Class 10 Maths Chapter 8 Question Answer Malayalam Medium തൊടുവരകൾ

When preparing for exams, Kerala Syllabus SCERT Class 10 Maths Solutions and SSLC Maths Chapter 8 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium തൊടുവരകൾ can save valuable time.

SSLC Maths Chapter 8 Coordinates Questions and Answers Malayalam Medium

HSSLive Guru 10th Maths Chapter 8 Malayalam Medium

Class 10 Maths Chapter 8 Kerala Syllabus Malayalam Medium

വരെയും വട്ടവും (Textbook Page No. 165)

Question 1.
ചുവടെയുള്ള രണ്ടു ചിത്രത്തിലും വൃത്തത്തിലെ ഒരു തൊടുവരയും, തൊടുന്ന ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുള്ള ആരവും കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള മറ്റൊരു വരയും ചേർത്ത് ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു.


ഈ ചിത്രങ്ങൾ നോട്ടുബുക്കിൽ വരക്കുക.
Answer:
ചിത്രം 1 ന്റെ നിർമ്മിതി
2.5സെ.മീ ആരമുള്ള വൃത്തം വരക്കുക. ആരത്തിന് ലംബമായി വൃത്തത്തിലെ ബിന്ദുവിലൂടെ ലംബം വരക്കുക. ഇത് തൊടുവരയായിരിക്കും. വൃത്ത കേന്ദ്രം കേന്ദ്രമായി 5 സെ.മീ ആരമുള്ള ചാപം തൊടുവരയെ മുറിക്കുന്ന വിധം വരക്കുക. ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നു.
ചിത്രം 2ന്റെ നിർമ്മിതി
2 സെ.മീ നീളമുള്ള വര ചിത്രത്തിലേതുപോലെ ചരിച്ച് വരക്കുക. മുകളിലെ അറ്റത്തുകൂടി ഈ വരയ്ക്ക് ലംബം വരക്കുക. താഴെത്തെ അറ്റം കേന്ദ്രമായി 4 സെ.മീ ആരമുള്ള ചാപം ആദ്യം വരച്ച ലംബത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദു )എന്ന് അട യാളപ്പെടുത്തുക. O കേന്ദ്രമായി 2 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ചെറിയ വരയുടെ മുകളിലെ അറ്റത്ത യ്ക്കുള്ള ദൂരം ആരമായി വൃത്തം വരയ്ക്കുക.

Question 2.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകൾ സമാന്തരമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ചിത്രം നോക്കുക

വ്യാസം തൊടുവരയ്ക്ക് ലംബമാണ്. വ്യാസാഗ ങ്ങളിലെ തൊടുവരയുമായുള്ള കോണുകൾ 90 വീതം.
ഒരു വരയുടെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ ഈ വരയ്ക്ക് ലംബമായ വരകൾ പരസ്പരം സമാന്തരങ്ങളാണ്.

Question 3.
ഒരു വൃത്തത്തിലെ പരസ്പരം ലംബമായ രണ്ട് വ്യാസങ്ങളുടെ അറ്റങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന തൊടു വരകൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്നത് ഏതുതരം ചതുർ ഭുജമാണ്?
Answer:
ചിത്രം നോക്കുക.

സമചതുരം

തൊടുവരകളും കോണുകളും (Textbook Page No. 168-169)

Question 1.
ആരം 2.5 സെ.മീ ആയ ഒരു വൃത്തം വരക്കുക വശങ്ങളെല്ലാം ഈ വൃത്തത്തെ തൊടുന്ന, കോണുകൾ 40, 60, 80° ആയ ത്രികോണം വരക്കുക.
Answer:
വൃത്തം വരക്കുക. കേന്ദ്രത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള കോണിനെ ആരങ്ങൾ വരച്ച് 2 × 40° = 80°, 2 × 60° = 120°
എന്ന അളവിൽ ഭാഗിക്കുക. ആരത്തിന്റെ അറ്റങ്ങ ളിലൂടെ തൊടുവരകൾ വരക്കുക. അവ ചേർന്ന് ത്രികോണം ഉണ്ടാകുന്നു.

Question 2.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിലെ ചെറിയ (നീല) ത്രികോണം സമഭുജമാണ്. അതിന്റെ മൂലകളി ലൂടെ പരിവൃത്തത്തിനു വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവര കളാണ് വലിയ (പച്ച) ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ:

(i) വലിയ ത്രികോണം സമഭുജമാണെന്നും, അതിന്റെ വശങ്ങൾ ചെറിയ ത്രികോണ ത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ രണ്ടു മടങ്ങാണെന്നും തെളിയിക്കുക.
(ii) ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം 3 സെന്റിമീറ്റർ ആയി ഈ ചിത്രം വരയ്ക്കുക.
Answer:

വൃത്തകേന്ദ്രം O, OA, OB, OC എന്നീ ആര ങ്ങൾ വരക്കുക ∠AOB = 2 × 60 = 120°
AOBP പ്രക്രിയ ചതുർഭുജം P = 180° – 120° = 60°.
ഇതുപോലെ ∠Q = ∠R = 60°. ത്രികോണം POR സമഭുജത്രികോണം
ABCQസാമാന്തരികം. PBCA സാമാന്തരികം
∠B = ∠Q = 60°
∠C = ∠P = 60°
BC = AQ = AP അതായത് PQ = 2 × BC
ഇതുപോലെ ABRCസാമാന്തരീകം,
AC = PB = BR, PR = 2 × AC, QR = 2 × AB
നിർമ്മിതി
3 സെ.മീ വശമുള്ള സമഭുജത്രികോണം വര ക്കുക. വശങ്ങളുടെ ലംബസമഭാജികൾ വര ക്കുക. അവ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദു കേന്ദ്രമായി, ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലയിലേയ്ക്കുള്ള ബിന്ദു ആരമായി വൃത്തം വരക്കുക. മുലകളിലൂടെ വൃത്തത്തിന് തൊടുവരകൾ വരക്കുക.

Question 3.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ രണ്ടു തൊടുവരകളും, തൊടുന്ന ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള ആരങ്ങളുമാണ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്.

(i) തൊടുവരകളുടെ നീളം തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
(ii) വൃത്ത കേന്ദ്രവും തൊടുവരകൾ ചേരുന്ന ബിന്ദുവും യോജിപ്പിക്കുന്ന വര ആരങ്ങൾ ക്കിടയിലെ കോണിന്റെ സമഭാജിയാണെന്നു
തെളിയിക്കുക.

