Class 10 Maths Chapter 6 Question Answer Malayalam Medium ത്രികോണമിതി

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 6 Trigonometry Questions and Answers Malayalam Medium ത്രികോണമിതി can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 6 Trigonometry Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 6 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 6 Kerala Syllabus Malayalam Medium

(Textbook Page No. 102, 103)

Question 1.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സാമാന്തരികങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.

Answer:
ആദ്യചിത്രത്തിൽ AMD ഒരു 45° – 45° – 90° ത്രികോണമാണ്.

DM എന്ന വര ABയ്ക്ക് ലംബമാണ് AD = 2cm DM = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = 2cm
സാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 4 × √2 = 4√2 cm
രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ ത്രികോണം AMD ഒരു 30° – 60° – 90°
ത്രികോണമാണ് AD = 2cm DM = √3 cm
സാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 4 × √3 = 4√3cm

Question 2.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കാണുക.

Answer:
CM എന്ന വര AB യ്ക്ക് ലംബമായി വരക്കുന്നു

AMC ഒരു 30° – 60° – 90° ത്രികോണമാണ്. CM = 1 cm
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 3 × 1 = \(\frac{3}{2}\) cm²

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ AMC ഒരു 30 – 60° – 90° ത്രികോണം
CM= √3 cm. പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 3 × √3 = \(\frac{3}{2}\) √3 cm²

മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ, CM = √2 ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 3 × √2 = \(\frac{3}{2}\) √2cm

Class 10 Maths Chapter 6 Question Answer Malayalam Medium

(Textbook Page No. 110)

Question 1.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം 8സെന്റിമീറ്ററും 10സെന്റിമീറ്ററും; അവയ്ക്കിടയിലെ കോൺ 40.
(i) ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
(ii) ഇതേ വശങ്ങളും, അവയ്ക്കിടയിലെ കോൺ 140 യും ആയ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
Answer:
(i) ചിത്രത്തിൽ ∠A = 180 – 100 = 80°

sin 40° = \(\frac{h}{8}\)
0.6428 = \(\frac{h}{8}\)
h = 5.14 cm
Area = \(\frac{1}{2}\) × 10 × 5.14 = 25.70 cm²

ii) രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ h = 5.14, പരപ്പളവ് 25.70 cm

Question 2.
ഒരു സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം 5സെന്റിമീറ്ററും, അതിലെ ഒരു കോൺ 100 യുമാണ്. അതിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രത്തിൽ ∠A = 180 – 100 = 80°

sin 80° = \(\frac{h}{5}\), 0.9848 = \(\frac{h}{5}\)
⇒ h = 4.9240
പരപ്പളവ് = 5 × 4.9240 = 24.62 cm²

Question 3.
ഒരു സാമാന്തരികത്തിന്റെ വികർണ്ണങ്ങളുടെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററും, 12സെന്റിമീറ്ററും ആണ്; അവയ്ക്കിടയിലെ കോൺ 50 യും. അതിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചി ത്രം

\(\frac{1}{2}\) = sin50° ⇒ AM = 6 × 0.76 = 4.56
ത്രികോണം ABDയുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 8 × 4.56 = 18.24 cm²
സാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × 18.24 = 36.48 cm²

Question 4.
ഒരു വശം 8സെന്റിമീറ്ററും, അതിൽ ഒരു കോൺ 40 യും ആയി ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കണം. ഈ 40° കോണിനെതിരെയുള്ള വശത്തിന്റെ നീളം ചുരുങ്ങിയത് എത്ര സെന്റിമീറ്റർ ആകണം?
Answer:
ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വരയിലേയ്ക്കുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞദൂരം ലംബദൂരമാണ് BC എന്നത് ലംബദൂരമാണ്. ത്രികോണം ACB ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ് .
ചിത്രത്തിൽ

\(\frac{BC}{8}\) = sin 40° = 0.6427
⇒ BC = 8 × 0.6427
= 5.14cm
40 കോണിന് എതിരെയുള്ള വശത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം 5.14 cm

