Kerala Syllabus Class 9 Maths Chapter 12 Solutions Malayalam Medium സ്തംഭങ്ങൾ

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Malayalam Medium സ്തംഭങ്ങൾ can save valuable time.

Kerala SCERT Class 9 Maths Chapter 12 Solutions Malayalam Medium സ്തംഭങ്ങൾ

Class 9 Maths Chapter 12 Kerala Syllabus Malayalam Medium

Class 9 Maths Chapter 12 Malayalam Medium Textual Questions and Answers

Question 1.
ഒരു സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദചുറ്റളവ് 18 സെന്റിമീറ്ററും, ഉയരം 5 സെന്റിമീറ്ററു മാണ്. അതിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദചുറ്റളവ് = 18 സെമീ
പാദവശം = \(\frac{18}{3}\) = 6 സെമീ
ഉയരം = 5 സെമീ
സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (വശം)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (6)²
= 9√3 ഘ.മീ
വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 9√3 × 5 = 45√3 ഘ.മീ

Question 2.
ഒരു ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ 13 സെന്റിമീറ്റർ, 14 സെന്റിമീറ്റർ, 15 സെന്റിമീറ്റർ എന്നിങ്ങനെയാണ്. സ്തംഭത്തിന്റെ ഉയരം 20 സെന്റിമീറ്ററും. അതിന്റെ വ്യാപ്തം എത്രയാണ്?
Answer:
ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ a, b, c എന്നെടുത്താൽ
a = 13 6m, b = 14 സെമീ c = 15 സെമീ
ഉയരം = 20 സെമീ
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ അർദ്ധചുറ്റളവ് S ആണെങ്കിൽ

S = \(\frac{a+b+c}{2}\)
S = \(\frac{13+14+15}{2}\) = 21 ഘ.മീ

പാദപരപ്പളവ് = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)
= \(\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\)
= \(\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\)
= \(\sqrt{7056}\)
= 84 ച.സെമീ
വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 84 × 20 = 1680 ഘ.സെമീ

Question 3.
മഴവെള്ളം ശേഖരിക്കാനായി, സ്കൂൾ മുറ്റത്ത്, സമഷഡ്ഭുജാകൃതിയിൽ ഒരു കുഴിയുണ്ട്. ഇതിന്റെ ഒരു വശം 2 മീറ്ററും, കുഴിയുടെ ആഴം 3 മീറ്ററുമാണ്. ഇതിൽ ഒരു മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ വെള്ളമുണ്ട്. അത് എത്ര ലിറ്ററാണ്? ഈ കുഴിയിൽ എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം കൂടി കൊള്ളും?
Answer:
സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ഒരു വശം = 2 മീ
3 മീറ്റർ ആഴംമുള്ള കുഴിയിൽ 1 മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ വെള്ളമുണ്ട്.

സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് = 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (വശം)²
= 6 × \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 2²
= 6√3 ച.മീ

അങ്ങനെയെങ്കിൽ വെള്ളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ വ്യാപ്തം
= സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 6√3 × 1
= 6√3
= 6 × 1.73 × 1000 ലിറ്റർ
= 10380 ഘ.ലിറ്റർ

സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ ആകെ വ്യാപ്തം = സമഷഡ്ഭുജത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 6√3 × 3
= 18 √3
= 18 × 1.73 × 1000 ഘ.ലിറ്റർ
= 31140 ഘ.ലിറ്റർ
കുഴിയിൽ അധികമായി കൊള്ളുന്ന വെള്ളം = 31140 – 10380 = 20760 ഘ.ലിറ്റർ

Question 4.
സമചതുരസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ഒരു പാത്രത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ 16 സെന്റിമീറ്റർ ആണ്. പാത്രത്തിൽ 10 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരത്തിൽ വെള്ളമുണ്ട്. ഇതിൽ, വക്കുകളെല്ലാം 8 സെന്റിമീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ട മുക്കിയാൽ, വെള്ളത്തിന്റെ നിരപ്പ് എത്ര സെന്റിമീറ്റർ ഉയരും?
Answer:
സമചതുരസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള പാത്രത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ = 16 സെമീ
വെള്ളത്തിന്റെ ഉയരം = 10 സെമീ
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് = (വശം) = (16)2 = 256 ച.മീ
സമചതുരസ്തംഭത്തിലെ വെള്ളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = (വംശം)² × ഉയരം
സമചതുരക്കട്ടയുടെ വശം = 8 സെമീ
= 256 × 10
= 2560 ഘ.മീ

