When preparing for exams, Kerala SCERT Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Malayalam Medium സദൃശത്രികോണങ്ങൾ can save valuable time.
Kerala SCERT Class 9 Maths Chapter 6 Solutions Malayalam Medium സദൃശത്രികോണങ്ങൾ
Class 9 Maths Chapter 6 Kerala Syllabus Malayalam Medium
Class 9 Maths Chapter 6 Malayalam Medium Textual Questions and Answers
Question 1.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശം 8 സെ.മീ. ഉം അതിലെ രണ്ട് കോണുകൾ 60° യും 70° യും ആണ്. കോണുകൾ മാറാതെ വശങ്ങൾ ഇതിന്റെ ഒന്നരമടങ്ങായ ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
8 ന്റെ ഒന്നരമടങ്ങ് = 8 × 1.5 = 12
ഒരു വശം 12 സെ.മീ. ഉം അതിലെ രണ്ട് കോണുകൾ 60° യും 70° യും ആയ ത്രികോണം വരച്ചാൽ നമ്മളോടു ചോദിച്ച ത്രികോണം കിട്ടും. അതിനായി,
12.സെ.മീ. നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കുക.
വരയുടെ ഒരറ്റത്തുനിന്ന് 60° യും മറ്റേ അറ്റത്തുനിന്ന് 70° യും അളന്നെടുക്കുക.
Question 2.
മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മട്ടമൂലയിൽനിന്ന് കർണ്ണത്തിലേക്കു വരയ്ക്കുന്ന കർണ്ണത്തിനെ 2 സെന്റിമീറ്ററും, 3 സെന്റിമീറ്ററും നീളമുള്ള ഭാഗങ്ങളാക്കുന്നു.
i) ലംബം മുറിച്ചുണ്ടാകുന്ന രണ്ടു ചെറിയ മട്ടത്രികോണങ്ങൾക്കും ഒരേ കോണുകളാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
ii) ലംബത്തിന്റെ ഉയരം h എന്നെടുത്താൽ \(\frac{h}{2}=\frac{3}{h}\) എന്നു തെളിയിക്കുക
iii) വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ ലംബവശങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
iv) ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ മട്ടമൂലയിൽ നിന്നു കർണ്ണത്തിലേക്കു വരയ്ക്കുന്ന ലംബത്തിന്റെ നീളം h എന്നും, അത് കർണ്ണത്തെ മുറിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം a, b എന്നുമെടുത്താൽ h² = ab എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
i) തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിനെ ABC എന്നും മട്ടമല്ലാത്ത ഒരു കോണിനെ x എന്നും എടുത്താൽ തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണം താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നുതു പോലെ ആകും.
∆ADC പരിഗണിക്കുക.
∠A = X
∠ADC = 90° (AD ലംബമായതുകൊണ്ട്)
∠A + ∠ADC + ∠ACD = 180°
∠ACD = 180° – ∠A – ∠ADC
= 180° – x – 90°
= 90° – x
∆BDC പരിഗണിക്കുക.
∠BDC = 90° (AD ലംബമായതുകൊണ്ട്)
∠BCD + ∠ACD = 90° (∠ACB മട്ടമായതുകൊണ്ട്)
∠BCD = 90° – ∠ACD
= 90° – (90° – x)
= x
∠BDC + ∠BCD + ∠B = 180°
∠B = 180° – BDC – BCD
= 180°- 90° – x
= 90° – x
∴ ലംബം മുറിച്ചുണ്ടാകുന്ന രണ്ടു ചെറിയ മട്ടത്രികോണങ്ങൾക്കും ഒരേ കോണുകളാണ്.
ii)
x ന് എതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ: h, 3.
\(\frac{∆ADC ലെ വശം}{∆BDC ലെ വശം}\) = \(\frac{h}{3}\)
90° – x ന് എതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ: 2, h.
\(\frac{∆ADC ലെ വശം}{∆BDC ലെ വശം}\) = \(\frac{2}{h}\)
∴ \(\frac{h}{3}=\frac{2}{h}\)
iii) \(\frac{h}{3}=\frac{2}{h}\) ⇒ h² = 6
⇒ h = √66m.øl.
∆ADC പരിഗണിക്കുക.
AC² = AD² + DC²
= 2² + (√6)²
= 4 + 6
= 10
AC = √10 സെ.മീ.
∆BDC പരിഗണിക്കുക.
BC² = BD² + DC²
BC = 3² + (√6)²
= 9 + 6
= 15
= √15 സെ.മീ.
വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബ വശങ്ങളുടെ നീളം = √10 സെ.മി, √15 സെ.മി.
iv)
∆BDC യും ∆ADC യും പരിഗണിക്കുക.
