When preparing for exams, Kerala SCERT Class 9 Maths Solutions Chapter 4 Malayalam Medium ഗുണനസമവാക്യങ്ങൾ can save valuable time.
Kerala SCERT Class 9 Maths Chapter 4 Solutions Malayalam Medium ഗുണനസമവാക്യങ്ങൾ
Class 9 Maths Chapter 4 Kerala Syllabus Malayalam Medium
Class 9 Maths Chapter 4 Malayalam Medium Textual Questions and Answers
Question 1.
ചുവടെയുള്ള കണക്കുകൾ മനസ്സിൽത്തന്നെ ചെയ്ത് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കുക.
(i) 71 × 91
(ii) 42 × 62
(iii) 10\(\frac{1}{2}\) × 6\(\frac{1}{2}\)
(iv) 9.5 × 3.5
(v) 10\(\frac{1}{4}\) × 6\(\frac{1}{4}\)
Answer:
(i) 71 x 91 = (70 + 1)(90 + 1)
= (70 × 90) + 70 + 90 + 1
= 6300 + 160 + 1
= 6461
(ii) 42 × 62 = (40 + 2)(60 + 2)
= (40 × 60) + 2(40 + 60) + 4
= 2400 + 200 + 4
= 2604
(iii) 110\(\frac{1}{2}\) × 6\(\frac{1}{2}\) = (10 + \(\frac{1}{2}\)) × (6 + \(\frac{1}{2}\))
= (10 × 6) + \(\frac{1}{2}\)(10 + 6) + \(\frac{1}{4}\)
= 60 + 8 + \(\frac{1}{4}\)
= 68\(\frac{1}{4}\)
(iv) 9.5 × 3.5 = (9 + 0.5)(3 + 0.5)
= (9 × 3) + 0.5(9 + 3) + 0.25
= 27 + 6 + 0.25
= 33.25
(v) 10\(\frac{1}{4}\) × 6\(\frac{1}{4}\)
Question 2.
രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 1400 ഉം, തുക 81 ഉം ആണ്. ഇവ ഓരോന്നിന്റെയും തൊട്ടടുത്ത രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എന്താണ്?
Answer:
ഒരു സംഖ്യ x എന്നും മറ്റേ സംഖ്യ y എന്നും എടുത്താൽ,
xy = 1400
x + y = 81
തൊട്ടടുത്ത എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ x + 1, y + 1
∴ (x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1
= 1400 + 81 + 1
= 1482
Question 3.
രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 621 ഉം, തുക 50 ഉം ആണ്. ഈ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയുടെയും തൊട്ടടുത്ത രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എന്താണ്?
Answer:
ഒരു സംഖ്യ x എന്നും മറ്റേ സംഖ്യ y എന്നും എടുത്താൽ,
xy = 621
x + y = 50
തൊട്ടടുത്ത ഒറ്റസംഖ്യകൾ x + 2, y + 2
∴ (x + 2)(y + 2) = xy + 2(x + y) + 4
= 621 + 100 + 4
= 725
Question 4.
ചുവടെപ്പറയുന്ന ഓരോ കാര്യവും, പല സംഖ്യകളെടുത്തു പരിശോധിക്കുക. അവയിൽനിന്ന് പൊതുവായ ഒരു തത്വം ഊഹിക്കുക. ഊഹിച്ചത് ശരിയാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കുക.
i. 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും, 2 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും, ഗുണനഫലത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം.
ii. 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും, 2 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും, ഗുണനഫലത്തെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം.
iii. അടുത്തടുത്ത ആറ് എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ, അറ്റത്തുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെയും, നടുക്കുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെയും ഗുണനഫലം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.