സമചതുരക്കട്ടയുടെ പാദപരപ്പളവ് = (വശം)² = 8²
= 64 ച.സെമീ

സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം = 64 × 8
= 512 ഘ.സെമീ

വെള്ളത്തിന്റെ ഉയർന്ന നിരപ്പ് h എന്നെടുത്താൽ,
ഉയർന്ന വെള്ളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം =(വശം) × ഉയരം
= 16 × 16 × h
= 256 h

ഉയർന്ന വെള്ളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = സമചതുരസ്തംഭത്തിലെ വെള്ളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം + സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം
256 h = 2560 + 512
256 h = 3072
h = \(=\frac{3072}{256}\) = 12 സെമീ
ഉയർന്ന വെള്ളത്തിന്റെ നിരപ്പ് = 12 – 10 = 2 സെമീ

Question 5.
ലോഹം കൊണ്ടുണ്ടാക്കിയ ഒരു ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വക്കുകൾ 6 സെന്റിമീറ്റർ, 9 സെന്റി മീറ്റർ, 15 സെന്റിമീറ്റർ വീതമാണ്. ഇതുരുക്കി വക്ക് 3 സെന്റിമീറ്ററായ എത്ര സമചതുരക്കട്ട കളുണ്ടാക്കാം?
Answer:
ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വക്കുകൾ = 6 സെമീ, 9 സെമീ, 15 സെമീ
ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് = നീളം × വീതി = 9 × 6 = 54 ച.സെമീ
ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 54 × 15 = 810 ഘ.സെമീ
സമചതുരക്കട്ടയുടെ പാദപരപ്പളവ് = (വശം)² = (3)² = 9 ച.സെമീ
സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 9 × 3 = 27 ഘ.സെമീ
ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തത്തിനെ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന തുക സമചതുരക്കട്ടകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്ല്യമായിരിക്കും
സമചതുരക്കട്ടകളുടെ എണ്ണം = \(\frac{810}{27}\) = 30

Question 6.
മരംകൊണ്ടുണ്ടാക്കിയ ഒരു സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ 6 സെന്റിമീറ്ററും ഉയരം 10 സെന്റിമീറ്ററുമാണ്. അതിന്റെ വ്യാപ്തം എത്രയാണ് ? ഇതിൽ നിന്ന് പരമാവധി എത്ര വ്യാപ്തമുള്ള ത്രികോണസ്തംഭം ചെത്തിയെടുക്കാം?
Answer:
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ 6 സെമീ
ഉയരം = 10 സെമീ
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് = (വശം)² = 6² = 36 ച.സെമീ
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 36 × 10 = 360 ഘ.സെമീ
പരമാവധി വ്യാപ്തമുള്ള ത്രികോണസ്തംഭം ചെത്തിയെടുക്കാൻ വികർണ്ണത്തിലൂടെ ഭാഗിച്ചാൽമതി.
ത്രികോണത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ = 6 സെമീ, 6 സെമീ, 10 സെമീ
പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\)(6 × 6 ) = \(\frac{36}{2}\) = 18 ച.സെമീ

ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെയും പരമാവധി വ്യാപ്തം, ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിനു തുല്ല്യമായിരിക്കും
അതായത്,
ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം പരപ്പളവ് മൂന്നാമത്തെ വശം = 18 × 10 = 180 ഘ.സെമീ

Question 7.
ഒരു സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദചുറ്റളവ് 12 സെന്റിമീറ്ററും, ഉയരം 5 സെന്റി മീറ്ററുമാണ്. അതിന്റെ ഉപരിതലത്തിന്റെ ആകെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദചുറ്റളവ് = 12 സെമീ
പാദവശം = \(\frac{12}{3}\) = 4 സെമീ
ഉയരം = 5 സെമീ
സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാർശ്വപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം = 12 × 5 = 60 ച.സെമീ
പാദപരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × (വശം)² = \(\frac{1}{2}\) × 4² = 6.92 ച.സെമീ
ഉപരിതലപരപ്പളവ് = പാർശ്വപരപ്പ് + 2 ( പാദപരപ്പളവ് )
= 60 + 2 ( 6.92 )
= 60 + 13.84
= 73.84 ച.മീ

Question 8.
ചിത്രത്തിൽക്കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, പാദം മട്ടത്രികോണമായ രണ്ടു സ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തു വച്ച് ഒരു ചതുരസ്തംഭം ഉണ്ടാക്കി.