ഒരേ കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളിൽ, തുല്യമായ കോണുകൾക്കെതിരെയുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളം മാറുന്നത് ഒരേ തോതിലാണ്. ആയതിനാൽ,
\(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{~b}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{~h}}\)
h² = ab
Question 3.
വിലങ്ങനെയുള്ള ഒരു വരയുടെ രണ്ടറ്റത്തും ഒരേ വലുപ്പമുള്ള കോണുകൾ മുകളിലും താഴെയുമായി വരച്ച്, ചരിഞ്ഞ വരകളിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുന്നു.
i) വിലങ്ങനെയുള്ള (നീല) വരയുടെ ഭാഗങ്ങളും, ചരിഞ്ഞ (ചുവന്ന) വരയുടെ ഭാഗങ്ങളും ഒരേ അംശബന്ധത്തിലാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) വിലങ്ങനെയുള്ള വരയുടെ രണ്ടറ്റത്തുമുള്ള ചരിഞ്ഞ പച്ച വരകൾ തമ്മിലുള്ള അംശ ബന്ധവും ഇതുതന്നെയാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
iii) ഇതുപയോഗിച്ച്, 6 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള വരയെ 3 : 4 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ എങ്ങനെ ഭാഗിക്കും?
Answer:
i)
\(\frac{A M}{M B}=\frac{C M}{M D}\) എന്നാണ് നമുക്ക് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
അതിനായി, ∆ACM ഉം ∆BDM ഉം പരിഗണിക്കുക.
∠A = <B
∠AMC = ∠BMD (എതിർകോണുകൾ)
∠C = ∠D
∠A ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = CM
∠B ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = MD
∠C ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = AM
∠D ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = BM
ഒരേ കോണുകളുള്ള രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യമായ കോണുകൾക്കെതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ
ജോടികളായെടുത്താൽ, മൂന്നു ജോടികളിലും
ഒരേ
സംഖ്യയായിരിക്കും. ആയതിനാൽ, \(\frac{C M}{M D}=\frac{A M}{M B}\)
⇒ \(\frac{A M}{M B}=\frac{C M}{M D}\)
⇒ AM: MB = CM:MD
ii) \(\frac{A C}{B D}=\frac{A M}{M B}\) എന്നാണ് നമുക്ക് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
അതിനായി, ∆ACM ഉം ∆BDM ഉം പരിഗണിക്കുക.
∠A = ∠B
∠AMC = ∠BMD (എതിർകോണുകൾ)
∠C = ∠D
∠C ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = AM
∠D ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = MB
∠AMC ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = AC
∠BMD ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = BD
ഒരേ കോണുകളുള്ള രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യമായ കോണുകൾക്കെതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ
ജോടികളായെടുത്താൽ, മൂന്നു ജോടികളിലും
ഒരേ
സംഖ്യയായിരിക്കും. ആയതിനാൽ, \(\frac{A C}{B D}=\frac{A M}{M B}\)
⇒ AC : BD = AM : MB
iii) 6 സെ.മീ നീളമുള്ള ഒരു വര വിലങ്ങനെ വരയ്ക്കുക. വരയുടെ രണ്ടറ്റത്തും ഒരേ വലുപ്പമുള്ള കോണുകൾ മുകളിലും താഴെയുമായി വരയ്ക്കുക. മുകളിലെ ചെരിഞ്ഞ വരയിൽ 3 സെ.മീ അകലത്തിൽ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. താഴെയുള്ള ചെരിഞ്ഞ വരയിൽ 4 സെ.മീ അകലത്തിൽ ഒരു ബിന്ദു അടയാളപ്പെടുത്തുക. ചരിഞ്ഞ വരകളിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുക.
M എന്ന ബിന്ദു AB യെ 3:4 എന്ന അംശബന്ധത്തിൽ മുറിക്കുന്നു.
Question 4.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ മട്ടമൂലയും, മൂന്നു വശങ്ങളിലെയും ഓരോ ബിന്ദുക്കളും മൂലകളായി ഒരു സമചതുരം വരച്ചിരിക്കുന്നു.
i) സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുക.
ii) വശങ്ങളുടെ നീളം 3, 4, 5 സെന്റിമീറ്ററായ മട്ടത്രികോണത്തിൽ ഇങ്ങനെ വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം എത്ര സെന്റിമീറ്ററാണ്?
Answer:
i)
∆APQ ഉം ∆ABC ഉം പരിഗണിക്കുക.
