Class 7

During exam preparation, Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus Set 1 guide students properly.

Kerala Syllabus 7th Standard Maths Question Paper Set 1

Time : 2 Hrs 15 Min

Instructions:

• 15 minutes is given as cool – off time. Use this time to read and understand the questions and plan answers accordingly.
• Answer all the 6 questions
• Question number 1 and 6 have internal choices (1 A and 1B;6A and 6 B ). Answer to any one of the sub questions A or B under it.

The first question has 2 questions (1A and 1B). You only need to answer one of them.

Question 1.
A. (a) If 2³ × 2⁴ = 2ⁿ, then the value of n is:
(i) 7
(ii) 12
(iii) 81
(iv) 64
Answer:
(i) 7

Using x^m × xⁿ = x^m+n
2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴
= 27

(b) Calculate the following quotients;
(i) \(\frac{1440}{120}\)
Answer:
1440 = 12² × 10
= (2² × 3)² × (2¹ × 5¹)
= 2⁵ × 3² × 5¹
120 = 12 × 10 (2² × 3) × (2 × 5)
120 = 2³ × 3¹ × 5¹
\(\frac{1440}{120}=\frac{2^5 \times 3^2 \times 5^1}{2^3 \times 3^1 \times 5^1}\) = 2^5-3 × 3^2-1 × 5^1-1
= 2² × 3¹ × 5⁰
= 4 × 3 × 1
= 12

(ii) \(\frac{729}{27}\)
Answer:
\(\frac{729}{27}\)
729 = 3⁶
27 = 3³
\(\frac{729}{27}=\frac{3^6}{3^3}\)
= 3^6-3 = 3³ = 27

(c) Write each number below as a product of powers of different primes:
i) 18² × 30²
Answer:
18² × 30² = (2¹ × 3²) × (2¹ × 3¹ × 5¹)²
= 2²⁺² × 3⁴⁺² × 5²
= 2⁴ × 3⁶ × 5²

ii) 20³ × 27¹
Answer:
20³ × 27¹ = (2² × 5¹)³ × (3³) = 2⁶ × 5³ × 3³

(d) The area of a square is 2⁶ square units. Find its side length.
Answer:
Area of square = (side)²
So, (side)² = 26
⇒ side = 2^6/2 = 2³ = 8
Therefore side = 8 units

OR

B. (a) Which of the following is correct?
(i) (x²)³ = x⁶
(ii) (x³)² = x⁵
(iii) x³ × y³ = (x + y)³
(iv) (xy)² = x² + y²
Answer:
(i) (x²)³ = x⁶ is correct

(b) Simplify: \(\frac{2^7 \times 2^3}{2^5}\)
Answer:
Numerator = 2⁷⁺³ = 2¹⁰
Now, \(\frac{2^{10}}{2^5}\) = 2^10-5
= 2⁵
= 32

(c) A bacteria population doubles every hour. If the initial count is 2⁵, what will be the count after 3 hours?
Answer:
Population after 3 hours = Initial × 2³.
= 2⁵ × 2³
= 2⁵⁺³
= 2⁸
= 256 bacteria

Question 2.
(a) i. The medians of a triangle intersect at a point called centroid.
ii. The centroid divides each median in the ratio 2:1.
iii. The perpendicular bisectors of a triangle always meet at the centroid. Which of the above statements are true?
A. i and ii correct
B. ii and iii correct
C. i and iii correct
D. All are correct
Answer:
A. i and ii correct

(b) Draw a triangle of sides 5, 6 and 7 centimetres. Draw three different right triangles of the same area.
Answer:

This is the required triangle with sides 5,6 and 7 cm.
Here are three different triangles, each with the same area:

(c) Draw squares of areas 5² square centimetres and 21 square centimetres.
Answer:
For the area of square 5² square centimetres
We can split 5² as
5² = 36 + 16 = 6² + 4²
So, by Pythagoras’ Theorem, if we draw a right triangle with perpendicular sides 6 and 4 cm, then the area of the square on the hypotenuse is 52 sq.cm.

For the area of square 21 square centimetres We can split 21 as difference of two squares:
21 = 25 – 4 = 5² – 2²
So, if we draw a right triangle with a hypotenuse of 5 centimetres and another side of 2 centimetres then the area of the square on the third side would be 21 square centimetres

Question 3.
(a) A statement and reason is given below:
Statement (A): If the length and breadth of a rectangle are multiplied by the same number, the ratio of length to breadth remains the same.
Reason (R): Multiplying or dividing both terms of a ratio by the same non-zero number does not change the ratio.
Examine the statement and reason, find which is correct.
(a) A is true, but R is false.
(b) A is false, but R is true.
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.
(d) Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A.
Answer:
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.

(b) If the sides of a rectangle are in the ratio 3:2 and each side is doubled, the new ratio of the sides is:
(a) 6:4
(b) 3:2
(c) 2:3
(d) 12:8
Answer:
(b) 3:2
New ratio = (3 × 2) : (2 × 2)
= 6 : 4 = 3 : 2

(c) In a class, the ratio of girls to boys is 3:5. If the total students are 160, find the number of girls and boys.
Answer:
Total ratio = 8 parts
That is, \(\frac{160}{3}\) = 20 per part
Girls = 3 × 20 = 60
Boys = 5 × 20 = 100

(d) A drink is made by mixing juice and water in the ratio 3:2. If 15 liters of juice is used, how much water should be added?
Answer:
Juice: Water = 3:2
For 15 L of juice,
Water = (\(\frac{2}{3}\)) × 15 = 10 L

Question 4.
(a) The fraction 7/20 expressed as a percent is:
(i) 20%
(ii) 25%
(iii) 35%
(iv) 40%
Answer:
(iii) 35%
(7/20) × 100 = 35%

(b) A shopkeeper gave a discount of 20% on a shirt. If the price of the shirt was ₹ 750, how much discount did the customer get?
Answer:
Discount = 20 % = \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\)
Discount got by consumer = \(\frac{1}{5}\) × 750 = ₹ 150.

(c) A person who earns 45,000 rupees a month spends 10,500 rupees on rent. What percent of their earnings does this spending represent?
Answer:
Percentage = \(\left(\frac{10,500}{45,0000}\right)\) × 100
\(\frac{10,500}{45,000}=\frac{105}{450}=\frac{7}{30}\)

Percentage = \(\left(\frac{7}{30}\right)\) × 100
= 23\(\frac{1}{3}\)%
= 23.33 %

Question 5.
(a) In the figure, shaded part represents the product of two fractions, See the statements Babu wrote related to this.

(i) \(\frac{2}{5}\) parts of \(\frac{2}{3}\)
(if) \(\frac{1}{3}\) parts of \(\frac{2}{5}\)
(iii) \(\frac{4}{5}\) parts of \(\frac{2}{3}\)
(iv) \(\frac{4}{15}\) parts of the large rectangle
Which of the above statements are true?
(a) Only iv
(c) (i) and (iv)
(b) (i) and (ii)
(d) (ii) and (iii)
Answer:
(c) (i) and (iv)

(b) A man travels 2\(\frac{1}{4}\) kilimetres in one hour. What is the distance he travelled in 2\(\frac{1}{3}\) hours?
Answer:
Speed = 2\(\frac{1}{4}\) km = \(\frac{9}{4}\)
Time = 2\(\frac{1}{3}\) = \(\frac{7}{3}\)
Distance = speed × time
= \(\frac{9}{4} \times \frac{7}{3}=\frac{63}{12}\)
= 5\(\frac{1}{4}\) km

(c) A 4 metre long rope is divided into 5 pices of equal length. What is the length of 3/5 part of its orie piece in metres? In centimetres?
Answer:
Length of one piece = \(\frac{4}{5}\) m
\(\frac{3}{5}\) of one piece = \(\frac{3}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{12}{25}\) = 0.48m
Length = 0.48 m = 48 cm

The sixth question has 2 questions (6 A and 6 B). You only need to answer one of them.

Question 6.
A. (a) The division operations in column A are connected with the fractions in column B.

Which of the following is true?
(a) 1 → a, 2 → b, 3 → c
(b) 1 → c, 2 → a, 3 → d
(c) 1 → c, 2 → d, 3 → a
(d) 1 → c, 2 → a, 3 → b
Answer:
(a) 1 → a, 2 → b, 3 → c

(b) We want to fill 4\(\frac{1}{4}\) litres milk in identical bottles. A bottle can contain \(\frac{3}{4}\) litre milk.
How many bottles will be there with full of milk?
How many more litres of milk is needed to fill the bottle which is not completely filled?
Answer:
Total milk = 4\(\frac{1}{4}\)L = \(\frac{17}{4}\) L
Capacity of one bottle = \(\frac{13}{4}\) L
Number of bottles = \(\frac{17}{4} \div \frac{3}{4}=\frac{17}{4} \times \frac{4}{3}=\frac{17}{3}\) = 5\(\frac{2}{3}\)
So 5 full bottles can be filled, and there will be some milk left for the 6th.
Milk in 5 bottles = 5 × \(\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)
Left over milk = \(\frac{17}{4}-\frac{15}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) liters
So the 6th bottle gets \(\frac{1}{2}\) liters
Extra milk needed to fill the 6th bottle
= \(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) litre

(c) How many times of 1\(\frac{1}{2}\) is 5 ?
Answer:
1\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)
Number of times = 5 × \(\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) = 3\(\frac{1}{3}\)
5 is 3\(\frac{1}{3}\) times of 1\(\frac{1}{2}\)

OR

B. (a) A big vessel contains 25 litres of water and a small vessel contains 15 litres of water.
(i) Water in the smaller vessel is 3/5 part of the larger:
(ii) Water in the smaller vessel is 2/3 part of the larger.
(iii) Water in the larger vessel is 5/3 times the smaller.
Which of the statements given above are true?
(a) i, ii correct
(b) Only iii is correct
(c) i and iii correct
(d) ii and iii correct
Answer:
(c) i and iii correct

(b) How many pieces of 1\(\frac{1}{2}\) metres long rope can be cut off from 8\(\frac{1}{2}\) metres long rope? What is the length of the remaining rope?
Answer:
Total rope = 8\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{17}{2}\)m
Length ofone piece = 1\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\)m

Number of pieces = \(\frac{17}{2} \div \frac{3}{2}=\frac{17}{2} \times \frac{2}{3}=\frac{17}{3}=5 \frac{2}{3}\)
so 5 full pieces can be cut.

Length for 5pieces = 5 × \(\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\) = 7\(\frac{1}{2}\)m

Remaining length = \(\frac{17}{2}-\frac{15}{2}=\frac{2}{2}\) = 1 m

(c) Among two numbers, larger is 1\(\frac{2}{3}\) times the smaller. Then, what part of the larger-number is the smaller?
Answer:
Larger number = 1\(\frac{1}{2}\) times the smaller
1\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{3}\)
Larger number = \(\frac{5}{3}\) × smaller
Therefore smaller = Larger \(\frac{5}{3}\)
= Larger × \(\frac{3}{5}\)
The smaller number is \(\frac{3}{5}\) part of the larger.

Malayalam is an important language subject for students studying in Kerala. In Class 7 Malayalam Kerala Padavali & Adisthana Padavali Question Paper Pdf with Answers, students learn different prose lessons, poems, and grammar topics that improve language understanding.

The syllabus prepared by the Kerala Board of Public Examinations focuses on strengthening reading and writing skills.

Class 7 Malayalam Model Question Paper

For better exam preparation, Class 7 Malayalam Kerala Padavali Model Question Paper help students practice important lessons.

Std 7 Kerala Padavali Question Paper help students practice answering questions from prose, poetry, and grammar sections. These papers also help students understand how the exam paper is structured.

Class 7 Adisthana Padavali & Kerala Padavali Annual Exam Question Paper

Class 7 Malayalam Kerala Padavali Question Paper Pdf

• Class 7 Malayalam Kerala Padavali Question Paper Set 1
• Class 7 Malayalam Kerala Padavali Question Paper Set 2
• Class 7 Malayalam Kerala Padavali Question Paper Set 3
• Class 7 Malayalam Kerala Padavali Question Paper Set 4
• Class 7 Malayalam Kerala Padavali Question Paper Set 5

Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper Pdf

• Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper Set 1
• Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper Set 2
• Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper Set 3
• Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper Set 4
• Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper Set 5

Samagra Class 7 Malayalam Model Question Paper, Class 7 Malayalam Kerala Padavali Annual Exam Question Paper give students an idea about important lessons and frequently asked questions.

The Malayalam exam usually includes comprehension questions, grammar exercises, and composition writing. Practicing Class 7 Malayalam Adisthana Padavali Question Paper regularly helps students write answers more confidently.

During exam preparation, Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus Set 2 guide students properly.