ഈ ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ ആകെ ഉപരിതലപ്പരപ്പെത്രയാണ്?
Answer:
പാദം മട്ടത്രികോണമായ രണ്ടു സ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തു വച്ചുണ്ടാക്കിയ ചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വശങ്ങൾ,
നീളം = 12 സെമീ, വീതി = 5 സെമീ, ഉയരം = 15 സെമീ
പാദപരപ്പളവ് = നീളം × വീതി = 12 × 5 = 60 ച.സെമീ
പാർശ്വപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം = 2 (നീളം + വീതി ) × ഉയരം
= 2 (12 +5) × 15
= 2 × 17 × 15
= 510 ച.മീ

ഉപരിതലപരപ്പളവ് = പാർശ്വപരപ്പ് + 2 ( പാദപരപ്പളവ് )
= 510 + 2 ( 60)
= 510 + 120
= 630 ച.മീ

Question 9.
ഒര ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ 4 സെന്റിമീറ്റർ, 13 സെന്റിമീറ്റർ, 15 സെന്റിമീറ്റർ വീതവും ഉയരം 25 സെന്റിമീറ്ററുമാണ്. പാർശ്വപ്പരപ്പളവും ഉപരിതലത്തിന്റെ ആകെ പരപ്പളവും കണക്കാക്കുക.
Answer:
ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാദവക്കുകൾ a, b, c, എന്നെടുത്താൽ,
a = 4 സെമീ, b = 13 സെമീ, c = 15 സെമീ
ഉയരം = 25 സെമീ
പാദചുറ്റളവ് = a + b + c = 4 + 13 + 15 = 32 സെമീ
പാർശ്വപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം = 32 × 25 = 800 ച.സെമീ

ത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ അർദ്ധചുറ്റളവ് S ആണെങ്കിൽ
S = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+13+15}{2}=\frac{32}{2}\) = 16 സെമീ
പാദപരപ്പളവ് = \(\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\)
= \(\sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)}\)
= \(\sqrt{16 \times 12 \times 3 \times 1}\)
= \(\sqrt{576}\)
= 24 ച.സെമീ
ഉപരിതലപരപ്പളവ് = പാർശ്വപരപ്പ് + 2 ( പാദപരപ്പളവ് ) = 800 + 48 = 848 ച.സെമീ

Question 10.
ഒരു സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാർശ്വപ്പരപ്പ് 120 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററാണ്.
i) ഇത്തരം രണ്ടു സ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ച് ഉണ്ടാക്കുന്ന സമഭുജസാമാന്തരികസ്തംഭത്തിന്റെ പാർശ്വപ്പരപ്പ് എത്രയാണ് ?
ii) ഇത്തരം മൂന്നു സ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ച് ഉണ്ടാക്കുന്ന സമപാർശ്വലംബകസ്തംഭത്തിന്റെ പാർശ്വപ്പരപ്പ് എത്രയാണ് ?
iii) ഇത്തരം ആറു സ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ച് ഉണ്ടാക്കുന്ന സമഷഡ്ഭുജസ്തംഭത്തിന്റെ പാർശ്വപ്പരപ്പ് എത്രയാണ് ?
Answer:
സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ ഒരുവശം = a എന്നും ഉയരം = h എന്നും കരുതാം
അങ്ങനെയങ്കിൽ, പാർശ്വപ്പരപ്പ് = 120 ച.സെമീ
3 ah = 120
ah = \(\frac{120}{3}\) = 40

i) സമഭുജസാമാന്തരികസ്തംഭത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4

പാർശ്വപ്പരപ്പ് = 4 ah = 4 × 40 = 160 ച.സെമീ

ii) സമപാർശ്വലംബകസ്തംഭത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം

പാർശ്വപ്പരപ്പ് = 5 ah = 5 × 40 = 200 ച.സെമീ

iii) സമഷഡ്ഭുജസ്തംഭത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം

പാർശ്വപ്പരപ്പ് = 6 ah = 6 × 40 = 240 ച.സെമീ

Question 11.
വശങ്ങളെല്ലാം 10 സെന്റിമീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തകിടുകൾ ആറെണ്ണം ചേർത്തുവച്ച് ഒരു സമചതുരസ്തംഭം ഉണ്ടാക്കി.
Answer:
i) ഈ സ്തംഭത്തിന്റെ ആകെ ഉപരിതലപ്പരപ്പ് എത്രയാണ്?
ii) ഇതിൽ എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം കൊള്ളും?
സമചതുരത്തകിടുകളുടെ വശത്തിന്റെ നീളവും സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളവും
ഒന്നുതന്നെയാണ്
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ ഒരുവശം = 10 സെമീ
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ ഉപരിതലപരപ്പളവ് = 6 × (വശം)² = 6 × (10)² = 600 ച.മീ
സമചതുരസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = (വശം)² = (10)³ = 1000 ഘ.സെമീ