Answer:
i. 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകൾ,
1, 4, 7, 10,…
3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 2 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകൾ, 2, 5, 8, 11,…
സംഖ്യകൾ 4, 11 എന്നിങ്ങനെ എടുത്താൽ,
4 × 11 = 44
ഗുണനഫലത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം = 2
സംഖ്യകൾ 7, 8 എന്നിങ്ങനെ എടുത്താൽ,
7 × 8 = 56
ഗുണനഫലത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം = 2
3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും,
2 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും, ഗുണനഫലത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം 2 ആണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാൽ,
3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യയെ 31 + 1 എന്നും 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 2 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യയെ 3m + 2 എന്നും എടുത്താൽ,
ഇവയുടെ ഗുണനഫലം,
(3n+1)(3m + 2) = 9mn + 6n + 3m + 2
= 3(3mn + 2n + m) + 2
∴ ഗുണനഫലത്തെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം = 2
ii. 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകൾ, 1, 5, 9, 13,…
4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 2 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകൾ, 2, 6, 10, 14,…
സംഖ്യകൾ 5, 10 എന്നിങ്ങനെ എടുത്താൽ,
5 × 10 = 50
ഗുണനഫലത്തെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം = 2
സംഖ്യകൾ 9, 6 എന്നിങ്ങനെ എടുത്താൽ,
9 × 6 = 54
ഗുണനഫലത്തെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം = 2
ഗുണനസമവാക്യങ്ങൾ
4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും,
2 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും, ഗുണനഫലത്തെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം 2 ആണ്.
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാൽ,
4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യയെ 41 + 1 എന്നും 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 2 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യയെ 4m + 2 എന്നും എടുത്താൽ,
ഇവയുടെ ഗുണനഫലം,
(4n + 1)(4m + 2) = 16mn + 8n + 4m + 2
= 4(4mn + 2n + m) + 2
ഗുണനഫലത്തെ 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം = 2
iii. അടുത്തടുത്തുള്ള 6 എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ 1, 2, 3, 4, 5, 6
അറ്റത്തുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = 1 × 6 = 6
നടുക്കുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = 3 × 4 = 12
∴ വ്യത്യാസം
സംഖ്യകൾ 5, 6, 7, 8, 9, 10 എന്നിങ്ങനെ എടുത്താൽ,
അറ്റത്തുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = 5 × 10 = 50
നടുക്കുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = 7 × 8 = 56
∴ വ്യത്യാസം = 6
ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ചാൽ,
അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതു 6 എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ
x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 എന്നെ ടുക്യക.
അറ്റത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = x(x + 5) = x² + 5x
നടുക്കുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
∴ വ്യത്യാസം = 6.
Question 5.
36 × 28 എന്ന ഗുണനഫലം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു രീതി ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
i. മറ്റു ചില രണ്ടക്ക സംഖ്യകളിൽ ഈ രീതി പരീക്ഷിക്കുക.
ii. ഇത് ശരിയാകാനുള്ള കാരണം ബീജഗണിതരീതിയിൽ വിശദീകരിക്കുക.
(രണ്ടക്കസംഖ്യകളെയെല്ലാം 10m + 1 എന്ന ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ എഴുതാമെന്ന് ഏഴാം ക്ലാസ്സിൽ കണ്ടത് ഓർക്കുക.)
Answer:
i.
ii. രണ്ടക്ക സംഖ്യകളെയെല്ലാം 10m + n എന്ന ബീജഗണിതരൂപത്തിൽ എഴുതാം
10m + n എന്ന സംഖ്യയിൽ ആദ്യത്തെ അക്കം m രണ്ടാമത്തെ അക്കം
10p + q എന്ന സംഖ്യയിൽ ആദ്യത്തെ അക്കം p രണ്ടാമത്തെ അക്കം മു
(10m + n)(10p + q) 100mp + 10(mq + np) + nq
Question 6.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ സംഖ്യകൾ എഴുതുക:
i. കലണ്ടറിൽ ചെയ്തതുപോലെ നാലു സംഖ്യകളുള്ള ഒരു സമചതുരം അടയാളപ്പെടുത്തി, സംഖ്യകൾ കോണോടുകോൺ ഗുണിച്ചു വ്യത്യാസം കണ്ടുപിടിക്കുക. ഏതു സമചതുര ത്തിലെ നാലു സംഖ്യകളെടുത്താലും ഒരേ വ്യത്യാസമാണോ കിട്ടുന്നത്?