Kerala Syllabus 7th Standard Maths Question Paper Set 2

Time : 2 Hrs 15 Min

Instructions:

• 15 minutes is given as cool – off time. Use this time to read and understand the questions and plan answers accordingly.
• Answer all the 6 questions
• Question number 1 and 6 have internal choices (1 A and 1B;6A and 6 B ). Answer to any one of the sub questions A or B under it.

The first question has 2 questions (1A and 1B). You only need to answer one of them.

Question 1.
A. (a) If the sides of a rectangle are in the ratio 3:2 and each side is doubled, the new ratio of the sides is:
(i) 6:4
(ii) 3:2
(iii) 2:3
(iv) 12:8
Answer:
(ii) 3:2

(b) If the width and height of a rectangle are 12 cm and 18 cm, find the ratio of width to height.
Answer:
12:18 = 2:3

(c) In a class, the ratio of girls to boys is 3:5. If the total students are 160, find the number of girls and boys.
Answer:
Total ratio parts = 3 + 5 = 8 parts
That is per part \(\frac{160}{8}\) = 20 per part
Girls = 3 × 20 = 60
Boys = 5 × 20 = 100

(d) Consider the following statements:
(i) If both terms of a ratio are multiplied by the same number, the ratio remains unchanged.
(ii) If both terms of a ratio are divided by the same non-zero number, the ratio remains unchanged.
(iii) If only one term of a ratio is multiplied, the ratio does not change.
Options:
(a) (i) and (ii) are correct, (iii) is wrong
(b) (i) and (iii) are correct, (ii) is wrong
(c) (ii) and (iii) are correct, (i) is wrong
(d) All three are correct
Answer:
(a) (i) and (ii) are correct, (iii) is wrong

B. (a) Write the following statements using the language of algebra.
i. When 15 is added to a number, then it is equal to three times that number.
ii. If 25 is added to three times a number, the result is 70.
iii. One third of a number when added to 1 gives 15
Answer:
(i) n + 15 = 3n
(ii) 3n + 25 = 70
(iii) 1 + \(\frac{n}{3}\) = 15

(b) Find 24 + 16 + 34
Answer:
24 + 16 + 34 = 24 + (16 + 34)
= 24 + 50 = 74

(c) Find 3 × 13 + 3 × 7
Answer:
3 × 13 + 3 × 7 = 3(13 + 7)
= 3 × 20
= 60

Question 2.
(a) Which of the following is true in any triangle?
(a) The sum of two sides is smaller than the third side.
(b) The sum of two sides is equal to the third side.
(c) The sum of two sides is greater than the third side.
(d) The sum of two sides is unrelated to the third side.
Answer:
(c) The sum of two sides is greater than the third side.

(b) Find the third angle of a triangle if two angles are 65° and 75°.
Answer:
180° – (65°+ 75°) = 40°

(c) Can a triangle have sides 5cm, 7cm, and 15 cm ?
Answer:
5 + 7 = 12, which is not greater than 15.
So, No triangle possible

(d) Construct a triangle with sides 6 cm, 6 cm and 6 cm.
Answer:
That triangle is an equilateral triangle.

Question 3.
(a) A statement and reason is given below:
Statement (A): \(\frac{1}{2}\)
Reason (R): A fraction can be reduced to its simplest form by dividing numerator and denominator by their HCF. •
Examine the statement and reason, find which is correct.
(a) A is true, but R is false.
(b) A is false, but R is true.
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.
(d) Both A and Rare true, but R is not the correct explanation of A.
Answer:
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.

(b) What is the area of a square of side 1\(\frac{1}{2}\) metre?
Answer:
Area = 1\(\frac{1}{2}\) × 1\(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}=\frac{9}{4}\)
= 2\(\frac{1}{4}\) m

(c) If 4 strings of length \(\frac{1}{3}\) metre were laid end to end, what would be the total length?
Answer:
Total length = \(\frac{1}{3}\) × 4 = \(\frac{4}{3}\) = 1\(\frac{1}{3}\) metres

(d) Half the children in a class are girls. A third of them are in the Math Club. What fraction of the total children are they?
Answer:
Number of girls in Math club
= \(\frac{1}{3}\) of \(\frac{1}{2}\) of total children
= \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\) of total children
= \(\frac{1}{6}\) of total children

Question 4.
(a) Convert 0.07 to fraction in simplest form.
(a) \(\frac{7}{100}\)
(b) \(\frac{7}{10}\)
(c) \(\frac{7}{1000}\)
(d) \(\frac{70}{100}\)
Answer:
(a) \(\frac{7}{100}\)

(b) A rope is 27.6 m long. It is cut into 12 equal parts. What is the length of each part?
Answer:
Length of each part = \(\frac{27.6}{12}\) = 2.3 m

(c) Last year the ratio of the female teachers and male teachers of Ramapuram UP School was 6:1.
(i) If the number of male teachers is 6, what is the number of female teachers? Instead of the female teachers who got transfer from the school, male teachers joined there. Now the ratio of the female teachers and male teachers is 11:10.
(ii) How many female teachers got transfer this year?
(iii) This year some female teachers and male teachers will be 1:1. If so, how many female teachers will retire this year?
Answer:
i) Ratio of female teachers to male teachers = 6:1
Number of male teachers = 6
Number of female teachers = 6 × 6 =36

ii) Total number of teachers = 36 + 6 = 42
Ratio = 11:10
Number of female teachers
= 42 × \(\frac{11}{21}\) = 22
So, number of female teachers transferred = 36 – 22= 14

iii) Number of male teachers = 42 × \(\frac{10}{21}\) = 20
So, inorder to become ratio 1:1, number of male teachers = number of female teachers
The number of female teachers retire this year = 22 – 20 = 2

Question 5.
(a) If two triangles have the same base and their third vertices lie on a line parallel to the base, then:
(i) Both triangles have equal area
(ii) The bigger triangle has more area
(iii) The smaller triangle has more area
(iv) Cannot be determined
Answer:
(i) Both triangles have equal area

(b) A flag is triangular in shape with base 24 cm and height 18 cm. Find its area. If cloth costs ₹ 2 per cm², find the total cost.
Answer:
Area = \(\frac{1}{2}\) × base × height
= \(\frac{1}{2}\) × 24 × 18 = 216 cm²
Cost = 216 × 2 = ₹ 432

(c) Find the areas of the triangles shown below:

Answer:
(i) Area = \(\frac{1}{2}\) × Base × Height
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 6
= 24 sq.cm

(ii) Area = \(\frac{1}{2}\) × Base × Height
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × 12
= 60 sq cm

The sixth question has 2 questions ( 6 A and 6 B). You only need to answer one of them.

Question 6.
A. (a) Take a set of five consecutive natural numbers and add all five.
i) Check if the sum has any relation with any one of the five numbers added.
Answer:
Let’s take an example of consecutive natural numbers and add them together:
34 + 35 + 36 + 37 + 38= 180

For the consecutive natural numbers 34, 35, 36, 37,38.
34 + 35 + 36 + 37 + 38 = 180 and 5 × 36 = 180
That is, the sum of five consecutive numbers is always five times the middle number.

ii) Explain why this relation holds for any five consecutive natural numbers.
Answer:
Consider the five consecutive numbers 34, 35, 36,37 and 38. These can be expressed in relation to the middle term as 36 – 2, 36 – 1, 36, and 36+ 1,36 + 2.
Thus, the sum of these five numbers is:
(36 – 2) + (36 – 1) + 36 + (36 + 1) + (36 + 2) = 180
On simplifying this expression, we get
(36 – 2) + (36- 1) + 36 + (36 + 1) + (36 + 2)
= 5 × 36 = 180
This is because, in the addition of the five numbers the 2, 1 and -1,-2 cancel each other out, resulting in a sum that is five times the middle number.

iii) Write this relation, first in ordinary language and then using algebra.
Answer:
In ordinary language, we can say it as:
The sum of any five consecutive natural numbers is five times the middle number. Algebraically, if the five consecutive numbers are x – 2, x – 1, x, and x + 1, x + 2 the sum is: (x – 2) + (x – 1) + x + (x + 1) + (x + 2) = 5x, for any natural numbers x.

(b) a) Three number pyramids are given here. Find the relation between the first and second pyramid and complete the third pyramid accordingly.

Answer:

b) Which will be the starting number to get 100 as the topmost number?
Answer:
Beginning with 10, the top most number be 100

c) Find the relation between the topmost number and the first number of the bottom row.
Write the algebraic form of it.
Answer:

The first number of the bottom can be taken as x.
Then the rest of the numbers became 2x, 3x, 4x respectively.
For the second row x + 2x = 3x
3x + 4x = 7x
Top most number is 3x + 7x = 10x
From this we can say that the top most number will be 10 times of the first number of the bottom row.

OR

B. A kudumbasree unit took a loan of rupees 480000 from a Co-operative bank for a period of one year to start
a computer institute. The bank collects 6\(\frac{1}{4}\)% interest for one year. They spend 60% of the amount to buy computers and the rest to buy furniture.
(i) What is the fraction corresponding to \(\frac{1}{4}\) % ?
(a) \(\frac{1}{6}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{1}{12}\)
(d) \(\frac{1}{16}\)
Answer:
(d) \(\frac{1}{16}\)

(ii) How much amount is spent on buying computers?
Answer:
Amount spent for buying Computers
= 4,80,000 × \(\frac{60}{100}\)
= ₹ 2,88,000

(iii) What is the difference between the amounts used for buying computers and furniture?
Answer:
Difference between the amount percents
= 60-40 = 20%
Difference between the amounts
= 480000 × \(\frac{20}{100}\)
= ₹ 96,000

(iv) What is the amount to be paid in the bank after one year?
Answer:
480000 × \(\frac{1}{16}\) = 30000
Amount to be repaid to the bank = 480000 + 30000
= ₹ 5,10,000

During exam preparation, Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus Set 3 guide students properly.

Kerala Syllabus 7th Standard Maths Question Paper Set 3

Time : 2 Hrs 15 Min

Instructions:

• 15 minutes is given as cool – off time. Use this time to read and understand the questions and plan answers accordingly.
• Answer all the 6 questions
• Question number 1 and 6 have internal choices (1 A and 1B;6A and 6 B ). Answer to any one of the sub questions A or B under it.

The first question has 2 questions (1A and 1B). You only need to answer one of them.

Question 1.
A. (a) Find the number of factors of 180.
Answer:
Prime factorization: 180 = 2² × 3² × 5¹
Number, of factors = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1)
= 3 × 3 × 2 = 18

(b) Write each number below either as a power of a single prime or as a product of powers of different primes.
i) 3125
ii) 200
Answer:
i) 3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁵
ii) 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³ × 5²

(c) Find the number of factors of each number below:
i) 36
ii) 84
iii) 144
Answer:
i) The factors of 36, expressed as powers of prime numbers, are:
36 = 2² × 3²
Therefore, number of factors = (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9

ii) The factors of 84, expressed as powers of prime numbers, are;
84 = 2² × 3¹ × 7¹
Therefore, the number of factors = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

iii) The factors of 144, expressed as powers of prime numbers, are:
144 = 2⁴ × 3²
Therefore, the number of factors = (4 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 = 15

OR

B. (a) Find the common factors of 84 and 126.
Answer:
84 = 2² × 3 × 7
126 = 2 x3² × 7
Common = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 42
Common factors are factors of 42 → 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

(b) Which one’has exactly 9 factors?
(a) 2³ × 3²
(b) 5⁸
(c) 11⁸
(d) 2⁴ × 7
Answer:
(c) 11⁸
Number of factors of 11⁸ = 8 + 1 = 9

(c) (i) What is the largest common factor of two different prime numbers?
(ii) Can the largest common factor of two composite numbers be 1? ‘
(iii) If two numbers are divided by their largest common factor, what would be the largest common factor of the quotients?
Answer:
i) The largest common factor of two different prime numbers is 1, since prime numbers have no common factors other than 1.
ii) Yes, the largest common factor of two composite numbers can be 1 if they are coprime, meaning they have no common factors other than 1.
iii) If two numbers are divided by their largest common factor, the largest common factor of the quotients will be 1. This is because the largest common factor is the greatest number that divides both original numbers, and dividing by it eliminates any common fac¬tors from the quotients.

Question 2.
(a) 60% of a number is 180. What is the number?
(a) 200
(b) 250
(c) 300
(d) 360
Answer:
(c) 300
Let the number = x.
60 % of x = 180
⇒ \(\left(\frac{60}{100}\right)\) × x = 180
⇒ x = \(\frac{180 \times 100}{60}\) = 300

(b) A book is bought for ₹ 240 and sold for ₹ 300. Find the profit percentage.
Answer:
Profit = 300 – 240 = 60
Profit % = (60 ÷ 240) × 100
= 25 % profit

(c) The marked price of a shirt is ₹ 1,000. A shopkeeper offers 20% discount and still makes a profit of ₹ 80. Find the cost price.
Answer:
Selling Price = 1,000 – 20 % of 1,000
= 1,000 – 200 = 800
Profit = 80
⇒ Cost Price = Selling Price – Profit
= 800 – 80 = 720 Rs.

