Class 10 Maths Chapter 9 Extra Questions Malayalam Medium Kerala Syllabus ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും

When preparing for exams, Kerala State Syllabus Std 10 Maths Textbook Solutions Chapter 9 ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും Important Extra Questions and Answers Malayalam Medium can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 9 Important Questions Malayalam Medium ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും

Polynomials and Equations Class 10 Extra Questions Kerala Syllabus Malayalam Medium

Question 1.
4x² – 8x + 3 എന്ന ബഹുപദത്തിന്റെ ചിത്രം, x അക്ഷത്തെ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ഏതൊക്കെ യാണ്?
(a) (\(\frac {3}{4}\), 0), (\(\frac {1}{2}\), 0)
(b) (\(\frac {3}{2}\), 0), (\(\frac {1}{2}\), 0)
(c) (\(\frac {3}{4}\), 0), (\(\frac {1}{6}\), 0)
(d) (\(\frac {7}{2}\), 0), (\(\frac {3}{2}\), 0)
Answer:
(b) (\(\frac {3}{2}\), 0), (\(\frac {1}{2}\), 0)
4x² – 8x + 3 = 0
⇒ a = 4, b = -8, c = 3

⇒ x = \(\frac{8 \pm 4}{8}\)
⇒ x = \(\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)
അല്ലെങ്കിൽ x = \(\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
ബഹുപദത്തിന്റെ ചിത്രം, x അക്ഷത്തെ മുറിച്ചു കടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ (\(\frac {3}{2}\), 0), (\(\frac {1}{2}\), 0) ആണ്.

Question 2.
ഒരു രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ തുക -10 ഉം ഗുണനഫലം \(\frac {5}{2}\) ഉം ആണ്. ബഹുപദം ഏതാണ്?
(a) 2x² – 20x + 10
(b) 2x² – x + 5
(c) 2x² – 20x + 5
(d) x² – 20x + 5
Answer:
(c) 2x² – 20x + 5
പരിഹാരങ്ങളുടെ തുക -10 ഉം ഗുണനഫലം \(\frac {5}{2}\) ഉം
⇒ a + b = -10, ab = \(\frac {5}{2}\)
ബഹുപദം = x² + (a + b)x + ab
= x² – 10x + \(\frac {5}{2}\)
= 2x² – 20x + 5

Question 3.
ചുവടെയുള്ള പ്രസ്താവനകൾ നോക്കുക.
പ്രസ്താവന (A): പരിഹാരങ്ങളുടെ തുക 8 ഉം, ഗുണനഫലം 12 ഉം ആയ രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദമാണ് x² + 20x + 96
പ്രസ്താവന (B): a, b ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ പരിഹാരമാണെങ്കിൽ, B ബഹുപദം x² + (a + b)x + ab ആയിരിക്കും.
(a) പ്രസ്താവന A ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന B തെറ്റ്
(b) പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന A തെറ്റ്
(c) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A യുടെ കാരണമാണ് പ്രസ്താവന B
(d) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A യുടെ കാരണമല്ല പ്രസ്താവന B
Answer:
(b) പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A തെറ്റ്
പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്.
പരിഹാരങ്ങളുടെ തുക 8 ഉം, ഗുണനഫലം 12 ഉം
⇒ a + b = 8, ab = 12
ബഹുപദം = x² + (a + b)x + ab = x² + 8x + 12
അതിനാൽ പ്രസ്താവന A തെറ്റ്.

Question 4.
ചുവടെയുള്ള പ്രസ്താവനകൾ നോക്കുക.
പ്രസ്താവന (A): വശങ്ങൾ (x + 5) ഉം (x – 3) ഉം ആയ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ഒരു രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദം ആയിരിക്കും.
പ്രസ്താവന (B): ഒരു രണ്ടാംകൃതി ബഹുപദത്തെ രണ്ട് ഒന്നാംകൃതി ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതാം.
(a) പ്രസ്താവന A ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന B തെറ്റ്
(b) പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്, പ്രസ്താവന A തെറ്റ്
(c) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A യുടെ കാരണമാണ് പ്രസ്താവന B
(d) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A യുടെ കാരണമല്ല പ്രസ്താവന B
Answer:
(d) രണ്ടും ശരിയാണ്. പ്രസ്താവന A യുടെ കാരണമല്ല പ്രസ്താവന B
പ്രസ്താവന B ശരിയാണ്.
വശങ്ങൾ (x + 5) ഉം (x – 3) ഉം ആയ ചതുര
ത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = (x + 5)(x – 3)
= x² + 5x – 3x – 15
= x² + 2x – 15 ഒരു രണ്ടാം കൃതി ബഹുപദമാണ്.
പ്രസ്താവന A ശരിയാണ്.