(ii) ഈ വര തൊടുന്ന ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന ഞാണിന്റെ ലംബസമഭാജിയാണെന്ന് തെളി യിക്കുക.
Answer:
(i) ചിത്രം

ത്രികോണം PAO, ത്രികോണം PBO എന്നിവ മട്ടത്രികോണങ്ങളാണ്.
∠A = ∠B = 90°
PA² + OA² = OP²
PB² + OB² = OP²
PA² + OA² = PB² + OB²
OA = OB ആരങ്ങൾ PA² = PB²
⇒ PA = PB

(ii) PA = PB, OA = OB, OP പൊതുവായ വശം.
ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യമായ വശങ്ങൾക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകൾ തുല്യം.
OA, OB എന്നിവയ്ക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകൾ തുല്യം.
∠APO = ∠BPO

(iii) ചിത്രം

ത്രികോണം PAQ, ത്രികോണം PBQഎന്നിവ പരിഗണിക്കുക
PA = PB, PQ പൊതു വശം. ഇടയിലെ കോണുകൾ തുല്യം
തുല്യമായ കോണുകൾക്ക് എതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ തുല്യം. അതായത് AQ = BQ.
കൂടാതെ ∠PQA + ∠PQB = 180°
അതിനാൽ ∠PQA = ∠PQB = 90°
അതായത് OP എന്ന വര ABയെ ലംബമായി സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു

Question 4.
ചിത്രത്തിലെ സമഭുജസാമാന്തരികത്തിന്റെ വശങ്ങളെല്ലാം വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവരകളാണ്.

ഈ ചിത്രം നോട്ടുബുക്കിൽ വരയ്ക്കുക.
Answer:
4 സെ.മീ ആരമുള്ള വൃത്തം വരക്കുക
ഇടയിലെ കോൺ 180° – 40° = 140° ആകുന്ന വിധം വ്യാസങ്ങൾ വരക്കുക
വ്യാസാഗങ്ങളിലൂടെ തൊടുവരകൾ വര ക്കുക. സമഭുജസാമാന്തരികം രൂപപ്പെടുന്നു.

ഞാണും തൊടുവരയും (Textbook Page No. 176-177)

Question 1.
ചിത്രത്തിലെ ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകളിലൂടെ പരിവൃത്തത്തിനു വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകളാണ്, വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ.

വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ കണക്കാക്കുക.
Answer:
∠QAB = ∠QBA = 60°
∠Q = 180° – 120° = 60°
∠PAC = ∠PCA = 80°
∠P = 180° – 160° = 20°
∠R = 180° – (60° + 20°) = 100°

Question 2.
ചിത്രത്തിലെ വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ വൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവരകളാണ്. അവ വൃത്തത്തെ തൊടുന്ന ബിന്ദുക്കളാണ് ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകൾ.

ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ കണ ക്കാക്കുക.
Answer:

ത്രികോണം APQൽ
∠P = ∠Q = 60°, ∠R = 60°
ത്രികോണം CPRൽ
∠P = ∠R = 70°, ∠Q = 70°
∠P = 180° – (60° + 70°) = 50°

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ ABC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകളിലൂടെ പരിവൃത്തത്തിന് വരച്ച് തൊടുവരക ളാണ് PQ, RS, TU എന്നീ വരകൾ.

ചിത്രത്തിലെ കോണുകളിൽ തുല്യമായവ തരംതിരിച്ച് എഴുതുക.
Answer:
∠UCB = ∠RBC = ∠CAB
∠TCA = ∠PAC = ∠CBA
∠BAQ = ∠ABS = ∠ACB

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രങ്ങളിൽ ചില സമബഹു ഭുജങ്ങളുടെ ഒരു മൂലയിൽക്കൂടി അതിന്റെ പരി വൃത്തത്തിന് തൊടുവര വരച്ചിരിക്കുന്നു.
ഓരോ ചിത്രത്തിലും, തൊടുവരയും തൊടുന്ന ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശ ങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കോണുകൾ കണക്കാക്കുക.

Answer:

ചിത്രം 1 ൽ ∠B = 60°
∴ x = 60°
ചിത്രം 2 ൽ AC വരച്ചാൽ ∠ACD = ∠CAD = 45°, y = 45°
ഒരു വശത്തെ എതിർ മൂലയുമായി ചേർത്തു ണ്ടാക്കുന്ന കോൺ = \(\frac {108}{3}\) = 36°, z = 36°

പുറത്തുനിന്നും തൊടുവര (Textbook Page No. 180)

Question 1.
ആരം 2.5 സെന്റിമീറ്ററായ വൃത്തം വരയ്ക്കുക. വൃത്ത കേന്ദ്രത്തിനിന്ന് സെന്റിമീറ്റർ അകലെ യുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തി ലേയ്ക്കുള്ള തൊടുവരകളും വരയ്ക്കുക.
Answer:
2.5 സെ.മീ. ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക, അതിന്റെ കേന്ദ്രമായ 0 ൽ നിന്ന് 7 സെ.മീ. അകലെയായി P എന്ന ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. O ഉം P ഉം തമ്മിൽ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക.
OP യെ വ്യാസമാക്കി മറ്റൊരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക.
ഈ പുതിയ വൃത്തം ആദ്യ വൃത്തത്തെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ മുറിച്ചുകടക്കും.
P എന്ന ബിന്ദുവിൽനിന്ന് ആ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിലേക്കായി രണ്ടു നേരെ രേഖകൾ വരയ്ക്കുക. ഈ രേഖകളാണ് തൊടുവരകൾ.

Question 2.
ആരം 3 സെന്റിമീറ്ററായ വൃത്തം വരയ്ക്കുക. വൃത്തകേന്ദ്രത്തിനിന്ന് 7.5 സെന്റിമീറ്റർ അകലെ യുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേ യ്ക്കുള്ള തൊടുവരകളും വരയ്ക്കുക.
Answer:
3 സെ.മീ. ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക, അതിന്റെ കേന്ദ്രമായ O ൽ നിന്ന് 7.5 സെ.മീ. അകലെയായ് എന്ന ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക.
O ഉം P ഉം തമ്മിൽ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക.
OP യെ വ്യാസമാക്കി മറ്റൊരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക.
ഈ പുതിയ വൃത്തം ആദ്യ വൃത്തത്തെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ മുറിച്ചുകടക്കും.
P എന്ന ബിന്ദുവിൽനിന്ന് ആ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിലേക്കായി രണ്ടു നേരെ രേഖകൾ വരയ്ക്കുക. ഈ രേഖകളാണ് തൊടുവരകൾ.