(d) A student scored 36 marks out of 50 in a test.
(i) What fraction of marks did he get?
(ii) What percent of marks did he score?
Answer:
(i) Fraction = \(\frac{36}{50}=\frac{18}{25}\)
(ii) Percent = \(\frac{36}{50}\) × 100 = 72

Question 3.
(a) A square of area 15 square centimetres is drawn on one side of a right triangle. Which of the following are the lengths of the other two sides of this right triangle?

(i) 5 cm, 6 cm
(ii) 6 cm, 7 cm
(iii) 7 cm, 8 cm
(iv) 8 cm, 9 cm
Answer:
(iii) 7 cm, 8 cm

Length of the other two sides = 7 cm, 8 cm

(b) The area of a square vegetable garden is 256 square metres, What is the length of one of its sides?
Answer:
Area of a square vegetable garden = 256 sq.m
Side = \(\sqrt{256}\) = 16m

(c) Draw a square of area of 72 square centimetres.
Answer:
First draw a square with side 6 cm.
Draw another square with diagonal as its side.

Question 4.
(a) A statement and reason is given below:
In a triangle, one exterior angle is 120°. The two interior opposite angles are x and y
Statement (A): x + y = 120°
Reason (R): The .sum of all angles of a triangle is 180°.
Examine the statement and reason, find which is correct.
(a) A is true, but R is false.
(b) A is false, but R is true.
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.
(d) Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A.
Answer:
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.

(b) i. The sum of the interior angles of a triangle is always 180°.
ii. An exterior angle of a triangle is equal to the sum of its two interior opposite angles.
iii. A triangle can have more than one obtuse angle.
Which of the above statements are true?
A. i and ii correct
B. ii and iii correct
C. i and iii correct
D. All are correct
Answer:
A. i and ii correct

(c) Zeenath doing a project to find out the measures which can be used to draw a triangle. Which among the following measures can be used to draw a triangle?
(a) 8 cm 4 cm 3 cm
(b) 9 cm 5 cm 12 cm
(c) 5 cm 5 cm 10 cm
(d) 6 cm 7 cm 15 cm
Answer:
(a) 4 + 3 = 7. It is not greater than the third side. So, it is not possible to draw such a triangle.
(b) The sum of the lengths of any two sides is greater than the third side. So, it is possible to draw such a triangle.
(c) 5 + 5 = 10. It is not greater than the third side. So, it is not possible to draw such a triangle.
(d) 6 + 7 = 13. It is not greater than the third side. So, it is not possible to draw such a triangle.

(d) Draw the right triangle whose sides are 4 cm, 12 cm and 10 cm.
Answer:

Question 5.
The figure shows information about the hobbies of students in a class.
(a) Which hobby do children like the most?
Answer:
Drawing

(b) Which hobby is liked by the least children?
Answer:
Dance

(c) If those who select music are \(\frac{1}{8}\) part of the total, what is the part of the total of those who select drawing as a hobby?
Answer:
\(\frac{3}{8}\)

(d) What part of the total is those who select reading and dancing?
Answer:
\(\frac{1}{4}\)

(e) Write another question based on this figure.
What part of the total is those who select reading, dancing and music?
Answer:
What part of the total is those who select reading, drawing and music?

The sixth question has 2 questions (6 A and 6 B). You only need to answer one of them.

Question 6.
A. (a) A triangle has a base of 12 cm and an altitude of 8 cm. Its area is:
(i) 48 cm²
(ii) 96 cm²
(iii) 32 cm²
(iv) 64 cm²
Answer:
(i) 48 cm²

Area = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 8 = 48 cm²

(b) Two triangles have the same base of 12 cm . One has a height of 7 cm and the other has its vertex on a parallel line. Find the area of both triangles.
Answer:
Area = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 7 = 42cm
Both triangles = 12 cm² each

(c) A triangular plot of land has base 100 m and altitude 60 m. A farmer wants to divide it into 2 equal-area plots by drawing a line parallel to the base. At what height from the base should the line be drawn?
Answer:
Total area = \(\frac{1}{2}\) × 100 × 60 = 3000 m²
Half area = 1500 m²
Let required height = h
\(\frac{1}{2}\) × 100 × h = 1500
Therefore h = 30 m

B. (a) A triangle has an area of 60 cm² and a base of 15 cm . The height is:
(i) 6 cm
(ii) 8 cm
(iii) 10 cm
(iv) 12 cm
Answer:
Area = \(\frac{1}{2}\) × base × height
60 = \(\frac{1}{2}\) × 15 × h
h = 8 cm

(b) A field is in the shape of a triangle with base 50 m and altitude 24 m . If the cost of fencing the field is ₹ 10 per square meter, find the total cost.
Answer:
Area = \(\frac{1}{2}\) × 50 × 24 = 600 m²
Cost = 600 × 10 = ₹ 6000

(c) What is the area of the triangle shown below?

i) Draw a right triangle of the samfe area
ii) Draw a triangle of the same area with one angle greater than a right angle
Answer:
Area = \(\frac{1}{2}\) × Base × Height
= \(\frac{1}{2}\) × 9 × 4
= 18 sq cm

During exam preparation, Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus Set 4 guide students properly.

Kerala Syllabus 7th Standard Maths Question Paper Set 4

Time : 2 Hrs 15 Min

Instructions:

• 15 minutes is given as cool – off time. Use this time to read and understand the questions and plan answers accordingly.
• Answer all the 6 questions
• Question number 1 and 6 have internal choices (1 A and 1B;6A and 6 B ). Answer to any one of the sub questions A or B under it.

The first question has 2 questions (1A and 1B). You only need to answer one of them.

Question 1.
A. (a) Two parallel lines are cut by a transversal. Given that one of the angles measures 60°, calculate all the other angles formed by the intersection. Provide a diagram for reference.
Answer:
Given that one of the angles formed by a transversal cutting two parallel lines is 60°:

• Corresponding angles: 60°
• Alternate interior angles: 60°
• Co-interior angles: 120°
• Vertical opposite angles: 60°
• The other angles are 120° each.

(b) The figure shows a triangle drawn in a rectangle. Calculate the angles of the triangle

Answer:
Consider the figure below,

Since, ABCD is rectangle ∠P, ∠Q, ∠R, ∠S equals to 90°
Now, it is given that one part of ∠Q is 50°, so the remaining part of ∠A is 40°
Similarly, one part of ∠R is 30°, so the remaining part of ∠R is 60°.
It implies that two angles of the triangle are 40° and 60°.
Therefore, the third angle of the triangle is
= 180° – (40° + 60°)
= 180° – (100°) = 80°
So, the angles of triangles are 40°, 60°, 80°

(c) A transversal cuts two parallel lines. One angle measures 65°.
(i) Its vertically opposite angle is also 65°.
(ii) Its adjacent angle is 115°.
(iii) Its corresponding angle is 115°.
Which of the above statements are true?
(A) i and ii correct
(B) Only iii correct
(C) i and iii correct
(D) i and ii correct
Answer:
(A) i and ii correct

B. (a) Two vertical lines in the figure are parallel. Find the unknown angle shown in the figure.

Answer:
Consider the figure below

Given that AB and CD are parallel line
Draw a line PQ parallel to both AB and CD
∠A and ∠AQP are alternate angles
Therefore, ∠A = ∠AQP = 30°
Similarly,
∠C and ∠CQP are alternate angles
Therefore, ∠C = ∠CQP = 40°
But, ∠Q = ∠AQP + ∠CQP = 30° + 40° = 70°

(b) A triangle is drawn inside a parallelogram. Calculate the angles of the triangle.

Answer:
Consider the figure below

∠D and angle ∠B are opposite angles of paral-lelogram.
Therefore, ∠D = ∠B= 105°
But, one part of angle ∠D is 50°, so remaining part of ∠D = 105° – 50° = 55°
Now, considering the angles angle ∠A and ∠D, their sum is equals to 180°
i.e., ∠A + ∠D = 180°
∠A = 180°- ∠D = 180° – 105° = 75°
But, one part of ∠A is 20°, so remaining part of ∠A = 75° – 20°= 55°
It means, we get two angles of the triangle which are 55° and 55°
So, third angle of the triangle = 180° – (55° + 55°)
= 180° – (110°)
= 70°
Hence, all three angles of the triangles are 55°, 55°, 70°.

(c) Look at the statements below:
i. If a transversal is perpendicular to one parallel line, it is also perpendicular to the other.
ii. If a transversal is perpendicular to one line, all the angles formed are
iii. If a transversal is perpendicular to one parallel line, then alternate interior angles are not equal.
Which of the above statements are true?
A. i and ii correct
B. ii and iii correct
C. Only iii correct
D. All are correct
Answer:
A. i and ii correct

Question 2.
(a) A statement and reason is given below:
Statement (A): \(\frac{7}{12}>\frac{2}{3}\)
Reason (R): To compare fractions, we convert them to like denominators.
Examine the statement and reason, find which is correct.
(a) A is true, but R is false
(b) A is false, but R is true
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A
(d) Both A and R are ture, but R is not the correct explanation of A
Answer:
(b) A is false, but R is true

(b) If a man can complete a work in 12 days and his friend can complete the same work in 6 days, then:
(i) The faster worker is how many times faster?
(ii) The slower worker is what part of the faster worker?
Answer:
(i) Times = \(\frac{12}{2}\) = 2 times
Part = \(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

(c) A ribbon is cut into 12 equal parts. What fraction of the ribbon is 3 parts?
Answer:
Part (or fraction) = \(\frac{\text { small number }}{\text { large number }}\)
= \(\frac{3}{12}\)
= \(\frac{1}{4}\)

Question 3.
(a) 12 metre long rope cut into 4 equal pieces.
What is the length of each piece?
What if it is cut into 5 equal pieces?
Answer:
(i) Length of each piece = \(\frac{12}{4}\) = 3 metres
(ii) If it is cut into 5 equal pieces,
Length of each piece = \(\frac{12}{5}\) = 2\(\frac{2}{5}\) metres

(b) The length and breadth of some rectangles are given below. Calculate their areas.
(i) 4\(\frac{1}{2}\)cm, 3\(\frac{1}{4}\)cm
Answer:
Area = 4\(\frac{1}{2}\)cm, 3\(\frac{1}{4}\)cm
= \(\frac{9}{2} \times \frac{13}{4}=\frac{9 \times 13}{2 \times 4}=\frac{117}{8}\)
= 14\(\frac{5}{8}\) cm

(ii) 6\(\frac{3}{4}\)cm, 5\(\frac{1}{3}\)cm
Answer:
6\(\frac{3}{4}\)cm, 5\(\frac{1}{3}\)cm
Area = 6\(\frac{3}{4}\) × 5\(\frac{1}{3}\) = \(\frac{27}{4} \times \frac{16}{3}\)
= \(\frac{27}{3} \times \frac{16}{4}\)
= 9 × 4
= 36 cm²

Question 4.
(a) If the breadth of a rectangle is 2.5 metres and the area is 5.6 square metres, what is its length?
Answer:
Given, breadth = 2.5m, area = 5.6 m2
Length = Area ÷ Breadth
= 5.6 ÷ 2.5
= 2.24 m

(b) What is the decimal form of \(\frac{3.2}{16}\)
(a) 0.2
(b) 0.02
(c) 2
(d) 4
Answer:
0.2

(c) If the length of a box is 1.2 metres, breadth is 0.8 m and heigtht is 0.2 m, what is the volume of that box?
Answer:
Length = 1.2 m, Breadth = 0.8 m,
Height = 0.2 m
Volume = 1.2 × 0.8 × 0.2
= 0.96 × 0.2
= 0.192 m³

Question 5.
(a) The number of factors of 3⁴ × 5^-2 is:
(a) 8
(b) 12
(c) 15
(d) 20
Answer:
(c) 15
(4 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 = 15

(b) Find the common factors of 48 and 60.
Answer:
48 = 2⁴ × 3¹
60 = 2² × 3¹ × 5¹
Common primes = 2, 3
Lowest powers = 2¹ x 3¹ = 4 × 3 =12
Factors of 12 = 1,2, 3, 4, 6, 12
Common factors = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

(c) Two friends have 72 chocolates and 90 chocolates. They want to distribute them into equal groups without any chocolate left.
(i) What is the maximum number of chocolates in each group?
(ii) How many such groups will be formed?
Answer:
72 = 2³ × 3²
90= 2¹ × 3² × 5¹
Common = 2¹ × 3² = 18
(i) Maximum chocolates in each group = 18
(ii) Number of groups = (72 + 90) /18
= 162/18 = 9
∴ 18 chocolates per group and 9 groups.

