When preparing for exams, Kerala SCERT Class 9 Maths Solutions Chapter 3 Malayalam Medium സമാന്തരവരകൾ can save valuable time.
Kerala SCERT Class 9 Maths Chapter 3 Solutions Malayalam Medium സമാന്തരവരകൾ
Class 9 Maths Chapter 3 Kerala Syllabus Malayalam Medium
Class 9 Maths Chapter 3 Malayalam Medium Textual Questions and Answers
Question 1.
11 സെന്റിമീറ്റർ ചുറ്റളവുള്ള സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
11 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കുക 9 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര ചരിച്ചു വരയ്ക്കുക.9 സെന്റീ മീറ്റർ നീളമുള്ള വരയെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കി ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ സമാന്തരവരകൾ വരയ്ക്കുക. സമഭാഗങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ചു സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Question 2.
15 സെന്റിമീറ്റർ ചുറ്റളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
15 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കുക. 12 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര ചരിച്ചു വരയ്ക്കുക. അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക. 12 സെന്റിമീറ്റർ വരയെ 4 സമഭാഗങ്ങളാക്കി, ഓരോ ബിന്ദുവിലൂടെയും സമാന്തര വരകൾ വരച്ചു 15 സെന്റിമീറ്റർ വരയെ 4 സമഭാഗങ്ങളാക്കുക. സമഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Question 3.
20 സെന്റീമീറ്റർ ചുറ്റളവുള്ള സമഷഡ്ഭുജം വരയ്ക്കുക.
Answer:
20 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരയ്ക്കുക. 12സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര ചരിച്ചു വരയ്ക്കുക. അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക. 12 സെന്റിമീറ്റർ വരയെ 6 സമഭാഗങ്ങളാക്കി ഈ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ സമാന്തരവര കൾ വരയ്ക്കുക. 20 സെന്റീമീറ്റർ വരയെ 6 സമഭാഗങ്ങളുാക്കി, സമഭാഗങ്ങൾ വശമായ സമഷഡ്ഭുജം വരയ്ക്കുക.
10 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയും അതിൽ ചരിഞ്ഞ 9 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയും വരയ്ക്കുക. അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക. മുകളിലെ വരയെ 3 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. ഈ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ സമാന്തരവരകൾ വരയ്ക്കുക. അങ്ങനെ, 10 സെന്റിമീറ്റർ വര 3 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുക. ഈ കഷണങ്ങളുടെ നീളം ആരമായി ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. സമഷഡ്ഭുജഭാഗം പൂർത്തിയാക്കുക.
Question 4.
ചുറ്റളവ് 15 സെന്റിമീറ്ററും വീതിയും നീളവും 3 : 4 എന്ന അംശബന്ധത്തിലുമായ ചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
ചുറ്റളവ് = 15 സെന്റിമീറ്റർ
2(നീളം + വീതി) = 15
നീളം + വീതി = 7.5 സെന്റിമീറ്റർ
7.5 സെന്റിമീറ്റർ വരയെ 5:3 അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിച്ചു കിട്ടുന്ന കഷണങ്ങളാണ് നീളവും വീതിയും. 7.5 നീളത്തിൽ വര വരക്കുക. ഈ വരയെ 3:4 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുക. ചതുരം പൂർത്തിയാക്കുക.
Question 5.
ചുവടെപ്പറയുന്ന ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള ത്രികോണം, ചുറ്റളവ് 13 സെന്റിമീറ്ററായി വരയ്ക്കുക.
i) സമഭുജത്രികോണം
ii) വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 3 : 4:5
iii) പാർശ്വവശങ്ങൾ പാദത്തിന്റെ ഒന്നര മടങ്ങായ സമപാർശ്വത്രികോണം.
Answer:
i) 13 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരക്കുക.3 തുല്യഭാഗങ്ങളാക്കുക.
ഈ ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളാകുന്ന ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
ii) 13 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരക്കുക. വര 3:4:5 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുക. ഈ ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളാകുന്ന ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
iii) പാർശ്വവശങ്ങൾ പാദത്തിന്റെ ഒന്നര മടങ്ങായ സമപാർശ്വത്രികോണത്തിൽ, വശങ്ങളുടെ
അംശബന്ധം
2 : 1 : 2: 3 : 2:3
13സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വര വരക്കുക. വര 3:2:3 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിക്കുക. ഈ ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളാകുന്ന ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Question 6.