Question 5.
വശം 5സെന്റിമീറ്ററും ഒരു കോൺ 70° യും ആയ സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ വികർണ്ണങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രം

sin 35° = \(\frac{b}{5}\) ⇒ b = 5 × 0.5735 = 2.86cm
sin 35° = \(\frac{a}{5}\) ⇒ a = 5 × 0.8191 = 4.09cm
വികർണ്ണകളുടെ നീളം = 2 × 2.86 = 5.72cm, 2 × 4.09 = 8.18cm

SSLC Maths Chapter 6 Questions and Answers Malayalam Medium

(Textbook Page No. 114, 115)

Question 1.
രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളും അവയുടെ പരിവൃത്തങ്ങളുമാണ് ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ഓരോ വൃത്തത്തിന്റെയും ആരം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രം വരച്ച് അളവുകൾ എഴുതുന്നു

വ്യാസം BP വരക്കുന്നു, PC യോജിപ്പിക്കുക
ത്രികോണം BPC ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ് ∠P = 30
30° – 60° – 90° ത്രികോണത്തിന്റെ പ്രത്യേകത ഉപയോഗിച്ച് വ്യാസം 4. ആരം 2cm
AP എന്ന വ്യാസം വരക്കുക, PCയോജിപ്പിക്കുക
APCB പ്രക്രിയ ചതുർഭുജമാണ് ∠P = 180 – 135 = 45°
ത്രികോണം ACP ഒരു 45, 45, 90° ത്രികോണം AC = PC= 3cm
AP = 3√2 വൃത്തത്തിന്റെ ആരം \(\frac{3}{2}\)√2

Question 2.
5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വരയുടെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കണം: വരയുടെ ഒരു വശത്തുള്ള വൃത്തഭാഗത്തിലെ കോൺ 80 ആയിരിക്കുകയും വേണം. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്രയായെടുക്കണം?
Answer:
ചിത്രത്തിൽ

sin 80° = \(\frac{5}{2r}\), 0.9848 = \(\frac{5}{2r}\)
r = \(\frac{5}{2 \times 0.9848}\) = 2.53cm

Question 3.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗമാണ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്.

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്ര സെന്റിമീറ്ററാണ്?
Answer:
ചിത്രത്തിൽ

മറുചാപം വരച്ച് വൃത്തം പൂർത്തിയാക്കുന്നു.
മറുചാപത്തിലെ കോൺ 180 – 140 = 40.
മട്ടത്രികോണം പൂർത്തിയാക്കുന്നു. sin 40 = \(\frac{8}{2r}\), r വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്.
0.64 r = \(\frac{8}{2r}\)
⇒ r = 6.25cm
ഞാൺ കേന്ദ്രത്തിൽ 2 കോൺ രൂപീകരിച്ചാൽ ഞാണിന്റെ നീളം 2r sin\(\left(\frac{c}{2}\right)^2\)

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 6 Malayalam Medium

(Textbook Page No. 118)

Question 1.
ചിത്രങ്ങളിൽ രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളും അവയുടെ പരിവൃത്തങ്ങളും കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

സൈൻ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, രണ്ടു വൃത്തങ്ങളുടെയും വ്യാസവും, രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെയും മറ്റു വശങ്ങളുടെ നീളവും മില്ലിമീറ്റർ വരെ കൃത്യമായി കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചാപത്തിന്റെ a കോൺ ഉണ്ടാകുന്ന ഞാണിന്റെ നീളം d. ഇതു d = 2r sin a°, 4 = 2r sin 85°
⇒ r = \(\frac{2}{\sin 85^{\circ}}\) ≈ 2.01 cm
രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ കോൺ 80° ആണ്.
r = \(\frac{2}{0.98}\) = 2.04cm

SSLC Maths Chapter 6 Malayalam Medium

(Textbook Page No. 121, 122)