P = B = 900
∠PQA = ∠BCA CPO ഉം BC ഉം സമാന്തരവരകൾ)
∴ ∠A = ∠A
∠A ക്ക് എതിരെ ∆APD ൽ ഉള്ള വശം = PQ
∠A ക്ക് എതിരെ ∆ABC ൽ ഉള്ള വശം = BC
∠PQA ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = AP
∠BCA ക്ക് എതിരെയുള്ള വശം = AB
ഒരേ കോണുകളുള്ള രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യമായ കോണുകൾക്കെതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ
ജോടികളായെടുത്താൽ, മൂന്നു ജോടികളിലും
ഒരേ
സംഖ്യയായിരിക്കും. ആയതിനാൽ, \(\frac{P Q}{B C}=\frac{A P}{A B}\)
സമചതുരം BRQP യുടെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം x എന്ന് എടുത്താൽ
\(\frac{x}{x+1}=\frac{2}{x+2}\)
x(x + 2) = 2(x + 1)
x² + 2x = 2x + 2
x² = 2
x = √2
സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം = √2 സെ.മീ.
ii) AB = 4 സെ.മീ, BC = 3 സെ.മീ, AC = 5 സെ.മീ എന്ന് തന്നിരിക്കുന്നു. സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം x എന്നെടുത്താൽ,
\(\frac{P Q}{B C}=\frac{A P}{A B}\)
⇒ \(\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}\)
4x = 3(4 – x)
4x = 12 – 3x
7x = 12
x = \(\frac{12}{7}\)
സമചതുരത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം = \(\frac{12}{7}\) സെ.മീ.
Question 5.
ചിത്രത്തിലെ വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.
Answer:
BM = h എന്നെടുക്കുക.
h² = AM × MC
= 9 × 4
= 36
h = √36 = 6 സെ.മീ.
∆ABC യുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × AC × h
= \(\frac{1}{2}\) x 13 × 6
= 39 ചതു.സെ.മീ
Question 6.
3 മീറ്ററും 2 മീറ്ററും ഉയരമുള്ള രണ്ടു കമ്പുകൾ കുത്തനെ നിലത്തു നാട്ടി, ഒരോ കമ്പിന്റെയും മുകളറ്റത്തുനിന്ന് മറ്റെ കമ്പിന്റെ ചുവട്ടിലേക്ക് കയർ വലിച്ചു കെട്ടിയിരിക്കുന്നു:
i) കയറുകൾ പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കുന്നത്, നിലത്തുനിന്ന് എത്ര ഉയരത്തിലാണ്?
ii) കമ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള അകലം എത്രയായാലും ഈ ഉയരം മാറുന്നില്ല എന്നു തെളിയിക്കുക.
iii) കമ്പുകളുടെ നീളം a, b എന്നും, കയറുകൾ മുറിച്ചുകടക്കുന്ന സ്ഥാനത്തിന്റെ ഉയരം h എന്നുമെടുത്ത്, a, b, h ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
i)
∆ADB യും ∆FEB പരിഗണിക്കുക.
∠DAB = ∠EFB (രണ്ടും 90°
∠ABD = ∠FBE (രണ്ടും ഒന്നാണ്)
അതിനാൽ < ADB = < FEB
ഒരേ കോണുകളുള്ള രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യമായ കോണുകൾക്കെതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ
ജോടികളായെടുത്താൽ, മൂന്നു ജോടികളിലും
ഒരേ
സംഖ്യയായിരിക്കും. ആയതിനാൽ, \(\frac{3}{h}=\frac{x+y}{y}\)
\(\frac{h}{3}=\frac{y}{x+y}\) ….(1)
ഇതുപോലെ AABC യും AFEA യും പരിഗണിച്ചാൽ,
\(\frac{2}{h}=\frac{x+y}{x}\)
\(\frac{\mathrm{h}}{2}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}\) ……(2)
(1) + (2) → \(\frac{h}{3}+\frac{h}{2}=\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y}\)
h[latex]\frac{1}{3}+\frac{1}{2}[/latex] = 1
h × \(\frac{5}{2}\) = 1
h = \(\frac{6}{5}\)
∴ കയറുകൾ പരസ്പരം മുറിച്ചുകടക്കുന്നത്, നിലത്തുനിന്ന് \(\frac{6}{5}\) ഉയരത്തിലാണ്.
ii) നിലത്തുനിന്നുള്ള ഉയരം കമ്പുകളുടെ ഉയരത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, കമ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള അകലം എത്രയായാലും ഈ ഉയരം മാറുന്നില്ല.
iii)
∆ADB യും ∆FEB യും പരിഗണിക്കുക.