The sixth question has 2 questions ( 6A and 6B). You only need to answer one of them.

Question 6.
A. (a) A person spends 5000 rupees a month for food. It is 20% of his monthly earnings. What is his monthly earnings?
Answer:
20% = \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) of the monthly earning spendfor food.
So the total monthly is \(\frac{5}{1}\) times the money spent for food
So, monthly earning = \(\frac{5}{1}\) × 5000 = 2500 rupees

(b) The bar graph shows the number of girls in the three divisions of class 7 in a school.

Draw a pie chart of this.

Answer:

OR

B. (a) Convert 3/5 into a percent.
(a) 30%
(b) 40%
(c) 50%
(d) 60%
Answer:
(d) 60%

(b) A student scored 36 marks out of 50 in a test.
(i) What fraction of marks did he get?
(ii) What percent of marks did he score?
Answer:
(i) Fraction = \(\frac{36}{50}=\frac{18}{25}\)
(ii) Percent = \(\frac{36}{50}\) × 100 = 72%

During exam preparation, Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus Set 5 guide students properly.

Kerala Syllabus 7th Standard Maths Question Paper Set 5

Time : 2 Hrs 15 Min

Instructions:

• 15 minutes is given as cool – off time. Use this time to read and understand the questions and plan answers accordingly.
• Answer all the 6 questions
• Question number 1 and 6 have internal choices (1 A and 1B;6A and 6 B ). Answer to any one of the sub questions A or B under it.

The first question has 2 questions (1A and 1B). You only need to answer one of them.

Question 1.
A. (a) Simplify \(\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}\)
Answer:
\(\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}=\frac{3}{4} \times \frac{6}{5}=\frac{18}{20}=\frac{9}{20}\)

(b) A recipe requires \(\frac{3}{4}\) cup of sugar to make ¡2 cookies. How much sugar is needed to make 36 cookies?
Answer:
\(\frac{3}{4}\) cup of sugar gives 12 cookies
12 × 3 gives 36
So, for 36 cookies we need \(\frac{3}{4}\) × 3 = \(\frac{9}{4}\) cups of sugar.

(c) If \(\frac{2}{5}\) of the cake is eaten, what fraction of the whole cake remains?
Answer:
The whole cake is \(\frac{5}{5}\) = 1
Remaining cake = \(\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\)
Thus, \(\frac{3}{5}\) part of the whole cake remains.

OR

B. (a) \(\frac{1.234}{0.01234}\) = ?
Answer:

(b) \(\frac{2.3 \times 3.2}{0.4}\) = ?
Answer:

(c) 6.5 kilograms of chilli powder was packed in 025 kilogram packets. How many packets are there?
Answer:
Total chilli power = 6.5 = \(\frac{65}{10}\) kg
Amount of chilli power in a small packet
= 0.25 = \(\frac{25}{100}\) kg
Number of small packets
= \(=\frac{\text { Total chilli powder }}{\text { Amount of chilli powder in a small packet }}\)
Here, \(\frac{25}{100}\) is the dividing fraction. Its reciprocal is \(\frac{100}{25}\)
Therefore, the number of packets = \(\frac{65}{10} \times \frac{100}{25}\)
= \(\frac{650}{25}\)
= 26

Question 2.
(a) A statement and reason is given below
Statement (A): ¡ If a transversal is perpendicular to one of two parallel lines, then it is perpendicular to the other line as well.
Reason (R): All right angles are equal in measure.
Examine the statement and reason, find which is correct.
(a) A is true, but R is false.
(b) A is false, but R is true.
(c) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A.
(d) Both A and B are true, but R is not the correct explanation of A.
Answer:
(d) Both A and B are true, but R is not the correct explanation of A.

(b) The top and bottom lines in the figure are parallel. Find the unknown angle shown in the figure.

Answer:
Draw a horizontal line parallel to the other two parallel lines

From the figure, we get
∠EAB = ∠ABD = 30°
∠DBC = ∠BCF = 60°
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC
= 30°+ 60° = 90°

(c) Draw the parallelogram below with the given measures.

Answer:
Draw a horizontal line segment AB that is 6 cm long. This will be one side of the parallelogram

At point A, use a protractor to measure and mark an angle of 50° from line AB.

From point A, draw a line segment AC that is 4 cm long, making sure it forms the 50° angle with AB.

From point B, draw a line segment BD that is 4 cm long, parallel to AC. You can use a ruler and a set square to ensure parallelism.

From point C, draw a line segment CD that is 6 cm long, parallel to AB. The points C and D should connect to complete the parallelogram.

Question 3.
(a) Angles of a linear pair are in the ratio 4:5. What is the measure of each angle?
Answer:
Ratio of angles in the linear pair = 4:5
Sum of angles =180
In 180, \(\frac{4}{9}\) is one angle and \(\frac{5}{9}\) is the other angle.
ISo, one angle = 180 × \(\frac{4}{9}\) = 80°
Other angle = 180 × \(\frac{5}{9}\) = 100°

(b) What does it mean to say that the width to length ratio of a rectangle is 1:1? What sort of rectangle is it?
Answer:
The width to length ratio of a rectangle is 1:1,
Which means, length = width
When the sides of a rectangle are equal, it will be a square.

Question 4.
(a) Which of the following is correct?
(A) 40 % = \(\frac{2}{3}\)
(B) 62.5% = \(\frac{5}{8}\)
(C) 12.5% = \(\frac{1}{6}\)
(D) 80 % = \(\frac{3}{5}\)
Answer:
(B) 62.5% = \(\frac{5}{8}\)

(b) A jacket is marked at ₹ 1600 and sold at a discount of 12.5%. Find the selling price.
Answer:
Discount = 12.5 % of 1600
= 0.125 × 1600 = ₹ 200

Selling Price = 1600 – 200 = ₹ 1400

(c) A shopkeeper marks a shirt at 2,000 rupees. He allows a 20% discount on the marked price. If the cost price of the shirt is 1,400 rupees, find his profit percentage.
Answer:
Marked Price (MP) = 2,000 Rs
Discount = 20 % of 2,000 = 400 Rs
Selling Price (SP) = 2,000 – 400 =1,600 Rs
Cost Price (CP) = 1,400 Rs
Profit = SP – CP = 1,600 – 1,400 = 200 Rs
Profit % = (Profit ÷ CP) x 100
= (200 – 1,400) x 100 = 14.28%

Question 5.
(a)The algebraic expression for the number obtained by adding 10 repeatedly to 9 is:
(A) 10n
(B) 9n
(C) 9 + 10n
(d) 10 + 9n
Answer:
(d) 10 + 9n

(b) The numbers 25, 36,47… are got by starting with 25 and adding 11 again and again
i) What is the remainder if any such number is divided by 11?
Answer:
The remainder will be 3. Thus, the number can be written as:
25 = (2 × 11) + 3
36 = (3 × 11) + 3
47 = (4 × 11) + 3

ii) Write the general algebraic form of all these numbers.
Answer:
Algebraically we can write in the form of 11n + 3 where n is one of the numbers 0, 1, 2, 3….

iii) Is 100 among these numbers? What about 1000?
Answer:
For the number 100 we can write it as:
100 = (9 × 11) + 1
For the number 1000 we can write it as:
1000 = (90 × 11) + 10

The Sixth question has 2 questions (6A and 6B). You only need to answer one of them.

Question 6.
A (a) Consider a square of side 5 cm .
(i) Its area is 5² = 25 cm².
(ii) If we double the side to 10 cm , the area becomes double, i.e., 50 cm².
(iii) If we take the diagonal of the first square as side, the new square will have double the area. Which of the above statements are true?
(a) i, ii correct
(b) ii and iii correct
(c) i and iii correct
(d) Only i correct
Answer:
(c) i and iii correct

(b) The area of a square is 196 sq. cm. Then find the length of the sides?
Answer:
It is given that area of the square = 196 Sq.cm
We know that area of the square = side × side = 14 × 14 = 196 Sq. cm
Length of the sides = = \(\sqrt{196}\) = 14 cm

(c) Find the sides of the triangle in the figure

Answer:
In the given figure the one perpendicular side is 4 cm,
This side is parallel to the side of the rectangle and hence it is 4 cm.
And the other side is 8 – 5 = 3 cm
Therefore third side of the triangle
= \(\sqrt{3^2+4^2}\)
= \(\sqrt{9+16}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5 cm

Or

(B) (a) Laws and concepts of exponents are given below:

Column 1	Column  2
1. xm × xn	(a) xmn
2. \( \frac{x^m}{x^n} \)	(b) (xy)n
3. xn × yn	(c) xm + xn
4. (xm)n	(d) xm – xn

Which of the following is true:
(A) 1 → a, 2 → c, 3 → b, 4 → d
(B) 1 → c, 2 → d, 3 → b, 4 → a
(C) 1 → b, 2 → c, 3 → d, 4 → a
(D) 1 → d, 2 → a, 3 → c, 4 → b
Answer:
(B) 1 → c, 2 → d, 3 → b, 4 → a

(b) Calculate the powers below as fractions:
(a) \(\left(\frac{3}{2}\right)^3\)
(b) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
(c) \(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2\)
Answer:

(c) Write each product below as the product of powers of different primes: .
i) 75 × 45
Answer:
75 × 45
75 = 3 × 5²
45 = 3² × 5
5 × 45 = (3 × 5²) × (3² × 5)
= 3³ × 5³

ii) 96 × 144
Answer:
96 × 144
96 = 2⁵ × 3¹
144 = 12² = (22 × 3)² = 2⁴ × 3²
96 × 144 = (2⁵ × 3¹) × (2⁴ × 3²)
= 2⁹ × 2³

iii) 72 × 175
Answer:
72 × 175
72 = 8 × 9 = 2³ × 3²
175 = 25 × 7 = 5² × 7¹
72 × 175 = (2³ × 3²) × (5² × 7¹)

Class 7 Maths Question Paper with Solutions Pdf Kerala State Syllabus in Class 7 helps students strengthen their understanding of numbers, algebra, geometry, and practical problem-solving. The syllabus & Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus used in Kerala schools is prepared by the Kerala Board of Public Examinations to develop logical thinking and analytical skills among students.

Std 7 Maths Question Paper Kerala Syllabus

One effective way to prepare for the Maths examination is by practicing SCERT Class 7 Maths Question Paper with Answers. These 7th Standard Maths Question Paper with Answer Pdf are designed according to the latest syllabus and give students an idea about the format of the exam.

Students can improve problem-solving skills by practicing Class 7 Maths Model Question Paper Kerala Syllabus regularly.

Class 7 Maths Question Paper with Solutions Pdf State Syllabus

• Kerala Syllabus Class 7 Maths Model Question Paper Set 1
• Kerala Syllabus Class 7 Maths Model Question Paper Set 2
• Kerala Syllabus Class 7 Maths Model Question Paper Set 3
• Kerala Syllabus Class 7 Maths Model Question Paper Set 4
• Kerala Syllabus Class 7 Maths Model Question Paper Set 5

Class 7 Maths Question Paper Pdf Malayalam Medium

• Class 7 Maths Question Paper Set 1 Malayalam Medium
• Class 7 Maths Question Paper Set 2 Malayalam Medium
• Class 7 Maths Question Paper Set 3 Malayalam Medium
• Class 7 Maths Question Paper Set 4 Malayalam Medium
• Class 7 Maths Question Paper Set 5 Malayalam Medium

Class 7 Maths Question Paper Pdf Kerala Syllabus and Class 8 Maths Previous Year Question Paper Kerala Syllabus are also helpful during revision. They show how questions were asked in earlier exams and allow students to practice different types of problems.