Question 1.
ഒരു സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ ഒരു കോൺ 50 ആണ്; ചെറിയ വികർണ്ണം 6 സെന്റിമീറ്ററും. അതിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ് ?
Answer:
ആദ്യചിത്രത്തിൽ

വികർണ്ണങ്ങൾ ലംബമായി സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു . ത്രികോണ APB, ∠BAP = 25°
sin 25° = \(\frac{3}{AP}\)
⇒ AP = 6.433 cm
ത്രികോണം ABDയുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 6 × 6.433 = 19.29 cm2
സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × 19.29 = 38.58 cm
രണ്ടാമത്തെ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം = 2 × 6.52
സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ പരപ്പളവ് വികർണ്ണങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

Question 2.
മതിലിന്മേൽ ഒരു ഏണി ചാരി വച്ചിരിക്കുന്നു. ഏണിയുടെ ചുവട് മതിലിൽ നിന്ന് 2 മീറ്റർ അകലെയാണ്; ഏണിയും തറയുമായുള്ള കോൺ 40 യും. ഏണിയുടെ മുകളറ്റം, തറയിൽനിന്ന് എത്ര ഉയരത്തിലാണ്?
Answer:
ചിത്രം

tan 40 ⇒ h = 2 × tan 40 = 2 × 0.83 = 1.66m

Question 3.
മൂന്നു ചതുരങ്ങൾ വികർണ്ണത്തിലൂടെ മുറിച്ചു ത്രികോണങ്ങളാക്കി, ചുവടെക്കാണുന്നതു പോലെ ചേർത്തുവച്ച്, ഒരു സമപഞ്ചഭുജമുണ്ടാക്കണം:

പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളെല്ലാം 30 സെന്റിമീറ്റർ ആകണമെങ്കിൽ ചതുരങ്ങളുടെ നീളവും വീതിയും എത്രയായിരിക്കണം?
Answer:
ചിത്രം

AQ, CQ എന്നത് വലിയ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളാണ്
BP, AP എന്നത് ചെറിയ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളാണ്

sin 54° = \(\frac{AP}{30}\) ⇒ AP = 24.27, AC = 48.54 cm
cos54° = \(\frac{bP}{30}\) ⇒ BP = cos 54 × 30 = 17.63 cm
sin18° = \(\frac{C Q}{48.54}\) ⇒ CQ=14.99 cm,
cos 18° = \(\frac{A Q}{48.54}\) ⇒ AQ=46.16cm

Question 4.
ചിത്രത്തിലെ കുത്തനെയുള്ള വരകൾ ഒരു സെന്റിമീറ്റർ അകലം ഇടവിട്ടാണ് വരച്ചിരിക്കുന്നത്.

അവയുടെ ഉയരങ്ങൾ സമാന്തരശ്രേണിയിലാണെന്നു തെളിയിക്കുക. പൊതുവ്യത്യാസം എത്രയാണ് ?
Answer:
ആദ്യതികോണത്തിൽ, പാദം x, ഉന്നതി h
\(\frac{h}{x}\) = tan40° ⇒ h = xtan40°
രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണത്തിൽ = (x + 1) tan 40°
മൂന്നാമത്തെ ത്രികോണത്തിൽ = (x + 2) tan 40°
x tan 40°, x tan 40° + tan 40°, x tan 40° + 2 tan 40° ………….. എന്ന ശ്രേണി സമാന്തരശ്രേണിയാണ് പൊതുവ്യത്യാസം tan 40°

Question 5.
വശം 10 സെന്റിമീറ്ററായ സമപഞ്ചഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രം

\(\frac{AP}{10}\) ⇒ sin 54° = AP = 8.09, AC = 16.18 cm
BP = cos 54 ⇒ BP = 10 × cos54 = 5.8 cm
ത്രികോണം ABC യുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 16.18 5.8 = 46.922 cm²
ത്രികോണം AED യുടെ പരപ്പളവ് = 46.922
cos 18° = \(\frac{AQ}{AC}\) ⇒ AQ=15.38 cm.
ത്രികോണം ACD യുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × 10 × 15.38 = 76.94
പഞ്ചഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 46.92 + 46.92 + 76.94 = 170.78 cm²