ii. ഇത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
Answer:
കോണോടുകോൺ വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം,
7 × 13 = 91
12 × 8 = 96
വ്യത്യാസം = 96 – 91 = 5
കോണോടുകോൺ വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം,
9 × 3 = 27
4 × 8 = 32
വ്യത്യാസം = 32 – 27 = 5
i. ടേബിളിൽ ഉള്ള നമ്പറുകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്;
| n | n + 1 |
| n + 5 | n + 6 |
കോണോടുകോൺ വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം,
n × (n + 6) = n² + 6n
(n + 1) × (n + 5) = n² + 6n + 5
വ്യത്യാസം = 5
Question 7.
ഗുണിതപ്പട്ടികയിൽ നാലു സംഖ്യകളുള്ള സമചതുരത്തിനു പകരം, ഒൻപതു സംഖ്യകളുള്ള ഒരു സമചതുരമെടുത്തു, നാലു മൂലകളിലുമുള്ള സംഖ്യകൾ മാത്രം അടയാളപ്പെടുത്തുക:
i. കോണോടുകോൺ തുകകളുടെ വ്യത്യാസം എന്താണ്?
ii. ഇങ്ങനെയുള്ള സമചതുരങ്ങളിലെല്ലാം വ്യത്യാസം 4 തന്നെ കിട്ടുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക.
iii. പതിനാറ് സംഖ്യകളുടെ സമചതുരമെടുത്താലോ?
Answer:
കോണോടുകോൺ വരുന്ന സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ,
6 + 20 = 26
10 + 12 = 22
വ്യത്യാസം = 4
ii. ടേബിളിൽ ഉള്ള നമ്പറുകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്;
| n | n + 2 | n + 4 |
| n + 3 | n + 6 | n + 9 |
| n + 6 | n + 10 | n + 14 |
നാലു മൂലകളിലുമുള്ള സംഖ്യകൾ കോണോടുകോൺ കൂട്ടിയാൽ
n+ (n + 14) = 2n + 14
n+ 4 + (n + 6) = 2n + 10
വ്യത്യാസം = 4
iii.
കോണോടുകോൺ വരുന്ന സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ,
6 + 30 = 36
15 + 12 = 27
വ്യത്യാസം = 9
കോണോടുകോൺ വരുന്ന സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ,
n + n + 24 = 2n + 24
n + 6 + n + 9 = 2n + 15
വ്യത്യാസം = 9
Question 8.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 40 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 70 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററുമാണ്. നീളവും വീതിയും ഇതിനേക്കാൾ 3 സെന്റിമീറ്റർ കുറവായ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
ചുറ്റളവ് = 40 സെന്റിമീറ്റർ
പരപ്പളവ് = 70 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ
നീളം x എന്നും വീതി y എന്നും എടുത്താൽ,
2(x + y) = 40 ⇒ x + y = 20
xy = 70
നീളവും വീതിയും ഇതിനേക്കാൾ 3 സെന്റിമീറ്റർ കുറവായ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = (x – 3)(y – 3)
= xy – 3x – 3y + 9
= xy − 3(x + y) + 9
= 70 – 3 × 20 + 9
= 19 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ
Question 9.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും ഒരു മീറ്റർ വീതം കുറച്ചാൽ, പരപ്പളവ് 741 ചതുരശ്ര മീറ്ററാകും; ഒരു മീറ്റർ വീതം കൂട്ടിയാൽ 861 ചതുരശ്ര മീറ്ററും.
i. ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
ii. ചുറ്റളവ് എത്രയാണ്?
iii. നീളവും വീതിയും എത്രയാണ്?