ഏതു ലംബകത്തിന്റെയും വികർണങ്ങൾ പരസ്പരം മുറിക്കുന്നത് ഒരേ അംശബന്ധത്തിലാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
ABCD ഒരു ലംബകമാണ്.. AC, BD വികർണങ്ങൾ. O യിലൂടെ, AB യ്ക്ക് സമാന്തരമായി EO വരയ്ക്കുക. ഇത് AD യെ E യിൽ തൊടുന്നു.
∆ADC യിൽ,
EO||DC
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{O C}\) ….(1)
ADAB യിൽ,
\(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{O D}\) …….(2)
(1), (2) എന്നിവയിൽ നിന്ന്
\(\frac{A O}{O C}=\frac{B O}{O D}\)
Question 7.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിലെ പച്ച വര, നീല ത്രികോണത്തിന്റെ വലതു വശത്തിനു സമാന്തരമാണ്.
ഈ വര ത്രികോണത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തെ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം കണക്കാക്കുക.
Answer:
നീല ത്രികോണത്തിന്റെ വലതുവശത്തിന് സമാന്തരമാണ് പച്ച വര. അതിനാൽ, താഴത്തെ വശത്തിന്റെയും ഇടത് വശത്തിന്റെയും അംശബന്ധം ഒന്നുതന്നെയാണ്.
താഴത്തെ വശത്തിന്റെ അംശബന്ധം = 3 : 5
∴ ഇടത് വശത്തിന്റെ അംശബന്ധം = 3 : 5
∴ ചെറിയ കഷണത്തിന്റെ നീളം = 6 × \(\frac{3}{8}=\frac{9}{4}\)
= 2.25 സെ.മീ
വലിയ കഷണത്തിന്റെ നീളം = 6 × \(\frac{5}{8}=\frac{15}{4}\)
= 3.75 സെ.മീ
Question 8.
ABCD എന്ന സാമാന്തരികത്തിൽ AB യിലെ P എന്ന ബിന്ദുവിൽക്കൂടി BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരയ്ക്കുന്ന വര, AC യുമായി ൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. Q യിലൂടെ AB യ്ക്കു സമാന്തരമായി വരയ്ക്കുന്ന വര AD യുമായി R ൽ കുട്ടിമുട്ടുന്നു.
i) \(\frac{A P}{P B}=\frac{A R}{R D}\) എന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) \(\frac{A P}{A B}=\frac{A R}{A D}\) എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
(i) ∆ABC, യിൽ PQ || BC
⇒ \(\frac{A Q}{Q C}=\frac{A P}{P B}\) ……… (1)
∆ADC, യിൽ RQ || AP ⇒ RQ\\DC
⇒ \(\frac{A Q}{Q C}=\frac{A R}{R D}\) ……… (2)
(1), (2), ഇവയിൽ നിന്ന്,
Hence proved.
(ii) ∆ABC, യിൽ PQ || BC
⇒ \(\frac{A Q}{A C}=\frac{A P}{A B}\) …… (1)
∆ADC, യിൽ RQ || AP ⇒ RQ || DC
⇒ \(\frac{A Q}{A C}=\frac{A R}{A D}\) …… (2)
(1), (2), ഇവയിൽ നിന്ന്,
\(\frac{A P}{A B}=\frac{A R}{A D}\)
Hence proved.
Question 9.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ ഒരു സാമാന്തരികത്തിന്റെ രണ്ടു മൂലകളെ, രണ്ടു വശങ്ങളുടെ മധ്യ ബിന്ദുക്കളുമായി യോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഈ വരകൾ ചിത്രത്തിലെ വികർണ്ണത്തെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കുന്നു എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ABCD ഒരു സമാന്തരികമാണ്.
P,Q എന്നിവ AB, CD യുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
∴ PB = DQ.
PBQD ഒരു സമാന്തരികമാണ്.
∴ PR||BS, DR||QS
∆ABS, യിൽ PR || BS ⇒ \(\frac{A P}{P B}=\frac{A R}{R S}=\frac{1}{1}\) [∵ AB യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് P]
∆CDR, യിൽ DR || QS ⇒ \(\frac{C Q}{Q D}=\frac{S C}{R S}=\frac{1}{1}\) [∵ CD യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് Q]
∴ AR = RS = SC
∴ PD, BQ വികർണ്ണത്തെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കുന്നു.
Question 10.
ABC എന്ന ത്രികോണത്തിൽ, BC യിലെ P എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ AC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വര യ്ക്കുന്ന വര, AB യുമായി റ യിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. Q ൽ നിന്ന് AP യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വരയ്ക്കുന്ന വര, BC യുമായി R ൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു.