സമചതുരസ്തംഭത്തിൽ കൊള്ളുന്ന വെള്ളം

= \(\frac{1000}{1000}\)
= 1 ലിറ്റർ

Question 12.
പാദവ്യാസം 1 മീറ്ററും, ഉയരം 2 മീറ്ററുമായ വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ജലസംഭരണിയിൽ എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം കൊള്ളും ?
Answer:
പാദവ്യാസം ‘d’ = 1 മീ
ഉയരം = 2 മീ
ആരം ‘r’ = \(\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\) = 0.5 മീ
പാദപരപ്പളവ് = πr² = (0.5)² π = 0.25 π ച.മീ
വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 0.25 π × 2 = 0.5 π ഘ.മീ
1 ഘ.മീ എന്നാൽ 1000 ലിറ്റർ വെള്ളത്തിനു തുല്ല്യമാണ്,

അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ജലസംഭരണിയിൽ കൊള്ളുന്ന വെള്ളം = വ്യാപ്തം × 1000
= 0.5 π × 1000
= 500 π ലിറ്റർ
= 500 × 3.1416
= 1570.8 ലിറ്റർ

Question 13.
ഇരുമ്പുകൊണ്ടുണ്ടാക്കിയ ഒരു വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ പാദത്തിന്റെ ആരം 15 സെന്റിമീറ്ററും, ഉയരം 32 സെന്റിമീറ്ററുമാണ്. ഇതുരുക്കി, പാദത്തിന്റെ ആരം 20 സെന്റിമീറ്ററായ വൃത്തസ്തംഭം ഉണ്ടാക്കി. ഈ സ്തംഭത്തിന്റെ ഉയരം എത്രയാണ് ?
Answer:
ആദ്യ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ, ആരം = 15 സെമീ
പാദപരപ്പളവ് = πr² = 225 π ച.സെമീ
വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 225 π × 32
= 7200 π ഘ. സെമീ

പുതിയ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ, ആരം = 20 സെമീ
ഉയരം h എന്നു കരുതാം,
പാദപരപ്പളവ് = 2 (20)2 π = 400 π
=
വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 400 π h

ആദ്യ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെയും പുതിയ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെയും വ്യാപ്തം തുല്ല്യമാണ്, അതായത്
7200 π = 400 π h
h = \(=\frac{7200 \pi}{400 \pi}\) = 18 സെമീ

Question 14.
ഒരേ ഉയരമുള്ള രണ്ടു വൃത്തസ്തംഭങ്ങളുടെ പാദത്തിന്റെ ആരം 3 : 4 എന്ന അംശബന്ധത്തി ലാണ്. ഇവയുടെ വ്യാപ്തം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എന്താണ്?
Answer:
വൃത്തസ്തംഭങ്ങളുടെ ആരം, π₁, π₂ എന്നെടുകാം
അങ്ങിനെയെങ്കിൽ, r₁ : r₂ = 3 : 4
അതായത്, \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}\)

രണ്ടു വൃത്തസ്തംഭങ്ങളുടെയും ഉയരം h എന്നുകരുതാം
വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തത്തിനെ v = πr² h എന്നെടുകാം അങ്ങിനെയെങ്കിൽ

വൃത്തസ്തംഭങ്ങളുടെ വ്യാപ്തം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എന്നത്,
\(\frac{v_1}{v_2}=\frac{\pi r_1^2 h}{\pi r_2^2 h}=\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{(3)^2}{(4)^2}=\frac{9}{16}\)
അതായത്, v₁ : v₂ = 9 : 16

Question 15.
രണ്ടു വൃത്തസ്തംഭങ്ങളുടെ പാദത്തിന്റെ ആരം 2:3 എന്ന അംശബന്ധത്തിലും ഉയരം 5:4 എന്ന അംശബന്ധത്തിലുമാണ്.
i) ഇവയുടെ വ്യാപ്തം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം എന്താണ്?
ii) ചെറിയ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം 720 ഘനസെന്റിമീറ്റർ; വലുതിന്റെ വ്യാപ്തം എത്രയാണ്?
Answer:
i) രണ്ടു വൃത്തസ്തംഭങ്ങളുടെ പാദത്തിന്റെ ആരം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 2 : 3
ഉയരം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 5 : 4
അങ്ങിനെയെങ്കിൽ, ഒന്നാമത്തെ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ
ആരം = 27 എന്നും ഉയരം = 5h എന്നും
രണ്ടാമത്തെ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ
ആരം = 3r എന്നും ഉയരം = 4h എന്നും എടുത്താൽ
ഒന്നാമത്തെ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = π(2r)² × 5h
= 4 π r² × 5h = 20 π r²h ഘ. സെമീ