∠DAB = ∠EFB (രണ്ടും 909)
∠ADB = ∠FEB
∴ ∠ABD = ∠FBE
ഒരേ കോണുകളുള്ള രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യമായ കോണുകൾക്കെതിരെയുള്ള വശങ്ങൾ
ജോടികളായെടുത്താൽ, മൂന്നു ജോടികളിലും
ഒരേ
സംഖ്യയായിരിക്കും. ആയതിനാൽ, \(\)
\(\frac{h}{a}=\frac{y}{x+y}\) ………. (1)
ഇതുപോലെ ∆ABC യും ∆FEA യും പരിഗണിച്ചാൽ,
\(\frac{b}{h}=\frac{x+y}{x}\)
\(\frac{b}{h}=\frac{x}{x+y}\) …….. (2)
(1) + (2) \(\frac{h}{a}+\frac{h}{b}=\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y}\)
h\(\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right]\) = 1
\(\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right]=\frac{1}{h}\)
Question 7.
ചിത്രത്തിൽ ABC എന്ന ത്രികോണത്തിലെ ∠A യുടെ സമഭാജിയാണ് AP:
i) ABP എന്ന ത്രികോണത്തിനും, CPO എന്ന ത്രികോണത്തിനും ഒരേ കോണുകളാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
ii) \(\frac{B P}{P C}\) കണക്കാക്കുക.
iii) ഏതു ത്രികോണത്തിലും ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി എതിർവശത്തെ മുറിക്കുന്നത്, കോൺ ഉൾപ്പെടുന്ന വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധത്തിലാണ് എന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
i) ∠BAP = ∠CAP (∠A യുടെ സമഭാജിയാണ് AP)
∠APB = ∠CPQ … (1)
∆ACQ സമഭുജ ത്രികോണമായതുകൊണ്ട്, ∠CAP = ∠AQC = x
∆APB യും ∆CPQ യും പരിഗണിക്കുക.
∠BAP = ∠CQP
∠APB = ∠CPQ
∴ ∠ABP = ∠PCQ
∴ ABP എന്ന ത്രികോണത്തിനും, CPQ എന്ന ത്രികോണത്തിനും ഒരേ കോണുകളാണ്.
ii) ∆APB ലെയും ∆CPO ലെയും എല്ലാ കോണുകളും തുല്യമായതിനാൽ അവ സദൃശ
ത്രികോണങ്ങളാണ്. അതിനാൽ, \(\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=\frac{5}{3}\)
iii)
∠A യുടെ സമഭാജിയാണ് AP.
P യിൽ നിന്ന് AB ലേക്കും AC ലേക്കും ഓരോ ലംബങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
∆AQP യും ∆ARP യും പരിഗണിക്കുക.
∠QAP = ∠RAP (∠A യുടെ സമഭാജിയാണ് AP)
∠AQP = ∠ARP = 90°
<QPA = ∠RPA (രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളിലെ രണ്ടു കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തെ കോണുകളും തുല്യമായിരിക്കും.) (പൊതുവായ വശം)
AP = AP
∴ ∆AQP = ∆ARP
PQ = PR = h എന്നെടുത്താൽ,
∆ABP യുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × AB × h
∆ACP യുടെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × AC × h
പരപ്പളവുകളുടെ അംശബന്ധം = \(\frac{1}{2}\) × AB × h: \(\frac{1}{2}\) × AC × h
= AB: AC
BP: PC = ∆ABP യുടെ പരപ്പളവ് – ∆APC യുടെ പരപ്പളവ്
= \(\frac{1}{2}\)AB × h : \(\frac{1}{2}\) × AC × h
= AB: AC
∴ ഏതു ത്രികോണത്തിലും ഒരു കോണിന്റെ സമഭാജി എതിർവശത്തെ മുറിക്കുന്നത്, കോൺ ഉൾപ്പെടുന്ന വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധത്തിലാണ്.
Question 8.
ചുവടെ വരച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ അതേ കോണുകളും, വശങ്ങളുടെ നീളം 1- മടങ്ങുമായ ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
“കോണുകൾ മാറാതെ ഒരു ത്രികോണം ചെറുതോ വലുതോ ആക്കി മാറ്റാൻ, കോണുകൾ അളക്കണമെന്നില്ല; വശങ്ങൾ ഒരേ തോതിൽ മാറ്റിയാൽ മതി” എന്ന് നമുക്കറിയാം.
8 ന്റെ 1\(\frac{1}{4}\) മടങ്ങ് = 8 × 1\(\frac{1}{4}\) = 8 × \(\frac{5}{4}\) = 10 സെ.മീ
4 ന്റെ 1\(\frac{1}{4}\) മടങ്ങ് = 4 × 1\(\frac{1}{4}\) = 4 × \(\frac{5}{4}\) = 5 സെ.മീ
∆ABC വരയ്ക്കുക. ഇതിൽ AB = 8 സെ.മീ , BC = 6 സെ.മീ, AC = 4 സെ.മീ ആയിരിക്കും
AC യുടെ നീളം 1 സെ.മീ, AB യുടെ നീളം 2 സെ.മീ വീതം കൂട്ടി വരച്ച് D, E അടയാളപ്പെടുത്തുക.