\(\frac{B P}{P C}=\frac{B R}{R P}\) എന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
∆ABP, യിൽ AP || RQ ⇒ \(\frac{B Q}{Q A}=\frac{B R}{R P}\)
∆ABC, യിൽ AC || PQ ⇒ \(\frac{B Q}{Q A}=\frac{B P}{P C}\)
∴ \(\frac{B P}{P C}=\frac{B R}{R P}\)
Question 11.
ചിത്രത്തിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ച് മറ്റൊരു ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നു.
വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്, ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ എത്ര മടങ്ങാണ്? പരപ്പളവോ?
Answer:
വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചു ഒരു ചെറിയ ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നതിനാൽ നാല് ത്രികോണങ്ങളും തുല്യമാണ്.
∆ABC യുടെ ചുറ്റളവ് = AB + BC + AC
∆EDF യുടെ ചുറ്റളവ് = EF + DF + ED
E, D, F എന്നിവ BC, AB, AC എന്നിവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്. അതിനാൽ,
DF || BC, DF = \(\frac{B C}{2}\)
ED || AC, ED = \(\frac{A C}{2}\)
EF || AB, EF = \(\frac{A B}{2}\)
Δ EDF യുടെ ചുറ്റളവ് = \(\frac{A B}{2}+\frac{B C}{2}+\frac{A C}{2}=\frac{1}{2}\) (AB + BC + AC)
∴ വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ മടങ്ങാണ്. നാല് ത്രികോണങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ, അവയുടെ പരപ്പളവും തുല്യമാണ്.
അതുകൊണ്ട്, വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെ 4 ഭാഗമാണ്.
Question 12.
ഈ ചിത്രങ്ങൾ നോക്കൂ:
കടലാസിൽ വെട്ടിയെടുത്ത ഒരു ത്രികോണമാണ് ആദ്യചിത്രം. അതിൽ നിന്ന് വശങ്ങളുടെ മധ്യ ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചുകിട്ടുന്ന നടുവിലെ ചെറിയ ത്രികോണം വെട്ടിമാറ്റിയതാണ് രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം. ഇതിലെ മൂന്നു ത്രികോണങ്ങളിൽനിന്നും ഇതുപോലെ നടുവിലെ ത്രികോണം വെട്ടിമാറ്റിയ താണ് മൂന്നാമത്തെ ചിത്രം.
i) രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിലെ കടലാസിന്റെ പരപ്പളവ്, ആദ്യ ചിത്രത്തിലെ പരപ്പളവിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ്?
ii) മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിലോ?
Answer:
i) ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 1 എന്നെടുക്കുക.
രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ ആദ്യത്തെ ത്രികോണത്തെ 4 തുല്യ ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളാക്കിയിട്ട് ഒരെണ്ണം വെട്ടിമാറ്റി.
രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിന്റെ പരപ്പളവ് (3 ചുവന്ന ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ്) = \(\frac{3}{4}\)
ii) മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ ത്രികോണത്തെ 16 തുല്യ ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് 7 എണ്ണം വെട്ടിമാറ്റി.
ബാക്കിയുള്ളതാണ് ചുവന്ന ഭാഗം.
മൂന്നാമത്തെ ചിത്രത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{16-7}{16}=\frac{9}{16}\)
Question 13.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മട്ടമൂലയും, വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളും മൂലകളായി ഒരു ചതുർഭുജം വരച്ചിരിക്കുന്നു.
i) ഈ ചതുർഭുജം ചതുരമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ്, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെ എത്ര ഭാഗമാണ്?
Answer:
i)
മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മട്ടമൂലയും, വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളും മൂലകളായി ഒരു ചതുർഭുജം വര ച്ചിരിക്കുന്നു.
∠B = 90°
P, Q എന്നിവ AC, BC എന്നിവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
∴ PQ || AB, PQ = \(\frac{1}{2}\) × AB
PQ || AB ⇒ PQ || RB
R എന്ന ബിന്ദു AB യുടെ മധ്യബിന്ദു ആയതിനാൽ
RB = \(\frac{1}{2}\) × AB
PQ = RB
അതുപോലെ, BQ = RP
PQ || RB , ∠Q = 90°
അതുപോലെ, ∠R = ∠P = 90°
∴ എതിർ വശങ്ങൾ തുല്യവും സമാന്തരവുമാണ്. എല്ലാ കോണുകളും 90° ആണ്.
∴ PBR ഒരു ചതുരമാണ്.
(ii) ∆ABC യുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × BC × AB
ചതുരം RPQB യുടെ പരപ്പളവ് = BQ × RB
= \(\frac{1}{4}\) × BC × AB
∴ ചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവിന്റെ \(\frac{1}{4}\) മടങ്ങാണ്.