Class 10 Maths Chapter 6 Malayalam Medium

(Textbook Page No. 125)

Question 1.
സൂര്യൻ 40 മേൽക്കോണിൽ കാണപ്പെടുമ്പോൾ, ഒരു മരത്തിന്റെ നിഴലിന്റെ നീളം 18 മീറ്ററാണ്.
i) മരത്തിന്റെ ഉയരം എത്രയാണ് ?
ii) സൂര്യൻ 80° മേൽക്കോണിൽ കാണപ്പെടുമ്പോൾ, നിഴലിന്റെ നീളം എത്രയായിരിക്കും?
Answer:
ചിത്രം

i) tan 40° = \(\frac{h}{18}\) ⇒ 15.10 m
ii) tan 80° = \(\frac{15.10}{x}\) ⇒ x = 2.66 m

Question 2.
ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്നും ഒരാൾ 30 മീറ്റർ അകലെയുള്ള ഒരു കടയുടെ ചുവട് 25° കീഴ്ക്കോണിൽ കാണുന്നു. കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രം

tan25° = \(\frac{h}{30}\) ⇒ h = 30 × tan 25 = 13.98 m

Question 3.
ഒരു വൈദ്യുതിത്തൂണിന്റെ മുകളറ്റത്തുനിന്ന് രണ്ട് ഇരുമ്പു കമ്പികൾ ഇരുവശത്തേക്കും വലിച്ച് തറയിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. കമ്പികളുടെ ചുവടുകൾ തറയുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകൾ 55° യും 40 യും ആണ്; കമ്പികളുടെ ചുവടുകൾ തമ്മിലുള്ള അകലം 25 മീറ്ററും. തൂണിന്റെ ഉയരം എത്രയാണ് ?
Answer:
ചിത്രം

tan 55° = \(\frac{x}{25-x}\)
1.4 = \(\frac{x}{25-x}\)
35.5 = 2.4x ⇒ x = \(\frac{35.5}{2.4}\) = 14.79 m

Question 4.
ഒരു ഗോപുരത്തിന്റെ ചുവട്ടിൽ നിൽക്കുന്ന 1.75 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരാൾ, 40 മീറ്റർ അകലെയുള്ള ഒരു കുന്നിന്റെ മുകളറ്റം 60° മേൽക്കോണിൽ കാണുന്നു. ഗോപുരത്തിന്റെ മുകളിൽനിന്നു നോക്കിയപ്പോൾ, അത് 50° മേൽക്കോണിലാണ് കണ്ടത്. കുന്നിന്റെയും, ഗോപുരത്തിന്റെയും ഉയരം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രം

\(\frac{DE}{CE}\) = tan50° ⇒ DE = 40 × tan 50° = 47.67m
\(\frac{DF}{BF}\) = tan60° ⇒ DF = 40 × tan60 = 69.28m
EF = 69.28 – 47.67 = 21.61m
ഗോപുരത്തിന്റെ ഉയരം AC = 21.61 + 1.75 = 23.36m
കുന്നിന്റെ ഉയരം DG = 47.67 + 23.36 = 71.03m

Question 5.
ഒരു തോട്ടിനരികത്തു നിൽക്കുന്ന കുട്ടി, അക്കരയോടു ചേർന്നു നിൽക്കുന്ന ഒരു മരത്തിന്റെ മുകളറ്റം 80° മേൽക്കോണിൽ കണ്ടു. 15 മീറ്റർ പുറകോട്ടു മാറി നോക്കിയപ്പോൾ, അത് 40 മേൽക്കോണിലാണ് കണ്ടത്. കുട്ടിയുടെ ഉയരം 1.5 മീറ്റർ. തോടിന്റെ വീതിയും, മരത്തിന്റെ ഉയരവും കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചിത്രം