പുറത്തുനിന്നും തൊടുവര (Textbook Page No. 182-183)

Question 1.
ഒരു വൃത്തത്തിലെ പരസ്പരം ലംബമായ രണ്ടു തൊടുവരകളും, മറ്റൊരു തൊടുവരയും ചേർന്ന് ഒരു ത്രികോണമുണ്ടാക്കിയ ചിത്രമാണ് ചുവ ടെയുള്ളത്.

(a) ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് പരസ്പരം ലംബമായ തൊടുവരകളുടെ നീളങ്ങളുടെ തുകയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
(b) ലംബമായ തൊടുവരകളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും നീളം വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമാ ണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
(c) ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:

(a) ചുറ്റളവ് = MA + AB + MB
= MA + AP + PB + MB
= MA + AC + BD + MB
= MC + MD

(b) MD എന്ന തൊടുവര MC എന്ന തൊടുവര യ്ക്ക് ലംബമാണ്.
MC, OC എന്നിവ ലംബമാണ് MD, OD എന്നിവ ലംബമാണ്.
കാരണം തൊടുവരയും തൊടുന്ന ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ആരവും പരസ്പരം ലംബമാണ്.
MCOD സമചതുരം.
MC = MD = OD.

(c) ചുറ്റളവ് = MC + MD എന്നറിയാം.
MC + MD എന്നത് OC + OD യ്ക്ക് തുല്യം. (സമചതുരത്തിന്റെ പ്രത്യേകത.)
OC + OD എന്നത് രണ്ട് ആരങ്ങൾ കൂട്ടിയ താണ്. അത് വ്യാസത്തിന് തുല്യം.

Question 2.
വൃത്തത്തിലെ മൂന്ന് തൊടുവരകൾ ചേർന്നുണ്ടാ ക്കുന്ന ത്രികോണമാണ് ചിത്രത്തിൽ കാണുന്നത്.

ഓരോ മൂലയിൽ നിന്നും തൊടുന്ന ബിന്ദുവി ലേയ്ക്കുള്ള തൊടുവരകളുടെ നീളം കണക്കാ ക്കുക.
Answer:

AP = x ആയാൽ PB = 4 – x
BR = 4 – x
CR = 7 – (4 – x) = 3 + x
CQ = 3 + x
AQ = 5 – (3 + x) = 2 – x
AP = AQ
⇒ x = 2 – x
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
∴ AP = 1, BP = 3, BR = 3, CR = 4, CQ = 4, AQ = 1

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ, ഒരു ബിന്ദുവിൽ തൊടുന്ന രണ്ടു വൃത്തങ്ങൾക്ക് ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള പൊതു വായ തൊടുവര വരച്ചിരിക്കുന്നു.

(i) ഈ വൃത്തങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ മറ്റൊരു തൊടുവര, ആദ്യത്തെ തൊടുവര സമഭാഗം ചെയ്യുമെന്ന് തളിയിക്കുക.

(ii) ഈ രണ്ടു തൊടുവരകളും വൃത്തങ്ങളെ തൊടുന്ന ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന ത്രികോണം മട്ടമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.

Answer:
(i) PA, PB, PC എന്നിവ P എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള തൊടുവരകളാണ്

PA = PC, PB = PC
AP = BP

(ii) ത്രികോണം PAC യിൽ
PA = PC
⇒ ∠A = ∠C = x
ത്രികോണം PBC യിൽ
PB = PC
⇒ ∠B = ∠C = y
ത്രികോണം ABC യിൽ
⇒ x + x + y + y = 180
⇒ 2x + 2y = 180
⇒ x + y = 90°
∴ C = 90°

വരയെ തൊടുന്ന വട്ടം (Textbook Page No. 187-188)

Question 1.
വശങ്ങളുടെ നീളം 7 സെന്റിമീറ്റർ, 8 സെന്റിമീറ്റർ, 9 സെന്റിമീറ്റർ ആയ ത്രികോണം വരച്ച്, അതിന്റെ അന്തർവൃത്തം വരയ്ക്കുക.
Answer:

Question 2.
വശങ്ങളുടെ നീളം 5 സെ.മീ,ഒരു കോൺ 50 ആയ സമഭുജസാമാന്തരികം വരച്ച് അന്തവൃത്തം നിർമ്മിക്കുക.
Answer:

Question 3.
ഒരു സമഭുജത്രികോണം വരച്ച് രണ്ട് വശങ്ങളെ തൊടുന്ന അർദ്ധവൃത്തം മൂന്നാമത്തെ വശത്തിൽ കേന്ദ്രമായി വരക്കുക.

Answer:
ത്രികോണം വരക്കുക
ഒരു വശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദു അടയാളപ്പെടു ത്തുക. ലംബസമഭാജി വരച്ചാൽ മതി
ഈ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു വശത്തേയ്ക്ക് ലംബം വരക്കുക. ലംബദൂരം ആരമായി, വശ ത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുകേന്ദ്രമായി അർദ്ധ വൃത്തം വരക്കുക.

Question 4.
വശങ്ങളുടെ നീളം 12 സെ.മീ ആയ സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണക്കാക്കുക.
Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ്

Question 5.
വശങ്ങളുടെ നീളം 13 സെ.മീ, 14 സെ.മീ, 15 സെ.മീ ആയ ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം കണക്കാക്കുക.
Answer:

Question 6.
ഏതു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെയും അന്തർ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം അതിന്റെ പരിവൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെ പകുതിയാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വശം a ആയാൽ ഉന്നതി = \(\frac{a}{2} \sqrt{3}\)
സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത കേന്ദ്രം തന്നെയാണ് മധ്യമകേന്ദ്രവും.
ഉന്നതി തന്നെയാണ് നടുവര
പരിവൃത്ത ആരം R = \(\frac{2}{3} \times \frac{a}{2} \sqrt{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}\)
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\)
ചുറ്റളവ് = 3a, s = \(\frac {3a}{2}\)
അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം = \(\frac{A}{s}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \div \frac{3 a}{2}=\frac{a}{2 \sqrt{3}}\)
അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം r = \(\frac {R}{2}\)