രണ്ടാമത്തെ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = π (2r)² × 5h
= 4πr² × 5 h = 20π r²h.ma

പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = n (3r) × 4h
= 9πr² × 4 h
= 36π r²h.ma

വ്യാപ്തം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 20 π r²h: 36 π г²h
= 20:36
= 5:9

ii) ചെറിയ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം 720 ഘ.സെമീ ആണെന്നും
വലിയ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = x എന്നും കരുതാം
അങ്ങിനെയെങ്കിൽ, വ്യാപ്തം തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം = 5 : 9 ആണ്
അതായത്, 5 : 9 = 720 : x
\(\frac{5}{9}=\frac{720}{x}\)
5 x = 720 × 9
5 x = 6480
x = \(\frac{6480}{5}\) = 1296
വലിയ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = 1296 ഘ.സെമീ

Question 16.
ഒരു സ്കൂൾ കെട്ടിടത്തിൽ വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള 12 തൂണുകളുണ്ട്. ഓരോന്നിന്റേയും പാദവ്യാസം \(\frac{1}{2}\) മീറ്ററും ഉയരം 4 മീറ്ററുമാണ്.
i) ഒരു തൂണിന്റെ വക്രതല പരപ്പളവെത്രയാണ് ?
ii) എല്ലാ തൂണുകളും ചായം പൂശുന്നതിന് ചതുരശ്രമീറ്ററിന് 80 രൂപ നിരക്കിൽ എത്ര രൂപ ചെലവ് വരും ?
Answer:
i) വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള 12 തൂണുകളാണുള്ളത്
ഓരോന്നിന്റെയും പാദവ്യാസം = \(\frac{1}{2}\) മീ
ഉയരം = 4 മീ

= \(\frac{1 / 2}{2}=\frac{1}{4}\)
= 0.25 മീ
പാദവ്യാസം = 2 π r = 2 π × 0.25
= 0.5 π
ഒരു തൂണിന്റെ വക്രതലപരപ്പളവ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 0.5 π × 4
= 24 π ച.മീ

ii) 12 തൂണുകളുടെ വക്രതലപരപ്പളവ് = 12 × 2 π
= 24 7 ച.മീ

ചതുരശ്രമീറ്റർ ചായം പൂശുന്നതിന് = 80 രൂപ

12 തൂണുകൾ ചായം പൂശുന്നതിന് ചിലവാക്കുന്ന തുക
= മൊത്തം വക്രപരപ്പ് × 80
= 24 π × 80 = 1920 π
= 1920 × 3.1416
= 6031.872 രൂപ

Question 17.
1.20 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു റോളറിന്റെ വ്യാസം 80 സെന്റിമീറ്റർ ആണ്.

ഇത് ഒരു പ്രാവശ്യം കറക്കുമ്പോൾ, നിരപ്പാവുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
Answer:
റോളറിന്റെ നീളം = 1.20 മീ = 120 സെമീ
വ്യാസം = 80 സെമീ
ആരം = \(\frac{80}{2}\) = 40 സെമീ
പാദചുറ്റളവ് = 2 × π × 40 = 80 π സെമീ
ഒരു പ്രാവശ്യം കറക്കുമ്പോൾ, നിരപ്പാവുന്ന സ്ഥലത്തിന്റെ പരപ്പളവ് റോളറിന്റെ വക്രപരപ്പിനു തുല്ല്യമാണ്,
അങ്ങിനെയെങ്കിൽ,
വക്രപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം = 80 π × 120 = 9600 π
= 9600 × 3.14
= 30,144 ച.സെമീ
= 3.0144 ച.മീ

Question 18.
ഒരു വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വക്രപ്പരപ്പും, പാദപ്പരപ്പും തുല്യമാണ്. പാദത്തിന്റെ ആരവും, സ്തംഭത്തിന്റെ ഉയരവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?
Answer:
വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ ആരം = r എന്നും
ഉയരം = h എന്നും കരുതാം
പാദചുറ്റളവ് = 2π × ആരം = 2π r
അങ്ങിനെയെങ്കിൽ,
വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വക്രപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം = 2π × h = 2 × h
പാദപരപ്പളവ് = π × (ആരം)² = πr²
ചോദ്യത്തിൽനിന്നും, വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വക്രപ്പരപ്പും, പാദപ്പരപ്പും തുല്യമാണ്.
സ്തംഭങ്ങൾ, 2πr h = πr²
2 h = r
ഇതിൽനിന്നും സ്തംഭത്തിന്റെ ആരം ഉയരത്തിന്റെ രണ്ടുമടങ്ങാണ്