Answer:
നീളം x എന്നും വീതി y എന്നും എടുത്താൽ,
(x + 1)(y + 1) = 861 ⇒ xy + x + y + 1 = 861 ….(1)
(x − 1)(y-1) = 741⇒ xy – (x + y) + 1 = 741 ….(2)
(1) + (2) = = 2xy + 2 = 1602
⇒ xy = 800
(1) – (2) ⇒ 2(x + y) = 120
⇒ x + y = 60
xy = 800 & x + y = 60
∴ (x − y)² = (x + y)² – 4xy
= 60² – (4 × 800)
=400
= 20²
⇒ x – y = 20
x = 40
y = 20
i. ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = xy = 800 ചതുരശ്ര മീറ്റർ
ii. ചുറ്റളവ് = 2(x + y) = 120
iii. നീളം x = 40 മീറ്റർ
വീതി, y = 20 മീറ്റർ
Question 10.
രണ്ടു സംഖ്യകൾ ഓരോന്നിനോടും ഒന്ന് കൂട്ടി ഗുണിച്ചപ്പോൾ 1271 ഉം, ഒന്ന് കുറച്ചു ഗുണിച്ചപ്പോൾ 1131 ഉം കിട്ടി.
i. സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എത്രയാണ്?
ii. സംഖ്യകളുടെ തുക എത്രയാണ്?
iii. സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ്?
Answer:
സംഖ്യകൾ x, y എന്നെടുത്താൽ,
(x + 1)(y + 1) = 1271 xy + x + y + 1 = 1271 ….(1)
(x – 1)(y – 1) = 1131 ⇒ xy – (x + y) + 1 = 1131 ….(2)
(1) + (2) ⇒ 2xy + 2 = 2402
⇒ xy = 1200
(1) – (2) = 2(x + y) = 140
⇒ x + y = 70
xy = 1200 & x + y = 70
∴ (x – y)² = (x + y)² – 4xy
= 70² – (4 × 1200) = 100 = 10²
⇒ x – y = 10
x = 40
y = 30
i. സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം, xy
ii. സംഖ്യകളുടെ തുക, x + y = 70
iii. സംഖ്യകൾ, x = 40 y = 30
Question 11.
രണ്ടു ഒറ്റസംഖ്യകളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും തൊട്ടുമുമ്പിലുള്ള ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 285 തൊട്ടുപുറകിലുള്ള ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 165 ഉം ആണ്. സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
Answer:
സംഖ്യകൾ x, y എന്നെടുത്താൽ,
(x + 2)(y + 2) = 285 ⇒ xy + 2(x + y) + 4 = 285 ….(1)
(x – 2)(y – 2) = 165 ⇒ xy – 2(x + y) + 4 = 165….(2)
(1) + (2) ⇒ 2xy + 8 = 450
⇒ xy = 221
(1) – (2) ⇒ 4(x + y) = 120
⇒ x + y = 30
xy = 221 & x + y = 30
.. (x − y)² = (x + y)² – 4xy
= 30² – (4 × 221) = 16 = 4²
⇒ x – y = 4
x = 17
y = 13
സംഖ്യകൾ = 17, 13
Question 12.
ചുവടെയുള്ള കണക്കുകൾ ചെയ്തുനോക്കൂ.
i) 52 × 19
ii) 101 × 48
iii) 97 × 102
iv) 9\(\frac{3}{4}\) × 20\(\frac{1}{2}\)
Answer:
i) 52 × 19 = (50 + 2)(20 – 1)
= (50 × 20) – (50 × 1) + (2 × 20) -(2 × 1)
= 1000-50 + 40 – 2
= 988
ii) 101 × 48 = (100 + 1)(50 – 2)
= (100 × 50) – (100 × 2) + (1 × 50) -(1 × 2)
= 5000 – 200 + 50 – 2
= 4848
iii) 97 × 102 = (100 – 3)(100 + 2)
= (100 × 100) + (100 × 2) – (3 × 100) -(3 × 2)
= 10000 + 200 – 300-6
= 9894
iv) 9\(\frac{3}{4}\) × 20\(\frac{1}{2}\) = (10 – \(\frac{1}{4}\))(20 + \(\frac{1}{2}\))
= (10 × 20) + (10 × \(\frac{1}{2}\)) – (\(\frac{1}{4}\) × 20) – (\(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\))
= 200 + 5 – 5 – \(\frac{1}{8}\)
= 199\(\frac{7}{8}\)
(x + 1 )(y – 1) = xy — x + y – 1
(x – 1)(y + 1) = xy + x – y – 1
Question 13.