Question 7.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം h, അന്തർവൃത്ത ത്തിന്റെ ആരം r ആയാൽ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് r(h + r) എന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ a, b എന്നെടുക്കാം. കർണ്ണം h

s = \(\frac{a+b+h}{2}\).A = rs
ചിത്രത്തിൽ POQB സമചതുരം.
RC = CQ = a – r
PA = RA = b – r
a – r + b – r = h
⇒ a + b = h + 2r
A = rs
= r × \(\left(\frac{a+b+h}{2}\right)\)
= r × \(\left(\frac{h+2 r+h}{2}\right)\)
= \(r\left(\frac{2 h+2 r}{2}\right)\)
= r(h + r)

Question 8.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങളുടെ നീളം a യും b യും, കർണത്തിന്റെ നീളം cയും ആണ്. അതിന്റെ അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം \(\frac {1}{2}\)(a + b – c) ആണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ചിത്രത്തിൽ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ a, b കർണ്ണം c

OPCO സമചതുരം. അന്തർവൃത്ത ആരം സമചതു രത്തിന്റെ വശം തന്നെയാണ്
a – r + b – r = c
⇒ a + b – 2r = c
⇒ 2r = a + b – c
⇒ r = \(\frac{a+b-c}{2}\)

Question 9.
ചിത്രത്തിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് മൂലകൾ അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി യോജിപ്പിച്ചി രിക്കുന്നു.

(i) ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന കോൺ കണക്കാക്കുക
(ii) ഏത് ത്രികോണത്തിലും ഒരു മൂലയിലെ കോണും മറ്റു രണ്ടു മൂലകൾ അന്തർവൃത്ത കേന്ദ്രവുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകൾക്കിട യിലെ കോണും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?
(iii) ഈ രണ്ട് കോണുകളിൽ ഒന്നു മറ്റൊന്നിന്റെ പകുതിയായാൽ ത്രികോണത്തിലെ കോൺ എത്രയാണ്?
Answer:
(i) 70° + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 110°
∠OBC + ∠OCB = \(\frac {110}{2}\) = 55°
∠BOC = 180° – 55° = 125°

(ii) ത്രികോണം ABCയിൽ കോണുകൾ A, B, C എന്നെടുക്കാം.
B + C = 180° – A
അന്തർവൃത്തമായതിനാൽ B യുടെയും Cയുടെയും സമഭാജികൾ വരച്ചാണ് നിർമ്മിതി പൂർത്തിയാക്കുന്നത്.
\(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{180-A}{2}=90-\frac{A}{2}\)
∠BOC = 180 – (90 – \(\frac {A}{2}\)) = 90 + \(\frac {A}{2}\)

(iii) ∠BOC = x എന്നെടുത്താൽ ∠BAC = \(\frac {x}{2}\)
∠OBC + ∠OCB = 180° – x
2 × (∠OBC + ∠OCB) = 360° – 2x
A = 180° – (360° – 2x) = 2x – 180°
2x – \(\frac {x}{2}\) = 180°
x = 120°
∠A = 60°
ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിരിക്കുന്ന കോൺ = 60°
അതായത് ∠BOC = 120°

10th Class Maths Notes Malayalam Medium Chapter 8 തൊടുവരകൾ

Std 10 Maths Chapter 8 Notes Malayalam Medium

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള തൊടുവര, ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള വ്യാസത്തിനു ലംബമാണ്.

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള ആരങ്ങൾ ചേരുന്ന കോണിന്റെയും, ഈ ബിന്ദുക്കളിലെ തൊടുവരകൾ ചേരുന്ന കോണിന്റെയും തുക 180° ആണ്.

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങളിലുമുള്ള തൊടുവരകൾ ചേരുന്ന കോൺ, 180 യിൽ നിന്ന് ഞാണിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ കുറച്ചതാണ്.

→ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണിന്റെ അറ്റങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകൾ ഞാണുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളിൽ ഒരു വശത്തുള്ള കോണുകൾ രണ്ടും, മറുവശത്തെ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.

→ വൃത്തത്തിനു പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽനിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്ക് രണ്ടു തൊടുവരകൾ വരയ്ക്കാം.

→ വൃത്തത്തിനു പുറത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽനിന്നുള്ള രണ്ടു തൊടുവരകൾക്കും ഒരേ നീളമാണ്.

→ ഒരു വൃത്തത്തിലെ നാലു ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള തൊടുവരകൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന ചതുർഭുജത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങളുടെ തുക തുല്യമാണ്.

→ ഏതു ത്രികോണത്തിലും, കോണുകളുടെ സമഭാജികളെല്ലാം ഒറ്റ ബിന്ദുവിലൂടെയാണ് മുറിച്ചു കടക്കുന്നത്.

→ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിനെ ചുറ്റളവിന്റെ പകുതികൊണ്ടു ഹരിച്ചു കിട്ടുന്നതാണ്.

ഒരു വരയും ഒരു വൃത്തവും പേപ്പറിൽ വരക്കുന്നു. മൂന്ന് തരത്തിൽ വരക്കാം. വരയും വൃത്തവും തൊടാതെ വരയ്ക്കാം. വൃത്തത്തെ വര മുറിച്ചുകടക്കുന്നതു പോലെ വരക്കാം. പിന്നെ വര വൃത്തത്തെ തൊടുന്നതു പോലെ വരക്കാം. വര വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം തൊടുകയാണെങ്കിൽ വര വൃത്തത്തിന്റെ തൊടു വരയാണ്. ഒരു വൃത്തത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും കൂടി തൊടുവരകൾ വരക്കാം. വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ ഒരു തൊടുവര മാത്രമേ വരക്കാനാവു എന്ന് മനസിലാക്കാം.

തൊടുവരകളെക്കുറിച്ചുള്ള ജ്യാമിതീയ ചിന്തകളാണ് ഈ യൂണിറ്റ്. ചില പ്രധാന ജ്യാമിതീയ നിർമ്മിതികൾ ഏതൊരു ജ്യാമിതീയ നിർമ്മിതിയുടെ പിന്നിലും വ്യക്തമായ ഒരു ജ്യാമിതീയാശയം ഉണ്ടായിരിക്കും. അതായത് ഒരു ജ്യാമിതീയാശയത്തിന്റെ ദൃശ്യാവിഷ്കാ രമാണ് നിർമ്മിതി.

വരെയും വട്ടവും
വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്ത മുറിയുന്ന വിധം രണ്ട് വരകൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ A യിലൂടെയാണ് AB എന്ന വരയും AC എന്ന വരയും വരച്ചിരിക്കുന്നത്.