Question 19.
നീളം 48 സെന്റിമീറ്ററും, വീതി 25 സെന്റിമീറ്ററും ആയ ചതുരത്തകിട് വളച്ച്, 25 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരമുള്ള കുഴലുണ്ടാക്കി, കൃത്യമായ അളവിൽ മുറിച്ചെടുത്ത വൃത്തങ്ങൾ കൊണ്ട് ഇതിന്റെ രണ്ടറ്റവും അടച്ചു. ഈ സ്തംഭത്തിന്റെ ഉപരിതലപ്പരപ്പ് എത്രയാണ് ?
Answer:
ചതുരത്തകിടിന്റെ നീളം = 48 സെമീ
വീതി = 25 സെമീ
കുഴലിന്റെ ഉയരം = 25 സെമീ
ആരം = r എന്നെടുകാം
ചതുരത്തകിടിന്റെ നീളം പാദവൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന് തുല്ല്യമാണ്, അതായത് പാദവൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 48 മീ
2 πr = 48
r = \(\frac{48}{2 \pi}=\frac{48}{2 \times 3.14}\) = 7.64 സെമീ

ഇതിൽനിന്നും r = 7.64 സെമീ എന്നുലഭിക്കും
വക്രപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 2πr × h
= 2 × 3.1416 × 7.64 × 25
= 1200 ച.സെമീ

പാദവൃത്തങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് = πr² = 3.14 × (7.64)²
= 183.37 ച.സെമീ

രണ്ടു വൃത്തങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് = 2 × 183.37
= 366.7 ച.സെമീ

സ്തംഭത്തിന്റെ ഉപരിതലപ്പരപ്പ് = വക്രപരപ്പ് + രണ്ടു വൃത്തങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്
= 1200 + 366.7
= 1566.7 ച.സെമീ

Class 9 Maths Chapter 12 Malayalam Medium Intext Questions and Answers

Question 1.
24 സെന്റിമീറ്റർ നീളവും 18 സെന്റിമീറ്റർ വീതിയുമുള്ള കട്ടിക്കടലാസ് നീളത്തിൽ മടക്കി സമഭുജത്രികോണസ്തംഭം, സമചതുരസ്തംഭം, സമഷഡ്ഭുജസ്തംഭം, സമഅഷ്ടഭുജസ്തംഭം, വൃത്തസ്തംഭം എന്നിവ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ബഹുഭുജസ്തംഭങ്ങളുടെയെല്ലാം പാർശ്വപരപ്പും വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വക്രപ്പരപ്പും തുല്യമായിരിക്കുമല്ലോ. ഓരോന്നിന്റെയും വ്യാപ്തമോ? എന്തു പ്രത്യേകതയാണ് കിട്ടുന്നത്?

ഇതേ വലുപ്പമുള്ള കട്ടി കടലാസുകൾ വീതിയിൽ മടക്കി മുകളിൽ പറഞ്ഞ സമബഹുഭുജ സ്തംഭങ്ങളും വൃത്തസ്തംഭവുമുണ്ടാക്കിയാലോ? രണ്ടുകൂട്ടം സ്തംഭങ്ങളുടെയും പാർശ്വപരപ്പ്, വക്രപ്പരപ്പ്, വ്യാപ്തം എന്നിവയിലുള്ള സാമ്യവ്യത്യാസങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
കട്ടിക്കടലാസിന്റെ നീളം = 24 സെമീ
വീതി = 18 സെമീ

നീളത്തിൽ മടക്കിയാൽ,
പാദചുറ്റളവ് = 24 സെമീ
ഉയരം = 18 സെമീ

ബഹുഭുജസ്തംഭങ്ങളുടെ പാർശ്വപരപ്പ്
= പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 24 × 18
= 432 ച.സെമീ

വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വക്രപ്പരപ്പ്
= പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 24 × 18
= 432 ച.സെമീ

വീതിയിൽ മടക്കിയാൽ
പാദചുറ്റളവ് = 18 സെമീ
ഉയരം = 24 സെമീ

ബഹുഭുജസ്തംഭങ്ങളുടെ പാർശ്വപരപ്പ്
= പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 18 × 24
= 432 ച.സെമീ

വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വക്രപ്പരപ്പ്
= പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 18 × 24
= 432 ച.സെമീ

രണ്ടുകൂട്ടം സ്തംഭങ്ങളുടെയും പാർശ്വപരപ്പും, വക്രപ്പരപ്പും തുല്ല്യമാണ്.
എന്നാൽ വ്യാപ്തം വെത്യസ്തമാണ്