∆ADE വരയ്ക്കുക.
Question 9.
ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ ചിത്രം ചുവടെയുണ്ട്.
i) ഇതേ കോണുകളും, വശങ്ങളുടെ നീളമെല്ലാം 1\(\frac{1}{2}\) മടങ്ങുമായ ചതുർഭുജം വരയ്ക്കുക.
ii) കോണുകൾ വ്യത്യസ്തവും, വശങ്ങളുടെയെല്ലാം നീളം ഇതിലെ വശങ്ങളുടെ 1\(\frac{1}{2}\) മടങ്ങുമായ ഒരു ചതുർഭുജം വരയ്ക്കുക.
Answer:
4 × 1\(\frac{1}{4}\) = 4 × \(\frac{3}{2}\) = 6 സെ.മീ
5 × 1\(\frac{1}{2}\) = 5 × \(\frac{3}{2}\) = 7\(\frac{1}{2}\) സെ.മീ
6 × 1\(\frac{1}{2}\) = 6 × \(\frac{3}{2}\) = 9 സെ.മീ
ചതുർഭുജം ABCD വരയ്ക്കുക. ഇതിൽ AB = 6 സെ.മീ, BC = 3 സെ.മീ, CD = 2 സെ.മീ, AD 4സെ.മീ ആയിരിക്കും
AD യുടെ നീളം 2 സെ.മീ, AC യുടെ നീളം 2.5 സെ.മീ, AB യുടെ നീളം 3 സെ.മീ വീതം കൂട്ടിവരച്ച് E, F, G അടയാളപ്പെടുത്തുക.
ചതുർഭുജം ∆GFE വരയ്ക്കുക.
ii) “വശങ്ങളുടെ നീളം മാറാതെ കോണുകൾ വ്യത്യസ്തമായ ചതുർഭുജം വരക്കുന്നതിന് അതിന്റെ വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം മാറ്റിയാൽ മതി”.
4 ന്റെ 1\(\frac{1}{2}\) മടങ്ങ് = 4 × 1\(\frac{1}{2}\) = 4 × \(\frac{3}{2}\) = 6 സെ.മീ
2 ന്റെ 1\(\frac{1}{2}\) മടങ്ങ് = 2 × 1\(\frac{1}{2}\) = 2 × \(\frac{3}{2}\) = 3 സെ.മീ
3 ന്റെ 1\(\frac{1}{2}\) മടങ്ങ് = 3 × 1\(\frac{1}{2}\) = 3 × \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) = 4.5 സെ.മീ
6 ന്റെ 1\(\frac{1}{2}\) മടങ്ങ് = 6 × 1\(\frac{1}{2}\) = 6 × 2\(\frac{3}{2}\) = 9 സെ.മീ
വികർണ്ണത്തിന്റെ നീളം = 8.5 സെ.മീ
Question 10.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 6 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ ഓരോ വശത്തിന്റെയും നാല് മടങ്ങ് വശമായിട്ടുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്? ഓരോ വശവും പകുതിയാണെങ്കിലോ?
Answer:
“ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെല്ലാം ഒരേ തോതിൽ വലുതാക്കുകയോ ചെറുതാക്കുകയോ ചെയ്താൽ, പരപ്പളവ് മാറുന്ന തോത്, വശങ്ങൾ മാറുന്ന തോതിന്റെ വർഗമാണ്” എന്ന് നമുക്കറിയാം. വശങ്ങൾ 4 മടങ്ങാക്കിയാൽ:
വശങ്ങൾ മാറുന്ന തോത് = 4
പരപ്പളവ് മാറുന്ന തോത് = 4² = 16
ആദ്യത്തെ പരപ്പളവ് = 6 ച.സെ.മീ
രണ്ടാമത്തെ പരപ്പളവ് = 6 × 16 = 96 ച.സെ.മീ
വശങ്ങൾ പകുതിയാക്കിയാൽ:
വശങ്ങൾ മാറുന്ന തോത് = \(\frac{1}{2}\)
പരപ്പളവ് മാറുന്ന തോത് = (\(\frac{1}{2}\))² = \(\frac{1}{4}\)
ആദ്യത്തെ പരപ്പളവ് = 6 ച.സെ.മീ
രണ്ടാമത്തെ പരപ്പളവ് = 6 × \(\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\) ച.സെ.മീ
പാഠപുസ്തകത്തിലെ ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ
Question 11.