AB വ്യാസമായാൽ AB യിൽ കേന്ദ്രം O അടയാള പ്പെടുത്താം. OCവരച്ച് ത്രികോണം AOC കാണാം. ഇത് ഒരു സമപാർശ്വത്രികോണ മാണ്. തുല്യമായ ആരങ്ങൾക്ക് എതിരെയുള്ള കോൺ x എന്നും, മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന് എതിരെയുള്ള കോണിനെ y എന്നും അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

2x + y = 180° എന്നെഴുതാം
C എന്ന ബിന്ദു വൃത്തത്തിലൂടെ നീങ്ങി യിലേ യ്ക്ക് അടുക്കുന്നതായി കാണുക. അപ്പോൾ y എന്ന കോണളവ് കുറഞ്ഞുവരുന്നു. അതായത് y പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുന്നു.
C എന്ന ബിന്ദു A യിലെത്തുമ്പോൾ നിശ്ചയമായും y = 0 ആകും. അപ്പോൾ. AC എന്ന വര വൃത്ത തൊടുന്ന വരയായിരിക്കും.
2x + y = 180° എന്നത് 2x + 0 = 180 എന്നെഴുതാം. അതായത് x = 90° ഇതിന്റെ ചിത്രരൂപം ഇതുപോലെ യാണ്.

ABഎന്ന വ്യാസം തൊടുവരയ്ക്ക് ലംബമാണെന്ന് കാണാം.
വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള തൊടുവര ആ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള വ്യാസത്തിന് ലംബമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
3 സെ.മീ ആരമുള്ള വൃത്തം വരച്ച് സമാന്തരമായ രണ്ട് തൊടുവരകൾ വരക്കുക.
Answer:
വൃത്തം വരച്ച് AB എന്ന വ്യാസം അടയാളപ്പെടു ത്തുക. A-യിലൂടെയും B-യിലൂടെയും AB-യ്ക്ക് ലംബങ്ങൾ വരക്കുക.
ഈ വരകൾ സമാന്തരങ്ങളായ തൊടുവരകളാ യിരിക്കും.

Question 2.
3 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്തം വരച്ച് വൃത്തത്തെ പൊതിയുന്ന സമചതുരം നിർമ്മി ക്കുക.
Answer:
വൃത്തം വരച്ച് AB, CD എന്നീ ലംബമായ വ്യാസങ്ങൾ വരക്കുക
A-യിലൂടെയും B-യിലൂടെയും AB-യ്ക്ക് ലംബ ങ്ങൾ വരക്കുക
C-യിലൂടെയും D-യിലൂടെയും CD-യ്ക്ക് ലംബ ങ്ങൾ വരക്കുക
ഈ തൊടുവരകൾ ചേർന്ന് വൃത്തത്തെ പൊതി യുന്ന സമചതുരം കിട്ടുന്നു.

Question 3.
ചിത്രത്തിൽ PA തൊടുവരയാണ്, OA ആരം, കേന്ദ്രവും Pഎന്ന ബിന്ദുവും തമ്മിലുള്ള വര OP, ∠OPA = 30°, OP = 16 ആയാൽ

(a) തൊടുവരയുടെ നീളമെത്?
(b) വൃത്തത്തിന്റെ ആരം എത്ര?
Answer:
(a) 8√3
(b) 8

Question 4.
10 സെമീ ആരമുള്ള വൃത്തത്തിലെ തൊടുവര യാണ് PA. ∠AOP = 60°.

(a) തൊടുവരയുടെ നീളമെത്?
(b) OP എന്ത്?
Answer:
(a) 10√3
(b) 20

തൊടുവരകളും കോണുകളും
ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് തൊടുവരകൾ സമാന്തരങ്ങളല്ലെങ്കിൽ തീർച്ചയായും അവ ഒരു ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടും.

Aയിലൂടെയുള്ള തൊടുവരയും Bയിലൂടെയുള്ള തൊടുവരയും Cയിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു
ചിത്രത്തിൽ കാണുന്ന Aഎന്ന ആരം ACയ്ക്ക് ലംബമാണ്. OBഎന്ന ആരം BCയ്ക്ക് ലംബമാണ്.
∠OAC + ∠OBC = 180°, ∠AOB + ∠QCB = 180°
OACB ഒരു പ്രക്രിയ ചതുർഭുജമാണ്.
ഒരു വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള ആരങ്ങൾ ചേരുന്ന കോണിന്റെയും ഈ ബിന്ദുക്കളിലൂടെയുള്ള തൊടുവരകൾ ചേരുന്ന കോണിന്റെയും തുക 180° ആണ്.
ഈ ജ്യാമിതീയാശയം ഉപയോഗിച്ച് വൃത്ത കൃത്യമായി പൊതിയുന്ന ത്രികോണം വരയ്ക്കാം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
PA, PB എന്നിവ കേന്ദ്രമായ വൃത്തത്തിലേ ക്കുള്ള തൊടുവരകളാണ്. ∠AOB എന്നത് ∠APB യുടെ രണ്ട് മടങ്ങാണ്.

(a) കോൺ ∠APB എത്ര?
(b) കോൺ ∠AOB എന്ത്?
Answer:
(a) ∠APB = x ആണെങ്കിൽ ∠AOB = 2x ആണ്.
x + 2x = 180°
3x = 180°
x = 60°
∴ ∠APB = 60°
(b) ∠AOB = 180° – 60° = 120°

Question 2.
PA, PB എന്നിവ O കേന്ദ്രമായ വൃത്തത്തിലുള്ള തൊടുവരകളാണ്. ∠OAB = 20°

(a) ∠AOB എന്ന കോൺ എത്?
(b) ∠APB എത്?
Answer:
(a) ∠ABO = 20°
∠AOB = 180° – 40° = 140°
(b) ∠APB = 180° – 140° = 40°

Question 3.
ABC ഒരു സമഭുജത്രികോണമാണ്. O പരിവൃത്ത കേന്ദ്രം PA, PC എന്നിവ വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള തൊടുവരകളാണ്.