The Maths exam usually contains step-based calculations, short answer questions, and application problems. Regular practice of Class 7 Maths Question Paper Pdf Malayalam Medium helps students improve both accuracy and confidence while solving mathematical problems.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 8 ആവർത്തനഗുണനം can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 8 Solutions Malayalam Medium ആവർത്തനഗുണനം

Class 7 Maths Chapter 8 Malayalam Medium Kerala Syllabus ആവർത്തനഗുണനം

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളെ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയായോ, വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണ നഫലമായോ എഴുതി നോക്കൂ:
i) 125
ii) 72
iii) 100
iv) 250
v) 3600
vi) 10800
Answer:
i) 125
125 = 5 × 5 × 5 = 5³

ii) 72
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2³ × 3²

iii) 100
100 = 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 5²

iv) 250
250 = 2 × 5 × 5 × 5
= 2 × 5³

v) 3600
3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

(vi) 10800
10800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3³ × 5²

Question 2.
ചുവടെപ്പറയുന്ന കൃതികൾ ഭിന്നസംഖ്യകളായി കണക്കാക്കുക:
(i) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\)
Answer:
\(\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}\)

(ii) \(\left(1 \frac{1}{2}\right)^2\)
Answer:
\(\left(1 \frac{1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{9}{4}\right\)

(iii) \(\left(\frac{2}{5}\right)^3\)
Answer:
\(\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right)\)
= \(\frac{8}{125}\)

(iv) \(\left(2 \frac{1}{2}\right)^3\)
Answer:
\(\left(2 \frac{1}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{125}{8}\)

Question 3.
ചുവടെപ്പറയുന്ന കൃതികൾ ദശാംശരൂപത്തിൽ കണക്കാക്കുക:
(i) (0.5)²
(ii) (1.5)²
(iii) (0.1)³
(iv) (0.01)³
Answer:
i) (0.5)²
= 0.5 × 0.5
= 0.25

ii) (1.5)²
= (1.5)(1.5)
= 2.25

iii) (0.1)³
= (0.1)(0.1)(0.1)
= 0.001

iv) (0.01)³
= (0.01)(0.01)(0.01)
= 0.000001

Question 4.
15³ = 3375 ആണ്. ഇത് ഉപയോഗിച്ച്, ചുവടെയുള്ള കൃതികൾ കണക്കാക്കുക: (i) (1.5)3 (ii) (0.15)3 (iii) (0.015)3
i) (1.5)³
ii) (0.15)³
iii) (0.015)³
Answer:
i) (1.5)³ = 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375
ii) (0.15)³ = 0.15 × 0.15 × 0.15 = 0.003375
iii) (0.015)³ = 0.015 × 0.015 × 0.015 = 0.000003375

Question 5.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണന ഫലമായി എഴുതുക:
i) 72 × 162
ii) 225 × 135
iii) 105 × 175
iv) 25 × 45 × 75
Answer:
i) 72 × 162
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
162 = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 3⁴ × 2
72 × 162 = (2³ × 3²)(3⁴ × 2)
= 2⁴ × 3⁶

ii) 225 × 135
225 = 3 × 3 × 5 × 5 = 3² × 5²
135 = 3 × 3 × 3 × 5 = 3³ × 5¹
225 × 135 = (3² × 5²)( 3³ × 5¹)
= 3⁵ × 5³

iii) 105 × 175
105 = 3 × 5 × 7 = 3¹ × 5¹ × 7¹
175 = 5 × 5 × 7 = 5² × 7¹
105 × 175 = (3¹ × 5¹ × 7¹)(5² × 7¹)
= 3 × 5³ × 7²

iv) 25 × 45 × 75
25 = 5¹ × 5¹
45 = 3² × 5¹
75 =3¹ × 5²
25 × 45 × 75 = (5¹ × 5¹)(3² × 5¹)(3¹ × 5²)
= 5⁵ × 3³

Question 6.
1 മുതൽ 15 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
Ans:
1 (no primes)
2 = 2¹
3 = 3¹
4 = 2²
5 = 5¹
6 = 2¹ × 3¹
7 = 7¹
8 = 2³
9 = 3²
10 = 2¹ × 5¹
11 = 11¹
12 = 2² × 3¹
13 = 1³¹
14 = 2¹ × 7¹
15 = 3¹ × 5¹
1 മുതൽ 15 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ
കൃതികളുടെ ഗുണനഫലം എന്നു പറയുന്നത്
= 1× 2 × 3 × 2² × 5 × 2 × 3 × 7 × 2³ × 3² × 2 × 5 × 11 × 2² × 3 × 13 × 2 × 7 × 3 × 5
= 2¹¹ × 3⁶ × 5³ × 7² × 11¹ × 13¹

Question 7.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ
(i) 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതും ആയ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(ii) 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(iii) 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവയും 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണ് ?
(iv) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി ഏതാണ് ?
Answer:
(i) 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതും ആയ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 2, 6, 10, 14, 18, 22 ആണ്.
(ii) 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 4, 12, 20 ആണ്.
(iii) 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവയും 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ എന്നു പറയുന്നത് 8, 24 ആണ് .
(iv) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 2 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 4 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 4, 8, 12, 16, 20, 24
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 8 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 8, 16, 24
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 16 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 16
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 22 (12 + 6 + 3 + 1) ആണ്

Question 8.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന
(i) 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി എന്താണ്?
(ii) 10 ന്റെ കൃതിയോ?
(iii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ അവസാനം എത്ര പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും?
Answer:
(i) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 5 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 5, 10, 15, 20, 25.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ 25 കൊണ്ട് മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകൾ 25.
1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 6 (5 + 1) ആണ്.

(ii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാത ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 5 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 6 ആണ്. അതുപോലെ 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തെ മിച്ചമില്ലാതെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന 2 ന്റെ ഏറ്റവും വലിയ കൃതി 22 ആണ്. എന്നാൽ, 10 = 2* 5 ആയതിനാൽ ഇതേ ഗുണനഫലത്തെ ഹരിക്കാൻകഴിയുന്ന, 10 ന്റെ വലിയ കൃതി കാണാൻ ഇവയിലെ ചെറിയ കൃതിയായ 6 അടുക്കുകയാണ് വേണ്ടത്.

(iii) 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ അവസാനം 6 പൂജ്യങ്ങളാണ് ഉളളത്.

Question 9.
ചുവടെയുള്ള ഹരണഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:
i) 512 ÷ 64
ii) 3125 ÷ 125
iii) 243 ÷ 27
iv) 1125 ÷ 45
Answer:
i) 512 ÷ 64
512 = 29 = 26 × 23
64 = 26 = 23 × 23
512 ÷ 64 = ( 2⁶ × 2³) ÷ (2³ × 2³)
= 2⁶ ÷ 2³
= 2^6-3
= 2³
= 8

ii) 3125 ÷ 125
3125 = 5⁵ = 5² × 5³
125 = 53 = 5² × 5¹
3125 ÷ 125 = (5² × 5³) ÷ (5² × 5¹)
= 5³ ÷ 5¹
= 5^3-1
= 5²
=25

iii) 243 ÷ 27
243 = 3⁵ = 3² × 3³
27 = 3³ = 3² × 3¹
243 ÷ 27 = (3² × 3³) – (3² × 3¹)
= 3³ – 3¹
= 3^3-1
= 3²
= 9

iv) 1125 ÷ 45
1125 = 5³ × 3²
45 = 5¹ × 3²
1125 ÷ 45 = (5³ × 3²) ÷ (5¹ × 3²)
= 5^3-1
= 5²
= 25

Question 10.
(i) 2¹⁰ ന്റെ പകുതിയെ 2 ന്റെ കൃതിയായി എഴുതുക
(ii) 3¹² ന്റെ മൂന്നിലൊരു ഭാഗത്തിനെ 3 ന്റെ കൃതിയായി എഴുതുക.
Answer:
i) 2¹⁰ ന്റെ പകുതി = 2¹⁰ ÷ 2¹
= 2^10-1
= 2⁹

ii) 3¹² ന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് = 3¹² ÷ 3¹
= 3¹¹

Question 11.
ഇതുപോലെ ചുവടെയുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഘൂകരിച്ച് എഴുതാമല്ലോ.
i) \(\frac{27}{243}\)
Answer:

ii) \(\frac{125}{3125}\)
Answer:

iii) \(\frac{48}{64}\)
Answer:

iv) \(\frac{54}{81}\)
Answer:

Question 12.
ചുവടെയുള്ള ഗുണനങ്ങൾ മനക്കണക്കായി ചെയ്യുക.
i) 5² × 4²
ii) 5³ × 6³
iii) 25³ × 4³
iv) 125² × 8²
Answer:
i) 5² × 4² = (5 × 4)²
= 20²
= 400

ii) 5³ × 6³ = (5 × 6)³
= 30³
= 27000

iii) 25³ × 4³ = (25 × 4)³
= (100)³
= 1000000

iv) 125² × 8² = (125 × 8)²
= (1000)²
= 1000000

Question 13.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക.
i) 15²
ii) 30³
iii) 12² × 21²
iv) 12² × 21³
Answer:
i) 15² = (3 × 5)³
= 3² × 5²

ii) 30³ = (2 × 3 × 5)³
= 2³ × 3³ × 5³

iii) 12² × 21²
12² = (2 × 2 × 3)²
= 2² × 2² × 3²

21² = (7 × 3)²
= 7² × 3²

12² × 21² = 2² × 2² × 3² × 7² × 3²
= 2⁴ × 3⁴ × 7²

iv) 12² × 21³
12² = (2 × 2 × 3)² = 2² × 2² × 3²
21³ = (7 × 3)³ = 7³ × 3³
12² × 21³ = 2² × 2² × 3² × 7³ × 3³
= 2⁴ × 3⁵ × 7³

Intext Questions And Answers

Question 1.
ചില ഭിന്നസംഖ്യകളെ ലഘൂകരിക്കാനും കൃത്യങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.
\(\frac{64}{512}=\frac{2^6}{2^9}\)
Answer:
= \(\frac{2^6}{2^6 \times 2^3\)
= \(\frac{2^6}{2^6} \times \frac{1}{2^3}\)
= \(\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)

Repeated Multiplication Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
താഴെയുള്ള ഓരോ സംഖ്യയും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയായോ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായോ എഴുതുക.
i) 3125
ii) 200
iii) 1600
Answer:
i) 3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5s
ii) 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³3 × 5²
iii) 1600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2⁶ × 5²

Question 2.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കൃതികളെ ഭിന്നസംഖ്യകളായി കണക്കാക്കുക:
i) \(\left(\frac{3}{2}\right)^3\)
Answer:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^3=\left(\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right) \times\left(\frac{3}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{27}{8}\right)\)

ii) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)
Answer:
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2=\left(\frac{3}{5}\right) \times\left(\frac{3}{5}\right)\)
= \(\left(\frac{9}{25}\right)\)

iii) \(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2\)
Answer:
\(\left(2 \frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
= \(\left(\frac{49}{4}\right)\)

Question 3.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ ഗുണനഫലവും വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക:
i) 75 × 45
ii) 96 × 144
iii) 72 × 175
Answer:
i) 75 × 45
75 = 3 × 5²
45 = 3² × 5
5 × 45 = (3 × 5²) × (3² × 5)
= 3³ × 5³

ii) 96 × 144
96 = 2⁵ × 3¹
144 = 122 = (2² × 3)² = 2⁴ × 3²
96 × 144 = (2⁵ × 3¹) × (2⁴ × 3²)
= 2⁹ × 3³

iii) 72 × 175
7² = 8 × 9 = 2³ × 3²
17⁵ = 25 × 7 = 5² × 7¹
7² × 17⁵ = (2³ × 3²) × (5² × 7¹)

Question 4.
ചുവടെയുള്ള ഹരണഫലം കണക്കാക്കുക.
(i) \(\frac{1440}{120}\)
(ii) \(\frac{729}{27}\)
Answer:
i) 1440 = 12² × 10
= (2² × 3)² × (2¹ × 5¹)
= 2⁵ × 3²2 × 5¹
120 = 12 × 10 = (22 × 3) × (2 × 5)
120 = 23 × 31 × 51
= \(\frac{1440}{120}=\frac{2^5 \times 3^2 \times 5^1}{2^3 \times 3^1 \times 5^1}\)
= 2^5-3 x 3^2-1 x 5^1-1
= 2² × 3¹ × 5⁰
=4 × 3 × 1
= 12

(ii) \(\frac{729}{27}\)
729 = 3⁶
27 = 3³
\(\frac{729}{27}=\frac{3^6}{3^3}\) = 3^6-3 = 3³ = 27

Question 5.
ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഓരോ സംഖ്യകളും വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളായി എഴുതുക
i) 28
ii) 45²
iii) 18² × 30²
iv) 20³ × 27¹
Answer:
i) 28 = 2² × 7¹
ii) 45² = (3² × 5¹)² = 3⁴ × 5²
iii) 18² × 30² = (2¹ × 3²)² × (2¹ × 3¹ × 5¹)² = 2²⁺² × 3⁴⁺² × 5² = 2⁴ × 3⁶ × 5²
iv) 20³ × 27¹ = (2² × 5¹)³ × (3³)
= 2⁶ × 5³ × 3³

Repeated Multiplication Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന ആശയമായ ആവർത്തന ഗുണനം എന്ന ആശയമാണ് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആവർത്തിച്ചുള്ള ഗുണനം എന്നാൽ ഒരു നമ്പർ തന്നെ ആവർത്തിച്ച് അതിനോട് തന്നെ ഗുണിക്കുന്നതാണ്. ഈ അധ്യായത്തിൽ ഫാക്റ്റർസ്, പവറുകളുടെ പ്രോഡക്ട്, പവറുകളുടെ കോഷ്യന്റ്, ഗുണനവും പവറുകളും എന്നീ ടോപ്പിക്കുകളാണ് ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആദ്യത്തെ ടോപിക്കിൽ എക്സ്പൊണെന്റ് സും, പവറുകളും അതിനോട് അനുബന്ധമായ കണക്കു കളുമാണ് പഠിക്കുന്നത്.