Question 5.
x² + 5x – 84 എന്ന ബഹുപദത്തെ രണ്ടു ഒന്നാം കൃതി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
Answer:
x² + 5x – 84 = (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
a + b = 5, ab = -84
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 5² – 4 × (-84)
⇒ (a – b)² = 25 + 336
⇒ (a – b)² = 361
⇒ a – b = ±19
a – b = 19, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 5, a – b = 19
a = \(\frac {1}{2}\) × (5 + 19)
= \(\frac {1}{2}\) × (5 + 19)
= \(\frac {1}{2}\) × 24
= 12
b = \(\frac {1}{2}\) ×(5 – 19)
= \(\frac {1}{2}\) × (-14)
= -7
a – b = -19, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 5, a – b = -19
a = \(\frac {1}{2}\) × (5 + (-19)
= \(\frac {1}{2}\) × (-14)
= -7
b = \(\frac {1}{2}\) × (5 – (-19))
= \(\frac {1}{2}\) × (5 + 19)
= 12
∴ x² + 5x – 84 = (x + 12)(x – 7)

Question 6.
ഒരു സമചതുരത്തിന്റെ ഓരോ വശവും 2 മീറ്റർ വീതം കുറഞ്ഞപ്പോൾ പരപ്പളവ് 49 ചതുരശ്രമീറ്റർ ആയി. യഥാർത്ഥ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം എത്രയാണ്?
Answer:
യഥാർത്ഥ സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം x എന്നെടുത്താൽ
(x – 2)² = 49
⇒ x² – 4x + 4 = 49
⇒ x² – 4x – 45 = 0
a = 1, b = -4, c = -45

x സമചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ആയതിനാൽ ന്യൂനസംഖ്യ ആവില്ല.
അതിനാൽ x = 9.

Question 7.
പൊതുവ്യത്യാസം 1 ആയ ഒരു സമാന്തരശ്രേണി യുടെ ആദ്യ പദത്തിന്റെയും മൂന്നാം പദത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം 143 ആണ്. ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ മൂന്നു പദങ്ങൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
Answer:
ആദ്യ പദം x, എന്നെടുത്താൽ,
മൂന്നാം പദം = x + 2
x(x + 2) = 143
⇒ x² + 2x = 143
⇒ x² + 2x – 143 = 0
a = 1, b = 2, c = -143


ആദ്യ പദം x = 11 എന്നെടുത്താൽ, മണിയുടെ ആദ്യ മൂന്നു പദങ്ങൾ 11, 12, 13,
ആദ്യപദം x = -13 എന്നെടുത്താൽ, ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ മൂന്നു പദങ്ങൾ -13, -12, -11.

Question 8.
അടുത്തടുത്ത സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ കൂടെ 1 കൂട്ടിയാൽ 289 കിട്ടും. സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
Answer:
ഒരു സംഖ്യ x, എന്നെടുത്താൽ, തൊട്ടടുത്ത ഇരട്ട സംഖ്യ x + 2.
x(x + 2) + 1 = 289
⇒ x² + 2x + 1 = 289
⇒ x² + 2x + 1 – 289 = 0
⇒ x² + 2x – 288 = 0
a = 1, b = 2, c = -288

സംഖ്യ x = 16, എന്നെടുത്താൽ അടുത്ത സംഖ്യ x + 2 = 18
സംഖ്യ x = 18, എന്നെടുത്താൽ അടുത്ത സംഖ്യ x + 2 = -16

Question 9.
ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയി ലുള്ള ഷീറ്റിന്റെ നീളം 13 സെന്റിമീറ്റർ ആണ്. ഈ ഷീറ്റിൽ നിന്ന് പരമാവധി വലുപ്പമുള്ള രണ്ടു സമചതുര ഷീറ്റുകൾ മുറിച്ചെടുക്കുന്നു. മിച്ചമുള്ള ഷീറ്റിന്റെ പരപ്പളവ് 15 ചതുരശ്രമീറ്റർ ആണ്.