(a) കോൺ ∠AOC എത്ര?
(b) കോൺ ∠APC എന്ത്?
Answer:
(a) ∠ABC = 60°, ∠AOC = 120°
(b) ∠APC = 180° – 120° = 60°

Question 4.
3 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്തം വരച്ച് വൃത്തത്തെ പൊതിയുന്ന സമഭുജത്രികോണം വരക്കുക.
Answer:
3 സെന്റിമീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്തം വരക്കുക കേന്ദ്രത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള കോണിനെ ആരങ്ങൾ 120° വീതമുള്ള മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളാക്കുക.
ആരങ്ങളുടെ അറ്റത്തുകൂടി വൃത്തത്തിന് തൊടുവരകൾ വരക്കുക
തൊടുവരകൾ ചേരുന്ന കോൺ 180° – 120° = 60° വീതമാണ്.
തൊടുവരകൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണം സമഭുജത്രികോണമാണ്

ഞാണും തൊടുവരയും
വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണിന്റെ അറ്റങ്ങളിൽ വരക്കുന്ന തൊടുവരകൾ ഞാണുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളിൽ ഒരു വശത്തുള്ള കോണുകൾ രണ്ടും മറ്റേ വശത്തുള്ള വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ ആശയത്തെ വിശകലനം ചെയ്യാം. ഇതിനായി കൊടുത്തിരിക്കുന്ന വർക്ഷീറ്റും താഴെ ഉത്തരങ്ങളും നോക്കുക.

O വൃത്തകേന്ദ്രം, AB ഞാൺ, PA, PB എന്നിവ ഞാണിന്റെ അറ്റങ്ങളിലൂടെയുള്ള തൊടുവരകൾ.
ഞാണും തൊടുവരയും തമ്മിൽ ഒരു വശത്തെ കോണുകൾ x വീതം.

വർക്ക്ഷീറ്റ്
(a) ∠ABP = ∠BAPആകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
(b) ∠BPA = 180 – 2x ആകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
(c) ∠BOA = 2x ആകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
(d) ∠BCA = y ആകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
(e) നിഗമനം എഴുതുക
Answer:
(a) PA, PB എന്നിവ തുല്യനീളമുള്ള തൊടുവ രകളാണ്. ത്രികോണം PAB യിൽ തുല്യവശ ങ്ങൾക്ക് എതിരെയുള്ള കോണുകൾ തുല്യം.
(b) ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ തുക 180°,
അതിനാൽ കോൺ BPA = 180° – 2x
(c) PAOB ക്രിയ ചതുർഭുജം. എതിർ കോൺ തുക 180°.
(d) ഞാണിന്റെ കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയാണ് മറുഖണ്ഡത്തിലെ കോൺ.
(e) വൃത്തത്തിലെ ഒരു ഞാണിന്റെ അറ്റങ്ങളിൽ വരക്കുന്ന തൊടുവരകൾ ഞാണുമായി ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളിൽ ഒരു വശത്തുള്ള കോണുകൾ രണ്ടും മറ്റു വശത്തുള്ള വൃത്തഖണ് ഡത്തിലെ കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
ചിത്രത്തിൽ AB വ്യാസമാണ്, AP എന്ന വര വ്യാസവുമായി 40° രൂപീകരിക്കുന്നു.

(a) അനുയോജ്യമായ ആരമുള്ള വൃത്തം വര ക്കുക. AP വരക്കുക.
(b) P-യിലൂടെ വൃത്തകേന്ദ്രം ഉപയോഗിക്കാതെ തൊടുവര വരക്കുക.
Answer:
(a) വൃത്തം, വ്യാസം, ഞാൺ എന്നിവ വരക്കുക.
(b) BP വരക്കുക. P ശീർഷമായി 40° വരക്കുക മറ്റേ ഭുജം തൊടുവരയായിരിക്കും.

Question 2.
ത്രികോണം ABC യുടെ Aയിലൂടെ പരിവൃത്ത ത്തിന്റെ തൊടുവരയാണ് PT. AC = AB, ∠A = 40° ആയാൽ

(a) ∠C, ∠B എന്നീ അളവുകൾ എത്?
(b) PT എന്ന വര BCയ്ക്ക് സമാന്തരമാണോ? വിശദീകരിക്കുക
Answer:
(a) ∠B = ∠C = 70°
(b) Cയിലൂടെയുള്ള തൊടുവരയും AC എന്ന വശവും തമ്മിലുള്ള കോൺ ∠Bയ്ക്ക് തുല്യ മാണ്. AC = BC ആയതിനാൽ ∠B = ∠A അതായത് തൊടുവരയും ACയും തമ്മിലുള്ള കോൺ ∠Aയ്ക്ക് തുല്യം. മറുകോണുകളുടെ തുല്യതയിൽ നിന്നും തൊടുവര ABയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ്.

Question 3.
ത്രികോണം ABCയിൽ O പരിവൃത്തകേന്ദ്രമാണ്. ∠BOC = 140°

(a) ∠BAC എത്?
(b) PC എന്നത് Cയിലൂടെയുള്ള തൊടുവരയാ യാൽ ∠BCP എത്?
Answer:
(a) ∠BAC = 70°
(b) 70°

Question 4.
∠ABCയിൽ A യിലൂടെയുള്ള പരിവൃത്തത്ത ത്തിന്റെ തൊടുവര AB എന്ന വശവുമായി 70° രൂപീകരിക്കുന്നു.

(a) കോൺ ∠ACB എത്?
(b) കോൺ ∠AOB എത്?
Answer:
(a) ∠ACB = 70°
(b) ∠AOB = 140°

Question 5.
ചിത്രത്തിൽ O വൃത്ത കേന്ദ്രമാണ്, x, y, z സമാന്തരശ്രേണിയിലാണ്.

(a) x, y, z എത്?
(b) ∠BAP എത്?
(c) വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 10 സെന്റീമീറ്റർ ആയാൽ ABയുടെ നീളമെത്?
Answer:
(a) x = \(\frac {y}{2}\), x + z = 180°
x, y, z സമാന്തരശ്രേണിയിൽ ആയതിനാൽ
x + z = 2y
⇒ 2y = 180°
⇒ y = 90°
x = \(\frac {90}{2}\) = 45°
z = 180° – 45° = 135°
(b) 45°
(c) 10 √2

പുറത്തുനിന്നും തൊടുവര
വൃത്തത്തിന് പുറത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേയ്ക്ക് രണ്ട് തൊടുവരകൾ വരക്കാം. ഈ രണ്ട് തൊടുവരകളുടെയും നീളം തുല്യമാണ്.