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബ വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാണെങ്കിൽ, അവയുടെ കർണ്ണങ്ങളിലെ മാറ്റവും ഇതേ തോതിലാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബ വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാണെന്ന് തന്നിരിക്കുന്നു. രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളിലും ലംബവശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ തുല്യമാണ് (രണ്ടും 90).
“രണ്ടു വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലും, അവയുടെ ഇടയിലെ കോണുകൾ തുല്യവും ആയ ത്രികോണങ്ങളിൽ മൂന്നാം വശങ്ങളിലെ മാറ്റവും ഇതേ തോതിലാണ്” എന്ന് നമുക്കറിയാം.
ഇവിടെ മൂന്നാമത്തെ വശം കർണ്ണമാണ്. ആയതിനാൽ, രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബ വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാണെങ്കിൽ, അവയുടെ കർണ്ണങ്ങളിലെ മാറ്റവും ഇതേ തോതിലാണ്.
Question 12.
രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും രണ്ടു വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ വശങ്ങളിലെ മാറ്റവും ഇതേ തോതിലാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
AC, PR എന്നീ വശങ്ങളിലെ മാറ്റവും BC, QR എന്നീ വശങ്ങളിലെ മാറ്റവും ഒരേ തോതിലാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക.
⇒ \(\frac{A C}{P R}=\frac{B C}{Q R}\)
\(\frac{A C}{P R}\) = k എന്നും \(\frac{B C}{Q R}\) = k എന്നും എടുത്താൽ,
AC = kPR എന്നും BC = kQR എന്നും കിട്ടും.
പൈഥാഗറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്,
AB² = AC² – BC²
AB = \(\sqrt{\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}\)
= \(\sqrt{(k P R)^2-(k Q R)^2}\)
= \(\sqrt{k^2\left(P R^2-Q R^2\right)}\)
= k\(\sqrt{P R^2-Q R^2}\)
= k\(\sqrt{P Q^2}\)
= KPQ
⇒ \(\frac{A B}{P Q}\) = k
⇒ രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും രണ്ടു വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ വശങ്ങളിലെ മാറ്റവും ഇതേ തോതിലാണ്.
Question 13.
ഒരു ത്രികോണം വരച്ച്, അതിനുള്ളിൽ ഒരു കുത്തിടുക. ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകൾ ഈ കുത്തുമായി യോജിപ്പിച്ചു വരയ്ക്കുക. ഈ വരകളോരോന്നും അവയുടെ പകുതി കൂടി പുറത്തേക്ക് നീട്ടി, അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിക്കുക:
ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെല്ലാം, ആദ്യത്തെ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ ഒന്നര മടങ്ങാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
ചോദ്യത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾ എല്ലാം സംയോജിപ്പിച്ചാൽ നമുക്ക് താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചിത്രം ലഭിക്കും.
∆BDC യും ∆QDR യും പരിഗണിക്കുക.
രണ്ടു ത്രികോണത്തിലും ∠D പൊതുവാണ്.
∆BDC ൽ ∠D ക്ക് ഇടത്തുള്ള വശം = BD = 2x
∆QDR ൽ ∠D ക്ക് ഇടത്തുള്ള വശം = QD = 3x
\(\frac{Q D}{B D}=\frac{2 x}{3 x}=\frac{3}{2}\)
∆BDC ൽ LD ക്ക് വലത്തുള്ള വശം = CD = 2y
∆QDR ൽ LD ക്ക് വലത്തുള്ള വശം = RD = 3y
\(\frac{R D}{C D}=\frac{2 y}{3 y}=\frac{3}{2}\)
രണ്ടു വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാകുകയും, അവയുടെയിടയിൽ ഒരേ കോൺ ആയിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ അവ സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, ABDC യും AQDR യും സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്. അതിനാൽ,
\(\frac{Q R}{B C}=\frac{3}{2}\) … (1)
ഇതുപോലെ, ACAD, ARPD സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കാം. അതിനാൽ,
\(\frac{\mathrm{RP}}{\mathrm{CA}}=\frac{3}{2}\) … (2)
ഇതുപോലെ, AABD, APOD സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് കാണിക്കാം. അതിനാൽ,
\(\frac{P Q}{A B}=\frac{3}{2}\)… (3)
(1), (2), (3) = വലിയ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെല്ലാം, ആദ്യത്തെ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ ഒന്നര മടങ്ങാണ്.
Question 14.