Question 14.
ചുവടെയുള്ള ആദ്യത്തെ ചിത്രത്തിൽ, ഒരു വരയുടെ മുകളിലെ രണ്ടു കുത്തുകൾ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ച് രണ്ടു ത്രികോണങ്ങൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൽ, ത്രികോണങ്ങളുടെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ച് ഒരു ചതുർഭുജവും:
i) ഈ ചതുർഭുജം സാമാന്തരികമാണെന്നു തെളിയിക്കുക
ii) ഈ ചതുർഭുജം ചുവടെപ്പറയുന്ന ഓരോ രൂപങ്ങളുമാകാൻ, മുകളിലെ കുത്തുകൾ എവിടെ ആയിരിക്കണമെന്ന് വിശദീകരിക്കുക.
a) സമഭുജസാമാന്തരികം
b) ചതുരം
c) സമചതുരം
iii) ഒരു കുത്ത് വരയുടെ മുകളിലും ഒരു കുത്ത് താഴെയുമായി എടുത്താലും ഇതെല്ലാം ശരീയാകുമോ?
Answer:
i) ചിത്രത്തിൽ, AB ഒരു വരയും C, D എന്നിവ ഒരു വശത്തുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുമാണ്. E, F, G, H എന്നിവ യഥാക്രമം AC, BC, BD, AD വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
ഈ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ചതുർഭുജമാണ് EFGH.
HG = \(\frac{1}{2}\)AB and HG| |AB
Also EF = \(\frac{1}{2}\) AB and EF || AB
∴ HG = EF and HG || EF
HG = = AB, HG||AB
∴ EFGH ഒരു സാമാന്തരികമാണ്.
ii)
a) ചിത്രത്തിൽ, AB ഒരു വരയും C, D എന്നിവ AB = CD ആകുന്ന തരത്തിൽ ഒരു വശത്തുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുമാണ്.
(i) ൽ നിന്ന് EFGH ഒരു സാമാന്തരികമാണ്.
HG = EF = \(\frac{1}{2}\)AB
∆ADC, ∆BDC, ൽ
EH = FG = \(\frac{1}{2}\)CD
∵ AB = CD, HG = GF = EF = EH.
∴ EFGH ഒരു സമഭുജസാമാന്തരികമാണ്.
അതിനാൽ ഒരു ‘ സമഭുജസമാന്തരികം ലഭിക്കുന്നതിന്, ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം വരയുടെ നീളത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം.
b)
ചിത്രത്തിൽ, AB ഒരു വരയും C, D എന്നിവ AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുമാണ്. (ii) ൽ നിന്ന് EFGH ഒരു സമഭുജസമാന്തരികമാണ്.
∆ADC, ∆BDC ൽ
EH || CD, FG || CD
CJ AB ക്ക് ലംബമായതിനാൽ, EH ഉം FGയും HG യ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കും. അതിനാൽ EFGH ഒരു ചതുരമാണ്.
അതിനാൽ ഒരു ചതുരം ലഭിക്കുന്നതിന്, ബിന്ദുക്കൾ AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലായിരിക്കണം.
c)
ചിത്രത്തിൽ, AB ഒരു വരയും C, D എന്നിവ AB = CD ആകുന്ന തരത്തിൽ AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളുമാണ്.
ii) b) ൽ നിന്ന് EFGH ഒരു ചതുരമാണ്.
HG = EF = \(\frac{1}{2}\) AB
EH = FG = \(\frac{1}{2}\)CD
∵ AB = CD, HG = GF = EF = EH.
∴ EFGH ഒരു സമചതുരമാണ്.
അതിനാൽ ഒരു സമചതുരം ലഭിക്കുന്നതിന്, ബിന്ദുക്കൾ ലംബസമഭാജിയിൽ ആയിരിക്കണം, കൂടാതെ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം വരയുടെ നീളത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം.
iii)
അതെ.
C,D എന്നീ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾക്ക്, EFGH ഒരു സമാന്തരികം ആയിരിക്കും. C യും D യും തമ്മിലുള്ള അകലം AB യുടെ നീളത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, EFGH ഒരു സമഭുജസമാന്തരികം ആയി
മാറും.
C, D എന്നിവ AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ബിന്ദുക്കളാണെങ്കിൽ, EFGH ഒരു ചതുരമായി മാറും.
C, D എന്നിവ AB യുടെ ലംബസമഭാജിയിലാണെങ്കിൽ, CD = AB ആണെങ്കിൽ EFGH ഒരു സമചതുരമായി
മാറും.