\(\frac{y}{x}\) = tan80°, \(\frac{y}{x + 15}\) = tan 40°
y = x tan 80°; \(\frac{x \tan 80}{x+15}\) = tan40
x = \(\frac{15 \tan 40^{\circ}}{\tan 80^{\circ}-\tan 40^{\circ}}=\frac{12.58}{4.8}\) = 2.62 m
കനാലിന്റെ വീതി = 2.62 m
മരത്തിന്റെ ഉയരം y + 1.5 = x tan 80 + 1.5 = 16.35m

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 6 ത്രികോണമിതി

Std 10 Maths Chapter 6 Notes Malayalam Medium

നമ്മളുടെ ഹൈസ്കൂൾ ക്ലാസ്സിൽ ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനതയുടെ വിപുലീകരണമായി ത്രികോണമിതി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. എപ്പോഴൊക്കെ ത്രികോണം അതിന്റെ കോണുകൾ അളക്കുകയും വശങ്ങളുടെ അനുപാതം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനർത്ഥം വശങ്ങളുടെ അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച് കോൺ അളക്കാൻ കഴിയും. വശങ്ങളുടെ അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച് കോണുകൾ അളക്കുന്നതിനെ കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

→ രണ്ട് പ്രത്യേക ത്രികോണങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഈ പാഠഭാഗം ആരംഭിക്കുന്നത്. ആദ്യത്തേത് 45° – 45° – 90° ത്രികോണങ്ങളാണ്. ഇത്തരത്തിലുള്ള ത്രികോണം സമചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണം വരയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തെ പ്രത്യേക ത്രികോണം 30° – 60° – 90° ത്രികോണമാണ്. ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ഉന്നതി ത്രികോണത്തെ രണ്ട് മട്ടത്രികോണങ്ങളായി ഭാഗിക്കുന്നു

→ ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ത്രികോണമിതിയുടെ കോണളവുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു ഉൾക്കാഴ്ച നൽകുന്നു. സെൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നീ അളവുകൾ ഒരു കോണിലെ മൂന്ന് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതീയ അളവുകളാണ്.

→ വൃത്തങ്ങളും ത്രികോണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങൾ ത്രികോണമിതിയുടെ സഹായത്തോടെ ഈ പാഠഭാഗത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അകലങ്ങളും ഉയരങ്ങളും മറ്റൊരു ചർച്ചാ വിഷയമാണ്.

→ പാഠഭാഗത്തിന്റെ അവസാനം ത്രികോണമിതി പട്ടിക നൽകിയിരിക്കുന്നു. 1 മുതൽ 89 വരെയുള്ള കോണുകൾ അടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് സഹായകമാണ്.

→ വികർണ്ണം സമചതുരത്തെ രണ്ട് തുല്യ മട്ടത്രികോണങ്ങളാക്കുന്നു. ഇവ 45, 45, 90° കോണുകളുള്ള മട്ടത്രികോണങ്ങളാണ്

→ ആകൃതി മാറാതെ ത്രികോണത്തിന്റെ വലുപ്പം വ്യത്യാസപ്പെടുത്തിയാൽ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന് മാറ്റ മുണ്ടാകും. എന്നാൽ കോണുകളും വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും.
അതായത് കോണുകൾക്ക് മാറ്റമുണ്ടായാൽ മാത്രമേ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധത്തിന് മാറ്റം ഉണ്ടാകുകയുള്ളൂ.
45° കോണിന് എതിരെയുള്ള വശം a ആയാൽ 90° കോണിന് എതിരെയുള്ള വശം 12 a ആയിരിക്കും.

→ ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ഉന്നതി ത്രികോണത്തെ രണ്ട് മട്ടത്രികോണങ്ങളായി ഭാഗിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും 30, 60, 90° ത്രികോണങ്ങളാണ്.
ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വശം 2സെ.മീ. ഇത് സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ 90° കോണിന് എതിരെയു
ള്ള വശമാണ്.
30° കോണിന് എതിരെയുള്ള വശം 1. ഇത് 90° കോണിന് എതിരെയുള്ള വശത്തിന്റെ പകുതിയാണ് 60° കോണിന് എതിരെയുള്ള വശം √3.

→ 90° കോണിന് എതിരെയുള്ള വശം \(\frac{a}{2}\), 60° ആയാൽ 30 കോണിന് എതിരെയുള്ള വശം എതിരെയുള്ള വശം \(\frac{a}{2}\), √3.

→ ആകൃതി മാറ്റം വരാതെ വലുപ്പം മാറ്റിയാൽ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ ആനുപാതികമായി മാറുന്നു. ഒരു ചെറിയ കോൺ a° ആയാൽ അതിന് എതിരെയുള്ള വശവും കർണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധമാണ് ആ കോണിന്റെ sine അളവ് .
കോണിന്റെ സമീപവശവും കർണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധമാണ് കോണിന്റെ cosine.

→ ചിത്രം നോക്കുക

sin a° = \(\frac{p}{d}\), cos a° = \(\frac{q}{d}\)

→ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ‘ എന്ന കോണിന്റെ എതിർ വശവും കർണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിൽ sin a എന്നതാണ് ആനുപാതികസ്ഥിരമാണ് .
cos a° എന്നത് സമീപവശങ്ങളും കർണ്ണത്തിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിൽ വരുന്ന ആനുപാതി കസ്ഥിരമാണ്

→ sin 30° = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin 60° = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin 45° = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

→ p, q രണ്ട് വശങ്ങളും ” ഈ വശങ്ങളുടെ ഇടയിലെ കോണും ആയാൽ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് \(\frac{1}{2}\)pq sin a°.

→ വൃത്തത്തിന്റെ ചാപനീളം ചാപത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അവയുടെ ആനുപാതിക ബന്ധത്തിൽ നിന്നും ചാപനീളം കണക്കാക്കാം
കോൺ അളക്കുന്ന ഡിഗ്രി അളവ് കൂടാതെ റേഡിയൻ എന്ന മറ്റൊരളവുണ്ട്. ഇത് ചാപത്തിന്റെ നീളവും വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിലൂടെയാണ് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നത്

s ചാപത്തിന്റെ നീളവും r വൃത്തത്തിന്റെ ആരവുമായാൽ \(\frac{s}{r}\) എന്നത് കേന്ദ്രകോണിന്റെ റേഡിയൻ അളവാണ്

→ വൃത്തത്തിലെ ഞാണിന്റെ നീളം ആരത്തിന്റെ രണ്ട് മടങ്ങിന്റെയും ഞാൺ കേന്ദ്രത്തിലുണ്ടാക്കുന്ന കോണി ന്റെ പകുതിയുടെ സൈൻ അളവിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ്.

→ a° കോണിന്റെ ഒരു വശത്തുള്ള ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റേ വശത്തേയ്ക്കുള്ള ലംബത്തിന്റെ ഉയരം pയും കോണിന്റെ മൂലയിൽ നിന്ന് ലംബത്തിന്റെ ചുവടിലേക്കുള്ള അകലം q യും ആണെങ്കിൽ
tan a° = \(\frac{p}{q}\)

→ 1° മുതൽ 89° വരെയുള്ള കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി അളവുകൾ ത്രികോണമിതി പട്ടികയിൽ നിന്നും കണ്ടെത്താം
കോണളവ് 0° യിൽ നിന്നും. 90° യിലേയ്ക്ക് ഉയരുമ്പോൾ sine അളവ് 0 ൽ നിന്നും 1 ലേയ്ക്ക് ഉയരുന്നു. അപ്പോൾ cosine അളവ് 1ൽ നിന്നും ) ത്തിലേയ്ക്ക് താഴുന്നു.
രണ്ട് കോണുകളുടെ തുക 90° ആയാൽ ഒരു കോണിന്റെ sine അളവ് മറ്റേ കോണിന്റെ cosine അളവാണ്.
sin 1° = cos 89°, sin 10° = cos 80°, sin 45° = cos 45°