ഒരു ചതുർഭുജത്തിനകത്തെ ഒരു ബിന്ദുവും ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകളും യോജിപ്പിക്കുന്ന വരകൾ, ഒരേ തോതിൽ പുറത്തേക്കു നീട്ടുന്നു; ഈ വരകളുടെ അറ്റങ്ങൾ യോജിപ്പിച്ച് മറ്റൊരു ചതുർഭുജമുണ്ടാക്കുന്നു.
(i) വലിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, ചെറിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ഒരേ തോതിൽ വലുതാക്കിയതാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
(ii) രണ്ടു ചതുർഭുജങ്ങൾക്കും ഒരേ കോണുകളാണെന്നു തെളിയിക്കുക.
Answer:
(i)
\(\frac{D S}{O D}=\frac{C R}{O C}=\frac{B Q}{O B}=\frac{A P}{O A}\) = k
⇒ OS = (1 + k)OD
OP = (1 + k)OA
OQ = (1 + k)OB
OR = (1 + k)OC
∆OAB യും ∆OPQ യും പരിഗണിക്കുക.
രണ്ടു ത്രികോണത്തിലും 20 പൊതുവാണ്.
∆OAB ൽ 20 ക്ക് ഇടത്തുള്ള വശം = OA
∆OPQ ൽ 20 ക്ക് ഇടത്തുള്ള വശം = OP = (1 + k)OA
\(\frac{O P}{O A}=\frac{(1+k) O A}{O A}\) = 1 + k
∆OAB ൽ 20 ക്ക് വലത്തുള്ള വശം = OB
∆OPQ ൽ 20 ക്ക് വലത്തുള്ള വശം OQ = (1 + k)OB
\(\frac{O Q}{O B}=\frac{(1+k) O B}{O B}\) = 1 + k
രണ്ടു വശങ്ങളിലെ മാറ്റം ഒരേ തോതിലാകുകയും, അവയുടെയിടയിൽ ഒരേ ആയിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ അവ സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ,
∆OAB യും ∆OPQ യും സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്. … (1)
⇒ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\) = 1 + k
ഇതുപോലെ,
∆OBC യും ∆OQR യും സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്. … (2)
⇒ \(\frac{B C}{Q R}\) = 1 + k
∆OCD യും ∆ORS യും സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്. … (3)
⇒ \(\frac{C D}{R S}\) = 1 + k
∆ODA യും ∆OSP യും സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്. … (4)
⇒ \(\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{SP}}\) = 1 + k
∴ വലിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, ചെറിയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളെ ഒരേ തോതിൽ വലുതാക്കിയതാണ്.
(ii) (1), (2), (3), (4) ⇒ രണ്ടു ചതുർഭുജങ്ങൾക്കും ഒരേ കോണുകളാണ്.
Similar Triangles Class 9 Extra Questions and Answers Malayalam Medium
Question 1.
ചിത്രത്തിൽ ∠Q = 90, QR = 5 സെ.മീ, SR = 3 സെ.മീ ആകുന്നു. QS ഉം PR ഉം പരസ്പരം ലംബമാണ്.
a) QS ന്റെ നീളമെത്ര?
b) PS ന്റെ നീളമെത്ര?
Answer:
a) ∆SQR മട്ടത്രികോണമാണ്.
QS² = QR² – SR²
= 5² – 3²
= 25 – 9
= 16
∴ QS = √16 = 4 സെ.മീ
b) PS × SR = QS²
PS × 3 = 4²
PS = \(\frac{16}{3}\) സെ.മീ
Question 2.
6 സെന്റീമീറ്റർ വശമുള്ള ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ഇതിന്റെ ഒന്നരമടങ്ങ് വരുന്ന മറ്റൊരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
6 ന്റെ ഒന്നരമടങ്ങ് = 6 × \(\frac{3}{2}\) = 9
Question 3.
ചിത്രത്തിൽ POR, QST മട്ട ത്രികോണങ്ങളാണ്. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ QR × QS = QP × QT എന്ന് തെളിയിക്കുക.
Answer:
∆PQR യും ∆QST യും സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്.
⇒ \(\frac{\mathrm{QP}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QT}}\)
QP × QT = QR × QS
Question 4.
90 സെ.മീ ഉയരമുള്ള ഒരു ആൺകുട്ടി ഒരു വിളക്കുതൂണിന്റെ അടിയിൽ നിന്ന് 1.2 മീറ്റർ/സെക്കന്റ് വേഗതയിൽ നടക്കുന്നു. വിളക്ക്, ഭൂമിയിൽ നിന്ന് 3.6 m ഉയരത്തിലാണെങ്കിൽ സെക്കൻഡുകൾക്ക് ശേഷം കുട്ടിയുടെ നിഴലിന്റെ നീളം കണ്ടുപിടിക്കുക.
