\(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\)
PA × PB = PC × PD

(b) 3 × 5 = PC × PD
PC × PD = 15
PC, PD വശമായ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 15 സെമീ
(c) നീളം 5 സെമീ ഉം വീതി 3 സെമീ ഉള്ള ഒരു ചതുരശ്രം പരിഗണിക്കുക.
മറ്റൊരു നീളം 6 സെമീ എന്നും കരുതാം. ആദ്യം ചതുരത്തിന്റെ,
താഴത്തെ വശത്തു നിന്നും 3 സെമീ നീളം ഇടത്തേയ്ക്കും, ഇടതു വശത്തുനിന്നും 6 സെമീ നീളം താഴേയ്ക്കും നീട്ടി വരയ്ക്കാം:
ഇനി ഇടതും വലതും താഴെയുമുള്ള ബിന്ദു ക്കളിൽക്കൂടി വൃത്തം വരക്കുക. ചതുര ത്തിന്റെ ഇടതുവശം വൃത്തവുമായി കൂട്ടിമുട്ടുന്ന നീളം രേഖപ്പെടുത്തുക.
ഇനി ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ നീളം വിലങ്ങനെ അടയാളപ്പെടുത്തി, നമുക്കാവശ്യമായ ചതുരം വരയ്ക്കാം.

ABCD എന്നതാണ് നമ്മുക്ക് ആവശ്യമാർന്ന സമചതുരം.

Question 15.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം കാണുക. AB വ്യാസമാണ്, PC വ്യാസത്തിന് ലംബമാണ് AB. ത്രികോണങ്ങൾ ACB, PCB പരിഗണിക്കുക,

(a) ∆ACB, ∆PCB എന്നിവ സദൃശതികോണങ്ങൾ, PA × PB = PC എന്ന് സ്ഥാപിക്കുക
(b) PC = √12 സെന്റിമീറ്റർ. 12 ചതുരശ്ര സെന്റി മീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള സമചതുരം വരക്കുക.
(c) √48 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഞാൺ വരക്കുക.
Answer:
AC യും BC യും വരക്കുക.
∆ACB യും ∆ACP യും പരിഗണിക്കുക.
ത്രികോണം ACB യിൽ, ∠C = 90°
(a) ∠PAC = x ആയാൽ
∠ACP = 90 – x, ∠BCP = x, ∠PBC = 90 – x
ത്രികോണം ABC യുടെ രണ്ട് കോണുകൾ
ത്രികോണം ACP യുടെ രണ്ട് കോണുകളോട് തുല്യം.
ത്രികോണം ABC യും ത്രികോണം ACP യും സദൃശതികോണങ്ങളാണ്
\(\frac{P A}{P C}=\frac{P C}{P B}\)
⇒ PA × PB = PC²

(b) \(\sqrt{12}=\sqrt{6 \times 2}\)
AB = 6 + 2 = 8 സെന്റീമീറ്റർ വ്യസമായ ഒരു അർദ്ധവൃത്തം വരയ്ക്കുക.
P എന്ന ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക.
നീളം PC = √12

PC വശമായി സമചതുരം വരക്കുക. സമ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് \((\sqrt{12})^2\) = 12

(c) വൃത്തം വരക്കുക. CP എന്ന വര D ലേയ്ക്ക് നീട്ടുക.
CD യുടെ നീളം √48.

CD = 2 × √12 = √48.