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 713 ഉം, വ്യത്യാസം 8 ഉം ആണ്
i. വലിയ സംഖ്യയോട് 1 കൂട്ടിയതും, ചെറിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം എന്താണ്?
ii. വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും, ചെറിയ സംഖ്യയോട് 1 കൂട്ടിയതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം എന്താണ്?
Answer:
വലിയ സംഖ്യ x എന്നും ചെറിയ സംഖ്യ y എന്നും എടുത്താൽ,
xy = 713
x – y = 8
i. വലിയ സംഖ്യയോട് 1 കൂട്ടിയതും, ചെറിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം,
(x + 1)(y − 1) = xy−x + y − 1 = xy − (x − y) − 1
= 713 – 8 – 1
= 704
ii. വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും, ചെറിയ സംഖ്യയോട് 1 കൂട്ടിയതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം,
(x − 1)(y + 1) = = xy + xy – 1 = xy + (x – y) –
1
= 713 + 8 – 1
= 720
Question 14.
രണ്ടു സംഖ്യകളിൽ വലുതിനോട് 1 കൂട്ടിയതും, ചെറുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം, സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തേക്കാൾ 5 കുറവാണ്. വലുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചു ചെറുതിനോട് 1 കൂട്ടി ഗുണിച്ചാൽ ഗുണനഫലം സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തേക്കാൾ എത്ര കൂടും?
Answer:
വലിയ സംഖ്യ x എന്നും ചെറിയ സംഖ്യ y എന്നും എടുത്താൽ,
വലുതിനോട് 1 കൂട്ടിയതും, ചെറുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം, സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തേക്കാൾ 5 കുറവാണ്,
(x + 1)(y – 1) = xy – 5
-x + y – 1 = xy – 5
⇒ x – y = 4
വലുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചു ചെറുതിനോട് 1 കൂട്ടി ഗുണിച്ചാൽ ഗുണനഫലം,
(x – 1)(y + 1) = xy + (x – y) – 1
= xy + 4 = 1
= xy + 3
വലുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചു ചെറുതിനോട് 1 കൂട്ടി ഗുണിച്ചാൽ ഗുണനഫലം സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തേക്കാൾ 3 കൂടുതലാണ്.
Question 15.
രണ്ടു സംഖ്യകളിൽ, വലുതിനോട് 1 കൂട്ടിയതും, ചെറുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം 540; വലുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും ചെറുതിനോട് ഗുണനഫലം 560.
i. സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എന്താണ്?
ii. സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?