പുറത്തുള്ള ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേ യ്ക്കുള്ള തൊടുവരകളുടെ നിർമ്മിതി ഒരു പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനമാണ്. ഈ നിർമ്മിതിയിൽ രണ്ട് ജ്യാമിതീയാശയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
(a) തൊടുവരയും തൊടുന്ന ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ആരവും പരസ്പരം ലംബമാണ്
(b) അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ 90°യാണ്.

നിർമ്മിതിയുടെ ഘട്ടങ്ങൾ

• വൃത്തം വരക്കുക, കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും നിശ്ചിത അകലെ ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. കേന്ദ്രവും ബിന്ദുവും ചേർത്ത് വരക്കുക.
• ഈ വര വ്യാസമായി ഒരു വൃത്തം വരക്കുക. വൃത്തം ആദ്യം വരച്ച് വൃത്തത്തെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു.
• പുറത്തെ ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഖണ്ഡിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളിലേയ്ക്ക് വരകൾ വരക്കുക. ഈ വര ആരത്തിന് ലംബമാണ്.

ഇവ തൊടുവരകളാണ്.
ഒരു വൃത്തത്തെ പൊതിയുന്ന ചതുർഭുജം വര യ്ക്കാം. ഒരു ചതുർഭുജം മാത്രമല്ല. ഒരു വൃത്തത്തെ പൊതിയുന്ന അനേകം ചതുര ങ്ങൾ വരയ്ക്കാം.
ഇത്തരം ഒരു ചതുർഭുത്തിന്റെ വശങ്ങൾ a, b, c, d എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് നോക്കുക.

തൊടുന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നും മൂലകളിലേയ് ക്കുള്ള വരകൾ, q, r, s വീതമാണ്.
r + s = a, p + q = c
⇒ p + q + r + s = a + c
ഇതുപോലെ p + q + r + s = b + d എന്നെഴുതാം.
അതായത് എതിർ വശങ്ങളുടെ തുകകൾ തുല്യ മാണ്.
ഈ ആശയം ഇപ്രകാരം എഴുതാം
ഒരു വൃത്തത്തിലെ നാല് ബിന്ദുക്കളിലൂടെ യുള്ള തൊടുവരകൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന ചതുർഭുജ ത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങ ളുടെ തുക തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
PA, PB എന്നിവ വൃത്തത്തിന് പുറത്തെ P എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നും വരച്ചിരിക്കുന്ന പരസ്പരം ലംബമായ തൊടുവരകളാണ്. O വൃത്ത ന്ദ്രമാണ്.

(a) PAOBയ്ക്ക് നൽകാവുന്ന ഏറ്റവും ഉചിതമായ പേരെന്ത്?
(b) PB = 4 സെമീ ആയാൽ ABയുടെ നീളമെത്?
Answer:
(a) സമചതുരം
(b) 4√2

Question 2.
PA, PB എന്നിവ 4 സെന്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്ത ത്തിലെ സമാന്തരതൊടുവരകളാണ്. PQ എന്ന മറ്റൊരുവര വൃത്തത്തെ C യിൽ തൊടുന്നു.

(a) സമാന്തരവരകൾ തമ്മിലുള്ള അകലമെത്ര?
(b) PA = 6 സെ.മീ. QB = 4 സെ.മീ. ആയാൽ AB യുടെ നീളമെത്?
Answer:
(a) 8 സെ.മീ.
(b) PA = PC = 6
QB = QC = 4
PQ = 10 സെ.മീ.

Question 3.
ഒരു വൃത്തം ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ തൊടുന്നു. AP = 1, BQ = 2, CR = 3 ആയാൽ

(a) ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് എത്ര?
(b) ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക?
Answer:
(a) AR = 1, CQ = 3, BP = 2
ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 12 cm
മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ = 3 cm, 4 cm
(b) പരപ്പളവ് = \(\frac {1}{2}\) × 3 × 4 = 6 ച.സെ.മീ.

Question 4.
ചിത്രത്തിൽ PA = 12 സെ.മീ. , OA = 3 സെ.മീ. RB = 4 സെ.മീ.

(a) PB യുടെ നീളമെത്?
(b) ത്രികോണം PORന്റെ ചുറ്റളവ് കാണുക?
Answer:
(a) PB = 12
(b) QA = QS = 3
RB = RS = 4
PQ = 12 – 3 = 9
PR = 12 – 4 = 8
ത്രികോണം POR ന്റെ ചുറ്റളവ് = 9 + 8 + 7 = 24 സെന്റിമീറ്റർ

Question 5.
ചിത്രത്തിൽ PA, QB എന്നിവ സമാന്തരതൊടുവര കളാണ്. മറ്റൊരു വര PQ വൃത്തത്തെ Rൽ തൊടുന്നു.

(a) OA, OR, OB എന്നിവ വരക്കുക.
(b) തുല്യതികോണങ്ങൾ എഴുതുക.
(c) ∠POQ എത്ര?
Answer:
(a) വര വരക്കുക.
(b) PA = PR, OA = OR
OP പൊതുവായ വര
ΔPAO, ΔPRO തുല്യമാണ്
അതുപോലെ ΔQRO, ΔQBO തുല്യമാണ്.
(c) ∠POA = ∠POR = x ആയാൽ
∠QOR = ∠QOB = y
അങ്ങനെയെങ്ങിൽ 2x + 2y = 180°
⇒ x + y = 90°
∴ ∠POQ = 90°

വരയെ തൊടുന്ന വട്ടം
ഒരു ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന രണ്ട് വരകളെ തൊടുന്ന വൃത്തം വരക്കാം.
വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം വരകൾക്കിടയിലെ കോണിന്റെ സമഭാജിയിലാണ്.
അപ്പോൾ വരകളെ തൊടുന്ന വൃത്തം വരക്കാൻ ആദ്യം വരകൾ ചേരുന്ന കോണിന്റെ സമഭാജി വരക്കണം.
സമഭാജിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും രണ്ട് വരകളിലേയ്ക്കും ലംബങ്ങൾ വരക്കാം. സമഭാ ജിയിലെ
ബിന്ദു കേന്ദ്രമായി, വരകളിലേയ്ക്കുള്ള ലംബദൂരം ആരമായി വൃത്തം വരച്ചാൽ മതി.
ഈ ആശയം ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്ത നിർമ്മിതിയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.
ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളെയും തൊടുന്ന വൃത്തമാണ് അന്തർവൃത്തം.
വശങ്ങളെല്ലാം അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ തൊടുവരകളാണെന്ന് മനസിലാക്കാം
തന്നിരിക്കുന്ന അളവുകളിൽ ത്രികോണം വരച്ച്, രണ്ട് കോണുകളുടെ സമഭാജികൾ വരച്ച്, സമഭാജികൾ
കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദു കേന്ദ്രമായി വൃത്തം, വശങ്ങളിലേയ്ക്കുള്ള ലംബദൂരം ആരമായി വൃത്തം വരക്കുക.
വൃത്തം ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ തൊടുന്നു. ത്രികോണത്തിന്റെ അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിനെ ചുറ്റളവിന്റെ പകുതികൊണ്ട് ഹരിച്ചുകിട്ടുന്നതാണ്.
ഇത് ഇപ്രകാരം വിശദീകരിക്കാം.
ത്രികോണം ABC യുടെ വശങ്ങളാണ് a, b, c. അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ് r. ചുറ്റളവിന്റെ പകുതിയെ s എന്നെടുക്കാം
വൃത്ത കേന്ദ്രം മൂലകളുമായി ചേർത്ത് ത്രികോ ണത്തെ മൂന്ന് ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളാക്കാം. ചിത്രത്തിൽ
ഇവ ത്രികോണം AB, (തികോണം OAC, ത്രികോണം OBC എന്ന് കാണാം.