രണ്ടാമത്തെ ടോപിക്കിൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷന്റെ പവറുകൾ കൂടുന്നതും, കുറയുന്നതും എങ്ങനെയാണെന്നാണ് പറയുന്നത്.
മൂന്നാമത്തെ ടോപിക്കിൽ പ്രൊഡക്ടുകളുടെ പവറുകളെ പറ്റിയാണ് പഠിക്കുന്നത്. നാലാമത്തെ ടോപിക്കിൽ ഡിവിഷന്റെ കേസിൽ എങ്ങനെയാണ് പവറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതെന്നാണ് പറയുന്നത്.

ഈ അധ്യായത്തിലെ അവസാനത്തെ ടോപിക്കിൽ ഗുണനത്തേയും പവറുകളെയും പറ്റിയാണ് ചർച്ച ചെയുന്നത്. ആവർത്തന ഗുണനം മനസിലാക്കുന്നതിലൂടെ സങ്കീർണമായ കണക്കുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കുന്നു.

ഘടകങ്ങൾ
ഒന്നിനെക്കാൾ വലിയ ഏതു എണ്ണൽസംഖ്യയെയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണന ഫലമായി എഴുതാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണമായി, 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
ഇതിനെ ചുരുക്കി 2′ എന്നും എഴുതാം.
ഒരേ സംഖ്യതന്നെ വീണ്ടും വീണ്ടും കുട്ടുന്നതിനെ ഗുണനമായി ചുരുക്കി എഴുതുന്നതുപോലെ, വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിക്കുന്നതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം.
ഉദാഹരണമായി,
5 + 5 = 5 × 2
5 × 5 = 5²

5 + 5 + 5 = 5 × 3
5 × 5 × 5 = 5³

കൃതീകരണം (Exponentiation) : ഒരു സംഖ്യയെ അതുകൊണ്ടുതന്നെ വീണ്ടും വീണ്ടും ഗുണിക്കുന്ന ക്രിയയ്ക്ക് കൃതീകരണം എന്നു പറയുന്നു.

കൃത്യങ്കം (Exponent) : എത്രയെണ്ണം ഗുണിക്കുന്നു എന്നതിനെ കൃത്യങ്കം എന്നു പറയുന്നു. ഇതിനെയാണ് ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്ത്, അല്പം മുകളിലായി ചെറുതാക്കി എഴുതുന്നത്.

കൃതികൾ (Powers) : ഒരു സംഖ്യയെ തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യയുടെ കൃതികൾ എന്നു പറയുന്നു.

ഉദാഹരണമായി,
2 × 2 × 2 = 2³ രണ്ടിന്റെ മൂന്നാം കൃതി
3 × 3 = 3² മൂന്നിന്റെ രണ്ടാം കൃതി
ഇതുപോലെ, ഏതു സംഖ്യയെയും അതിന്റെ തന്നെ ഒന്നാം കൃതിയെന്നു പറയാം.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, 198 നെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്ന തെങ്ങനെ?
198 = 2 × 3 × 3 × 11 = 2 × 11 × 3²
പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യ യെയും ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയോ, വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമോ ആയി എഴുതാം.

ഭിന്നകൃതികൾ
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം, വശങ്ങളുടെ നീളം 4 മീറ്റർ ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എന്നു പറയുന്നത് 4 × 4 = 4² ആണ്.

അതുപോലെ, വശങ്ങളുടെ നീളം \(\frac{1}{4}\) മീറ്റർ ആയാൽ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^2\) എന്നും,
വശങ്ങളുടെ നീളം 0.33 മീറ്റർ ആയാൽ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് 0.33 × 0.33 = (0.33)² എന്നും പറയാം.
ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
വശങ്ങളുടെ നീളം × ആയ സമചതുരത്തിന്റെ പരപ്പളവ് x²
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, വക്കുകളുടെയെല്ലാം നീളം \(\frac{1}{2}\) മീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം എന്നു പറയുന്നത് \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^3\) ആണ്.

അതുപോലെ, വക്കുകളുടെയെല്ലാം നീളം 0.75 മീറ്റർ ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം എന്നു പറയുന്നത് 0.75 × 0.75 × 0.75 = 0.753 ആണ്.
ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
വക്കുകളുടെ നീളം × ആയ സമചതുരക്കട്ടയുടെ വ്യാപ്തം x³

2 ന്റെ കൃതികൾ ക്രമമായി കണക്കാക്കാം
2² = 2 × 2 = 4
2³ = 4 × 2 = 8
2⁴ = 8 × 2 = 16
2⁵ = 16 × 2 = 32

ന്റെ കൃതികൾ ക്രമമായി കണക്കാക്കാം

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ
ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികൾ ക്രമമായി വലുതാകുന്നു. ഒന്നിനേക്കാൾ ചെറുതും, പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികൾ ക്രമമായി ചെറുതാകുന്നു. ഒന്നിന്റെ കൃതികൾ എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ. പൂജ്യത്തിന്റെ കൃതികളും പൂജ്യമായി തന്നെ തുടരുന്നു.

കൃതികളുടെ ഗുണനം
ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം,
4² × 4³ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4
അതായത് , 4² × 4³ നെ 4⁵ എന്നും എഴുതാം.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃതികൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കൂട്ടണം

ബീജഗണിതഭാഷയിൽ,
x ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ ഏതു രണ്ട് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും x^m × xⁿ = x^m+n

ഇതിൽ രണ്ടുകാര്യങ്ങളുണ്ട്
(i) ഒരേ സംഖ്യയുടെ രണ്ടു കൃതികളുടെ ഗുണനഫലം ആ സംഖ്യയുടെതന്നെ കൃതിയാണ്.
(ii) ഗുണനഫലത്തിന്റെ കൃത്യങ്കം, ഗുണിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൃത്യങ്കങ്ങളുടെ തുകയാണ്.

x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതു സംഖ്യ ആയാലും, mn ഇവ m < n ആയ ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ആയാലും, \(\frac{x^m}{x^n}=\frac{1}{x^{n-m}}\)

മടങ്ങും കൃതിയും
4 ന്റെ 2 മടങ്ങും 6 ന്റെ 2 മടങ്ങും എങ്ങനെ കൂട്ടാം എന്ന് നോക്കാം.
4 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 4 + 4
ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 6 + 6
ഇവ തമ്മിൽ കൂട്ടിയാൽ,
4 ന്റെ 2 മടങ്ങ് + 6 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = (4 + 6) + (4 + 6)
= 10 + 10 = 10 ന്റെ 2 മടങ്ങ്

ചുരുക്കി പറഞ്ഞാൽ,
(2 × 4) + (2 × 6) = 2 × (4 + 6)

മടങ്ങുകൾക്കു പകരം കൃതികളാക്കിയാൽ;
4 ന്റെ 2-ാം കൃതി = 4 × 4
6 ന്റെ 2-ാം കൃതി = 6 × 6
ഇവ ഗുണിക്കുമ്പോൾ,
(4 ന്റെ 2-ാം കൃതി) × (6 ന്റെ 2-ാം കൃതി) = (4 × 4) × (6 × 6)

അതായത്,
4² × 6² = (4 × 6)²

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഒരേ കൃതികൾ തമ്മിലുള്ള ഗുണനഫലം, സംഖ്യക ളുടെ ഗുണന ഫലത്തിന്റെ അതേ കൃതിയാണ്.

ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് പറഞ്ഞാൽ,
x, y ഇവ ഏതു രണ്ടു സംഖ്യകളും n ഏത് എണ്ണൽ സംഖ്യയും ആയാലും,
xⁿyⁿ = (xy)ⁿ

7 ന്റെ 2 മടങ്ങിന്റെ 5 മടങ്ങ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം എന്ന് നോക്കാം.
2 ന്റെ 5 മടങ്ങ് = 5 × 2 = 10
7 ന്റെ 10 മടങ്ങ് = 10 × 7 = 70

അതുപോലെതന്നെ,
7 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 7 × 2 = 14
5 ന്റെ 14 മടങ്ങ് = 5 × 14 = 70

ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ശരിയാകുന്നു എന്നു നോക്കാം.
7 ന്റെ 2 മടങ്ങ് = 7 + 7
(7 + 7) ന്റെ 5 മടങ്ങ് (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)
= 7 ന്റെ 10 മടങ്ങ്

ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
5 × (2 × 7) = (5 × 2) × 7

മടങ്ങുകൾക്ക് പകരം കൃതികളായാൽ,
7 ന്റെ 2 കൃതി = 7 × 7
(7 × 7) ന്റെ 5 കൃതി = (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7) × (7 × 7)
= 7 ന്റെ 10 കൃതി

കൃതികളായി എഴുതി, ഈ സമവാക്യം ചുരുക്കാം.
(7 × 7)⁵ = (7²)⁵ = 7¹⁰
ഒരു സംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെ കൃതി കണക്കാക്കാൻ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ ഗുണിക്കണം.

ബീജഗണിതത്തിൽ എഴുതിയാൽ,
x ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും,
(x^m)ⁿ = x^mn

കൃതികളുടെ ഹരണം
ഇനി കൃതികളെ എങ്ങനെ ഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, 288 ÷ 36
ആദ്യം 288 നെയും 36 നെയും ഘടകങ്ങളാക്കുക.
288 = 2⁵ × 3²
36 = 2² × 3²
പൊതുവായ ഘടകങ്ങളെ മാറ്റിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടുന്നത്,
(2⁵ × 3²) ÷ (2² × 3²) = 2⁵÷ 2²

ഇനി നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഹരിക്കാം,
2⁵ ÷ 2² = 2^5-2= 2³
288 ÷ 36 = (2⁵ × 3²) ÷ (2² × 3²)
= 2⁵ ÷ 2²
= 2^5-2
= 2³
= 8

ഇത് ഒരു പൊതുതത്വമായി പറഞ്ഞാൽ:
പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയുടെ വലിയ കൃതിയെ അതേ സംഖ്യയുടെ ചെറിയ കൃതി കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ, കൃത്യങ്കങ്ങൾ തമ്മിൽ കുറയ്ക്കണം.

ഇനി ഇത് ബീജഗണിതഭാഷയിൽ എഴുതാം:
x പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതു സംഖ്യയും m, n ഇവ m > n ആയ ഏത് എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആയാലും \(\frac{x^m}{x^n}\) = x^m-n

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 10 ത്രികോണപ്പരപ്പ് can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 10 Solutions Malayalam Medium ത്രികോണപ്പരപ്പ്

Class 7 Maths Chapter 10 Malayalam Medium Kerala Syllabus ത്രികോണപ്പരപ്പ്

Question 1.
ചുവടെയുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കാണുക?

Answer:
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ = 5 സെമീ, 3 സെമീ
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) (ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം)
= \(\frac{1}{2}\)(5 × 3)
= \(\frac{1}{2}\) (15)
= 7.5 ച.സെ.മീ

Answer:
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ = 5 സെമീ, 4 സെമീ
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 3 (ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം)
= \(\frac{1}{2}\)(5 × 4)
= \(\frac{1}{2}\) (20)
= 10 ച.സെ.മീ

Answer:
ഇവിടെ രണ്ട് മട്ട ത്രികോണങ്ങൾ ചേർത്തുകിട്ടിയ ത്രികോണമാണ് ചിത്രത്തിലുള്ളത് ആയതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണാൻ രണ്ടു മട്ട ത്രികോണകളുടെയും പരപ്പ ളവുകൾ വെവ്വേറെ കണ്ടു അവ കൂട്ടിയാൽ മതി. എന്നാൽ ഇവിടെ രണ്ടു മട്ട ത്രികോണങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ ഒരു മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണ്ടു അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി.

മട്ട ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) (3 × 3)
= \(\frac{1}{2}\) (9)
= 4.5 ച.സെമീ

ആയതിനാൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × 4.5 = 9 ച.മീ

Question 2.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയെല്ലാം പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക.