iii. സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
Answer:
വലിയ സംഖ്യ x എന്നും ചെറിയ സംഖ്യ y എന്നും എടുത്താൽ,
വലുതിനോട് 1 കൂട്ടിയതും, ചെറുതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം 540
⇒ (x + 1)(y – 1) = 540
xy – x + y – 1 = 540 …….(1)
വലുതിൽനിന്ന് 1 കുറച്ചതും ചെറുതിനോട് 1 കൂട്ടിയതും തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം 560
⇒ (x – 1)(y + 1) = 560
⇒ (x – 1) (y + 1) = 560
⇒ xy + (x – y) – 1 = 560 …..(2)
⇒ (1) + (2) ⇒ 2xy – 2 = 1100
⇒ xy = 551
സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = 551
i. (2) – (1)⇒ 2(x − y) = 20
⇒ x – y = 10
സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം = 10
ii. (x + y)² = (x − y)² + 4xy
= 10² + 4 × 551
= 2304
x + y = 48
∴ x = 29
y = 19
സംഖ്യകൾ 29, 19
Question 16.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളം 3 മീറ്റർ കൂട്ടുകയും, വീതി 2 മീറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താൽ പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര മീറ്റർ കുറയും. നീളം 2 മീറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും വീതി 3മീറ്റർ കൂട്ടുകയും ചെയ്താൽ പരപ്പളവ് 30 ചതുരശ്ര മീറ്റർ കൂടും. ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും കണ്ടുപിടിക്കുക
Answer:
നീളം x എന്നും വീതി y എന്നും എടുത്താൽ,
നീളം 3 മീറ്റർ കൂട്ടുകയും, വീതി 2 മീറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താൽ പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര മീറ്റർ കുറയും
(x + 3)(y – 2) = xy – 10
⇒ xy – 2x + 3y – 6 = xy – 10
⇒ 2x – 3y = 4 ….(1)
നീളം 2 മീറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും വീതി 3മീറ്റർ കൂട്ടുകയും ചെയ്താൽ പരപ്പളവ് 30 ചതുരശ്ര മീറ്റർ കൂടും
(x − 2)(y + 3) = xy + 30
⇒ xy + 3x – 2y – 6 = xy + 30
⇒ 3x – 2y = 36 …(2)
(1), (2) ഇവയിൽ നിന്ന്,
x = 20
y = 12
നീളം = 20 മീറ്റർ
വീതി = 12 മീറ്റർ
Class 9 Maths Chapter 4 Malayalam Medium Intext Questions and Answers
Question 1.
26 സെന്റീമീറ്റർ നീളവും 15 സെന്റീമീറ്റർ വീതിയുമുള്ള ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
Answer:
26 x 15
സാധാരണ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടിക്കുന്നത്:
പരപ്പളവ്= നീളം × വീതി
= 26 × 15
ഇത് നേരിട്ടു ഗുണിക്കാതെ കണ്ടുപിടിക്കാം.
26 × 15 = (20 + 6) × (10 + 5)
= (20 × 10) + (20 × 5) + (6 × 10) + (6 × 5)
=200 + 100 + 60 + 30
= 390 ച. സെ.മീ
ഇത് എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിൽ മാത്രമല്ല;
ഉദാഹരണത്തിന്,
6\(\frac{1}{2}\) × 8\(\frac{1}{3}\) = (6 + \(\frac{1}{2}\)) × (8 + \(\frac{1}{3}\))
= (6 × 8) + (6 × \(\frac{1}{3}\)) + (\(\frac{1}{2}\) × 8) + (\(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{3}\))
= 48 + 2 + 4 + \(\frac{1}{6}\)
= 54\(\frac{1}{6}\)
Question 2.
(x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1
Answer:
ഉദാഹരണത്തിന്,
31 × 51 = (30 + 1)(50 + 1)
= (30 × 50) + 30 + 50 + 1
= 1500 + 80 + 1
= 1581
Question 3.
(x + \(\frac{1}{2}\))(y + \(\frac{1}{2}\)) = xy + \(\frac{1}{2}\)(x + y) + \(\frac{1}{4}\)
Answer:
ഉദാഹരണത്തിന്,
6\(\frac{1}{2}\) × 8\(\frac{1}{2}\) = (6 + \(\frac{1}{2}\)) × (8 + \(\frac{1}{2}\))
= (6 × 8) + \(\frac{1}{2}\)(6 + 8) + \(\frac{1}{4}\)
= 48 + 7 + \(\frac{1}{4}\)
= 55\(\frac{1}{4}\)
Question 4.
ഏതു രണ്ട് ഒറ്റസംഖ്യകളുടെയും ഗുണനഫലം ഒറ്റസംഖ്യ തന്നെയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer: ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ പൊതുരൂപം,
2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, ….