ഇവയുടെ പരപ്പളവുകൾ കൂട്ടിയാൽ ത്രികോണം.
ABC യുടെ പരപ്പളവ് A കിട്ടും
A = \(\frac{1}{2} a r+\frac{1}{2} b r+\frac{1}{2} c r\)
= \(\frac {1}{2}\)r(a + b + c)
= r × \(\frac{a+b+c}{2}\)
= rs
r = \(\frac {A}{s}\) എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാം

വശങ്ങൾ a, b, c ആയ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് A = \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
ആണ്. അപ്പോൾ r = \(\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\) എന്നെഴുതാം.

ഈ ബന്ധം അന്തർവൃത്തം വരക്കാൻ സാധി ക്കുന്ന എല്ലാ ബഹുഭുജങ്ങളുടെയും കാര്യത്തിൽ ശരിയാണ്.
അന്തർ വൃത്തത്തിന്റെ ആരം പരപ്പളവിനെ ചുറ്റ ളവിന്റെ പകുതി കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതാണ്.
സമചതുരം പോലെയുള്ള ചതുർഭുജങ്ങളുണ്ട്. ഇവയ്ക്ക് അന്തർവൃത്തവും പരിവൃത്തവും ഉണ്ടാ യിരിക്കും. സമചതുരത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ രണ്ട് തരം വൃത്തങ്ങളുടെയും കേന്ദ്രം ഒന്നുതന്നെ യാണ്. എന്നാൽ അന്തർവൃത്തവും പരിവൃത്തവും വരക്കാൻ സാധിക്കുന്ന മറ്റ് ചതുർഭുജങ്ങളിൽ രണ്ട് വൃത്തങ്ങളുടെ കേന്ദ്രങ്ങളും വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്ക ളാണ്.

ഇത്തരം ഒരു ചതുർഭുജം എങ്ങനെ വരക്കാം? ഒരു വൃത്തം വരച്ച് അതിൽ ലംബമായ രണ്ട് ഞാണു കൾ വരക്കുക. ഞാണുകളുടെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ തൊടുവരകൾ വരക്കുക. ഈ തൊടുവരകൾ ചേരുന്ന ചതുർഭുജം പ്രക്രിയ ചതുർഭുജമാണല്ലോ. അതിന് ഒരു പരിവൃത്തം വരച്ചുനോക്കൂ, അപ്പോൾ പരിവൃത്തവും അന്തർവൃത്തവുമുള്ള ചതുർഭുജം കിട്ടും

ഉദാഹരണങ്ങൾ

Question 1.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണത്തിന്റെ നീളം 18 സെന്റീമീറ്റർ, അന്തർവൃത്തത്തിന്റെ ആരം 3 സെന്റീമീറ്റർ
(a) ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് എത്ര?
(b) ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
(a) a യും b യും ലംബവശങ്ങളാണ്.
r = \(\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+b-18}{3}\)
⇒ 3 = \(\frac{a+b-18}{2}\)
⇒ a + b – 18 = 16
⇒ a + b = 24
ചുറ്റളവ് = 24 + 18 = 42

(b) S = \(\frac {42}{2}\) = 21
A = rs
= 3 × 21
= 63

Question 2.
ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളെ തൊടുന്ന വൃത്തം വരച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത്തരം ചതുർഭുജങ്ങ ളിൽ എതിർവശങ്ങളുടെ തുക തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക

AB + CD = AD + BC എന്ന് തെളിയിക്കുക
Answer:
AR = AS
BR = BQ
DP = DS
CP = CQ
സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ
AR + BR +DP + CP = AS + BQ + DS + CQ
AB + CD = AD + BC

Question 3.
അനുയോജ്യമായ അളവുള്ള കോൺ വരക്കുക. ഭുജങ്ങളെ തൊടുന്ന വൃത്തം വരക്കുക.

(a) വൃത്തകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം എവിടെയാണ്
(b) നിർമ്മിതിയുടെ ജ്യാമിതീയ തത്വം എഴുതുക.
Answer:
കോൺ വരക്കുക. കോണിന് സമഭാജി വര ക്കുക
സമഭാജിയിലെ ഒരു ബിന്ദു കേന്ദ്രമായി കോണിന്റെ വശങ്ങളിലേയ്ക്കുള്ള ലംബദൂരം ആരമായി വൃത്തം വരക്കുക
(a) കോൺ സമഭാജിയിൽ
(b) വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള തൊടുവര ആ ബിന്ദുവിലൂടെ വരക്കുന്ന ആരത്തിന് ലംബമാണ്.

Question 4.
ത്രികോണം ABC യിൽ, AB = 7 cm, ∠A = 40°, ∠B = 60°
(a) തന്നിരിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണം വരക്കുക.
(b) ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ തൊടുന്ന വൃത്തം വരക്കുക.
(c) ആരം അളന്നെഴുതുക.
Answer:
(a) തന്നിരിക്കുന്ന അളവിൽ ത്രികോണം വരക്കുക
(b) രണ്ട് കോണുകളുടെ സമഭാജികൾ വരക്കുക
(c) സമഭാജികൾ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദു കേന്ദ്രമായി, വശത്തേയ്ക്കുള്ള ലംബദൂരം ആരമായി വൃത്തം വരക്കുക.