Question 15.
i) ഏതു ചതുർഭുജത്തിന്റെയും വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചു കിട്ടുന്ന ചതുർഭുജം സാമാന്തരികമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) അകത്തെ ചതുർഭുജം ചുവടെപ്പറയുന്ന ഓരോ രൂപങ്ങളുമാകാൻ, ആദ്യത്തെ ചതുർഭുജത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ എന്തായിരിക്കണമെന്നു വിശദീകരിക്കുക.
a) സമഭുജസാമാന്തരികം
b) ചതുരം
c) സമചതുരം
Answer:
i)
ചതുർഭുജം ABCD പരിഗണിക്കുക.
ചതുർഭുജം ABCD യുടെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചു ചതുർഭുജം PQRS രൂപപ്പെടുന്നു.
∆ABD ൽ Q എന്നിവ യഥാക്രമം AD, AB എന്നിവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
PQ||BD, PQ = \(\frac{B D}{2}\)
അതുപോലെ, ABDC ൽ S, R എന്നിവ യഥാക്രമം CD, CB എന്നിവയുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
SR||BD, SR = \(\frac{B D}{2}\)
⇒ PQ||SR, PQ = SR
അതിനാൽ, എതിർ വശങ്ങൾ തുല്യവും സമാന്തരവുമാണ്.
∴ ചതുർഭുജം PQRS ഒരു സമാന്തരികമാണ്.
ii)
a) സമഭുജസമാന്തരികം
ഇത് ഒരു സമഭുജസമാന്തരികം ആകണമെങ്കിൽ വികർണങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കണം. ചതുരത്തിൽ ഈ സവിശേഷത പാലിക്കപ്പെടുന്നു .
b) ചതുരം
ഇത് ഒരു ചതുരമാകണമെങ്കിൽ, വികർണങ്ങൾ ലംബസമഭാജികളായിരിക്കണം . സമഭുജസമാന്തരികത്തിൽ ഈ സവിശേഷത പാലിക്കപ്പെടുന്നു.
c) സമചതുരം
ഇത് ഒരു സമചതുരമാകണമെങ്കിൽ, വികർണങ്ങൾ തുല്യവും ലംബവുമായിരിക്കണം.
അതിനാൽ ഇവിടെ സമചതുരത്തിൽ ഈ സവിശേഷത പാലിക്കപ്പെടുന്നു.
Question 16.
ഒരു മട്ടത്രികോണം വരച്ച്, കർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പാദത്തിലേക്ക് ലംബം വരയ്ക്കുക:
Answer:
i) ഈ ലംബം, വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബത്തിന്റെ പകുതിയാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവിൽനിന്ന് മുന്നു മൂലകളിലേയ്ക്കുമുള്ള അകലം തുല്യമാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
iii) ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്തകേന്ദ്രം, കർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
i) AB യും MN ഉം BC യ്ക്ക് ലംബമാണ്. അതുകൊണ്ട് ഇവ പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്.
AC യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് M. അതിനാൽ BC യുടെ മധ്യബിന്ദുവാണ് N.
MA: MC = NB: NC = 1: 1
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്ന വര മൂന്നാമത്തെ വശത്തിനു സമാന്തരമാണ്, അതിന്റെ നീളം മൂന്നാമത്തെ വശത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
∴ MN = \(\frac{1}{2}\) × AB
ii) MA = MC
NB = NC, BC യ്ക്ക് ലംബമാണ് MN.
ഒരു വരയുടെ അറ്റങ്ങൾ അതിന്റെ ലംബസമഭാജിയിലെ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തി ലാണെന്ന് നമുക്കറിയാം.
= MC = MB
∴ MA = MB = MC.
iii) ത്രികോണത്തിലെ A, B, C എന്നീ മൂലകളിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ് M.
അതുകൊണ്ട് കേന്ദ്രം M ഉം മൂലകളിലേക്കുള്ള ദൂരം ആരവുമായ വൃത്തം അതിന്റെ എല്ലാ മൂലകളി
ലൂടെയും കടന്നുപോകുന്നു.
∴ അത് ത്രികോണം ABC യുടെ പരിവൃത്തമാണ്.
∴ ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്തകേന്ദ്രം, കർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ്
Question 17.
ഏതു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെയും, പരിവൃത്ത കേന്ദ്രം, ലംബകേന്ദ്രം, മധ്യമകേന്ദ്രം ഇവയെല്ലാം ഒരേ ബിന്ദുവാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
ചിത്രത്തിൽ ഒരു സമഭുജത്രികോണം ABC യുടെ പരിവൃത്തം വരച്ചിരിക്കുന്നു.