അതുകൊണ്ട് ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയെ 2n + 1 എന്നും മറ്റേതിനെ 2m + 1 എന്നും എടുക്കുക.
ഇവയുടെ ഗുണനഫലം;
(2n + 1)(2m + 1) = 4mn + (2n + 2m) + 1
= 2(2mn + n + m) + 1
∴ ഗുണനഫലം ഒറ്റസംഖ്യയാണ്.
Question 5.
3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ഗുണനഫലവും 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യതന്നെയെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ പൊതുരൂപം,
3n + 1, n = 0, 1, 2, 3, ……………..
അതുകൊണ്ട് ഒരു സംഖ്യയെ 3n + 1 എന്നും മറ്റേതിനെ 3m + 1 എന്നും എടുക്കുക.
ഇവയുടെ ഗുണനഫലം;
(3n+1)(3m + 1) = 9mn + (3n+ 3m) + 1
= 3(3mn + n + m) + 1
∴ ഗുണനഫലം 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യയാണ്.
Question 6.
അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതു നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകളെടുത്താലും, അറ്റത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലവും, നടുക്കുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം രണ്ട് ആണ് എന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
അടുത്തടുത്തുള്ള ഏതു നാല് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ x, x + 1, x + 2 x + 3
എന്നെടുക്കുക.
അറ്റത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം= x(x + 3) = x² + 3x
നടുക്കുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = (x + 1)(x+2) = x² + 3x + 2
∴ വ്യത്യാസം = 2.
Question 7.
ചുവടെയുള്ള കണക്കുകൾ ചെയ്തുനോക്കൂ.
(i) 38 × 49
(ii) 47 × 99
(iii) 29 × 46
(iv) 9\(\frac{1}{2}\) × 19\(\frac{1}{2}\)
Answer:
(i) 38 × 49 = (40 – 2)(50 – 1)
= (40 × 50) – (40 × 1) – (2 × 50) + (2 × 1)
= 2000 -40- 100 + 2
= 1862
(ii) 47 × 99 = (50 – 3)(100 – 1)
= (50 × 100) – (50 × 1) – (3 × 100) + (3 × 1)
= 5000- 50 – 300 + 3
= 4653
(iii) 29 × 46 = (30 – 1)(50 – 4)
= (30 × 50) – (30 × 4) – (1 × 50) + (1 × 4)
= 1500 – 120 – 50 + 4
= 1334
(iv) 9\(\frac{1}{2}\) × 19\(\frac{1}{2}\)
= (10 – \(\frac{1}{2}\)) (20 – \(\frac{1}{2}\))
= (10 × 20) – (10 × 1) – (\(\frac{1}{2}\) × 20) + (\(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\))
= 200 – 5 – 10 + \(\frac{1}{4}\)
= 185\(\frac{1}{4}\)
Multiplication Identities Class 9 Extra Questions and Answers Malayalam Medium
Question 1.
50 × 40 = 2000 ആകുന്നു.
a) 51 × 41 =
b) 52 × 42 =
c) 49 × 39 =
d) 48 × 38 =
Answer:
(a) 51 × 41 = 50 × 40 + (50 + 40) + 1²
= 2000 + 90 + 1
= 2091
(b) 52 × 42 = 50 × 40 + 2(50 + 40) + 2²
= 2000 + 180 + 4
= 2184
(c) 49 × 39 = 50 × 40 – (50 + 40) + 1²
= 2000 – 90 + 1
= 1911
(d) 48 × 38 = 50 × 40 – 2(50 + 40) + 2²
= 2000 – 180 + 4
= 1824
Question 2.
രണ്ടു എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 300 ഉം തുക 35 ഉം ആണ്.
a) ഇവ ഓരോന്നിന്റെയും തൊട്ടടുത്ത രണ്ടു എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എന്താണ്? b) ഇവ ഓരോന്നിന്റെയും തൊട്ടുപുറകിലുള്ള രണ്ടു എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം
എന്താണ്?