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 2
= 4 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 6 × 3
= 9 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 4
= 10 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 4 × 3
= 6 ച.സെമീ

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 4
= 6 ച.സെമീ

Question 3.
ചുവടെ വരച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?
(i) ഇതേ പരപ്പളവുള്ള ഒരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
(ii) ഇതേ പരപ്പളവുള്ളതും, ഒരു കോൺ മട്ടത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ ഒരു ത്രികോണം വര യ്ക്കുക.

Answer:
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 7 × 4
= 14 ചസെമീ

Question 4.
വശങ്ങളുടെ നീളം 3, 4, 6 സെന്റിമീറ്റർ ആയ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ഇതേ പരപ്പളവുള്ള മൂന്നു വ്യത്യസ്ത മട്ടത്രികോണങ്ങൾ വരയ്ക്കുക.
Answer:

Question 5.
രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററും, 6 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്ര മീറ്ററും ആയ എത്ര വ്യത്യസ്ത ത്രികോണം വരയ്ക്കാം? പരപ്പളവ് 24 ചതുരശ്ര മീറ്റർ ആയാലോ?
Answer:
രണ്ടു വശങ്ങളുടെ നീളം 8 സെന്റിമീറ്ററും, 6 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 12 ചതുരശ്രസെന്റി മീറ്ററും ആയ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ വരയ്ക്കാം.

പരപ്പളവ് = 24 ച.സെമീ ആയാൽ,

Question 3.
ചുവടെക്കാണുന്ന ത്രികോണം നോട്ടുബുക്കിൽ വരയ്ക്കുക.

ഇതേ പരപ്പളവുള്ള ABP, BC, CAR എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ ചുവടെപ്പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അളവുക ളിൽ വരയ്ക്കുക.
(i) ∠BAP = 90°
Answer:

∠BAP = 90° ആയ ABP എന്ന ത്രികോണമാണ് മുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നത്

(ii) ∠CBQ = 60°
Answer:

∠CBQ = 60° ആയ BCQ എന്ന ത്രികോണമാണ് മുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നത്

(iii) ∠ACR = 30°
Answer:

∠ACR = 30° ആയ CAR എന്ന ത്രികോണമാണ് മുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നത്

Intext Questions And Answers

Question 1.
ഉദാഹരണമായി, താഴെ തന്നിട്ടുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കാണുക?

Answer:
ലംബവശങ്ങളുടെ നീളങ്ങൾ = 4 സെമീ, 3 സെമീ
ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\)(ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം)
= \(\frac{1}{2}\) (3 × 4)
= \(\frac{1}{2}\)(12)
= 6 ച.സെമീ

Question 2.
ഇതുപോലെ ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാമോ?

Answer:
ഇവിടെ വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം x സെന്റിമീറ്റർ എന്നും, ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം y സെന്റിമീറ്റർ എന്നും എടുത്താൽ:
ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × x × 4
= \(\frac{4}{2}\)x
= 2x ച.മീ

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിൻന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × y × 4
= \(\frac{4}{2}\)y
= 2y ച.സെമീ

അതിനാൽ, മൊത്തം പരപ്പളവ് = \(\frac{4}{2}\)x + \(\frac{4}{2}\)y
= 2x + 2y
= 2 (x + y)
ഇവിടെ x + y = 5 ആണല്ലോ.

അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = 2 × 5 = 10 ച.മീ

Area of Triangles Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെയെല്ലാം പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുക

Answer:
(i) പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 8 × 6
= 24 ച.സെമീ

(ii) പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × 12
= 60 ച.സെമീ

(iii) പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 5 × 7
= 17.5 ച.സെമീ

Question 2.
ചുവടെ വരച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എത്രയാണ്?

(i) ഇതേ പരപ്പളവുള്ള ഒരു മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കുക.
Answer:
പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം
= \(\frac{1}{2}\) × 9 × 4
= 18 ച.സെമീ

(ii) ഇതേ പരപ്പളവുള്ളതും, ഒരു കോൺ മട്ട ത്തേക്കാൾ വലുതും ആയ ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക
Answer:

Area of Triangles Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ത്രികോണങ്ങളെ കുറിച്ച് കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും. പ്രധാനമായും മൂന്ന് ആശയങ്ങളാണ് ഈ അധ്യായത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്: മട്ടത്രികോണം, പാദവും ഉയരവും, സമാന്തര വരകൾ. അധ്യായത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നതിനു മുമ്പ് നമുക്ക് രസകരമായ ഒരു വസ്തുത ചർച്ച ചെയ്യാം എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളും, എങ്ങനെ കണ്ടാലും, അവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ ഒരു ലളിതമായ സൂത്രവാക്യമായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? ഒരു കഷണം കടലാസ് വിവിധ ത്രികോണങ്ങളായി മുറിക്കുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കുക; അവയുടെ പാദവും ഉയരവും ഒന്നായി രിക്കുന്നിടത്തോളം, അവയുടെ പരപ്പളവും ഒന്നാണ് !

മട്ടത്രികോണങ്ങൾ
ഒരു കോൺ മട്ടമായ ത്രികോണകളെയാണ് മട്ട ത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്

പാദവും ഉയരവും
ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ഒരു വശത്തിന്റെയും, ആ വശത്തിൽനിന്ന് എതിർ മൂലയിലേ ക്കുള്ള ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

സമാന്തരവരകൾ
ഒരേ പാദവും, മൂന്നാം മൂലകളെല്ലാം പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലും ആയ ത്രികോണ ങ്ങൾക്കെല്ലാം ഒരേ പരപ്പളവാണ്.

മട്ടത്രികോണങ്ങൾ
മട്ടത്രികോണം
ഒരു കോൺ മട്ടമായ (90°) ആയ ത്രികോണങ്ങളെ മട്ടത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ,
കോൺ B മട്ടകോൺ ആണ്.
AB, BC ഇവ ലംബ വശങ്ങൾ ആണ് .

മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ്
ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ലംബവശങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

പാദവും ഉയരവും
തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം:

ഈ വലിയ ത്രികോണം, രണ്ടു ചെറിയ മട്ടത്രികോണങ്ങൾ ചേർന്നാണല്ലോ ഉണ്ടായിരിക്കുന്നത്.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം x സെന്റിമീറ്റർ എന്നും, ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം y സെന്റിമീറ്റർ എന്നും എടുത്താൽ

ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × x ×3 = \(\frac{3}{2}\) x ച.സെമീ

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × y × 3 = \(\frac{3}{2}\)y ച.സെമീ

അതിനാൽ, മൊത്തം പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)y = \(\frac{3}{2}\)(x + y)
ഇവിടെ x + y = 6 ആണല്ലോ.
അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\) × 6 = 9 ച.സെമീ

ഇനി ത്രികോണം ഇങ്ങനെ ആയാൽ പരപ്പളവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

ഇവിടെ ഈ ത്രികോണത്തെ ഒരു വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിൽനിന്ന് ഒരു ചെറിയ മട്ടത്രികോണം മുറിച്ചു മാറ്റിയതായി കണക്കാക്കാം

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം x സെന്റിമീറ്റർ എന്നും, ചെറിയ മട്ട ത്രികോ ണത്തിന്റെ താഴത്തെ വശത്തിന്റെ നീളം y സെന്റിമീറ്റർ എന്നും എടുക്കാം:

ചെറിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × x × 3
= \(\frac{3}{2}\)x ച.മീ

വലിയ മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{1}{2}\) × y × 3
= \(\frac{3}{2}\)y ച.മീ

അതിനാൽ, മൊത്തം പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\)x – \(\frac{3}{2}\)y
= \(\frac{3}{2}\)(x − y)

ഇവിടെ x – y = 8 ആണല്ലോ.
അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് = \(\frac{3}{2}\) × 8 = 12 ച.സെമീ
അപ്പോൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് പൊതുവായി ഇങ്ങനെ പറയാം:

ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ഒരു വശത്തിന്റെയും, ആ വശത്തിൽനിന്ന് എതിർ മൂലയിലേക്കുള്ള ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന വശത്തിന് പാദം എന്നും (base) എതിർ മൂലയിലേക്കുള്ള ഉയരത്തിന് ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം (height or altitude) എന്നും പേരിട്ടാൽ, ഇത് അല്പം ചുരുക്കി ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫല ത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.

സമാന്തരവരകൾ
ഒരു വശം 5 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററും ആയ ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ വര യ്ക്കാമെന്ന് കാണാം
പാദം 5 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെടുക്കാം
എന്നാൽ പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം പരപ്പളവിന്റെ രണ്ടിരട്ടിയാണ്. അതിനാൽ, ഉയരം 4 സെന്റീമീറ്റർ ആയിരിക്കണം.
അതായത്, പാദം =’5 സെമീ ഉം ഉയരം = 4 സെമീ ഉം ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ പഠിക്കാം.
ആദ്യം, 5 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കാം
4 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരത്തിൽ ലംബം വരയ്ക്കുക

ലംബത്തിന്റെ മുകളറ്റം, താഴത്തെ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജിപ്പിക്കുക.

പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ ആയ ത്രികോണമാണിത്.

ഇവിടെ ത്രികോണങ്ങളിൽ ലംബത്തിന്റെ സ്ഥാനം മാറുന്നതിനനുസൃതമായി ഇടത് വലത് വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങളിലും മാറ്റം വരും. എന്നാൽ ത്രികോണങ്ങളിലെ പദവും ഉയരവും മാറാത്തതിനാൽ അവയുടെ പരപ്പളവിൽ മാറ്റം വരില്ല.

പാദത്തിൽനിന്ന് ഒരേ അകലത്തിൽ ആയ ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെയെല്ലാം മുകളിലെ മൂലകൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വര കിട്ടും

ഈ വര നീട്ടി, അതിലെ ഏതു ബിന്ദുവും താഴത്തെ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജിപ്പിച്ചാൽ, പാദം 5 സെന്റിമീറ്ററും, ഉയരം 4 സെന്റിമീറ്ററും ആയ ത്രികോണം കിട്ടും; അതായത്, പാദം 5 സെന്റിമീറ്ററും, പരപ്പളവ് 10 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്ററുമായ ത്രികോണം.

പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ,
ഒരേ പാദവും, മൂന്നാം മൂലകളെല്ലാം പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലും ആയ ത്രികോ ണങ്ങൾക്കെല്ലാം ഒരേ പരപ്പളവാണ്.
ത്രികോണങ്ങളുടെ പാദം വിലങ്ങനെ വരച്ചാലും അഥവാ ചരിച്ചു വരച്ചാലും ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതായത് പരപ്പളവിന് മാറ്റം വരുന്നില്ല.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം 9 സെന്റീമീറ്ററും, മറ്റൊരു വശത്തിന്റെ നീളം 6 സെന്റി മീറ്ററും 18 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നോക്കാം. പാദം 9 സെന്റിമീറ്റർ എന്നെടുക്കാം
എന്നാൽ പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലം പരപ്പളവിന്റെ രണ്ടിരട്ടിയാണ്.
അതിനാൽ, ഉയരം 4 സെന്റിമീറ്റർ ആയിരിക്കണം.
അതായത്, പാദം = 9 സെമീ ഉം ഉയരം = 4 സെമീ ഉം ആണ്.
അങ്ങനെയെങ്കിൽ,

ആദ്യം, 9 സെന്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വര വരയ്ക്കാം
4 സെന്റിമീറ്റർ ഉയരത്തിൽ പാദത്തിനു സമാന്തരമായി ഒരു വര വരയ്ക്കാം

ചിത്രത്തിൽ, മുകളിലെ വരയിലെ ഏതു ബിന്ദുവും, താഴത്തെ വരയുടെ അറ്റങ്ങളുമായി യോജി പ്പിച്ചാൽ 18 ചതുരശ്രസെന്റിമീറ്റർ പരപ്പളവുള്ള ത്രികോണം ലഭിക്കും.
ത്രികോണത്തിന്റെ മറ്റൊരുവശം 6 സെന്റിമീറ്ററായി ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു സ്കെയിലും കോമ്പസും ഉപയോഗിച്ച് 6 സെന്റിമീറ്റർ അളന്നെടുക്കുകയും, താഴത്തെ വരയുടെ ഏതെങ്കിലും ഒരു അറ്റത്തു നിന്ന് മുകളിലെ വരിയിൽ ഈ 6 സെന്റിമീറ്റർ രേഖപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക.

മിച്ചമുള്ള രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിൽ യോചിപ്പിച്ചാൽ ആവശ്യമായ ത്രികോണം ലഭിക്കും.