BC എന്ന വശത്തിന്റെ നടുവരയാണ് AD.
∴ BD = CD
∆ABC, പരിഗണിക്കുക.
AB = AC (സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ)
AD = AD
BD = CD
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD
∴ ∠ADB = ∠ADC
അതുപോലെ, ∠ADB + ∠ADC = 180° (രേഖീയ ജോഡി)
∴ ∆ADB = ∆ADC = 90°
⇒ AD ⊥ BC .
∵ AD ⊥ BC and BD = CD,
ത്രികോണം ABC യുടെ A യിൽ നിന്ന് BC യിലേക്കുള്ള ഉന്നതിയാണ് AD .
CF, BE എന്നിവയും ത്രികോണം ABC യുടെ ഉന്നതികളാണ്.
ഇവയെല്ലാം കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദു പരിവൃത്ത കേന്ദ്രവും, ലംബകേന്ദ്രവും, മധ്യമകേന്ദ്രവും ആണ്.
∴ ഏതു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെയും, പരിവൃത്ത കേന്ദ്രം, ലംബകേന്ദ്രം, മധ്യമകേന്ദ്രം ഇവയെല്ലാം ഒരേ ബിന്ദുവാണ്.
Question 18.
ചിത്രത്തിലെ ത്രികോണത്തെ നടുവരകൾ ആറു ചെറുത്രികോണങ്ങളായി ഭാഗിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഈ ആറു ത്രികോണങ്ങൾക്കും ഒരേ പരപ്പളവാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
AQ, BR, CP നടുവരകളാണ്.
ത്രികോണം APG യുടെ പരപ്പളവ് = x
∴ ത്രികോണം BPG യുടെ പരപ്പളവ് = x (ഒരേ പാദവും ഒരേ ഉയരവും)
അതുപോലെ, ത്രികോണം BQG യുടെ പരപ്പളവ് = y
∴ ത്രികോണം CQG യുടെ പരപ്പളവ് = y
അതുപോലെ, ത്രികോണം CGR യുടെ പരപ്പളവ് = z
∴ ത്രികോണം AGR യുടെ പരപ്പളവ് = 2
ABQ, ACQ എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾക്ക് ഒരേ പാദവും (BQ = QC) ഒരേ ഉയരവുമാണ്. അതുകൊണ്ട് അവ യുടെ പരപ്പളവ് തുല്യമായിരിക്കും.
i.e, x + x + y = y + z + z
2x = 2z
x = z
അതുപോലെ, BCR, BAR എന്നീ ത്രികോണങ്ങളിൽ
y + y + z = x+x+z
2y = 2x
y = x
i.e, x = y = z,
ആറു ത്രികോണങ്ങളും തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ട് അവയുടെ പരപ്പളവും തുല്യമാണ്.
Question 19.
ചിത്രത്തിലെ ത്രികോണത്തിൽ, മധ്യമകേന്ദ്രവും മൂന്നു മൂലകളും യോജിപ്പിച്ച്, ത്രികോണത്തെ മൂന്നു ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളായി ഭാഗിച്ചിരിക്കുന്നു.
Answer:
മൂന്നു ത്രികോണങ്ങൾക്കും ഒരേ പരപ്പളവാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
AG: GP = 2: 1
ത്രികോണം BGP യുടെ പരപ്പളവ് = x
AG = 2 GP, ABG, BGP എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഉയരമാണ്
∴ ത്രികോണം ABG യുടെ പരപ്പളവ് = 2x
അതുപോലെ, BP = CP (AP നടുവരയാണ്)
∴ ത്രികോണം PG യുടെ പരപ്പളവ് = x. =ത്രികോണം AGC യുടെ പരപ്പളവ് = 2x
അതായത്,
ത്രികോണം ABG യുടെ പരപ്പളവ് = 2x ത്രികോണം BGC യുടെ പരപ്പളവ് = x + x = 2x
ത്രികോണം AGC യുടെ പരപ്പളവ് = 2x
∴ മൂന്നു ത്രികോണങ്ങൾക്കും ഒരേ പരപ്പളവാണ്.
Question 20.
ചിത്രത്തിലെ നീലത്രികോണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാണ് ചെറിയ പച്ച ത്രികോണം വരച്ചിരിക്കുന്നത്. ചുവന്ന വര വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു നടുവരയാണ്.
i) ഈ നടുവര, ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മുകൾവശത്തെ സമഭാഗം ചെയ്യുന്നുവെന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ മധ്യമകേന്ദ്രം, ചെറിയ ത്രികോണത്തിന്റെയും മധ്യമകേന്ദ്രമാണന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
P, Q, R വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ ആയതിനാൽ APRQ ഒരു സമാന്തരികം ആണ്. അതിനാൽ വികർണങ്ങൾ പരസ്പരം സമഭാജികൾ ആണ്.