സമഭുജത്രികോണസ്തംഭം

= \(\frac{24}{3}\) = 8 സെമീ

പാദചുറ്റളവ് = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (വശം)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (8)²
= 16√3 ച.സെമീ

വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × വശം
= 16√3 × 18
= 288√3
= 288 × 1.73
= 498.24 ച.സെമീ

സമഭുജത്രികോണസ്തംഭം

= \(\frac{18}{3}\) = 6 സെമീ

പാദചുറ്റളവ് = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (വശം)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (6)²
= 9√3 ച.സെമീ

വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × വശം
= 9√3 × 24
= 216√3
= 216 × 1.73
= 373.68 ച.സെമീ

സമചതുരസ്തംഭം

= \(\frac{24}{4}\) = 6 സെമീ
പാദചുറ്റളവ് = (വശം)² = (6)² = 36 ച.സെമീ

വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 36 × 18 = 648 ഘ.സെമീ

സമചതുരസ്തംഭം

= \(\frac{18}{4}\) = 4.5 സെമീ
പാദപരപ്പളവ് = (വശം)²
= (4.5)²
= 20.25 ച.സെമീ

വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 20.25 × 24
= 486 ഘ.സെമീ

ഇതുപോലെ ബാക്കിഉള്ള സ്തംഭങ്ങളുടെയും വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കും ഇതിൽനിന്നും പാദപരപ്പളവവിനു മാറ്റം വരുന്നതിനാൽ വ്യാപ്തത്തിനും മാറ്റം വരും എന്നുലഭിക്കും.

Prisms Class 9 Extra Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
പാദപരപ്പളവ് 50 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്ററും ഉയരം 20 സെന്റിമീറ്ററുമായ ഒരു സ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
പാദപരപ്പളവ് = 50 ച.സെമീ
ഉയരം = 20 സെമീ
വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം = 50 × 20 = 1000 ഘ.സെമീ

Question 2.
10 സെന്റിമീറ്റർ വശമുള്ള 6 സമചതുരത്തകിടുകൾ ചേർത്തുവച്ച രീതിയിലാണ് ചിത്രം. ഇതു മടക്കി ഒരു സ്തംഭമുണ്ടാക്കി.

a) ഈ സ്തംഭത്തിന്റെ ഉപരിതല പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുക.
b) ഈ സ്തംഭത്തിൽ എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം കൊള്ളും?
Answer:
a) ഒരു വശം = 10 സെമീ
സമചതുരത്തിന്റെ പാദപരപ്പളവ് = (വശം) = 10 = 100 ച.സെമി
പരിതലപരപ്പളവ് = 6 × സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
= 6 × 100
= 600 ച.സെമീ

b) വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 100 × 10
= 1000 ഘ.സെമീ
= 1 ലിറ്റർ

Question 3.
a) ഒരു സമഭുജത്രികോണസ്തംഭത്തിന്റെ പാർശ്വതല പരപ്പളവ് 90 ചതുരശ സെന്റിമീറ്ററാണ്. ഇതിന്റെ ഒരു പാർശ്വതല പരപ്പളവ് എത്ര?
b) ഇത്തരം രണ്ട് സ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ച് ഒരു സ്തംഭമാക്കിയാൽ ഇതിന്റെ പാർശ്വത പരപ്പളവ് എത്ര?
c) ഇത്തരം 6 സമഭുജത്രികോണസ്തംഭങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ച് ഒരു സമഷഡ്ഭുജസ്തംഭമാ ക്കിയാൽ അതിന്റെ പാർശ്വതല പരപ്പളവ് എത്ര?
Answer:
a) പാർശ്വതല പരപ്പളവ് = 90 ച.സെമീ
ഒരു പാർശ്വതല പരപ്പളവ് = \(\frac{90}{3}\)
= 30 ച.മീ

b) പാർശ്വതല പരപ്പളവ് = 4 × 30
= 120 ച.സെമീ
[പാർശ്വമുഖങ്ങൾ ചേർത്ത് വച്ചാൽ മുകളിലെ ഉത്തരവും, പാദമുഖങ്ങൾ ചേർത്തു വച്ചാൽ പാർശ്വതല പരപ്പളവ് = 6 × 30 = 180 ച.സെമീ എന്നും കിട്ടും)

c) പാർശ്വതല പരപ്പളവ് = 6 × 30
= 180 ച.സെമീ

Question 4.
ചതുരസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ഒരു കാർഡ്ബോർഡ് പെട്ടിയുടെ അളവുകൾ 50 സെന്റിമീറ്റർ, 30 സെന്റ്റിമീറ്റർ, 40 സെന്റിമീറ്റർ ആണ്. ഈ പെട്ടി നിർമ്മിക്കാനാവശ്യമായ കാർഡ്ബോർഡിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചതുരസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള കാർഡ്ബോർഡ് പെട്ടിയുടെ അളവുകൾ
നീളം = 40 സെമീ, വീതി = 30 സെമീ, ഉയരം = 50 സെമീ