Answer: സംഖ്യകൾ x,y ആയാൽ,
xy = 300
x + y = 35
(a) (x + 1)(y + 1) = xy + (x + y) + 1;
= 300 + 35 + 1
= 336
(b) (x – 1)(y – 1) = xy – (x + y) + 1
= 300 – 35 + 1
= 266
Question 3.
രണ്ടു ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 899 ഉം, തുക 60 ഉം ആണ്. ഈ ഓരോ ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെയും തൊട്ടടുത്തുള്ള രണ്ടു ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എന്താണ്?
Answer:
ഒറ്റസംഖ്യകൾ x, y ആയാൽ,
xy = 899
x + y = 60
(x + 2 )(y + 2) = xy + 2(x + y) + z²
= 899 + 2(60) + 4
= 1023
Question 4.
5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും 2 മിച്ചം വരുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെയും ഗുണനഫലത്തെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള മിച്ചം എത്രയാണ്?
Answer:
5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 1 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യ 5m + 1 എന്നും, 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 2 മിച്ചം വരുന്ന സംഖ്യ 5n + 2 എന്നും എടുത്താൽ, അവയുടെ ഗുണനഫലം
(5m + 1)(5n + 2) = 25mn + 10m + 5n + 2
= 5(5mn + 2m + n) + 2
അതായത് ഗുണനഫലത്തെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലുള്ള ശിഷ്ടം 2 ആകുന്നു.
Question 5.
(a) 8\(\frac{1}{2}\) × 4\(\frac{1}{2}\)
(b) 10\(\frac{1}{4}\) × 6\(\frac{1}{4}\)
Answer:
(a) 8\(\frac{1}{2}\) × 4\(\frac{1}{2}\)
= 8 × 4 + \(\frac{1}{2}\)(8 + 4) + (\(\frac{1}{2}\))²
= 32 + 6 + \(\frac{1}{4}\)
= 38\(\frac{1}{4}\)
(b) 10\(\frac{1}{4}\) × 6\(\frac{1}{4}\)
= 10 × 6 + \(\frac{1}{4}\)(10 + 6) + (\(\frac{1}{4}\))²
= 60 + 4 + \(\frac{1}{16}\)
= 64\(\frac{1}{16}\)
Question 6.
രണ്ടു എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും തൊട്ടുമുൻപിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 2201 ഉം തൊട്ടുപുറകിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം 2001 ഉം ആകുന്നു. സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം എത്രയാണ്?
Answer:
സംഖ്യകൾ x,y ആയാൽ,
(x + 1)(y + 1) = 2201
(x − 1)(y − 1) = 2001
xy + (x + y) + 1 = 2201 … (1)
xy – (x + y) + 1 = 2001 ……… (2)
(1) + (2) ⇒ 2xy + 2 = 4202
2xy = 4200
xy = \(\frac{4200}{2}\) = 2100
Question 7.
ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും ഒരു മീറ്റർ വീതം കുറച്ചാൽ, പരപ്പളവ് 240 ചതുരശ്ര മീറ്ററാകും, ഒരു മീറ്റർ വീതം കൂട്ടിയാൽ 306 ചതുരശ്രമീറ്ററും.
i. ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
ii. ചുറ്റളവ് എത്രയാണ്?
iii. നീളവും വീതിയും എത്രയാണ്?
Answer:
നീളവും വീതിയും x, y എന്നെടുത്താൽ,
(x + 1) (y + 1) = 306 … (1)
(x – 1) (y – 1) = 240 … (2)
i. ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്,
xy = \(\frac{240+306-2}{2}\) = 272
ii. ചുറ്റളവ്= 2(x + y) = 306 – 240 = 66
iii. 2(x + y) = 66
x + y = 3 = 33 …(3)
(x − y)² = (x + y)² − 4xy
(3) + (4)
= 33² – 4 × 27² = 1 …(4)
= 2x = 34
⇒ x= 17
(3) — (4) → 2y = 32
⇒ y = 16