∴ PS = SQ
PQ വിനെ നടുവര AR സമഭാഗം ചെയ്യുന്നു.
ii. B, CR വരയ്ക്കുക. നേരത്തെ ചെയ്തതുപോലെ PM = MR, RN = NQ എന്ന് തെളിയിക്കാം.
PN, QM, SR എന്നിവ ത്രികോണം PQR ന്റെ നടുവരകളാണ്. G ത്രികോണം PQR ന്റെ മധ്യമകേന്ദ്രമാണ്.
P, Q, R എന്നിവ AB, AC, BC എന്നീ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
∴ AR, BQ, CP എന്നിവ നടുവരകളാണ്. ഇവ SR, QM, PN എന്നിവയിലൂടെയാണ്.
AR, BQ, CP എന്നിവ G യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.
അതായത് 6 രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെയും മധ്യമകേന്ദ്രമാണ്.
Question 21.
ചിത്രത്തിൽ, ABC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബകേന്ദ്രമാണ് H.
HBC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബകേന്ദ്രം A ആണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ABC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബകേന്ദ്രമാണ് H എന്ന് തന്നിരിക്കുന്നു.
HBC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബകേന്ദ്രം A ആണെന്നു തെളിയിയ്ക്കണം
അതിനായി ത്രികോണം HBC യുടെ ഓരോ മൂലകളിൽ നിന്നും എതിർ വശങ്ങളിലേയ്ക്ക് ലംബം വരയ്ക്കണം. ഇങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോൾ ത്രികോണം HBC യുടെ B യിൽ നിന്ന് HC യിലേക്കുള്ള ലംബമാണ് BP.
∠BHC ബൃഹത് കോൺ ആണ്.
BP യെ നീട്ടിയാൽ BA കിട്ടും. അതുപോലെ C യിൽ നിന്നുള്ള ലംബമാണ് CA. ചിത്രത്തിൽ BA യും CA യും A യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.
മൂന്നാമത്തെ ലംബം HQ വും A യിലൂടെ കടന്നു പോകുന്നു. അതാണ് AQ.
∴ HBC എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബകേന്ദ്രമാണ് A.
Class 9 Maths Chapter 3 Malayalam Medium Intext Questions and Answers
Question 1.
7 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കുക.
Answer:
6 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരച്ചു, അതിൽ 2 സെന്റീമീറ്റർ ഇടവിട്ട് ലംബങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
ആദ്യത്തെ ലംബത്തിലെ ഏതെങ്കിലുമൊരു ബിന്ദുവിൽനിന്ന് 7 സെന്റീമീറ്റർ ആരമുള്ള വൃത്തഭാഗം വരച്ചു, ഇത് അവസാനത്തെ ലംബത്തെ മുറിക്കുന്ന ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ഈ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ, 7 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയും, അതിന്റെ സമഭാഗങ്ങളുമായി.
Question 2.
10 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കുക.
Answer:
ആദ്യം ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പോലെ വരയ്ക്കുക.
വരകളുടെ അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക. 6 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയെ മൂന്നു സമഭാഗങ്ങളാക്കി ആ ബിന്ദുക്കളിലൂടെ സമാന്തരവരകൾ വരയ്ക്കുക.
ഈ സമഭാഗങ്ങൾ ചേർത്തുവച്ചു ഒരു സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കാം.
അതായത്, ചുറ്റളവ് തന്നിട്ട് സമഭുജത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ ഈ ആശയം ഉപയോഗിക്കാം. 10 സെന്റിമീറ്റർ ചുറ്റളവുള്ള സമചതുരം വരയ്ക്കാൻ, ഈ വരയെ നാലു സമഭാഗങ്ങളാക്കിയാൽ മതി. പാഠപുസ്തകത്തിലെ ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ
Question 3.
ചുറ്റളവ് 30 സെന്റിമീറ്ററും, വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം 5:3 ഉം ആയ ചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
ചുറ്റളവ് = 30 സെന്റിമീറ്റർ
2(നീളം + വീതി) = 30
നീളം + വീതി = 15 സെന്റിമീറ്റർ
15 സെന്റിമീറ്റർ വരയെ 5:3 അംശബന്ധത്തിൽ ഭാഗിച്ചു കിട്ടുന്ന കഷണങ്ങളാണ് നീളവും വീതിയും. ആദ്യം ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നപോലെ വരയ്ക്കുക.