(a) ഷീറ്റിന്റെ വീതിx എന്നെടുത്താൽ, മിച്ചമുള്ള ഷീറ്റിന്റെ നീളം എന്താണ്?
(b) രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി മിച്ചമുള്ള ഷീറ്റിന്റെ നീളവും വീതിയും കണ്ടുപിടി ക്കുക.
Answer:
(a) മിച്ചമുള്ള ഷീറ്റിന്റെ നീളം = 13 – 2x
(b) മിച്ചമുള്ള ഷീറ്റിന്റെ പരപ്പളവ് = 15 ചതുര ശ്രമീറ്റർ
x(13 – 2x) = 15
⇒ 13x – 2x² = 15
⇒ 2x² – 13x + 15 = 0
a = 2, b = -13, c = 15

ഷീറ്റിന്റെ വീതി x = 5 എന്നെടുത്താൽ,
നീളം = 13 – 2x
= 13 – 2 × 5
= 3
ഷീറ്റിന്റെ വീതി x = \(\frac {3}{2}\) എന്നെടുത്താൽ,
നീളം = 13 – 2x
= 13 – 2 × \(\frac {3}{2}\)
= 10

Question 10.
1 മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ n എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ \(\frac{n(n+1)}{2}\) ആണ്. അങ്ങനെയെങ്കിൽ 1 മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എത്ര വരെ കൂട്ടിയാലാണ് 325 കിട്ടുക?
Answer:
\(\frac{n(n+1)}{2}\) = 325
⇒ \(\frac{n^2+n}{2}\) = 325
⇒ n² + n = 650
⇒ n² + n – 650 = 0
n² + n – 650 = (n + a)(n + b) = n² + (a + b)n + ab
a + b = 1, ab = -650
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
⇒ (a – b)² = 1² – 4 × (-650)
⇒ (a – b)² = 1 + 2600 = 2601
⇒ a – b = ±51
a – b = 51, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 1, a – b = 51
a = \(\frac {1}{2}\) × (1 + 51)
= \(\frac {1}{2}\) × 52
= 26
a = \(\frac {1}{2}\) × (1 – 51)
= \(\frac {1}{2}\) × (-50)
= -25
a – b = -51, എന്നെടുത്താൽ
a + b = 1, a – b = -51
a = \(\frac {1}{2}\) × (1 – 51)
= \(\frac {1}{2}\) × (-50)
= -25
b = \(\frac {1}{2}\) × (1 – (-51))
= \(\frac {1}{2}\) × (1 + 51)
= 26
ഇവ ഉപയോഗിച്ച്,
n² + n – 650 = (n + 26)(n – 25)
⇒ n² + n – 600 = 0
⇒ (n + 25)(n – 24) = 0
⇒ n = -26 അല്ലെങ്കിൽ n = 25
n എന്നത് സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ആയതിനാൽ ന്യൂന സംഖ്യ അല്ല.
അതിനാൽ n = 25
1 മുതലുള്ള തുടർച്ചയായ 25 വരെ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാലാണ് 325 കിട്ടുക.

Question 11.
ചിത്രത്തിൽ ഞാൺ AB യും CD നീട്ടി P യിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. PB = 14 സെന്റിമീറ്റർ, AB = 5 സെന്റിമീറ്റർ, CD = 15 സെന്റീമീറ്റർ. PC യുടെ നീളം എന്താണ്?

Answer:
PC യുടെ നീളം x എന്നെടുത്താൽ,
PD = x + 15
PB 14, AB = 5
⇒ PA = 14 – 5 = 9
PA × PB = PC × PD
⇒ 9 × 14 = x(x + 15)
⇒ x² + 15x = 126
⇒ x² + 15x – 126 = 0
a = 1, b = 15, c = -126

x എന്നത് PC യുടെ നീളം ആയതിനാൽ ന്യൂന സംഖ്യ അല്ല.
അതിനാൽ x = 6
PC യുടെ നീളം 6 സെന്റിമീറ്റർ.