→ കോണുകൾ 45, 45°, 90° ആയ ഏതു ത്രികോണ ത്തിലും രണ്ടു ചെറിയ വശങ്ങൾക്കും ഒരേ നീളമാണ്; ഈ നീളത്തിന്റെ √2 മടങ്ങാണ്, വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം.

→ കോണുകൾ 30°, 60°, 90° ആയ ത്രികോണത്തിലും ഏറ്റവും ചെറിയവശത്തിന്റെ √3 മടങ്ങാണ് ഇടത്തരം വശം; ഏറ്റവും ചെറിയ വശത്തിന്റെ 2 മടങ്ങാണ് ഏറ്റവും വലിയ വശം

→ ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ മുകളിലെ മൂലയിൽ നിന്ന് താഴത്തെ വശത്തിലേക്കു വരയ് ക്കുന്ന ലംബം മുകളിലെ കോണിനെ തുല്യമായി മുറിക്കുന്നു.

→ a° കോണിന്റെ ഒരു വശത്തിൽ, കോണിന്റെ മൂലയിൽ നിന്ന് d അകലത്തിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽനിന്ന് മറ്റേ വശത്തേയ്ക്കുള്ള ലംബ ത്തിന്റെ ഉയരം P യും, കോണിന്റെ മൂലയിൽ നിന്ന് ലംബത്തിന്റെ ചുവടിലേയ്ക്കുള്ള അകലം q യും ആണെങ്കിൽ,

sin a° = \(\frac{p}{d}\)
cos a° = \(\frac{q}{d}\)

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏതു ഞാണിന്റെയും നീളം, കേന്ദ്ര കോണിന്റെ പകുതിയുടെ സൈനിനെ ആരംകൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങാണ്.

→ ഓരോ ഞാണിന്റെയും കേന്ദ്രകോൺ, ത്രികോണ ത്തിൽ അതിനെതിരെയുള്ള കോണിന്റെ രണ്ടു മടങ്ങുമാണ്.
ബിന്ദു

→ a കോണിന്റെ ഒരു വശത്തിലെ ഒരു വിൽനിന്ന് മറ്റേ വശത്തേയ്ക്കുള്ള ലംബത്തിന്റെ ഉയരം 1 യും, കോണിന്റെ മൂലയിൽ നിന്ന് ലംബത്തിന്റെ ചുവടിലേയ്ക്കുള്ള അകലം എ യും ആണെങ്കിൽ,

tan a° = \(\frac{p}{q}\)

→ കാഴ്ചയുടെ രേഖ (സാധാരണ നോട്ടം): ഒരു നിരീ ക്ഷകന്റെ കണ്ണിൽ നിന്ന് കാണുന്ന വസ്തുവിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന സാങ്കൽപ്പിക രേഖയാണ് ഇത്.

→ സാധാരണയായി നോട്ടത്തിന്റെ പാത നിലത്തിനു സമാന്തരമാണ്, ഉയരത്തിലുള്ളവയെ നോക്കു മ്പോൾ, ഇത് മേൽപ്പോട്ടുയരും. ഈ രണ്ടു വരകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിനെ മേൽക്കോൺ (Angle of el evation) എന്നാണ് പറയുന്നത്.

→ ഉയരത്തിൽ നിൽക്കുമ്പോൾ താഴെയുള്ളവയെ കാണാൻ, നോട്ടം താണ്ടി വരും. ഇങ്ങനെ യുണ്ടാകുന്ന കോണിനെ കീഴ്ക്കോൺ (Angle of depression) എന്നാണ് പറയുന്നത്.