വരകളുടെ അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക, സമാന്തരവര വരയ്ക്കുക.
താഴത്തെ വരയുടെ ഭാഗങ്ങൾ നീളവും വീതിയുമായ ചതുരം വരയ്ക്കുക.
Parallel Lines Class 9 Extra Questions and Answers Malayalam Medium
Question 1.
AB എന്ന പാദം 7 സെ മീ ആകുന്ന തരത്തിൽ ഒരു ത്രികോണം CAB വരയ്ക്കുക. AX = 4.2 സെ.മീ ആകുന്ന തരത്തിൽ AB യിൽ X രേഖപ്പെടുത്തുക. AC എന്ന വര Y യിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്ന തരത്തിൽ X ലൂടെ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായി ആയി XY എന്ന വര വരയ്ക്കുക.
a) ഏകദേശ ചിത്രം വരയ്ക്കുക.
b) ഇവ കണക്കാക്കുക.
(i) \(\frac{A X}{B X}\) and \(\frac{A Y}{C Y}\)
(ii) \(\frac{A B}{A X}\) and \(\frac{A c}{A Y}\)
(iii) \(\frac{A B}{B X}\) and \(\frac{A C}{C Y}\)
Answer:
a)
b)
Question 2.
ചുറ്റളവ് 10.5 സെമീ ആയ ഒരു സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Answer:
10.5 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുക. ഈ വരയെ നാല് തുല്യ ഭാഗങ്ങളാക്കുക. ഈ ഭാഗങ്ങൾ വശങ്ങളായ സമചതുരം വരയ്ക്കുക.
Question 3.
ചുറ്റളവ് 15 സെ മീ ഉം വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം 3:4:5 ഉം ആയ ഒരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
15 സെമീ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുക, അതിനെ 3:4:5 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ വിഭജിക്കുക. ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക. വശങ്ങൾ 3,4,5 ആയതിനാൽ അതൊരു മട്ടത്രികോണം ആയിരിക്കും.
Question 4.
ത്രികോണം ABC യിൽ BC യ്ക്ക് സമാന്തരമായ വര AB യിലും AC യിലും D, E എന്നീ ബിന്ദുക്കളിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു. AE = 4.5 സെ മീ . EC യുടെ നീളം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
\(\frac{2}{5}=\frac{4.5}{E C}\)
EC = 4.5 × \(\frac{5}{2}\) = 11.25 സെമീ.
Question 5.
D, E, F എന്നിവ ത്രികോണം ABC യുടെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളാണ്.
a) BC = 8 സെ മീ ആണെങ്കിൽ, DF ന്റെ നീളം കണ്ടുപിടിക്കുക.
b) ത്രികോണം ABC യുടെ ചുറ്റളവ് 20 സെമീ എങ്കിൽ, ത്രികോണം DEF ന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടുപിടിക്കുക.
c) ത്രികോണം ABC യുടെ പരപ്പളവ് 16 ച സെമീ എങ്കിൽ, ത്രികോണം DEF ന്റെ പരപ്പളവ് കണ്ടുപിടി ക്കുക.
Answer:
a) DF = \(\frac{B C}{2}=\frac{8}{2}\) = 4 സെ മീ
b) ത്രികോണം ABC യുടെ ചുറ്റളവ് = 20 സെമീ
∴ ത്രികോണം DEF ന്റെ ചുറ്റളവ് = \(\frac{20}{2}\) = 10 സെമീ
c) ത്രികോണം ABC യുടെ പരപ്പളവ് = 16 ച സെമീ
∴ ത്രികോണം DEF ന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{16}{4}\) = 4 സെമീ
Question 6.
ABC എന്നത് ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്. P, Q, R എന്നിവ ത്രികോണം ABC യുടെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദു ക്കളാണ്. PR = 3 സെമീ, PO = 4 സെമീ.
a) QR ന്റെ നീളം എത്ര?
b) ത്രികോണം ABC യുടെ വശങ്ങൾ എത്ര?
c) PQBR ന് അനുയോജ്യമായ പേര് നിർദ്ദേശിക്കാമോ?
Answer:
a) APQR ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്.
∴ QR = \(\sqrt{P Q^2+P R^2}\)
= \(=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}\) = 5 സെമീ
b) ത്രികോണം ABC യുടെ വശങ്ങൾ
AB = 2 × PQ = 2 × 4 = 8 സെമീ
BC = 2 × PR = 2 × 3 = 6 സെമീ
AC = 2 × QR = 2 × 5 = 10 സെമീ
c) ചതുരം