Question 12.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ തമ്മി ലുള്ള വ്യത്യാസം 10 സെന്റിമീറ്ററും പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററും ആയാൽ ലംബവശങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ഒരു ലംബവശം x എന്നെടുത്താൽ, മറ്റേ വശം x + 10
പരപ്പളവ് = \(\frac {1}{2}\) × x(x + 10) = 72
⇒ x(x + 10) = 144
⇒ x² + 10x = 144
⇒ x² + 10x – 144 = 0
a = 1, b = 10, c = -144

x എന്നത് വശത്തിന്റെ നീളം ആയതിനാൽ ന്യൂന സംഖ്യ അല്ല.
അതിനാൽ, x = 8
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളം = 8, 18

Question 13.
70 സെ.മീ നീളമുള്ള കമ്പി വളച്ച് ചതുരം ഉണ്ടാ ക്കുന്നു. അതിന്റെ വികർണത്തിന്റെ നീളം 25 സെ.മീ ആണെങ്കിൽ ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും കാണുക.
Answer:
ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 70 സെന്റിമീറ്റർ
ചതുരത്തിന്റെ നീളം x എന്നെടുത്താൽ
⇒ 2 (നീളം + വീതി) = 36
⇒ നീളം + വീതി = 36
⇒ x + വീതി = 36
⇒ വീതി = 36 – x
വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 25 സെന്റിമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ
x² + (36 – x)² = 25²
⇒ x² + 36² – 72x + x² = 25²
⇒ 2x² – 72x + 1296 = 625
⇒ 2x² – 72x + 671 = 0
a = 2, b = -72, c = 671
അതിനാൽ,

വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 25 സെന്റിമീറ്ററായി ചതുരമുണ്ടാക്കാൻ കഴിയില്ല.

Question 14.
പൊതുവ്യത്യാസം 4 ആയ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി യുടെ പദങ്ങളെല്ലാം അധിസംഖ്യകളാണ്. ഈ ശ്രേണി യിലെ തുടർച്ചയായ രണ്ടു പദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം അവയുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
(a) ഒരു പദം x എന്നെടുത്താൽ തൊട്ടടുത്ത പദം ഏതായിരിക്കും?
(b) പദങ്ങൾ കണക്കാക്കുക
Answer:
(a) പൊതുവ്യത്യാസം = 4
ഒരു പദം x, എന്നെടുത്താൽ,
തൊട്ടടുത്ത പദം x + 4
(b) x(x + 4) = x² + x + 4
⇒ x² + 4x = 2x + 4
⇒ x² + 4x – 2x – 4 =0
⇒ x² + 2x – 4 = 0
a = 1, b = 2, c = -4
അതിനാൽ,

⇒ x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}\)
⇒ x = \(\frac{-2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}\)
⇒ x = -1 ± √5
If x = -1 + √5 അല്ലെങ്കിൽ x = -1 – √5
If x = -1 + √5, ആണെങ്കിൽ തൊട്ടടുത്ത പദം
x + 4 = -1 + √5 + 4 = 3 + √5
-1 + √5, 3 + √5, 7 + √5,…
If x = -1 – √5, ആണെങ്കിൽ തൊട്ടടുത്ത പദം
x + 4 = -1 – √5 + 4 = 3 – √5
-1 – √5, 3 – √5, 7 – √5,….

Question 15.
9, 11, 13,,.. എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയുടെ കുറച്ച് പദങ്ങ ളുടെ തുകയോട് 16 കൂട്ടിയപ്പോൾ 256 കിട്ടി. എത്ര സംഖ്യകൾ ആണ് കൂട്ടിയത്?
Answer:
9, 11, 13,.. എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ കുറച്ച് പദങ്ങളുടെ തുകയോട് 16 കൂട്ടിയപ്പോൾ 256 കിട്ടി. അതായത്,
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ തുക 256 – 16 = 240 ആണ്.
ആദ്യപദം (a) = 9
പൊതുവ്യത്യാസം (d) = 2
x_n = dn + (f – d)
= 2n + (9 – 2)
= 2n + 7
an + b ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം
ആണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ 1 പദങ്ങളുടെ തുക.
= a\(\frac {n}{2}\)(n + 1) + nb
= 2\(\frac {n}{2}\)(n + 1) + n × 7
= n(n + 1) +7n
= n² + n + 7n
= n² + 8n
⇒ n² + 8n = 240
⇒ n² + 8n – 240 = 0
a = 1, b = 8, c = -240
അതിനാൽ,
n = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

⇒ n = \(\frac{-8+32}{2}\)
⇒ n = 12
അല്ലെങ്കിൽ
n = \(\frac{-8-32}{2}\) = -20
n എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ആയതിനാൽ ന്യൂന സംഖ്യ അല്ല.
അതിനാൽ n = 12
12 സംഖ്യകൾ ആണ് കൂട്ടിയത്.