ഇനി നമുക്ക്, 4 സെന്റിമീറ്റർ, 5 സെന്റിമീറ്റർ, 6 സെന്റിമീറ്റർ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണം എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നോക്കാം

ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കാതെ ഇതേ പരപ്പളവുള്ള മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കാൻ രണ്ടിന്റെയും പാദവും ഉയരവും തുല്യമായാൽ മതി. ഉയരം തുല്യമാക്കാൻ ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ മുകളിലെ മൂലയിലൂടെ താഴത്തെ വശത്തിനു സമാന്തരമായ വര വരച്ചാൽ മതി.

പാദം 4 സെന്റിമീറ്റർ ആയി ഇതേ പരപ്പളവുള്ള മട്ടത്രികോണം വരയ്ക്കാമോ?

പാദം 5 സെന്റിമീറ്റർ ആയി വരയ്ക്കണമെങ്കിലോ?

• ഒരു കോൺ മട്ട മായ ത്രികോണകളെയാണ് മട്ട ത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, ഒരു വശത്തിന്റെയും, ആ വശത്തിൽനിന്ന് എതിർ മൂലയി ലേക്കുള്ള ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകുതിയാണ്.
• ഏതു ത്രികോണത്തിന്റെയും പരപ്പളവ്, പാദത്തിന്റെയും ഉയരത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ പകു തിയാണ്.
• ഒരേ പാദവും, മൂന്നാം മൂലകളെല്ലാം പാദത്തിനു സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലും ആയ ത്രികോണ ങ്ങൾക്കെല്ലാം ഒരേ പരപ്പളവാണ്.

When preparing for exams, Kerala SCERT Class 7 Maths Solutions Malayalam Medium Chapter 9 സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ can save valuable time.

SCERT Class 7 Maths Chapter 9 Solutions Malayalam Medium സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ

Class 7 Maths Chapter 9 Malayalam Medium Kerala Syllabus സംഖ്യാബന്ധങ്ങൾ

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കുക:
(i) 40
(ii) 54
(iii) 60
(iv) 100
(v) 210
Answer:
(i) 40 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
40 = 2³ × 5
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8

(ii) 54 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
54 = 2 × 3³
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (1 + 1)(3 + 1) = 2 × 4 = 8

(iii) 60 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
60 = 2² × 3 × 5
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1)(1 + 1) (1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

(iv) 100 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
100 = 2² × 5²
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1)(2 + 1) = 3 × 3 = 9

(v) 210 നെ അഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതിയാൽ
210 = 2 × 3 × 5 × 7
ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Question 2.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽനിന്ന് സംഖ്യയുടെ ചില സവിശേഷതകൾ പറയാൻ കഴിയും. ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം 5 വരെ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിലുണ്ട്. തുടർന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം 10 വരെ എഴുതി, പട്ടിക വലുതാക്കുക:

Answer:

Question 3.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകവും മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങളും കണക്കാക്കുക:
(i) 45, 75
(ii) 225, 275
(iii) 360, 300
(iv) 210, 504
(v) 336, 588
Answer:
(i) 45 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 3² × 5
75 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 3 × 5²
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3 ഉം 5 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 3¹, 5¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ 3¹ × 5¹ = 15
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 3, 5, 15

(ii) 225 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 3² × 5²
275 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 5² × 11
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 5 ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 5²
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 5² = 25
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 5, 25

(iii) 360 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2³ × 3² × 5
300 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3 × 5²
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 5 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 2², 3¹, 5¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

(iv) 210 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2 × 3 × 5 × 7
504 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2³ × 3² × 7
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 7 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 2¹, 3¹, 7¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 2 × 3 × 7 = 4²
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

(v) 336 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2⁴ × 3 × 7
588 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3 × 7¹
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 7 ഉം ആണ്
ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതികൾ: 2², 3¹, 7¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകങ്ങൾ = 2² × 3¹ × 7¹ = 4 × 3 × 7 = 84
മറ്റു പൊതുഘടകങ്ങൾ = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Question 4.
(i) രണ്ടു വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം എന്താണ് ?
(ii) രണ്ടു ഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 1 ആകുമോ ?
(iii) രണ്ടു സംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം എന്താണ്?
Answer:
(i) രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 1 ആണ്, കാരണം അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്ക് 1 അല്ലാതെ പൊതുവായ മറ്റൊരു ഘടകങ്ങളുമില്ല.

(ii) ആകും, രണ്ട് ഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 1 ആകാം, അതായത് അവയ്ക്ക്
1 അല്ലാതെ പൊതുവായ ഘടകങ്ങളൊന്നുമില്ല
ഉദാഹരണം: 8 ഉം 15 ഉം രണ്ട് ഭാജ്യസംഖ്യകളാണ്.
8 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1 × 2³
15 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1 × 3 × 5
പൊതുഘടകങ്ങൾ: 1 മാത്രംമാണ്
അതിനാൽ, 8, 15 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം തീർച്ചയായും 1 ആണ്.

(iii) രണ്ട് സംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയുടെ പൊതുഘടകം 1 ആയിരിക്കും.
കാരണം, രണ്ടു സംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കൊണ്ടു ഹരിക്കുക എന്നത്, ആ രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയാണ്. ആയതിനാൽ ഈ സംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിലൂടെ ഹരണഫലത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നൊഴികെയുള്ള മറ്റു പൊതു ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

Number Relations Class 7 Questions and Answers Malayalam Medium

Question 1.
ചുവടെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കുക:
(i) 36
(ii) 84
(iii) 144
Answer:
(i) 36
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 36 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ:
36 = 2² × 3²
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1) (2 +1) = 3 × 3 = 9

(ii) 84
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 84 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ:
84 = 2² × 3¹ × 7¹
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12

(iii) 144
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 144 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ: 144 = 24 × 32
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = (4 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 = 15

Question 2.
ചുവടെയുള്ള സംഖ്യകളുടെയെല്ലാം ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം കണക്കാക്കുക:
(i) 48, 180
(ii) 90, 150
(iii) 84, 126
Answer:
(i) 48, 180
48 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2⁴ × 3¹
180 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3² × 5¹

പൊതുഘടകങ്ങൾ: 3 ഉം 5 ഉം
പൊതുഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി: 2², 3¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

(ii) 90, 150
90 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3² × 5¹
150 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3¹ × 5²

പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 5 ഉം
പൊതുഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി: 2¹, 3¹ , 5¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 2 × 3 × 5 = 30

(iii) 84, 126
84 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3¹ × 7¹
126 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2¹ × 3² × 7¹

പൊതുഘടകങ്ങൾ: 2 ഉം 3 ഉം 7 ഉം
പൊതുഘടകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി: 2¹, 3¹, 7¹
ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 2 × 3 × 7 = 42

Number Relations Class 7 Notes Malayalam Medium

ഈ അധ്യായത്തിൽ, സംഖ്യകളും അവയുടെ ഘടകങ്ങളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന ആശയങ്ങൾ നമ്മൾ പരിചയപ്പെടുന്നു. പ്രധാനമായും സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്നും രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള പൊതു ഘടകങ്ങൾ എങ്ങനെ തിരിച്ചറിയാമെന്നുമാണ് പഠിക്കുന്നത്

ഘടകങ്ങൾ
സംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ മുൻ വർഷങ്ങളിൽ നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട് എന്നാൽ ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താനുള്ള പുതിയൊരു മാർഗം മനസിലാ ക്കുകയാണ് ഈ ഭാഗത്തിലൂടെ ചെയ്യുന്നത് അതിനായി സംഖ്യകളെ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുന്ന രീതിയാണ് ഈ ഭാഗത്തിൽ പറയുന്നത്.

പൊതുഘടകങ്ങൾ
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള മാർഗമാണ് ഈ ഭാഗത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്. അതിനായി തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതി രണ്ടിലും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞ് അവയിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കൃതികളോടുകൂടിയ സംഖ്യകൾ എടുത്താൽ കിട്ടുന്നതായിരിക്കും ആ സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ.

ഘടകങ്ങൾ
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ 1 ഉം ആ സംഖ്യയും മാത്രമായി വരുന്ന സംഖ്യയെയാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ എന്ന് പറയുന്നത്
ഉദാഹരണമായി 2, 3, 5, 7, 11….
ഇവ ഓരോന്നിനും രണ്ടു ഘടകങ്ങൾ മാത്രമാണുള്ളത്.

അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൃതി മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലുള്ള മാറ്റം മനസ്സി ലാക്കാം.

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ.

• ഏത് അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെയും ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, കൃത്യങ്കത്തേക്കാൾ ഒന്നു കൂടുതലാണ്.
• ബീജഗണിത ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
• p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയും, n ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ, p” എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടക ങ്ങളുടെ എണ്ണം n + 1 ആണ്.
• ഇനി ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെ മറ്റൊരു അഭാജ്യസംഖ്യകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ മറന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം

3 × 5 = 15
3ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1, 3
5ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1, 5
15ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 1, 3, 5, 15
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4

വേണമെങ്കിൽ ഘടകങ്ങളെ ഇങ്ങനെ പട്ടികയാക്കാം:

1	3	(3 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ)
5	15	(3 ന്റെ ഘടകങ്ങളെ 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചത്)

അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4
3² × 5 = 45
അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള 32 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ
1, 3, 3² അതായത് 1, 3, 9
ഇനി ഇവ ഓരോന്നിനെയും 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന വേറെ 3 ഘടകങ്ങൾ: 1 × 5 = 5, 3 × 5 = 15, 3² × 5 = 45
അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3 + 3 = 3 × 2 = 6
3² × 5² = 225
ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 3 × 3 = 9

3³ × 5³
ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ്:

അതിനാൽ, ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4 × 4 = 16
പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,

രണ്ട് അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, രണ്ടു കൃത്യങ്കങ്ങളോടും ഓരോന്നു കൂട്ടി ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ്.

ബീജഗണിത ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ,
p, 4 ഇവ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളും m, ” ഇവ ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽ സംഖ്യകളും ആണെങ്കിൽ p q എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം (m + 1) (n + 1).

ഇനി, സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളായി 3 വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകൾ വന്നാലോ
ഉദാഹരണമായി 3³ × 5² × 11 എടുക്കാം:
ആദ്യം 3³ × 5 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ എഴുതാം

1	3	3²	33
3	3 × 5	3² × 5	33 × 5
5²	3 × 5²	3² × 5²	33 × 5²

ഇവിടെ, 3³ × 5² ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 4 × 3 = 12

ഇനി, 3³ × 5² × 11ന്റെ ഘടകങ്ങൾ പട്ടികയാക്കാം:

അതിനാൽ, 3³ × 5² × 11 ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം = 12 × 2 = 24
പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ,
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അതിനെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണന ഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്നതിലെ ഓരോ കൃത്യങ്കത്തിനോടും ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.

പൊതുഘടകങ്ങൾ
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം
അതിനായി 180, 270 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക.
180 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2² × 3² × 5
270 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ = 2 × 3³ × 5
ഇവിടെ, രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ 2, 3, 5 ആണ്.
ഘടകക്രിയയിൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ചെറിയ കൃതികൾ 2, 3², 5 ആണ്.
ഇവിടെ, പൊതുഘടകങ്ങൾ 2 × 3² × 5 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ ആണ്.

ഇവ പട്ടികരൂപത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചാൽ,

മുകളിൽ പറഞ്ഞതനുസരിച്ച് 180, 270 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 90 ആണ്.

ചുരുക്കത്തിൽ,
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ആദ്യം ഓരോ സംഖ്യയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക. തുടർന്ന്, രണ്ടിലും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിയുകയും അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കൃതികളോടുകൂടിയ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഈ സംഖ്യകൾ ആണ് പൊതുഘടകങ്ങൾ.

• ഏത് അഭാജ്യസംഖ്യയുടെ കൃതിയുടെയും ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, കൃത്യങ്കത്തേക്കാൾ ഒന്നു കൂടുത ലാണ്.
• p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയും, n ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ, p” എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം n + 1 ആണ്.
• രണ്ട് അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, രണ്ടു കൃത്യങ്കങ്ങളോടും ഓരോന്നു കൂട്ടി ഗുണിച്ചു കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ്.
• p, 4 ഇവ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളും m n ഇവ ഏതെങ്കിലും എണ്ണൽസംഖ്യകളും ആണെങ്കിൽ pq”എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം (m+ 1) (n + 1).
• ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അതിനെ വ്യത്യസ്ത അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പിരിച്ചെഴുതുന്നതിലെ ഓരോ കൃത്യങ്കത്തിനോടും ഒന്നു കൂട്ടിയ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.
• രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ആദ്യം ഓരോ സംഖ്യയും അവയുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതുക. തുടർന്ന്, രണ്ടിലും പൊതുവായ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിയുകയും അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കൃതികളോടുകൂടിയ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഈ സംഖ്യകൾ ആണ് പൊതുഘടകങ്ങൾ.