പാദപരപ്പളവ് = നീളം × വീതി
= 40 × 30
= 1200 ച.സെമീ

പാദചുറ്റളവ് = 2 (നീളം + വീതി) = 2( 40 + 30 )
= 2 × 70
= 140

സെമീ പാർശ്വപരപ്പ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം
= 140 × 50
= 7,000 ച.സെമി

ഉപരിതലപരപ്പളവ് = 2 × പാദപരപ്പളവ് + പാർശ്വപരപ്പ്
= (2 × 1200) + 7,000
= 2400 + 7,000
= 9400 ച.മീ

Question 5.
പാദആരം 4 സെന്റിമീറ്ററും ഉയരം 10 സെന്റിമീറ്ററുമായ ഒരു വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം എത്ര? ഇതിന്റെ പകുതി പാദആരവും രണ്ട് മടങ്ങ് ഉയരവുമുള്ള മറ്റൊരു സ്തംഭമുണ്ട്. രണ്ടാമത്തേതിന്റെ വ്യാപ്തം ആദ്യത്തേതിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ്?
Answer:
പാദആരം = 4 സെമീ
ഉയരം = 10 സെമീ
പാദപരപ്പളവ് = πr² = π 2² = 4π

വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയര
= 16 π × 10
= 160 π ഘ.സെമീ

പാദആരം പകുതിയായ വൃത്തസ്തംഭം,
പാദആരം = 2 സെമീ
ഉയരം = 20 സെമീ
പാദപരപ്പളവ്
= πr² = π 2² = 4π
വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം = പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 4π × 20
= 80 π ഘ.സെമീ
പാദആരം പകുതിയായ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം ആദ്യത്തെ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ പകുതി യാണ്

Question 6.
ഒരു സ്കൂൾ വരാന്തയിൽ 30 സെന്റിമീറ്റർ വ്യാസവും 5 മീറ്റർ ഉയരവുമുള്ള വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള 10 തൂണുകൾ ഉണ്ട്. ചതുരശ്രമീറ്ററിന് 80 രൂപ നിരക്കിൽ 10 തൂണുകൾക്കും ചായമടിക്കാൻ എത്ര രൂപ ചെലവാകും? (t = 3.14)
Answer:
വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള 10 തൂണുകളാണുള്ളത്
ഓരോന്നിന്റെയും പാദവ്യാസം = 30 ml = 0.3 മീ
ഉയരം = 5 മീ

= \(\frac{0.30}{2}\) = 0.15 മീ
പാദചുറ്റളവ് = 2πr = 2 π × 0.15
= 0.3 7 മീ

ഒരു തൂണിന്റെ വക്രതലപരപ്പളവ് = പാദചുറ്റളവ് × ഉയരം = 0.3 π × 5 = 1.5 π ച.മീ
10 തൂണുകളുടെ വക്രതലപരപ്പളവ് = 10 × 1.5 π = 15 π ച.മീ
ചതുരശ്രമീറ്റർ ചായം പൂശുന്നതിന് = 80 രൂപ
10 തൂണുകൾ ചായം പൂശുന്നതിന് ചിലവാക്കുന്ന തുക = മൊത്തം വക്രപരപ്പ് × 80
= 15 π × 80 = 1,200 π
= 1200 × 3.14
= 3,768 രൂപ

Question 7.
വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ജലസംഭരണിയുടെ പാദആരം 1 മീറ്ററും ഉയരം 2 മീറ്ററുമാണ്. ഇതിൽ എത്ര ലിറ്റർ വെള്ളം കൊളളും? [1 ഘനമീറ്റർ = 1000 ലിറ്റർ ]
Answer:
വൃത്തസ്തംഭാകൃതിയിലുള്ള ജലസംഭരണിയുടെ പാദആരം = 1 മീ
ഉയരം = 2 മീ
പാദപരപ്പളവ് = πr² = π 1² = 1π മീ

വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ വ്യാപ്തം
= പാദപരപ്പളവ് × ഉയരം
= 1π × 2
= 2 π
= 2 × 3.14
= 6.28 ഘ.മീ
= 6.28 × 1000
= 6280 ലിറ്റർ