Answer:
ആൺകുട്ടിയുടെ ഉയരം = 90 സെ.മീ = 0.9 മീ
വിളക്കുതൂണിന്റെ ഉയരം = 3.6 മീ
ആൺകുട്ടിയുടെ വേഗം 1.2 മീറ്റർ/സെക്കന്റ്
4 സെക്കൻഡുകൾക്ക് ശേഷം വിളക്കുതൂണിൽ നിന്നും കുട്ടിയുടെ അകലം = 1.2 × 4 = 4.8 മീറ്റർ/സെക്കന്റ്
∆DAB ഉം ∆DEC ഉം സദൃശ ത്രികോണങ്ങളാണ്. അതിനാൽ
\(\frac{A B}{E C}=\frac{B D}{C D}\)
CD = x എന്നെടുത്താൽ,
\(\frac{3.6}{0.9}=\frac{4.8+x}{x}\)
4 = \(\frac{4.8+x}{x}\)
4x = 4.8 + x
3x = 4.8
x = \(\frac{4.8}{3}\) = 1.6 മീ
Question 5.
ചിത്രത്തിൽ ABCD ഒരു ചതുരമാണ്. BC = 24 സെ.മീ, DP = 10 സെ.മീ, CD = 15 സെ.മീ ആണെങ്കിൽ, AQ ഉം CQ ഉം കണ്ടെത്തുക.
Answer:
BC = 24 സെ.മീ ⇒ AD = 24 സെ.മീ (ABCD ചതുരമായതുകൊണ്ട്)
∆APD ളം ∆CPQ ളം സദ്യശ ത്രിേകാണആദഉാണ്
⇒ \(\frac{A D}{C Q}=\frac{D P}{C P}=\frac{A P}{P Q}\) അതായത്, \(\frac{24}{C Q}=\frac{10}{5}=\frac{A P}{P Q}\)
\(\frac{24}{C Q}=\frac{10}{5}\) ⇒ CQ = \(\frac{24}{2}\) = 12 സെ.മീ
\(\frac{10}{5}=\frac{A P}{P Q}\) ⇒ AP = 2 × PQ
∆APD ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്.
AP² = DA² + DP²
= 24² + 10²
= 576 + 100
= 676
AP = \(\sqrt{676}\)
= 26 സെ.മീ
⇒ 2 × PQ = 26
PQ = \(\frac{26}{2}\) = 13
AQ = AP + PQ
= 26 + 13
= 39 സെ.മീ
Question 6.
ചിത്രത്തിൽ ∠A = ∠P, ∠B = <Q, AB = 5 സെ.മീ BC = 4 സെ.മീ, AC = 26 സെ.മീ, PR = 6 സെ.മീ.
(a) PQ-ൻ്റെ ദൈർഘ്യം എന്താണ്?
(b) ∆ABC, ∆PQR എന്നിവയുടെ ചുറ്റളവുകളുടെ അനുപാതം എത്രയാണ്?
Answer:
(a) \(\frac{P R}{A C}=\frac{P Q}{A B} \Rightarrow \frac{6}{2}=\frac{P Q}{5} \Rightarrow 3=\frac{P Q}{5}\) ⇒ PQ = 15 സെ.മീ.
(b) ∆ABC യുടെ ചുറ്റളവ് = 5 + 4 + 2 = 11 സെ.മീ
∆POR ന്റെ ചുറ്റളവ് = 15 + 12 + 6 = 33 സെ.മീ
ചുറ്റളവുകളുടെ അനുപാതം 11:33 = 1: 3
Question 7.
ചിത്രത്തിൽ ∠B = ∠D = 90°, AB = 15 സെ.മീ, AD = 5.6 സെ.മീ ആണ്
a) ∠DAE = 40° ആണെങ്കിൽ, ∠AED, ∠BAC കണ്ടുപിടിക്കുക.
b) ∠C കണ്ടുപിടിക്കുക.
c) \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}\) = …………
Answer:
(a) ∠DAE = 90 – 40 = 50°
∠BAC = 40°
(b) ∠C = 50°
(c) ∆ADE and ∆ABC are similar
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{15}{5}=\frac{3}{1}\)
So,
\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{DE}}\) is also \(\frac{3}{1}\) = 3
Question 8.
താഴെ തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ അതെ കോണുകളും വശങ്ങൾ 1 മടങ്ങായതുമായ ത്രികോണം വരക്കുക.
Answer:
6 ന്റെ ഒന്നരമടങ്ങ് = 6 × \(\frac{3}{2}\) = 9
7 ന്റെ ഒന്നരമടങ്ങ് = 7 × \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{21}{2}\) = 10.5
